1.4.2 充要条件--高中数学人教A版必修一 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
1.4.2 充要条件
学习目标：
(1)了解“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”．
(2)通过对条件与结论的研究与判断，培养思维能力.
重点：对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解．
难点：“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定．
思考：
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
（3）若 一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 ；
（4）若 是空集，则A与B均是空集.
上述命题中的（1），（4）和它们的逆命题都是真命题；
命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题；
命题（3）是假命题，但它的逆命题是真命题.
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p” 均是真命题，
即既有 ，又有 ，就记作：
此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说
p是q的充分必要条件，简称为充要条件.
显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的的充要条件.
充分不必要条件
必要不充分条件
既不充分也不必要条件
充要条件
从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:
（1）A B且B A，则A是B的
（2）A B且B A，则A是B的
（3）A B且B A，则A是B的
（4）A B且B A，则A是B的
例1. 下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，
所以q p，从而p不是q的充要条件.
例1. 下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形的三边成比例；
解：（2）因为若p则q是相似三角形的性质定理，若q则p是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，
所以 p q ，从而p是q的充要条件.
例1. 下列各题中，哪些p是q的充要条件？
解：（3）因为xy>0时， x>0,y>0不一定成立，
所以p q ，从而p不是q的充要条件.
（3）p：xy>0 ，q：x>0,y>0；
例1. 下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（4）p： 是一元二次方程 的一个根，
q： .
解：（4）因为若p则q，若q则p均为真命题，
所以 p q ，从而p是q的充要条件.
练习：用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、
“既不充分也不必要”填空：
(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿＿＿＿＿＿条件.
(2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿＿＿条件.
(3)“x=3”是“x2=9”的＿＿＿＿＿＿条件.
(4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”
的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件.
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
例2. 已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.
求证:d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.
P
Q
O
证明：如图，作 于点P，则OP=d.
若d=r，则点P在⊙ 上.在直线 上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.
(1)充分性(p q)：
所以，除点P外直线 上的点都在⊙ 的外部，
即直线 与⊙ 仅有一个公共点P.
所以直线 与⊙ 相切.
在 中，OQ>OP =r.
若直线 与⊙ 相切，不妨设切点为P，则 ,d=OP=r.
(2)必要性(q p)：
所以，d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.
1:下列命题中,p是q的充分条件的是_____________.
①p:a+b=0,q:a2+b2=0;
②p:x>5,q:x>3;
③p:四边形是矩形;q:四边形对角线相等;
课堂巩固练习
②③
解析: ①∵a+b=0 a2+b2=0,即p q,
∴p不是q的充分条件.
②∵x>5 x>3,即p q,
∴p是q的充分条件.
③∵四边形是矩形 对角线相等,即p q,
∴p是q的充分条件.
2.指出下列条件中,p是q的什么条件,q是p的什么条件.
(1)p:∠C=90°;q:三角形ABC是直角三角形;
(2)p:A∩B=A;q:A B.
解: (1)∵∠C=90° △ABC为直角三角形.
∴p q.
∵△ABC是直角三角形,也可能∠B=90°,
∴q p.
∵p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.
(2)∵A∩B=A A B,
∴p q.
又A B A∩B=A,∴q p.
∴p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件.
3.已知a,b是实数,求证:a4-b4-2b2=1成立的充分条件是
a2-b2=1.该条件是否是必要条件 证明你的结论.
证明: 若a2-b2=1,
则a4-b4-2b2=(a2+b2)(a2-b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1.
∴a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件.
a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件,证明如下:
若a4-b4-2b2=1,
则a4-b4-2b2-1=0,即a4-(b2+1)2=0,
∴(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0.
∵a2+b2+1≠0,∴a2-b2=1.
∴a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件.
课堂小结
1.充要条件：
既有 ，又有 ，则：
p是q的充要条件.
充分不必要条件
必要不充分条件
既不充分也不必要条件
充要条件
2.从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:
（1）A B且B A，则A是B的
（2）A B且B A，则A是B的
（3）A B且B A，则A是B的
（4）A B且B A，则A是B的