专题3 平行线中作辅助线的方法 精品作业
课前诊测
已知：如图，，，垂足分别为E、G，． 求证：．
证明：因为，，（已知）
所以，（ ）
所以（等量代换）．
所以（ ）．
所以（ ）．
因为，（ ）
所以 ，
即．
所以（ ）．
精品作业
必做题
如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A=120°，第二次拐角∠B=150°．第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为______
直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么
∠1＝ ．
3.如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2﹣∠1的度数是 ．
4.如图所示，AB∥CD，CD∥EF且∠1=30°，∠2=70°，则∠BCE等于 ( )
选做题
如图，已知直线AM∥CD，E为直线AM，CD外的一点，CE交AM于点G，CF交AM于点B，连接AE，EC．若∠FAM＝2∠EAF，∠DCF＝2∠ECF，求证：∠AEC＝∠AFC．
参考答案
课前诊测
证明：因为，，（已知）
所以，（垂直的定义）
所以（等量代换）．
所以（同位角相等，两直线平行）．
所以（两直线平行，内错角相等）．
因为，（已知）
所以∠CDE ，
即．
所以（内错角相等，两直线平行）．
必做题
1.150°
2.17°
3.80°
4.140°
选做题
证明：如图，过点E作EQ∥AM，FP∥AM.
∴∠QEG＝∠EGM，∠FBM＝∠BFP.
∵∠FAM＝2∠EAF，∠AFP＝∠FAM，
∴∠AEQ＝∠EAM＝∠FAM＋∠EAF＝∠FAM.
∴∠EGM＝∠QEC＝∠AEQ＋∠AEC＝∠FAM＋∠AEC．
∵∠ABF＝180°－∠FBM＝180°－∠FAM－∠AFC，
∴∠FBM＝∠FAM＋∠AFC．
∵∠DCF＝2∠ECF，
∴∠ECD＝∠DCF＋∠ECF＝∠DCF.
∵AM∥CD，
∴∠EGM＝∠ECD，∠FBM＝∠DCF.
∴∠ECD＝∠DCF＝∠FBM＝∠FAM＋∠AFC＝∠FAM＋∠AFC．
∴∠AEC＝∠AFC．专题3 平行线中作辅助线的方法 教学设计
教学目标：
（1）综合运用平行线的性质和判定方法找出角的数量关系.
（2）经历对不同模型中三个角的数量关系的探究，体验数学建模和分类讨论的方法.
（3）培养创新意识，提高学生对数学的兴趣；在解决问题的过程中，培养学生的应用意识
教学重点：
拐点模型辅助线的做法
教学难点：
不同模型中三个角的数量关系的探究
教学过程：
复习回顾
知识精讲
思考：如图，AB∥CD;若线段AC是拉直的橡皮筋，在AC上任取一点E，若向不同的方向拉动点E，动点E与两平行线的位置有哪几种？∠A，∠C，∠ACE之间有何关系呢？（利用几何画板拉动展示）
总结：一个动点与两条平行线的位置关系
①点在两平行线之间
②点在两平行线之外
类型1 猪蹄模型
如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°.求∠1的度数．
解：方法1：过点P作射线PN∥AB，如图①所示．
∵PN∥AB，AB∥CD，
∴PN∥CD.
∴∠4＝∠2＝28°.
∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.
∵∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°，∴∠1＝30°.
方法2：过点P作射线PM∥AB，如图②所示．
∵PM∥AB，AB∥CD，∴PM∥CD.
∴∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.
∵∠4＋∠BPC＋∠3＝360°，
∴∠3＝360°－∠BPC－∠4
＝360°－58°－152°＝150°.
∵AB∥PM，
∴∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.
类型2 铅笔头模型
如图，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由．
解：∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
理由：如图，过C点作CF∥AB，
∴∠B＋∠BCF＝180°.
又∵AB∥DE，∴CF∥DE.
∴∠FCD＋∠D＝180°.
∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，
即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
思考：如图，AB∥EF，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
解：∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.
