第八章 §8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质定理--高一数学人教A版（2019）必修第二册 课件（共43张PPT）

(共43张PPT)
第2课时　直线与平面垂直的性质定理
第八章　8.6.2　直线与平面垂直
学习目标
1.掌握直线与平面垂直的性质定理，并加以证明.(重点)
2.会用直线与平面垂直的性质定理证明相关问题.(重点)
3.会求直线与平面、平面与平面的距离问题.(难点)
导语
在平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，在空间中是否有类似的性质呢？本节课我们就来学习一下！
一、直线与平面垂直的性质定理
二、直线与平面垂直的性质定理的应用
三、空间中的距离问题
随堂演练
内容索引
直线与平面垂直的性质定理
一
问题1　如图1，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，棱AA′，BB′，CC′，DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
提示　平行.
问题2　如图2，已知直线a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗？
提示　a与b平行.
问题3　你能证明吗？
提示　如图，假设b与a不平行且b∩α＝O，显然点O不在直线a上，
所以点O与直线a确定一个平面，
在该平面内过点O作直线b′∥a，
则直线b与b′是相交于点O的两条不同直线，
所以直线b与b′可确定平面β，
设α∩β＝c，则O∈c.因为a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c.
又因为b′∥a，所以b′⊥c.
这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b′与c垂直，显然不可能.因此b∥a.
知识梳理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_____
符号语言
图形语言
a⊥α，
b⊥α
a∥b
平行
注意点：
(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.
(2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据.
例1
(多选)已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是
A.若a⊥α，b∥β且α∥β，则a⊥b
B.若a⊥b，a⊥α，则b∥α
C.若a⊥α，b⊥α，a∥c则b∥c
D.若a⊥α，β⊥α，则a∥β
√
√
A选项，因为α∥β，a⊥α，则a⊥β，
又∵b∥β，∴a⊥b，故A正确；
B选项，b有可能在平面α内，故B错误.
C选项，因为a⊥α，b⊥α，所以a∥b，
又因为a∥c，所以b∥c，故C正确.
D选项，a有可能在β内，故D错误.
反思感悟
(1)线面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”两种位置关系之间的内在联系.
(2)常用线面垂直的性质还有：①b⊥α，a α b⊥a；②a⊥α，b∥a b⊥α；③a⊥α，a⊥β α∥β.
跟踪训练1
△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是
A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定
√
∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，
∴l⊥平面ABC，
同理m⊥平面ABC，∴l∥m.
直线与平面垂直的性质定理的应用
二
例2
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
反思感悟
证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点.
(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
跟踪训练2
如图，已知斜边为AB的Rt△ABC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，
(1)求证：EF⊥PB；
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥AF，
又AF⊥PC，BC∩PC＝C，BC，PC 平面PBC，
∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，
又AE⊥PB，AE∩AF＝A，AE，AF 平面AEF，
∴PB⊥平面AEF，∴EF⊥PB.
(2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.
由(1)知PB⊥平面AEF，
又l⊥平面AEF，∴PB∥l.
空间中的距离问题
三
问题4　若直线l∥平面α，直线l上各点到平面α的距离相等吗？
提示　相等.
问题5　你能证明问题4吗？
提示　如图，过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1.
∵AA1⊥α，BB1⊥α，
∴AA1∥BB1，
设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α＝A1B1，
∵l∥α，∴l∥A1B1.
∴四边形AA1B1B是矩形.∴AA1＝BB1.
由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等.
知识梳理
1.直线与平面的距离
一条直线与一个平面 时，这条直线上 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
2.平面与平面的距离
如果两个平面 ，那么其中一个平面内的 到另一个平面的距离都 ，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
平行
任意一点
平行
任意一点
相等
例3
如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，平面AMN∥平面EFDB.求平面AMN与平面EFDB间的距离.
平面AMN与平面EFDB之间的距离即为D到平面AMN的距离h，
反思感悟
直线与平面、两平行平面之间的距离应转化为点到平面的距离，再求值.
跟踪训练3
作AH⊥PB于点H，如图所示.
由题设知BC⊥平面PAB，因为AH 平面PAB，所以BC⊥AH，
又PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，
故AH⊥平面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离.
设点A到平面PBC的距离为h.
由题意知BC⊥平面PAB，因为PB 平面PAB，
延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥.
过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点O′，O，则PO垂直于棱台的上底面，从而O′O＝h.
设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为V′、高为h′，则PO′＝h′.
由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，
代入①，得
课堂
小结
1.知识清单：
(1)直线与平面垂直的性质定理及应用.
(2)直线与平面、平面与平面的距离.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：距离转化不当导致错误.
随堂演练
1.(多选)下列命题正确的是
√
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3
4
√
√
2.(多选)直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是
A.a和b垂直于正方体的同一个面
B.a和b在正方体两个相对的面内，且共面
C.a和b平行于同一条棱
D.a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直
√
√
√
A为直线与平面垂直的性质定理的应用；
B为平面平行的性质；
C为基本事实4的应用.
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3.线段AB的端点A，B到平面α的距离分别是30 cm和50 cm，则线段AB的中点M到平面α的距离为
A.40 cm B.10 cm
C.80 cm D.40 cm或10 cm
√
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4.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点D1到平面AB1C的距离是
√
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4
连接BD1，BD，如图所示，则AC⊥BD，AC⊥B1B，
∵BD∩B1B＝B，BD，B1B 平面DBD1，∴AC⊥平面DBD1，
∵BD1 平面DBD1，∴AC⊥BD1，
同理AB1⊥BD1，
∵AC∩AB1＝A，AC，AB1 平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C，
设垂足为O，在三棱锥B1－ABC中，
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本课结束