第八章 §8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定定理-高一数学人教A版（2019）必修第二册 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
第1课时　直线与平面垂直的判定定理
第八章　8.6.2　直线与平面垂直
学习目标
1.了解直线与平面垂直的定义，了解直线与平面所成角的概念.
2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.(重点、难点)
导语
在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与地面的位置关系(如图)，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象.
一、直线与平面垂直的定义
二、直线与平面垂直的判定定理
三、直线与平面所成的角
随堂演练
内容索引
直线与平面垂直的定义
一
问题1　如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，则旗杆AB与它们的位置关系如何？
提示　始终保持垂直.
问题2　在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
提示　可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
问题3　我们能说直线与平面α内的无数条直线垂直，则直线与平面α垂直吗？
提示　不能.
知识梳理
1.直线与平面垂直的定义及画法
定义 如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 _____
有关概念 直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做_____
任意一条
l⊥α
垂线
垂面
垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
2.过一点垂直于已知平面的直线 一条，该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的 ，垂线段的长度叫做这个点到该平面的
.
有且只有
垂线段
距离
例1
(多选)下列命题中，不正确的是
A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
√
√
√
当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；
当l与α不垂直时，若l在α内，则l可能与α内的无数条直线垂直，所以B不正确，C正确；
若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D错误.
反思感悟
对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的任意一条(所有)直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事.
跟踪训练1
(多选)下列说法，正确的是
A.若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内的任一直线
B.若直线l垂直于平面α，则直线l与平面α内的直线可能相交，可能异面，
也可能平行
C.若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b
D.若a⊥b，b⊥α，则a∥α
√
√
由线面垂直的定义知，A正确；
当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；
C显然是正确的；
而D中，a可能在α内，所以D错误.
直线与平面垂直的判定定理
二
问题4　如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？为什么？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
提示　如图，当折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面所在平面α垂直.这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD，CD都垂直.
知识梳理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α， ＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
两条相交直线
m∩n
例2
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD.
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
又AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD，∵AA1∩AC＝A，AA1，AC 平面AA1O，
∴BD⊥平面AA1O，
∴BD⊥A1O，
设正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)，
∴A1O2＋OM2＝A1M2，
∴A1O⊥OM，
又OM∩BD＝O，OM，BD 平面MBD，
∴A1O⊥平面MBD.
反思感悟
证明线面垂直的方法
(1)由线线垂直证明线面垂直：
①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直.
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
跟踪训练2
如图，在四面体ABCD中，棱CD＝ ，其余各棱长都为1，E为CD的中点.求证：
(1)CD⊥平面ABE；
∵E为CD的中点，且AD＝AC，
∴CD⊥AE.
又∵BD＝BC，∴CD⊥BE.
∵AE∩BE＝E，AE，BE 平面ABE，
∴CD⊥平面ABE.
(2)AE⊥平面BCD.
∵AB2＝AE2＋BE2，∴AE⊥BE.
∵AE⊥CD，CD∩BE＝E，且CD，BE 平面BCD，
∴AE⊥平面BCD.
直线与平面所成的角
三
问题5　当一支铅笔的一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成的角逐渐增大，观察并思考铅笔和桌面所成的角应怎样定义？
提示　铅笔和它在桌面上的射影所成的角.
知识梳理
直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面______，但不与这个平面 ，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中_______
斜足 斜线和平面的_____，如图中____
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引______，过____和____的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为______
相交
垂直
直线PA
交点
点A
垂线
垂足
斜足
直线AO
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中 .
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是___
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则____________
∠PAO
90°
0°
0°≤θ≤90°
例3
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.
(1)求直线A1B和平面AA1D1D所成的角；
∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B和平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.
连接BC1，B1C，BC1与B1C相交于点O，连接A1O，如图所示.
设正方体的棱长为a.
∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，
∴A1B1⊥平面BCC1B1，
∴A1B1⊥BC1，
又BC1⊥B1C，
∴BC1⊥平面A1DCB1，
∴A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.
∴∠BA1O＝30°.
∴直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.
延伸探究　条件不变，求A1B和平面BB1D1D所成的角.
连接A1C1交B1D1于点M，连接BM，如图所示.
∵A1M⊥B1D1，BB1⊥A1M，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D，
∴A1M⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BM就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
又∵∠A1MB＝90°，
∴∠A1BM＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
反思感悟
求直线与平面所成的角的步骤
(1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角.
(2)证——证明所作或找到的角就是所求的角.
(3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形).
(4)答.
跟踪训练3
如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.
由题意知A是M在平面ABC上的射影，
∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB上的射影为AC.
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
课堂
小结
1.知识清单：
(1)直线与平面垂直的定义.
(2)直线与平面垂直的判定定理.
(3)直线与平面所成的角.
2.方法归纳：转化与化归、数形结合.
3.常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直.