类型3 凹凸并存（铅笔头+猪蹄）模型
(1)如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数；
解：如图，过E点向左侧作EF∥AB，
∴∠B＋∠BEF＝180°.
∵∠B＝130°，∴∠BEF＝180°－∠B＝50°.
∵AB∥CD，且EF∥AB，∴EF∥CD.
∴∠FEC＝∠C.
又∵∠C＝30°，∴∠FEC＝30°.
∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°.
(2)如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系．试说明理由．
解：∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
理由如下：如图，过E点向左侧作EF∥AB，
又∵AB∥CD，∴EF∥CD.
∴∠FEC＝∠C.
又∵∠BEF＝∠BEC－∠FEC，
∴∠BEF＝∠BEC－∠C.
∵AB∥EF，∴∠B＋∠BEF＝180°.
∴∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
类型4 “锄头”型
如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？
解：∠BCD＝∠B－∠D.理由如下：
如图，过点C作CF∥AB，∴∠B＝∠BCF.
∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE.
∴∠DCF＝∠D.
∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.
∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF，∴∠BCD＝∠B－∠D.
类型5 Z拐模型
如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°.求∠ABC的度数．
解：如图，过点C作CF∥AB.
∵AB∥DE，CF∥AB，∴DE∥CF.
∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°.
∴∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.
∵AB∥CF，
∴∠ABC＝∠BCF＝72°.
典例精析
如图，AB∥CD，点F在CE上，∠EAF＝ ∠BAF，若∠AEC＝105°，∠DCE＝115°，求∠EAF的度数．
解：如图，过点E作EM∥AB.
∵AB∥CD，∴EM∥CD.
∴∠MEC＋∠DCE＝180°.
∵∠DCE＝115°，∴∠MEC＝180°－115°＝65°.
∵∠AEC＝∠MEC＋∠AEM＝105°，∴∠AEM＝105°－65°＝40°.
∵EM∥AB，∴∠AEM＋∠EAB＝180°.∴∠EAB＝180°－40°＝140°.
∵∠EAB＝∠EAF＋∠BAF，∴∠EAF＋3∠EAF＝140°.∴∠EAF＝35°.
四、针对练习
1．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1＋∠2＝________°.
答案：30
2.已知AB∥EF，∠C＝90°，则α，β和γ 的关系是_________
答案：α＋β－γ=90°
五、方法总结
过拐点作已知直线的平行线，将“折线截平行线”问题转化为“直线截平行线”问题，从而可运用平行线的性质求解，体现了转化思想.
作业布置
见精品作业单
板书设计
专题3 平行线中作辅助线的方法
类型1 猪蹄模型 类型4 “锄头”型
类型2 铅笔头模型 类型5 Z拐模型
类型3 凹凸并存（铅笔头+猪蹄）模型 典例精析(共24张PPT)
平行线中作辅助线的方法
（1）综合运用平行线的性质和判定方法找出角的数量关系.
（2）经历对不同模型中三个角的数量关系的探究，体验数学建模和分类讨论的方法.
（3）培养创新意识，提高学生对数学的兴趣；在解决问题的过程中，培养学生的应用意识
相
交
线
两线
四角
三线
八角
同位角 内错角 同旁内角
平行线的判定
平行线的性质
平
行
线
一般情况
特殊
邻补角
对顶角
邻补角互补
对顶角相等
垂线
存在性和唯一性
垂线段最短
点到直线的距离
平行公理及其推论
已知如图，AB∥CD;若线段AC是拉直的橡皮筋，在AC上任取一点E，若向不同的方向拉动点E，动点E与两平行线的位置有哪几种？∠A，∠C，∠ACE之间有何关系呢？
A
B
C
D
E
一个动点与两条平行线的位置关系
①点在两平行线之间
②点在两平行线之外
A
E
C
D
B
E
B
图1
A
B
E
C
D
图2
A
B
C
D
E
图3
A
B
C
D
E
图4
A
B
C
D
E
图5
A
B
C
D
E
图6
如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°.求∠1的度数．
类型1 猪蹄模型
解：方法1：过点P作射线PN∥AB，如图①所示．
∵PN∥AB，AB∥CD，
∴PN∥CD.
