高二上学期全套教案[上学期]

第七章直线和圆方程复习讲义（1）
直线与线性规划
一．内容提要：
1．直线倾斜角和斜率：
2．直线方程：
3．两直线位置关系：
4．线性规划：
二．基础训练：
1．若直线在第一、二、三象限，则 （ D）
（） （）（） （）
2．直线的倾斜角是 （C）
（） （） （） （）
3．如果直线沿轴负方向平移3个单位，接着再沿轴正方向平移一个单位后又回到原来的位置，那么直线的斜率是 （ A）
（） （） （） （）
4．若直线的倾斜角为，则 （ C ）
（） （） （） （）不存在
5．若直线的倾斜角为且过点，则直线的方程为．
6．直线与射线有交点，则
三．例题分析：
例1．求直线关于直线对称的直线方程.
答案：4x－6y＋3＝0
例2．已知点到两定点的距离的比为，点到直线的距离为1，求直线的方程
答案：x-y-1=0,x+y-1=0
例3．已知，求的最小值.
答案：1
四．课后作业： 班级 学号 姓名
1．下列四个命题中的真命题是 （B）
经过定点的直线都可以用方程。
经过任意两个不同的点的直线方程都可以用方程表示。
不经过原点的直线方程都可以用方程表示。
经过定点的直线都可以用方程表示。
2．和直线关于轴对称的直线方程为 （B）
3．设A，B是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是 （A）
4．直线与关于直线对称，则直线的方程是 （D）
或
5．若点关于直线对称，则的方程为 （D）
6．给定三点，那么过点并且与直线垂直的直线方程是 。 x+y-1=0
7．过点且倾斜角的正弦值是的直线方程为 。4x-3y+2=0,4x+3y-10=0
8．为实数，则直线经过的定点是 。(-2,3)
9．已知直线垂直于直线，且直线与两坐标轴围成的三角形的周长为10，求直线的方程。
答案：4x+3y+10=0,或者4x+3y－10=0
10．一条光线经过点，射到直线上反射后穿过点，求入射光线和反射光线所在的直线方程。
答案：入射光线所在的直线方程为5x-4y+2=0;
反射光线所在的直线方程为：4x－5y＋1＝0。
11．的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为，求点的坐标。
答案：
12．已知定点，动点在直线上，动点在直线上，且，求面积的最小值。 答案：8。一．课题：不等式的解法举例（1）
二．教学目标：1.掌握分式不等式、绝对值不等式的解法；
2.能用序轴标根法解简单的高次不等式。.
三．教学重、难点：等价转化.
四．教学过程：
（一）复习：
1．若，则_____________；若，则_____________________；
2．若，则____________；若，则____________________；
说明：（1）当为一次函数时，不等式，的解集与方程的解的关系；联想不等式一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的解的关系；
（2）绝对值不等式的基本解法：转化为一元一次不等式或一元二次不等式。
当时，；或．
（二）新课讲解：
例1．解不等式．
解：原不等式等价于，
即
由（1）得：；由（2）得：或，
所以，原不等式的解集为或．
说明：（1）求交集，要注意用数轴；
（2）利用图形说明方程的解与不等式的解集的关系。
【练习】解下列不等式： （1）； （2）．
例2．解不等式．
解法一：下列两个不等式组的解集的并集：
（Ⅰ）， （Ⅱ）．
由（Ⅰ）得， ∴或，
由（Ⅱ）得，∴，
∴原不等式的解集是或．
解法二：（序轴标根法）作数轴、标根、画曲线、定解，
原不等式化为，等价于，
将方程的根标在轴上，从右到左画出的示意图，
∴原不等式的解集是或．
说明：（1）在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区
间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的序轴标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式；
（2）序轴标根法，分解因式后，必须使各括号内的系数为正.
【练习】解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）．
五．小结：1．绝对值不等式的基本解法；
2．分式不等式和高次不等式的解法；
3．使用序轴标根法，分解因式后，必须使各括号内的系数为正，作图宜从最右端开始。
六．作业：补充：
1.解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
2.求函数的定义域.
不等式的解法（1）圆锥曲线复习讲义（3） 抛物线
一．复习目标：
1．理解双曲线的定义，能运用定义解题，能根据条件，求出抛物线的标准方程；
2．掌握抛物线的几何性质，能利用抛物线的几何性质，确定抛物线的标准方程 ；
3．掌握直线与抛物线位置关系的判定方法，能解决直线与抛物线相交的有关问题.
二．基础训练：
1．抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上，则抛物线的方程为
2．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，则的值为
3．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是 .
4．曲线平移得曲线C2，则曲线C2的方程为
5．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是
6. 以抛物线上任一点为圆心作圆与直线相切，则这些圆必过定点
7．已知抛物线的焦点为F，定点A（3，2），在此抛物线上求一点P，使|PA|+|PF|最小，则P点坐标为
三．例题分析：
例1．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，设△AOB（O为原点）的面积为S，求.
例2．若抛物线上总有两点关于直线对称，求证：．
例3. M是抛物线上的动点，当M到A（1，0）的距离|MA|最小时，M的位置为M0，若|M0A|<1，求
（1） a的取值范围;
（2） a变化时，点M0的轨迹方程.
四．课后作业：
1．设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是
（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上答案均有可能
2．已知A、B抛物线上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是
3．过（－1，2）作直线与抛物线只有一个公共点，则该直线的斜率为
4．抛物线为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是
5．与椭圆有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是 .
6．对于抛物线上任意一点Q，点P（a,0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（ ） A．[0，1] B．（0，1） C．（―∞，1） D．（―∞，0）
7．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，则抛物线的方程为 ，的值为 .
8．设抛物线过定点A（0，2）且以x轴为准线，试求
（1）抛物线焦点的轨迹方程；
（2）抛物线顶点M的轨迹方程;
9．倾斜角为α的直线经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，求证：.
10．如图，已知动直线经过点（4，0），交抛物线于A、B两点，O为原点.
（1）求证：AO⊥BO；
（2）(选做)是否存在垂直于x轴的直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.
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3一．课题：算术平均数与几何平均数（1）
二．教学目标：1. 能推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；
2. 理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式.
三．教学重、难点：均值定理证明及运用.
