第七章 §7.1.1 数系的扩充和复数的概念-高一数学人教A版（2019）必修第二册 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
第七章　 §7.1　复数的概念
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.(重点)
3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.(难点)
学习目标
导语
1545年，意大利数学家、物理学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10－x)＝40的根，他求出的根为 ，积为25－(－15)＝40.由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.这样的结果令他大为不解，甚至感到有些恐慌.负数真的不能开平方吗？
一、复数的相关概念
二、复数相等的充要条件
随堂演练
内容索引
复数的相关概念
一
问题　我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？
提示　为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数集中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使得i2＝－1.
1.定义：我们把形如______________的数叫做复数，其中i叫做_________，满足i2＝____.
2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的_____，b叫做复数z的_____.
3.数集
(1)定义：全体复数所构成的集合叫做________.
(2)表示：通常用大写字母_____表示.
知识梳理
a＋bi(a，b∈R)
虚数单位
－1
实部
虚部
复数集
C
(1)i2＝－1.
(2)i和实数之间能进行加法、乘法运算.
(3)a，b∈R.
注意点：
4.复数的分类
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下：
_____(b＝0)，
_____(b≠0)(当______时为纯虚数)
实数
虚数
a＝0
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
纯虚数集
(1)写出下列复数的实部、虚部，并指出它们是实数、虚数还是纯虚数：
例1
答案
(2)已知m∈R，复数z＝ ＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，
①z∈R；
②z是虚数；
③z是纯虚数.
(1)在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.
(2)利用复数的分类求参数时，应将复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R).特别注意z为纯虚数，则b≠0，且a＝0.
(3)要注意确定使实部、虚部有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.
反思感悟
(1)(多选)下列说法正确的是
A.对于复数a＋bi(a，b∈R)，若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B.对于复数a＋bi(a，b∈R)，若b＝0，则a＋bi为实数
C.若a∈R，则(a2＋1)i是纯虚数
D.实数集是复数集的真子集
跟踪训练1
√
√
√
对于复数a＋bi(a，b∈R)，若a＝0，b＝0，则a＋bi为实数0，
若b＝0，则a＋bi＝a为实数，故A错误，B正确；
若a∈R，则a2＋1≠0，所以(a2＋1)i是纯虚数，故C正确；
显然D正确.
(2)已知m∈R，复数z＝lg m＋(m2－1)i，当m为何值时，
①z为实数；
②z为虚数；
③z为纯虚数.
即不存在m使z为纯虚数.
复数相等的充要条件
二
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，，b，c，d∈R)，我们规定a＋bi与c＋di相等当且仅当___________.特殊地，a＋bi＝0 _____________.
知识梳理
a＝c且b＝d
a＝b＝0
(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值.
例2
(2)已知复数x2－1＋(y＋1)i大于复数2x＋3＋(y2－1)i.求实数x，y的取值范围.
因为x2－1＋(y＋1)i＞2x＋3＋(y2－1)i，
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.
反思感悟
复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝______.
跟踪训练2
5
因为m∈R，z1＝z2，
所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
解得m＝5.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)数系的扩充.
(2)复数的概念.
(3)复数的分类.
(4)复数相等的充要条件.
2.方法归纳：方程思想.
3.常见误区：未化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式.