2.2 基本不等式-高中数学人教A版必修一 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
学习目标：
1.了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
重点及难点：基本不等式及其应用.
第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看起来像一个风车，代表中国人民热情好客.
课题引入——
第24届国际数学家大会
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明.最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明.
赵爽：弦图
1.你能在这个图案中找出面积间的一些相等关系或不等关系吗？
探究点： 基本不等式
课堂探究
A
D
B
C
E
F
G
H
则正方形ABCD的面积是________，
这4个直角三角形的面积之和________，
设AE=a,BE=b,
a2+b2
2ab
思考：有可能相等吗？？？又什么时候取等号呢？
A
D
B
C
E
F
G
H
b
a
正方形的面积大于等于4个直角三角形的
面积和，可以得到一个不等式：
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立.
A
B
C
D
E(FGH)
a
b
A
D
B
C
E
F
G
H
b
a
一般地，对于任意实数a，b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立.
2.你能给出它的证明吗？
当且仅当a=b时，等号成立.
特别地，如果a>0,b>0,我们用 分别代替上式中的 a, b，可得
当且仅当a=b时，等号成立.
通常将不等式 称为基本不等式.
可以叙述为:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
叫做正数a，b的算术平均数，
叫做正数a，b的几何平均数.
基本不等式
思考：能否利用不等式的性质证明基本不等式呢？
当且仅当a=b时，等号成立.
D
A
B
C
E
如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,
则CD=_______,半径为_______.
CD小于或等于圆的半径
上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.
几何意义：半径不小于半弦.
3.几何解释
a
b
适用范围
文字叙述
等号成立条件
a=b
a=b
两个正数的算术平均数不
小于它们的几何平均数
两数的平方和不小于它们积的2倍
a,b∈R
a>0,b>0
填表比较：
注意从不同角度认识基本不等式
例1. 已知x>0,求 的最小值.
解：因为x>0,所以
当且仅当 ，即 时，等号成立.
因此，所求的最小值为2.
发现运算结构，应用不等式.
变式1. 已知x>0,求 的最小值.
解：因为x>0,所以
当且仅当 ，即 时，等号成立.
因此，所求的最小值为12.
变式2. 已知x>3,求 的最小值.
解：因为x>3,所以
当且仅当 ，即 时，等号成立.
因此，所求的最小值为5.
例2. 已知0解：因为0当且仅当 ，即 时，等号成立.
发现运算结构，应用不等式.
因此，所求的最大值为 .
变式. 已知0解：因为0当且仅当 ，即 时，等号成立.
因此，所求的最大值为 .
已知x,y都是正数，
（1）如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 ；（2）如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值
条件说明：
1.函数式中各项必须都是正数.
2.函数式中含变数的各项的和或积必须都是常值（定值）.
3.等号成立条件必须存在.
“一正二定三等”，这三个条件缺一不可.
分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.即求（x+y）的最小值.
例3 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40 m.
分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xy m2.即求xy的最大值.
例3 (2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2(x + y)= 36, x+ y=18，
矩形菜园的面积为xy m2 .
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立.
因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，
最大面积是81 m2 .
例4. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
解： 设水池底面一边的长度为xm， 则水池的宽为 ,
水池的总造价为y元，根据题意，得
当
时y有最小值297600
所以将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低造价是297600元.
练习：做一个体积为32
，高为2m的长方体纸盒，底面的长
与宽取什么值时用纸最少？
x=y=4m
x
y
2
课堂小结
1.重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立.
2.基本不等式:
3.已知x,y都是正数，
（1）如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 ；（2）如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值
“一正二定三等”，这三个条件缺一不可.