四．教学过程：
（一）复习：
1．用和号填空：
（1）如果，那么 ；
（2）如果，那么 ；
（3）如果，那么 ；
（4）如果，那么 ；
（5）如果，那么 ．
（二）新课讲解：
．基本不等式：
定理：如果，那么（当且仅当时取“”）．
证明：，
（当且仅当时取“”）．
说明：（1）指出定理适用范围：；
（2）强调取“”的条件．
定理：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）
证明：∵， ∴，
即： 当且仅当时 ．
说明：（1）这个定理适用的范围：；
（2）我们称的算术平均数，称的几何平均数
即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2．的几何解释：（如图1）以为直径作圆，在直径上取一点， 过作弦，则，从而，而半径．
例1．已知为两两不相等的实数，求证：
证明：∵为两两不相等的实数，
∴，，，
以上三式相加：
所以，．
例2．已知都是正数，求证．
证明：由都是正数，得：
，
，
∴，
即．
例3．求证：．
证明：∵， 又， ∴，
∴，
即．
五．课堂练习：已知都是正数，求证：．
六．课堂小结：都是正数，的算术平均数是什么？几何平均数是什么？它们的关系怎样？
七．作业：补充：
1．已知都是正数，且，求证：；
2．求证：；
3．已知都是正数，求证：；
4．已知都是正数，
求证：（1）； （2）．
5．已知且，，求证：．
（图1）
几何平均数算术平均数（1）一．课题：椭圆与直线的位置关系（2）
二．教学目标：1.复习巩固直线与椭圆相交时的弦长问题（弦长公式）；
2.掌握求解直线与椭圆相交时弦的中点问题的一般求法.
三．教学重、难点：直线与椭圆相交弦的中点问题.
四．教学过程：
（一）复习：
1．直线与椭圆的位置关系的判定方法；
2．直线与椭圆相交所得弦长的求法（弦长公式）.
（二）新课讲解：
1．中点弦问题：
例1．求以椭圆内的点为中点的弦所在直线方程.
解：（法一）当直线斜率不存在时，点不可能上弦的中点，故可设直线方程为，
它与椭圆的交点分别为，，
则，消去得，
∴，
又∵为弦的中点，∴，即，
∴，从而直线方程为．
（法二）当直线斜率不存在时，点不可能上弦的中点，故可设直线方程为，
它与椭圆的交点分别为，，
则，
得：，
∵为中点，∴，，
∴，即，
所以，直线方程为．
说明：1．法一用“设而不求”法求中点弦方程，充分利用了弦中点坐标和弦两端点坐标间的关系；
2．法二中求中点弦的方法叫做“代点法”，该方法常用来处理中点弦问题.
例2．已知椭圆，求斜率为的平行弦的中点的轨迹方程；
（2）过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程.
解：（1）（法一）设弦所在直线方程为，
由消去得：，
，
即，∴，
设弦的两个端点为，，弦中点为，
则，∴，
∴弦中点坐标满足，
消去得中点轨迹方程为（）．
（法二）设弦的两个端点为，，弦中点为，
则，得：，
∴，∴，即，
所以，中点轨迹方程为（椭圆内部）．
（2）（法一）设直线斜率为，则方程为，
设弦两端点为，，中点为，
则把方程代入椭圆方程消去得：，
得，∴，
，
∴中点满足，消去得轨迹方程，
所以，弦的中点的轨迹方程为（椭圆内部）.
（法二）设弦两端点为，，中点为，
，由得，
∴，
又∵，∴，
∴，即，
所以，弦的中点的轨迹方程为（椭圆内部）.
五．小结：“中点弦”问题的一般处理方法（“设而不求”、“代点法”）.
六．作业：
补充：
1．已知椭圆方程为，
（1）求斜率为的平行弦中点轨迹方程；
（2）求以该椭圆内的点为中点的弦所在的直线方程；
（3）过的弦的中点的轨迹方程.
2．求过定点，以轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程。
3．过椭圆的一个焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的中心，求面积的最大值.
椭圆与直线的位置关系（2）一．课题：两直线的位置关系（3）
二．教学目标：1.理解并会准确地表述两条直线的夹角和直线到的角的概念，知道它们的联系和区别；
2. 掌握两条直线夹角和直线到的角的计算公式及推导，并会进行应用；
3．培养学生周密分析，严格论证的能力，进一步体会解几的基本思想和方法。
三．教学重点：两条直线的夹角及两条直线的夹角公式。
四．教学难点：区别“到角”和“夹角”的概念。
五．教学过程：
（一）复习：
1．两条直线平行和垂直的充要条件是什么？
2．两条直线在什么条件下相交？
（二）新课讲解：
问题引入：如图，直线和相交构成几个角，它们有什么关系？
1．直线到直线的角
定义：把直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，叫做到的角。（图中的）
说明：（1）范围：；（2）是直线到的角，且+=．
2．两直线的夹角
由上面的定义可知，当和不相等时必有一个是锐角，一个是钝角。
定义：当直线和相交但不垂直时，我们把其中的锐角叫做两条直线的夹角，记为，
当时，直线和的夹角是．夹角的范围：．
3．到角公式和夹角公式及其推导
设直线和的斜率分别是、，直线到的角为，
直线和的方程分别是：，：，
（1）若，即=时，=；
（2）当时，设、的倾斜角分别是、，则，
（让学生思考以后，画图，注意两种情况）
由图可知：，或
∴或]，
而，
∴．
结论：（1）到角公式：；（2）夹角公式：=．
说明：公式的适用范围是两直线都有斜率，并且不垂直，对于两直线中有一条的斜率不存在时，用数形结合求解。
（三）例题分析：
例1．求直线：，：的夹角（用反三角函数表示）。
解：∵，，∴，∴．
例2．已知直线：，直线：（，，），直线到的角为，求证：．
证明：设两条直线的斜率分别为、，则，，
∴．
例3．求直线与直线的夹角。（解法：数形结合，答案：）．
例4．等腰三角形一腰所在的直线的方程为，底边所在的直线的方程为，点在另一腰上，求这条腰所在直线的方程。
解：设的斜率分别为，到的角为，到的角为，
则，，，
∵组成的三角形是等腰三角形，∴，∴，
即，把代入，得，
∵直线经过点，∴由点斜式方程得，
即，这就是直线的方程。
六．课堂练习：
1．课本P50第1（1）2（2）（3）；
2．补充：已知直线过点，且与直线的夹角为，求直线的方程。
（答案：或）．
七．小结：1．直线到的角的概念、两直线夹角的概念及它们的区别；
2．到角与夹角的计算公式及应用条件。
八．作业：1．课本第54页第8、9、10题；2．数学之友P45 B（1） C（2）．
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2
两直线的位置关系（3）一．课题：直线的倾斜角和斜率（1）
二．教学目标：1.了解“直线的方程”和“方程的直线”；
2.了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；
3.理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是时的直线没有斜率；
4.已知直线的倾斜角（或斜率），会求直线的斜率（或倾斜角）；
5.培养和提高学生联系、对应、转化等辨证思维能力.
三．教学重、难点：直线的倾斜角和斜率的概念；直线斜率存在与不存在的分类讨论及用反三角函数表示直线的倾斜角.
