2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-高中数学人教A版必修一 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
学习目标：
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
2.掌握图象法解一元二次不等式的方法.
3.培养数形结合、分类讨论思想方法.
重点及难点：利用二次函数的图象解一元二次不等式，培养数形结合、分类讨论思想方法.
思考：　
知识点一　一元二次不等式的概念
不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集.
我们知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立.那么你能写出不等式x2>1的解集吗？
[问题导学]
知识点梳理　
(1)形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠0)，
叫作一元二次不等式.
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解.
(3)一元二次不等式所有解组成的集，叫作一元二次不等式的解集.
思考：　
知识点二　“三个二次” 的关系
[问题导学]
分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式
x2－1>0之间的关系.
知识点梳理 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系：
判别式 △=b2- 4ac
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
△>0
有两相异实根
x1, x2 (x1{x|xx2}
{x|x1< x △=0
△<0
有两相等实根
x1=x2=
{x|x≠ }
x1
x2
x
y
O
y
x
O
R
没有实根
y
x
O
x1
梳理口诀：当 时
若ax2+bx+c=0的根是 x1， x2 (x11.ax2+bx+c>0的解集是{x|x< x1或 x>x2};
口诀：大于取两边，大于大根或小于小根
2. ax2+bx+c<0的解集是{x|x1口诀：小于取中间，大于小根小于大根
思考：　
知识点三　一元二次不等式的解法
[问题导学]
根据上表，尝试解不等式x2＋2>3x.
先化为x2－3x＋2>0.
∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2，
∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}.
解一元二次方程的步骤
解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，
一般可分为三步：
(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(求根)
(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；（作图）
(3)由图象得出不等式的解集.（写解集）
知识点梳理　
题型探究：类型一　一元二次不等式的解法
命题角度1　二次项系数大于0
例1　求不等式4x2－4x＋1>0的解集.
解：因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝ ，
所以原不等式的解集为 .
反思与感悟
当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像.
跟踪训练1　求不等式2x2－3x－2≥0的解集.
解 ∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝ ，x2＝2，
且a＝2>0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是
{x|x≤－ 或x≥2}.
命题角度2　二次项系数小于0
例2　解不等式－x2＋2x－3>0.
解：不等式可化为x2－2x＋3<0.
因为Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图像开口向上，
所以原不等式的解集是 .
反思与感悟
将－x2＋2x－3>0转化为x2－2x＋3<0的过程注意符号的变化，
这是解本题关键之处.
跟踪训练2　求不等式－3x2＋6x>2的解集.
解：不等式可化为3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，
∴不等式－3x2＋6x>2的解集是
命题角度3　含参数的二次不等式
例3　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.
反思与感悟
解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论.
跟踪训练3　解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0.
解：当a＜0或a＞1时，有a＜a2，此时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；
当0＜a＜1时，有a2＜a，此时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；
当a＝0或a＝1时，原不等式无解.
综上，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；
当a＝0或a＝1时，解集为 .
题型探究：类型二　“三个二次”间对应关系的应用
例4　已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集.
解：由根与系数的关系，可得
∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0.
反思与感悟
给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
跟踪训练4　已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1解：方法一　由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根.
方法二　把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，
1.解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集.
课堂小结
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.
当m0，则可得x>n或x若(x－m)(x－n)<0，则可得m有口诀如下：大于取两边，小于取中间.
2.含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1