第七章 §7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-高一数学人教A版（2019）必修第二册 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
第七章　§7.2　复数的四则运算
1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.(重点)
2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.(难点)
学习目标
导语
1.上一节我们学习了复数的几何意义，请同学们思考：复数、点、向量之间的对应关系是什么？
2.实数可以进行加减乘除四则运算，且运算的结果仍为一个实数，那么复数呢？
3.多项式的加、减运算法则，合并同类项法则是什么？
一、复数的加、减法运算
二、复数加、减法的几何意义
三、复数加、减法的综合运用
随堂演练
内容索引
复数的加、减法运算
一
问题1　我们知道，实数的减法是加法的逆运算，当z1，z2都是实数时，它们的和就是这两个实数的和.两个复数相加，类似于两个多项式相加，那么两个复数相减，类似于两个多项式相减吗？
提示　是的.
1.复数的加法运算
我们规定，复数的加法法则如下：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的和(a＋bi)＋(c＋di)＝________________.很明显，两个复数的和仍然是一个_____的复数.特别地，当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和.
知识梳理
(a＋c)＋(b＋d)i
确定
2.复数的减法运算
我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi(a，b∈R)减去复数c＋di(c，d∈R)的差，记作_______________.
即(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.
3.复数加法的运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有：
(1)(交换律)z1＋z2＝_____；
(2)(结合律)(z1＋z2)＋z3＝__________.
(a＋bi)－(c＋di)
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
例1
(1)(课本76页例1改编)复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝______.
9＋i
复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i.
(2)设m∈R，复数z1＝ ＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围.
∵z1＋z2是虚数，∴m2－2m－15≠0且m＋2≠0.
∴m≠5且m≠－3且m≠－2，m∈R.
即m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞).
复数加、减运算的解题思路
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减).
反思感悟
跟踪训练1
　 若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是
A.－4 B.4 C.4i D.－4i
√
因为z＋(3－4i)＝1，则z＝1－3＋4i＝－2＋4i，故z的虚部为4.
复数加、减法的几何意义
二
问题2　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？
知识梳理
z1＋z2
z1－z2
如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.求：
例2
复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的.
(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变.
反思感悟
跟踪训练2
(2)若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是__________.
(－∞，2)
z2－z1＝1＋(a－2)i，由题意知a－2<0，即a<2.
复数加、减法的综合运用
三
问题3　根据复数及其运算的几何意义，你能求出复平面内的两点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)之间的距离吗？
例3
(1)(多选)设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的值可以是
√
√
由|z＋1|－|z－i|＝0，
得|z＋1|＝|z－i|.
∴复数z表示以A(－1,0)，B(0,1)为端点的线段的垂
直平分线OM，
|z＋i|表示点Z到点C(0，－1)的距离，
设复数－i对应点C(0，－1).
当CM⊥OM时，|z＋i|取到最小值|CM|.
设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z－4＝(x－4)＋yi，
故复数z＝4＋2i或4－2i.
反思感悟
(1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用.
(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB满足：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形.
跟踪训练3
　 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是____.
由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，
1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，
而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1
的对应点B(－1，0)之间的距离，
即圆环内的点到点B的距离d.
由图易知当A与B重合时，dmin＝0，
当点A与点C(2,0)重合时，dmax＝3，
∴0≤|z＋1|≤3.
[0,3]
课堂
小结
1.知识清单：
(1)复数代数形式的加、减运算法则.
(2)复数加、减法的几何意义.
(3)复平面上两点间的距离公式.
2.方法归纳：类比、数形结合.
3.常见误区：忽略模的几何意义.
随堂演练
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1.计算：(1－i)－(2＋i)＋3i等于
A.－1＋i B.1－i C.i D.－i
√
原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i.
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z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.
故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限.
2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
3.两个复数z1＝2＋5i，z2＝3－i在复平面内对应的两点之间的距离为______.
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4.设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是________.
5－2i
本课结束