四．教学过程：
（一）“直线的方程”和“方程的直线”的概念
①数对满足，在直线上有一点，对应坐标；
②直线上有点，则满足；
即满足的数对在上，
反过来，直线上的点的坐标满足的函数式。
归纳：以一个方程的解为坐标的点都是某直线上的点，反过来，
这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做
这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。
（二）直线倾斜角的概念
问题：在直角坐标系中，过点的一条直线绕点旋转，不管旋转多少周，它对轴的相对位置有几种情形？
归纳：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角。
规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．
（三）直线斜率的概念
倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．
（四）例题分析：
例1．如图，直线的倾斜角，直线，求、的斜率。
解：的斜率，
∵的倾斜角，
∴的斜率．
例2．（1）已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；
（2）已知直线的斜率，求该直线的倾斜角的范围.
解：（1）∵，∴．
（2）∵，
∴．
例3．已知和分别是的倾斜角和斜率，当（1）；（2）；（3）时，分别求直线的斜率．
解：当时，∵，∴．
当时，∵，∴，∴．
当时，∵，∴，∴．
五．课堂练习：课本第37页练习1，2．
六．小结：1. “直线的方程”和“方程的直线”的概念；
2.直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围；
3.直线斜率的概念；
4.已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法.
七．作业：课本第37页 习题1，2，3．
直线的倾斜角和斜率（1）一．课题：直线方程（3）
二．教学目标：1. 掌握直线方程的一般式（不同时为）理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：⑴ 直线的方程是都是关于的二元一次方程；⑵ 关于的二元一次方程的图形是直线；
2.掌握直线方程的各种形式之间的互相转化；
3.了解“设而不求”的解题方法.
三．教学重点、难点：理解直线方程的一般式的含义.
四．教学过程：
（一）复习：直线方程的几种形式.
（二）新课讲解：
1．一般式：
直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式），都是关于、的二元一次方程，那么，直线的方程是否都是二元一次方程？反之，二元一次方程的图形是否都是直线？
（1）直线的方程是都是关于的二元一次方程：
在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，在和两种情况下，直线方程可分别写成及这两种形式，它们又都可变形为的形式，且不同时为，即直线的方程都是关于的二元一次方程。
（2）关于的二元一次方程的图形是直线：
因为关于的二元一次方程的一般形式为，其中不同时为.在和两种情况下，一次方程可分别化成和，它们分别是直线的斜截式方程和与轴平行或重合的直线方程，即每一个二元一次方程的图形都是直线。
这样我们就建立了直线与关于二元一次方程之间的对应关系。我们把（其中不同时为）叫做直线方程的一般式。
一般地，需将所求的直线方程化为一般式。
（三）例题分析：
例1．已知直线经过点，斜率，求直线的点斜式和一般式方程.
解：经过点且斜率的直线方程的点斜式方程为：，
化成一般式，得：．
例2．把直线的方程化成斜截式，求直线的斜率和它在轴与轴上的截距，并画图.
解：∵， ∴，
∴直线的斜截式方程是，令得，
∴直线的斜率，它在轴截距是，在轴上的截距是．
例3．若一直线被直线和截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线的方程。
解：（法一）由于已知两直线在轴上的截距不是互为相反数，所求直线不是轴，
设所求直线的方程为，
由 得， 又由 得，
由题知：，
∴，
所以，所求直线方程为．
说明：上述解法是具有一般性必须要掌握。
（法二）（“设而不求” 的方法）：由题意，设所求直线与已知两直线的交点分别为，，
则 相加得，
显然，，的坐标满足方程，而两点确定一条直线，
所以，所求直线的方程为.
五．课堂练习：课本．
六．小结：1．什么是直线的一般式？直线方程的各种形式之间的如何互相转化？
2．“设而不求”方法是：设出交点的坐标，并不需要具体解出来，通过充分利用方程的性质，最终使本题的目标得以实现.
七．作业：课本 ，，
补充：（1）已知，，试求被直线所分成的比；
（2）已知，，若直线与直线相交于点，不与重合，求证：点分的比.
直线方程（3）一．课题：两直线的位置关系（2）——垂直
二．教学目标：1. 掌握两条直线垂直的充要条件,并会根据直线方程判断两条直线是否垂直；
2. 注意解几思想的渗透和表述的规范性，培养学生的探索和概括能力。
三．教学重、难点：理解和掌握两条直线的垂直的充要条件是本节课的重点，难点是斜率不存在时两直线位置关系的讨论。
四．教学过程：
（一）复习：
1．两条直线平行和重合的充要条件；（列表）
2．已知向量，，且，，求，及与的夹角；
3．已知直线和的斜率分别是和，求直线和的方向向量。
答：分别是：（1，），（1，）
（二）新课讲解：
1． 两直线垂直的充要条件及推导：
（1）已知直线和的斜率分别是和，且均不为0， 则；
（2）已知直线和的斜率中有一个为0，则另一个的斜率不存在；
（3）已知直线和的方程分别为：，
则．
（三）例题分析：
例1．已知两直线，，求证：．
证明：的斜率，的斜率，∴，∴．
另证：∵，∴．
例2．若直线与互相垂直，求实数的值。
解：∵两直线垂直，∴，
∴，∴．
例3．求过点，且与直线垂直的直线的方程。
解：已知直线的斜率为，直线与已知直线垂直，∴的斜率为，
所以，所求直线的方程为，即．
另解：设与直线垂直的直线方程为，
∵直线经过点，
∴，∴，
所以，所求直线的方程为．
说明：一般地，与直线垂直的直线的方程可设为，其中待定。
例4．已知直线的方程为，求直线的方程，使与垂直且与坐标轴围成的三角形面积为．
解：设直线的方程为，令，得，令，得，
由题意：，即，，
所以，所求直线的方程为．
五．课堂练习：
1．课本第47页第1、2（2）、3（2）、4；
2．过原点作直线的垂线，若垂足为，则直线的方程是 ；
答：
3．已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为 ．
答：；
六．小结：1．两直线垂直的判定条件；
2．与直线垂直的直线的方程可设为，其中待定。
七．作业：1．课本第74页第2（3）、5、6；
2．数学之友：第43页 B 5、C1．
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2
两直线的位置关系（2）一．课题：曲线和方程（1）
二．教学目标：1.初步掌握曲线的方程、方程的曲线的概念及其相互关系，并能根据定义作简单的判断与推理；
2.初步掌握求曲线方程的方法；
3.进一步培养学生的逻辑推理能力与抽象思维能力.
三．教学重、难点：曲线和方程的意义.
四．教学过程：
（一）复习引入：
问：什么叫点的轨迹？轨迹与条件之间有何关系？
（二）新课讲解：
1．曲线的方程和方程的曲线的概念：
特例：①求两坐标轴所成的角位于第一、第三象限的平分线上的坐标满足的关系。
第一、三象限角平分线点的横坐标与纵坐标相等．
第一、三象限角平分线上的任一点都满足方程；
以方程的解为坐标的点都在一、三象限的角平分线上。
②分析抛物线与方程的对应关系.
曲线的方程和方程的曲线的概念：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做方程的曲线（图形）.
说明：定义中的两点可统一为：如果曲线的方程是，那么在曲线上的充要条件是．
例1．证明圆心为坐标原点，半径等于的圆的方程是，并判断点，是否在这个圆上.