∴∠4＝∠2＝28°.
∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.
∵∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°，
∴∠1＝30°.
方法2：过点P作射线PM∥AB，如图②所示．
∵PM∥AB，AB∥CD，∴PM∥CD.
∴∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.
∵∠4＋∠BPC＋∠3＝360°，
∴∠3＝360°－∠BPC－∠4
＝360°－58°－152°＝150°.
∵AB∥PM，
∴∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.
类型2 铅笔头模型
如图，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由．
解：∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
理由：如图，过C点作CF∥AB，
∴∠B＋∠BCF＝180°.
又∵AB∥DE，∴CF∥DE.
∴∠FCD＋∠D＝180°.
∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，
即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
思考：如图，AB∥EF，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
解：∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.
(1)如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数；
类型3 凹凸并存（铅笔头+猪蹄）模型
解：如图，过E点向左侧作EF∥AB，
∴∠B＋∠BEF＝180°.
∵∠B＝130°，∴∠BEF＝180°－∠B＝50°.
∵AB∥CD，且EF∥AB，∴EF∥CD.
∴∠FEC＝∠C.
又∵∠C＝30°，∴∠FEC＝30°.
∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°.
(2)如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系．试说明理由．
解：∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
理由如下：如图，过E点向左侧作EF∥AB，
又∵AB∥CD，∴EF∥CD.
∴∠FEC＝∠C.
又∵∠BEF＝∠BEC－∠FEC，
∴∠BEF＝∠BEC－∠C.
∵AB∥EF，∴∠B＋∠BEF＝180°.
∴∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？
类型4 “锄头”型
解：∠BCD＝∠B－∠D.理由如下：
如图，过点C作CF∥AB，∴∠B＝∠BCF.
∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE.
∴∠DCF＝∠D.
∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.
∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF，
∴∠BCD＝∠B－∠D.
如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°.求∠ABC的度数．
类型5 Z拐模型
解：如图，过点C作CF∥AB.
∵AB∥DE，CF∥AB，∴DE∥CF.
∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°.
∴∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.
∵AB∥CF，
∴∠ABC＝∠BCF＝72°.
如图，AB∥CD，点F在CE上，∠EAF＝ ∠BAF，若∠AEC＝105°，∠DCE＝115°，求∠EAF的度数．
解：如图，过点E作EM∥AB.
∵AB∥CD，∴EM∥CD.
∴∠MEC＋∠DCE＝180°.
∵∠DCE＝115°，
∴∠MEC＝180°－115°＝65°.
∵∠AEC＝∠MEC＋∠AEM＝105°，
∴∠AEM＝105°－65°＝40°.
∵EM∥AB，
∴∠AEM＋∠EAB＝180°.
∴∠EAB＝180°－40°＝140°.
∵∠EAB＝∠EAF＋∠BAF，
∠EAF＝ ∠BAF，
∴∠EAF＋3∠EAF＝140°.
∴∠EAF＝35°.
1．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1＋∠2＝________°.
30°
2.已知AB∥EF，∠C＝90°，则α，β和γ 的关系是_________
α＋β－γ=90°
【点方法】
过拐点作已知直线的平行线，将“折线截平行线”问题转化为“直线截平行线”问题，从而可运用平行线的性质求解，体现了转化思想.专题3 平行线中作辅助线的方法 导学案
知识精讲
思考：如图，AB∥CD;若线段AC是拉直的橡皮筋，在AC上任取一点E，若向不同的方向拉动点E，动点E与两平行线的位置有哪几种？∠A，∠C，∠ACE之间有何关系呢？
类型1 猪蹄模型
如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°.求∠1的度数．
类型2 铅笔头模型
如图，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由．
．
类型3 凹凸并存（铅笔头+猪蹄）模型
如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系．试说明理由．
类型4 “锄头”型
如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？
类型5 Z拐模型
如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°.求∠ABC的度数．
典例精析
如图，AB∥CD，点F在CE上，∠EAF＝ ∠BAF，若∠AEC＝105°，∠DCE＝115°，求∠EAF的度数．
总结反思
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