第八章 §8.6.3 平面与平面垂直--高一数学人教A版（2019）必修第二册 课件（共40张PPT）

(共40张PPT)
8.6.3　平面与平面垂直
第八章　§8.6　空间直线、平面的垂直
学习目标
1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的
二面角的平面角.(重点、难点)
2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.(重点)
3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.
(重点)
导语
回顾两条直线垂直的定义，要先定义角的概念，利用两条直线所成角的特殊情况研究直线垂直，因此，定义两平面垂直，我们先从二面角开始.
一、二面角的概念
二、平面与平面垂直的定义和判定
三、平面与平面垂直的性质定理
随堂演练
内容索引
二面角的概念
一
问题1　你能举出哪些两个平面相交的例子？
提示　卫星的轨道平面与地球的赤道平面、教室的墙面与地面等等.
问题2　类比我们初中对平面中的角的定义，你能说出平面与平面所成角的概念吗？
提示　从一条直线出发的两个半平面所形成的图形.
问题3　我们通常说“把门开大一些”(动手演示教室的门)，是指哪个角大一些？如何去刻画二面角的大小呢？
提示　指门与门框所成的二面角大一些.取二面角棱l上的一点O在二面角的面上分别做射线OA，OB与二面角的棱垂直，得到∠AOB可以刻画二面角.
问题4　∠AOB的大小与点O在棱l上的位置有关吗？
提示　无关.
知识梳理
1.二面角的定义
从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的 ，这两个半平面叫做二面角的面.
2.画法：
3.记法：二面角 或二面角 或二面角P－l－Q或二面角 .
半平面
棱
α－l－β
α－AB－β
P－AB－Q
4.二面角的平面角
(1)在二面角α－l－β的棱l上 一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的 叫做二面角的平面角，如图.
(2)二面角的平面角α的取值范围是 .平面角是 的二面角叫做直二面角.
任取
∠AOB
0°≤α≤180°
直角
例1
(1)从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是
A.60° B.120°
C.60°或120° D.不确定
√
如图所示，过PE，PF作一个平面γ与二面角α－l－β的棱交于点O，连接OE，OF.
因为PE⊥α，PF⊥β，所以PE⊥l，PF⊥l，
又PE∩PF＝P，所以l⊥平面γ，所以l⊥OE，l⊥OF，
则∠EOF为α－l－β的平面角，且它与∠EPF相等或互补，
故二面角α－l－β的平面角的大小为60°或120°，故选C.
(2)如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值.
如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB为二面角A－CD－B的平面角.
设点H是△BCD的中心，连接AH，
则AH⊥平面BCD，且点H在线段BM上.
反思感悟
求二面角的平面角的大小的步骤
跟踪训练1
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，则二面角P－BC－A的平面角为
A.∠PAC B.∠CPA C.∠PCA D.∠CAB
√
由已知得PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.
平面与平面垂直的定义和判定
二
问题5　教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？这些二面角的大小是多少？
提示　可以构成3个二面角，分别是两相邻墙面构成的二面角，一个墙面与地面构成的二面角，另一个墙面与地面构成的二面角.它们构成的二面角是直二面角，即二面角的度数为90°.
问题6　我们教室的建筑者是如何判断教室的墙面与地面是垂直的呢？
提示　用铅锤检测.如果系有铅锤的细线紧贴墙面，他们就认为墙面垂直于地面.
问题7　你能说出这种方法的数学原理吗？
提示　如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.
知识梳理
1.平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β.
(2)画法：
2.面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.用符号表示为：a α，a⊥β α⊥β.
例2
在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求证：平面ACD′⊥平面BDD′B′.
∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，
∴BB′⊥平面ABCD，∴BB′⊥AC，
又AC⊥BD，BD∩BB′＝B，
BD，BB′ 平面BDD′B′，
∴AC⊥平面BDD′B′，
∵AC 平面ACD′，
∴平面ACD′⊥平面BDD′B′.
反思感悟
证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角.
(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
跟踪训练2
如图，已知在三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求证：平面ABC⊥平面ASC.
作SH⊥AC交AC于点H，连接BH，如图所示.
∵SA＝SC，∴AH＝HC，
即在Rt△ABC中，H是AC的中点，
又SH＝SH，SA＝SB，∴△SAH≌△SBH(SSS)，
∴SH⊥BH，
又SH⊥AC，AC∩BH＝H，AC，BH 平面ABC，∴SH⊥平面ABC，
又SH 平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC.
平面与平面垂直的性质定理
三
问题8　黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
提示　找到黑板所在平面与地面所在平面的交线，在黑板上画出和该交线垂直的直线，即垂直于地面.
知识梳理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线 于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面_____
符号语言 α⊥β，α∩β＝l， ， a⊥β
图形语言
垂直
交线
垂直
a α
a⊥l
例3
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.求证：
(1)BG⊥平面PAD；
由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG 平面PAD，
∴PG⊥平面ABCD，又BG 平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，AD，PG 平面PAD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)AD⊥PB.
由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，
所以AD⊥平面PBG，
又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
反思感悟
利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点
(1)两个平面垂直.
(2)直线必须在其中一个平面内.
(3)直线必须垂直于它们的交线.
跟踪训练3
如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.
如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，
AD 平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAB，∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB，∴BC⊥AB.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)二面角以及二面角的平面角.
(2)平面与平面垂直的定义和判定定理.
(3)平面与平面垂直的性质定理.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：面面垂直的性质定理中在其中一个面内作交线的垂线，与另一
个平面垂直.
随堂演练
1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面
A.有1个 B.有2个
C.有无数个 D.不存在
√
1
2
3
4
由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.
2.已知直线a，b与平面α，β，γ，下面能使α⊥β成立的条件是
A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β＝a，b⊥a，b β
C.a∥β，a∥α D.a∥α，a⊥β
√
1
2
3
4
由a∥α知，α内必有直线l与a平行，
又因为a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.
3.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是
A.30° B.45° C.60° D.90°
√
如图，由正方体的性质易知AB⊥平面ADD′A′，
则AB⊥AD，AB⊥AD′，
则∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角，
又因为四边形ADD′A′为正方形，
所以∠D′AD＝45°，即二面角D′－AB－D的大小是45°，故选B.
1
2
3
4
4.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝_____.
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
∠PAC＝90°，
∴PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，
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2
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4
本课结束