证明：（1）设是圆上任意一点，因为点在原点的距离等于，
所以，也就是．即是方程的解．
（2）设是方程的解，那么，两边开方取算术根，得，即点到原点的距离等于，点是这个圆上的点，
所以，由（1），（2）可知，是圆心为坐标原点，半径等于的圆的方程.
把点的坐标代入方程，左右两边相等， 是方程的解，所以点在这个圆上；把点的坐标代入方程，左右两边不等，不是方程的解，所以点不在这个圆上．
说明：（1）验证：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都在曲线上；
（2）验证点是否在曲线上转化为点的坐标是否满足方程.
例2．方程的曲线是否是：到轴的距离是到轴距离的倍的动点轨迹？为什么？
解：不是.到轴的距离是到轴距离的倍的动点轨迹的方程是：．
满足方程的点在曲线上，但曲线上的点未必满足方程，比如点．
例3．画出方程的曲线：．
解：由，得：，
即原方程的曲线等价于或，（图略）．
说明：（1）围绕曲线的方程和方程的曲线说明；
（2）方程的变形要做到同解变形。
五．课堂练习：课本练习1，2，3．
六．小结：1．掌握曲线的方程与方程的曲线的概念；
2．会作曲线的图象.
七．作业：课本第72页习题第1，2题．
补充：1．若曲线通过点，，求的取值范围；
2．在直角坐标系内，说明下列方程所表示的曲线，并画出它们的大致形状：
（1）； （2）．
3．已知，点在曲线上，求的值.
曲线和方程（1）圆锥曲线复习讲义（1） 椭圆
一．复习目标：
1．正确理解椭圆的两种定义，能运用定义解题，能根据条件，求出椭圆的标准方程；
2．掌握椭圆的几何性质，能利用椭圆的几何性质，确定椭圆的标准方程 ；
3．理解椭圆的参数方程，并掌握它的应用；
4．掌握直线与椭圆位置关系的判定方法，能解决与弦长、弦的中点有关的问题.
二．基础训练：
1．已知椭圆的方程为，、分别为它的焦点，CD为过的弦，则△ 的周长为16 ．
2．已知椭圆的离心率，焦距是16，则椭圆的标准方程是或.
3．已知方程表示椭圆，则k的取值范围为 -3＜k＜2 且k≠.
4．椭圆的焦点坐标为.
三．例题分析：
例1． 如图，中，,,面积为1，建立适当的坐标系，求以、为焦点，经过点的椭圆方程.
解： 以MN所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y 轴，建立如图直角坐标系.
设所求椭圆的方程为（＞＞0），又设点M、N、P的坐标分别为（-c，0）、（c，0）、（，），由斜率公式，得，，
即 -2+c=0
2--2c=0 由此解得点P的坐标为（，）.
△PMN的面积为,∴ .∴ 点P的坐标为（，）.
∴，，
由椭圆的定义，得=，从而.
故所求椭圆的方程为.
例2．已知椭圆的中心在坐标原点O，一条准线方程为，倾斜角为的直线交椭圆于、两点,设线段的中点为，直线与的夹角为．
(1)当时，求椭圆的方程；
(2)当时，求椭圆的短轴长的取值范围．
解：(1)设所求的椭圆方程为＋＝1，由已知＝1，∴ a2＝c，b2＝a2－c2＝c－c2.
故所求的椭圆为＋＝1．即(1－c)x2＋y2＋c2－c＝0． ①
∵ 直线的倾斜角为45o，故可设直线l的方程为y＝x＋m（m≠0）． ②
由①、②消去y，得 (2－c)x2＋2mx＋m2＋c2－c＝0． ③
由②、③得M点的坐标为(，).
∴ kOM＝c－1. ∴ tg＝＝＝.
∵ tg＝tg(arctg2)＝2， ∴ ＝2， ∴ c＝．
故所求的椭圆方程为＋＝1．
(2)∵ 2＜tg＜3．即2＜＜3．解得＜c＜．
∵ b＝＝＝．由＜c＜,得＜－(c－)2＋＜，
∴ ＜b＜， ∴ ＜2b＜1．
例3.如图，已知椭圆的一个顶点为A(0，1),焦点在x轴上，且右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3，试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点M、N,且满足|AM|＝|AN|，并说明理由．
解: 由已知，椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且b＝1．
∵ 右焦点(c，0)到直线x－y＋2＝0的距离为3，
∴ ＝3， ∴ c＝，∴ a2＝b2＋c2＝3．
∴ 已知椭圆的方程为 ＋y2＝1． ①
设l存在且其方程为y＝kx＋m（m≠0）,代入①并整理得：
(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0. ②
设M(x1，y1)， N(x2，y2)，线段MN的中点为B（，），则
,∴ B(，).
∵ |AM|＝|AN|的充要条件是AB⊥MN，故，得:
，解之得，m＝－(1＋3k2)．
此时，方程②的判别式△＞0，即(6km)2－12(1＋3k2)(m2－1)＝－9(3k2＋1)(k2－1)＞0．
解得－1＜k＜1（k≠0）.
∴ 当－1＜k＜1（k≠0）时，存在满足条件的直线；当k≤－1或k≥1时，不存在满足条件的直线l.
四．课后作业：
1．的一边在轴上，的中点在原点，，和两边上中线长的和为，则此三角形重心的轨迹方程是.
2．直线与椭圆恒有共点时，则的取值范围是________.
3．已知、是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，若，则到左准线的距离为————————————————。
4．方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 .
5．是椭圆上的一个动点，则的最大值是——————，最小值是——————————。
6．椭圆与直线相交于、两点，过中点与坐标原
点的直线的斜率为,则的值为 .
7．若椭圆的一个焦点是，则的值为——————————————。．
8．设是椭圆上一点，、是焦点，，则△的面积等于 .
9．过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、，若弦的长恰好等于短轴长，求直线的方程.
10．如图：是两个定点，且，动点到点的距离是，线段的垂直平分线交于点，直线垂直于直线，且点到直线的距离为.
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）求证：点到点的距离与点至直线的距离之比为定值；
（Ⅲ）若点到、两点的距离之积为，当取最大值时，求点的坐标.
答案:+=1,
e=, （0，）或（0，－）
11．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆相交于和，且，，求椭圆方程. (或)一．课题：不等式证明（3）——分析法
二．教学目标： 1．熟悉分析法证明不等式的一般方法，能用分析法证明一些较简单的不等式；；
2．掌握分析法证明不等式的书写规范。
三．教学重点、难点：如何从结论分析出使结论成立的充分条件；
四．教学过程：
（一）复习：比较法，综合法证明不等式的一般方法.
（二）新课讲解：
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法.
