第七章 §7.1.2 复数的几何意义-高一数学人教A版（2019）必修第二册 课件（共40张PPT）

(共40张PPT)
7.1.2　复数的几何意义
第七章　 §7.1　复数的概念
1.理解并可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的
一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.(重点)
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.(难点)
学习目标
导语
18世纪，瑞士人阿甘达(J.Argand,1768－1822)给出复数的一个几何解释，他注意到负数是正数的一个扩充，它是将方向和大小结合起来得出的，他的思路是：能否利用增添某种新的概念来扩充实数系.在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效.他不仅将a＋bi表示为复平面上的一点(a，b)，而且阐述了复数的几何加法和乘法.使人们对复数不再有种神秘的印象.同学们，你们想知道复数的几何意义是什么吗？
一、复数与复平面内点的关系
二、复数与复平面内的向量的关系
三、共轭复数
随堂演练
四、复数的几何应用
内容索引
复数与复平面内点的关系
一
问题1　有序实数对是和坐标平面上的点一一对应的，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？
提示　复数a＋bi(a，b∈R)实质上是实数的有序实数对(a，b)，复数可以和坐标平面上的点一一对应.
1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做_____，y轴叫做_____，实轴上的点都表示_____；除了_____外，虚轴上的点都表示_______.
2.复数集C中的数和复平面内所有的点组成的集合是________的，即复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义.
知识梳理
实轴
虚轴
实数
原点
纯虚数
一一对应
例1
(1)请完成以下表格.
复平面内的点 (0,0) (－2,0) (0,1) (－2,2)
复数 －2
分类 实数
0
i
－2＋2i
实数
纯虚数
虚数
(2)在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：
分别求实数m的取值范围.
①在虚轴上；
复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.
由题意得m2－2m－8＝0，
解得m＝－2或m＝4.
②在第二象限；
③在y＝x的图象上.
利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据.
(2)列出方程：此类问题可根据复数的实部与虚部应满足的条件列出方程(组)，通过解方程(组)或不等式(组)求解.
反思感悟
跟踪训练1
求实数m分别取何值时，复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面内的x轴上方；
∵点Z在x轴上方，
∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2.
(2)在实轴负半轴上.
若复数z的对应点Z在实轴负半轴上，
复数与复平面内的向量的关系
二
问题2　能用平面向量表示复数吗？
提示　在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样就可以用平面向量来表示复数.
1.复数与平面向量：如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量 由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量 ____确定.
知识梳理
唯一
为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量 ，并且规定，相等的向量表示______复数.
同一个
2.复数的模
(1)定义：向量 的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.
(2)记法：复数z＝a＋bi的模记作_________.
(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝_______.
|z|或|a＋bi|
(1)设复数z1＝－4＋3i，z2＝－4－3i.
①在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量；
例2
②求复数z1，z2的模，并比较它们的模的大小.
则|z1|＝|z2|.
(2)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.
记O为复平面的原点，
故点D对应的复数为－3－2i.
(1)
反思感悟
(2)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
反思感悟
跟踪训练2
　 已知i为虚数单位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi|等于
√
共轭复数
三
1.定义：一般地，当两个复数的实部____，虚部__________时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做__________.
2.表示：复数z的共轭复数用 表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么
＝______.
3.若z1，z2是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点关于_____对称.
知识梳理
相等
互为相反数
共轭虚数
实轴
a－bi
例3
　 复数z＝3－4i的共轭复数对应的点在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
反思感悟
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.
跟踪训练3
(多选)下列说法正确的是
A.复数和其共轭复数都是成对出现的
B.实数不存在共轭复数
C.互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称
D.复数和其共轭复数的模相等
√
√
由共轭复数的相关知识可知，AD正确.
复数的几何应用
四
例4
(课本72页例题改编)设z∈C，且z在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.
(1)|z|＝2；
方法一　|z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.
方法二　设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.
(2)1≤|z|≤2.
不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合.
不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合.
这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合，如图中的阴影部分，故所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.
反思感悟
(1)|z|表示在复平面内复数z对应的点到原点的距离.
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.
跟踪训练4
(1)满足条件|z|≤5的复数z在复平面内对应的点的集合的图形的面积为_____.
易知复数z在复平面内对应的点的集合是以原点(0,0)为圆心，以5为半径的圆，其面积为25π.
25π
(2)已知复数z1＝ ，z2＝(x2＋a)i，对于任意x∈R均有|z1|>|z2|成立，则实数a的取值范围是________.
由|z1|>|z2|，得x4＋x2＋1>(x2＋a)2.
则(1－2a)x2＋(1－a2)>0对x∈R恒成立.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系.
(2)复数的模及几何意义.
(3)共轭复数.
2.方法归纳：待定系数法、数形结合.
3.常见误区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小.
随堂演练
1
2
3
4
1.复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
z＝－1－2i对应的点Z(－1，－2)位于第三象限.
1
2
3
4
则实数m的取值范围是(－2,1).
2.已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是
A.(－1,2) B.(－2,1)
C.(1，＋∞) D.(－∞，－2)
√
3.向量a＝(3,4)，设向量a对应的复数为z，则z的共轭复数 ＝______，
| |＝____.
1
2
3
4
3－4i
5
1
2
3
4
4.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是_______.
2＋4i
因为复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，
所以A(6,5)，B(－2,3)，
又C为线段AB的中点，
所以C(2,4)，所以点C对应的复数是2＋4i.
本课结束