例1．求证：．
证：（分析法）∵， 综合法：
只需证明：， ∵，
展开得： ， ∴，
即： ， ∴，
∴， ∴，
即：， ∴，
∵．成立 ∴．
∴．
说明：（1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不
等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；
（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综
合法的形式写出证明过程。
例2．设，证明不等式：．
证一：（分析法）证明原不等式不等式即证：，
即：，
即：，
∵， ∴只需证：，
又∵， ∴ 成立，
∴ ．
证二：（综合法）∵
．
∵， ∴．
例3．若，且为非负实数，求证：．
证明：要证，
只需证明，
展开得：，
又∵， ∴即证 ，
∵为非负实数， ∴，，，
三式相加得：，
∴成立， ∴．
例4．证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截
面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
证：设截面周长为，则周长为的圆的半径为，截面面积为，
周长为l的正方形边长为，截面积为，
∴本题只需证：> ，
即证：> ，两边同乘， 得：，
因此只需证：，显然是成立的，
∴ > ．
即：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面的周长相等，那么截面的圆的水管比截面
是正方形的水管流量大.
五．小结：分析法证明不等式的逻辑关系是：．即“执果索因”步步寻求上一步成立的充分条件，由于条件成立，所以结论成立.
六．作业（补充）：
1．已知：，求证：.
2．已知，证明：.
3．已知：，求证：.
4．求证： .
5．已知：，求证： .
6．某人乘坐出租车从地到地，有两种方案；第一种方案：乘坐的起步价为10元，每价为
元的出租车；第二种方案：乘坐起步价为8元，每为元的出租车，按出租车管理条例，在起
步价内，不同型号的出租车行驶的里程是相等的，则此人从地到地选择哪一种方案比较合适？
不等式证明（3）一．课题：抛物线的简单几何性质（2）
二．教学目标：1.灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；
2.会处理抛物线与直线、圆等曲线组合的综合问题；
3.会证明抛物线的简单几何性质。
三．教学重、难点：抛物线的几何性质，以及抛物线与直线的位置关系.
四．教学过程：
（一）复习：
1．抛物线的定义及几何性质．
2．练习：
①抛物线的顶点坐标是，焦点坐标是，准线方程是，离心率是1，通径长．
②抛物线上的两点、到焦点的距离之和为5，则线段的中点的横坐标是 2 ．
③若点，点为抛物线的焦点，则使取最小值的抛物线上点的坐标是．
（二）新课讲解：
例1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长．
解：设正三角形的顶点、在抛物线上，
且设点，，则，
，又，所以，
即，
．
∵，，，∴．
由此可得，即线段关于轴对称．
因为轴垂直于，且，所以．
∵，∴，∴．
例2．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物
线的准线相切．
证明：（法一）设抛物线方程为，则焦点，
准线．设以过焦点的弦为直径的圆的圆心
，、、在准线上的射影分别是、、，
则，
又，
∴，即为以为直径的圆的半径，且准线，
∴命题成立．
（法二）设抛物线方程为，则焦点，
准线．过点的抛物线的弦的两个端点，
，线段的中点
则，
∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径．
点到准线的距离，
∴圆与准线相切．
例3．定长为3的线段的两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，求点到轴的最小距离．
解：抛物线焦点，准线：，
设点、、在准线上的射影分别是
、、，设点，
则，
又，
又，，
∴，所以，即的最小值是．
∴点到轴的最小距离是，当且仅当过点是取得最小距离．
五．小结：综合处理抛物线的有关问题，特别是抛物线的弦的问题.
六．作业：书P133 A组16题，17题。
补充：1．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，若点、在抛物线的准线上的射影分别是，．求证：。
2．抛物线上有两个定点、（位于轴的上下两侧），是抛物线的焦点，并且，.在抛物线这段曲线上，求一点，使得的面积最大，并求最大面积.
PAGE
2
抛物线的简单几何性质（2）一．课题：曲线和方程（2）
二．教学目标：1.了解坐标法和解析几何的基本思路；
2.能按照求曲线方程的一般步骤求曲线方程，即：建立设点、列式、坐标代换、化简、说明；
3.能根据实际意义写出曲线方程的制约条件.
三．教学重、难点：求轨迹方程的步骤.
四．教学过程：
（一）复习：曲线的方程与方程的曲线的概念.
（二）新课讲解：
1．有关概念与特性：
（1）坐标法的概念：借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.
（2）解析几何的概念：用坐标法研究几何图形，代数方法研究几何问题的一门学科.
（3）解析几何研究的主要问题：
①根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
②通过方程，研究平面曲线的性质.
（三）例题分析：
例1．设、两点的坐标是，，求线段的垂直平分线的方程．
解：设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合．
由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为．
将上式两边平方，整理得． ①
证明方程①是线段的垂直平分线的方程．
（1）由求方程的过程知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程的解．
（2）设点的坐标是方程①的解，即，．
点到、的距离分别是
；
．
∴，即点在线段的垂直平分线上，
所以，由（1）、（2）可知，方程①是线段的垂直平分线的方程．
说明：求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
（1）建立适当坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；（设动点）
（2）写出适合条件的点的集合；（写集合）
（3）用坐标表示条件，列出方程；（写方程）
（4）化方程为最简形式； （化简）
（5）证明求出的方程就是所求曲线的方程．（验证）
例2．点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数，求点的轨迹方程．
解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，
设点的坐标为．点的轨迹就是与坐标轴的距离的积等于常数的点的集合
，其中、分别是点到轴、轴的垂线的垂足，
∴可写成，即． ①
下面证明方程①是所求轨迹的方程：
（1）由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；
（2）设点的坐标是方程①的解，那么，即．而、正是点到纵轴、横轴的距离，因此点到这两条直线的距离的积是常数，点是曲线上的点．
所以，由（1）、（2）可知，方程①是所求轨迹的方程．
说明：建立适当的坐标系的原则：1．若曲线是轴对称图形，则可以选它的对称轴为坐标轴．
2．可以选曲线上的特殊点作为原点．
例3．已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是，求这条曲线的方程．
解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是，
那么点属于集合，
由距离公式，点适合的条件可表示为．
∴，化简得，
又因为曲线在轴的上方，所以，
所以，曲线的方程是．
五．小结：1．求曲线方程五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程；
2．求曲线方程时，五个步骤不一定完全要实施，化简过程是等价变形．
六．作业：课本第72页习题第4，5，7题．
补充：
1．求与两定点、满足（是常数）的动点的轨迹方程．
2．已知的两个顶点为，，第三个顶点在直线上，求 的重心的轨迹方程．
3．经过定点作互相垂直的两条直线和，它们分别与轴、轴交于和两点，求线段的中点的轨迹方程．
曲线和方程（2）一．课题：椭圆的参数方程
二．教学目标：1.了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数、的含义；
2.通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识.
三．教学重、难点：巩固和掌握由曲线求方程及由方程研究曲线的方法；深入理解推导椭圆参数方程的推导过程.
四．教学过程：
（一）复习：
1．圆的参数方程：（为参数），其中为圆心坐标，为圆半径，为旋转角.
（二）新课讲解：
1．椭圆的参数方程：
引例：如图，以原点为圆心，分别以、为半径作两个圆，点是大圆半径与小圆半径的交点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，求当半径绕点旋转时的轨迹的参数方程.
分析：动点、是如何动的？点、有什么联系？如何选取参数较恰当？
解：设点坐标为，，以为参数，
则
，即 ①
即为点的参数方程，
消去①中的可得为椭圆的标准方程.
由此可知，点的轨迹是椭圆，方程①是椭圆的参数方程。
在椭圆的参数方程中，常数、分别是椭圆的长半轴长和
短半轴长。为离心角.
【练习1】把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程：
（1）；（2）；（3）；（4）．
（三）例题分析：
例1．在椭圆上求一点，使到直线：的距离最小.
解：（法一：几何法）
设与平行且与椭圆相切的直线方程为，
则由得，
，∴，
由图知，时距离最小，此时点坐标为，
此时，最短距离即为与间距离．
（法二）设点，则有
，，
当时，，
此时，，，∴，，
∴点坐标为．
【练习2】（1）把上例中距离“最小”改为“最大”；
（2）求椭圆的内接矩形的最大面积.
五．小结：椭圆的参数方程.
七．作业：
补充：
1．已知点，动点在椭圆上，求的最大值和最小值，当的坐标为时，的最值情况又如何？
2．在椭圆上求一点，使到直线的距离最大，并求出最大值.
3．点在圆：上移动，点在椭圆上移动，求的最大值及相应的点的坐标.
椭圆的参数方程一．课题：双曲线及其标准方程（2）
二．教学目标：
1．进一步掌握双曲线标准方程的求法，特别是要熟练用待定系数法求双曲线标准方程的方法；
2．学会利用双曲线的定义和标准方程的知识解决简单的实际问题.
三．教学重、难点：理解双曲线的的定义和标准方程.
四．教学过程：
（一）复习：1.双曲线的定义、焦点、焦距、两种情形的标准方程.
2．练习：（1）点在双曲线上，为两焦点，若，则 （1或9）
（2）表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 .（）
（3）以椭圆的短半轴长为值，长轴长为焦距且焦点在轴上的双曲线的方程是 .（，或者）
（二）例题分析：
例1．已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为①
∵点在双曲线上， ∴点的坐标适合方程①。
将分别代入方程①中，得方程组：
将和看着整体，解得 ∴即双曲线的标准方程为.
说明：本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚.
例1变式一：已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程.
例1变式二：在双曲线上任取一点与双曲线两焦点构成的内切圆与的切点坐标.
解：如图，由已知得
根据圆的切线长定理和双曲线的定义，有
∴
∴， ∴，
因此切点坐标为，根据对称性，当在双曲线右支时，切点的坐标为.
例1变式三：双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程.
解：如图，设点坐标各为，∴在已知双曲线方程中，∴
∴已知双曲线两焦点为，
∵存在，∴
由三角形重心坐标公式有即 ∵ ∴
已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有
即所求重心的轨迹方程为：.
例2．一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处晚，
（1）爆炸点应在怎样的曲线上？
（2）已知两地相距，并且此时声速为，求曲线的方程.
解：（1）由声波及两处听到爆炸声的时间差，可知两处与爆炸点的距离差，因此爆炸点应位于以为焦点的双曲线上，因为爆炸点离处比离处更远，所以爆炸点应在靠近处的一支上。
（2）如图，建立直角坐标系，使两点在轴上，并且点与线段的中点重合，
设爆破点的坐标为，则，则 又∵
∴，
又∵ ∴ 所求的双曲线的方程为
说明：利用两个不同的观察点测得同一爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置，如果再增设一个观察点，利用（或）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置，这就是双曲线的一个重要应用。（选做题2为此中类型）
五．课堂小结：
1．待定系数法、代入法求双曲线的标准方程；
2．用双曲线解决实际问题.
六．作业：课本习题8.3 第4，5，6
选做题：
1．双曲线的方程为，直线经过双曲线的右焦点，且与
双曲线交于两点，若，求出双曲线的方程。
答案：.
2．某国北部沿海顺次分布着纬度相同的三地，距200，距300，若三地分别于当日10时零8分，10时零3分，10时13分监听到海上一火山爆发时的巨大爆炸声，并且此时声速为20，问这一火山大约在距地多远的什么方向的海面上？（结果精确到0.1）.
答案：346.4.
PAGE
3
双曲线及其标准方程（2）一．课题：直线的方程（1）
二．教学目标：1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例 ；
2.能通过待定系数（直线上的一个点的坐标及斜率，或者直线的斜率及在轴上的截距）求直线方程；
3.掌握斜率不存在时的直线方程，即．
三．教学重点、难点：直线的点斜式、斜截式方程的推导及运用.
四．教学过程：
（一）复习：（1）直线的倾斜角和斜率的概念；
（2）直线上两个不同点，，求此直线的斜率．
（二）新课讲解：
1．点斜式
问题引入：直线经过点，且斜率为，求直线的方程.
设点是直线不同于点的任意一点，根据直线的斜率公式，
得：，可化为．
可以验证：直线上每一个点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在直线上.
这个方程就是过点，斜率为的直线的方程，叫做直线方程的点斜式．
2．两种特殊的直线方程
（1）直线经过点的倾斜角为，则，直线的方程是；
（2）直线经过点的倾斜角为，则斜率不存在，因为直线上每一点的横坐标都等于，直线的方程是．
（三）例题分析：
例1．一条直线经过点，倾斜角为，求这条直线方程，并画出图形。
解：∵直线经过点，且斜率，
代入点斜式，得：，即．
例2．直线斜率为，与轴的交点是，求直线的方程。
解：代入直线的点斜式，得：，即．
说明：（1）直线与轴交点，与轴交点，称为直线在轴上的截距，称为直线在轴上的截距；
（2）这个方程由直线斜率和它在轴上的截距确定，叫做直线方程的斜截式；
（3）初中学习的一次函数中，常数是直线的斜率，常数为直线在轴上的截距（可以大于，也可以等于或小于）．
例3．已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的倍，求直线的方程．
解：设已知直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，
∵， ∴，
又∵直线经过点，
∴直线的方程为，
即所求的直线方程为．
例4．求直线绕点按顺时针方向旋转所得的直线方程。
解：设直线的倾斜角为，则，
又∵， ∴，
∴所求的直线的倾斜角为，
所以，所求的直线方程为．
五．课堂练习：1．课本第39页练习1，2，3；
2．求直线的倾斜角；
3．求过点且倾斜角满足的直线方程.
六．小结：要求直线方程，通过待定系数：直线上的一个点的坐标及斜率，或者直线的斜
率及在轴上的截距，代入点斜式或斜截式求出直线方程.
七．作业：课本第44页第1题（1）（3）（5）.
直线方程（1）第七章直线和圆方程复习讲义（3）
直线与曲线方程
一．基础训练：
1．已知两点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是 （ ）
（）（）（） （）
2．当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是 （ ）
（） （） （） （）
3．已知圆方程，若过定点所作圆的切线有两条，则的取值范围为 （ ）
（） （） （） （）
4．若方程所表示的曲线关于直线对称，则必有 （ ）
（） （） （） （）两两不相等
5．直线与圆的位置关系是 （ ）
（）相交 （）相切 （）相离 （）相交或相切
6．已知点，，点在坐标轴上，且，则满足条件的点的个数为 。
7．设圆的弦的中点为，则直线的方程： 。
8．设圆有且仅有两点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是 。
二．例题分析：
例1．已知定点，点在上运动，的平分线交于点，求点的轨迹方程。
例2．过点和，并且与轴相切的圆有且只有一个，求的值.
例3．已知圆经过点，且和直线相切，和圆外切，圆心在直线上；
（1）求圆的方程；
（2）若为圆上的点，延长到点，使，求动点的轨迹方程.
例4．点是直线上一点，与圆分别相切于两点，求：四边形的面积的最小值，并求此时点的坐标．
三．课后作业： 班级 学号 姓名
1．方程表示 （ ）
经过点的一切直线 经过点的且不垂直于轴的一切直线
经过点的一切直线相交 经过点的且不垂直于轴的一切直线
2．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ( )
3．若原点到直线上的射影是，则直线的方程为 （ ）
4．曲线和圆没有公共点，则的取值范围是 （ ）
或
5．从点向圆作切线，切线长度的最小值等于 （ ）
6．直线当 时该直线的倾斜角为.
7．若直线，则的倾斜角的范围为 .
8．经过点且与原点距离为3的直线方程为 .
9．已知圆，有点向所引切线长相等，求动点的轨迹方程.
10．已知方程的图形是圆，
（1）求的取值范围； （2）求其中面积最大的圆的方程；
（3）若点恒在所给圆内，求的取值范围.
11．某纺纱厂一天中生产甲，乙两种棉纱，已知生产一吨甲种棉纱需耗一级子棉２吨，二级子棉１吨；生产一吨乙种棉纱需耗一级子棉１吨，二级子棉２吨，每一吨甲种棉纱的利润为５００元，每一吨乙种棉纱的利润为４００元，工厂在生产这两种棉纱的计划中，要求消耗一级子棉不超过１２吨，二级子棉不超过９吨，甲，乙两种棉纱应各生产多少吨才能使一天中的利润最大？最大利润是多少？
12．已知圆，是否存在斜率为1的直线，使被圆截得的弦为直径的圆经过原点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.一．课题：不等式的解法举例（1）
二．教学目标：1.掌握分式不等式、绝对值不等式的解法；
2.能用序轴标根法解简单的高次不等式。.
三．教学重、难点：等价转化.
四．教学过程：
（一）复习：
1．若，则_____________；若，则_____________________；
2．若，则____________；若，则____________________；
说明：（1）当为一次函数时，不等式，的解集与方程的解的关系；联想不等式一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的解的关系；
（2）绝对值不等式的基本解法：转化为一元一次不等式或一元二次不等式。
当时，；或．
（二）新课讲解：
例1．解不等式．
解：原不等式等价于，
即
由（1）得：；由（2）得：或，
所以，原不等式的解集为或．
说明：（1）求交集，要注意用数轴；
（2）利用图形说明方程的解与不等式的解集的关系。
【练习】解下列不等式： （1）； （2）．
例2．解不等式．
解法一：下列两个不等式组的解集的并集：
（Ⅰ）， （Ⅱ）．
由（Ⅰ）得， ∴或，
由（Ⅱ）得，∴，
∴原不等式的解集是或．
解法二：（序轴标根法）作数轴、标根、画曲线、定解，
原不等式化为，等价于，
将方程的根标在轴上，从右到左画出的示意图，
∴原不等式的解集是或．
说明：（1）在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区
间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的序轴标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式；
（2）序轴标根法，分解因式后，必须使各括号内的系数为正.
【练习】解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）．
五．小结：1．绝对值不等式的基本解法；
2．分式不等式和高次不等式的解法；
3．使用序轴标根法，分解因式后，必须使各括号内的系数为正，作图宜从最右端开始。
六．作业：补充：
1.解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
2.求函数的定义域.
不等式的解法（1）一．课题：圆的方程（4）
二．教学目标：1.理解圆的参数方程，能熟练求出圆心在原点、半径为的圆的参数方程；
2.理解参数的意义；
3.理解圆心不在原点的圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程；
4.能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化，并能用之解题．
三．教学重、难点：目标1、3、4．
四．教学过程：
（一）复习：圆的标准方程和一般方程．
（二）新课讲解：（点题：圆的参数方程）
1．圆的参数方程的推导
设圆的圆心在原点，半径是，圆与轴的正半轴的交点是，设点在圆上从开始按逆时针方向运动到达点，，则点的位置与旋转角有密切的关系：
当确定时，点在圆上的位置也随着确定；
当变化时，点在圆上的位置也随着变化．
这说明，点的坐标随着的变化而变化。设点的坐标是，你能否将、分别表示成以为自变量的函数？
根据三角函数的定义，， ①
显然，对于的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在圆上．
我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为的圆的参数方程，是参数．
圆心为，半径为的圆的参数方程是怎样的？
圆可以看成由圆按向量平移得到的（如图），由可以得到圆心为，
半径为的圆的参数方程是 （为参数）②
2．参数方程的概念
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标、都是某个变数的函数，即　③
并且对于的每一个允许值，方程组③所确定的点都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系、之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数．
3．参数方程和普通方程的互化
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标、关系的方程，叫做曲线的普通方程．
将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化．
如：将圆的参数方程②的参数消去，就得到圆的普通方程．
4．练习：，练习1，2．
（三）例题分析：
例1．把下列参数方程化为普通方程：
（1） （为参数） （2） （为参数）
解：（1），
由得，这就是所求的普通方程。
（2）由原方程组得，把代入得，
化简得：（），这就是所求的普通方程。
说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围与、的取值范围之间的制约关系，
保持等价性。
例2．已知点是圆上的一个动点，定点，当点在圆上运动时，线段的
中点的轨迹是什么？
解：设点，∵圆的参数方程为，
∴设点，由线段中点坐标公式得，
即点轨迹的参数方程为，
∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆．
【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？
又解：设，，
∵点是线段的中点，∴，∴，
∵点在圆上，∴，∴，
即点的轨迹方程为，
∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆．
例3．已知实数、满足，（1）求的最大值；（2）求的最小值．
解：原方程配方得：，它表示以为圆心，为半径的圆，用参数方程可表示为 （为参数，），
（1），
∴当，即时，．
（2），
∴当，即时，．
说明：本题也可数形结合解．
五．小结：1．圆心为原点、半径为的圆的参数方程，（为参数）；
2．圆心为，半径为的圆的参数方程（为参数）；
3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．
六．作业：课本第81页练习第3题；第82页习题第9，10题；
补充：已知曲线的参数方程为（为参数），是曲线上任意一点，，求的取值范围．
PAGE
3
圆的方程（4）圆锥曲线复习讲义（1）
椭 圆
一．复习目标：
1．正确理解椭圆的两种定义，能运用定义解题，能根据条件，求出椭圆的标准方程；
2．掌握椭圆的几何性质，能利用椭圆的几何性质，确定椭圆的标准方程 ；
3．理解椭圆的参数方程，并掌握它的应用；
4．掌握直线与椭圆位置关系的判定方法，能解决与弦长、弦的中点有关的问题.
二．基础训练：
1．已知椭圆的方程为，、分别为它的焦点，CD为过的弦，则△ 的周长为 ．
2．已知椭圆的离心率，焦距是16，则椭圆的标准方程是 .
3．已知方程表示椭圆，则的取值范围为 .
4．椭圆的焦点坐标为 .
三．例题分析：
例1． 如图，中，,,面积为1，建立适当的坐标系，求以、为焦点，经过点的椭圆方程.
例2．已知椭圆的中心在坐标原点O，一条准线方程为，倾斜角为的直线交椭圆于、两点,设线段的中点为，直线与的夹角为，
(1)当时，求椭圆的方程；
(2)当时，求椭圆的短轴长的取值范围.
例3.已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上，且右焦点到直线的距离为，试问能否找到一条斜率为的直线,使与已知椭圆交于不同的两点、且满足，并说明理由.
四．课后作业： 班级 学号 姓名
1．的一边在轴上，的中点在原点，，和两边上中线长的和为，则此三角形重心的轨迹方程是 .
2．直线与椭圆恒有共点时，则的取值范围是___ _____.
3．已知、是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，若，则到左准线的距离为 ．
4．方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 .
5．是椭圆上的一个动点，则的最大值是 ，最小值是 。
6．椭圆与直线相交于、两点，过中点与坐标原
点的直线的斜率为,则的值为 ．
7．若椭圆的一个焦点是，则的值为 ．
8．设是椭圆上一点，、是焦点，，则△的面积等于 ．
9．过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、，若弦的长恰好等于短轴长，求直线的方程.
10．如图，是两个定点，且，动点到点的距离是，线段的垂直平分线交于点，直线垂直于直线，且点到直线的距离为，
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）求证：点到点的距离与点至直线的距离之比为定值；
（Ⅲ）若点到、两点的距离之积为，当取最大值时，求点的坐标.
11．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆相交于和，且，，求椭圆方程.一．课题：圆的方程（4）
二．教学目标：1.理解圆的参数方程，能熟练求出圆心在原点、半径为的圆的参数方程；
2.理解参数的意义；
3.理解圆心不在原点的圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程；
4.能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化，并能用之解题．
三．教学重、难点：目标1、3、4．
四．教学过程：
（一）复习：圆的标准方程和一般方程．
（二）新课讲解：（点题：圆的参数方程）
1．圆的参数方程的推导
设圆的圆心在原点，半径是，圆与轴的正半轴的交点是，设点在圆上从开始按逆时针方向运动到达点，，则点的位置与旋转角有密切的关系：
当确定时，点在圆上的位置也随着确定；
当变化时，点在圆上的位置也随着变化．
这说明，点的坐标随着的变化而变化．
设点的坐标是，你能否将、分别表示成以为自变量的函数？
根据三角函数的定义，， ①
显然，对于的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在圆上。
我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为的圆的参数方程，是参数．
圆心为，半径为的圆的参数方程是怎样的？
圆可以看成由圆按向量平移得到的（如图），
由可以得到圆心为，
半径为的圆的参数方程是 （为参数）②
2．参数方程的概念
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标、都是某个变数的函数，即　③
并且对于的每一个允许值，方程组③所确定的点都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系、之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数．
3．参数方程和普通方程的互化
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标、关系的方程，叫做曲线的普通方程．
将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化．
如：将圆的参数方程②的参数消去，就得到圆的普通方程．
4．练习：，练习1，2．
（三）例题分析：
例1．把下列参数方程化为普通方程：
（1） （为参数） （2） （为参数）
解：（1），
由得，这就是所求的普通方程．
（2）由原方程组得，把代入得，
化简得：（），这就是所求的普通方程．
说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围与、的取值范围之间的制约关系，
保持等价性．
例2．如图，已知点是圆上的一个动点，定点，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
解：设点，∵圆的参数方程为，
∴设点，由线段中点坐标公式得，
即点轨迹的参数方程为，
∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆．
【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？
又解：设，，
∵点是线段的中点，∴，∴，
∵点在圆上，∴，∴，
即点的轨迹方程为，
∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆．
例3．已知实数、满足，（1）求的最大值；（2）求的最小值．
解：原方程配方得：，它表示以为圆心，为半径的圆，用参数方程可表示为 （为参数，），
（1），
∴当，即时，．
（2），
∴当，即时，．
说明：本题也可数形结合解．
五．小结：1．圆心为原点、半径为的圆的参数方程，（为参数）；
2．圆心为，半径为的圆的参数方程（为参数）；
3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．
六．作业：课本第81页练习第3题；第82页习题第9，10题；
补充：已知曲线的参数方程为（为参数），是曲线上任意一点，，
求的取值范围．
圆的方程（4）一．课题：曲线和方程（3）
二．教学目标：1.进一步熟悉求曲线方程的一般步骤；
2.明确曲线的交点与相应方程组的解之间的关系 ；
3.能正确区分轨迹方程与轨迹的区别与联系。
三．教学重、难点：曲线交点与曲线方程组的解的关系。
四．教学过程：
（一）复习：求曲线方程的一般步骤。
（二）新课讲解：
1．两曲线的交点坐标与相应方程组的解之间的关系：
（1）已知：曲线的方程为，曲线的方程为，
则；
（2）的个数与的解的组数相同。
特别地，与没有公共点没有解。
例1．求直线被抛物线截得的线段的中点坐标。
解：，∴，，
∴线段的中点坐标是．
问：若将直线方程改为，结论又如何？
例2．过点引直线交曲线于、两点，若点恰好是线段的中点，求此直线方程。
解：设所求直线方程为，、，
则，显然，∴，
又∵，∴，而当时，有成立，
所以，所求直线方程为．
例3．用图像法求实数的取值范围，使曲线：，：有两个交点。
答：．（图略）
例4．过作两互相垂直的直线和，交轴于点，与轴交于点，求线段中点的轨迹方程 ．
解：（法一：转移法或称相关点法）设是轨迹上任一点，设，
∴，，∴，，∵
若与的斜率都存在（），
则，且，
∴，∴
若的斜率不存在，则，，则中点代入方程适合．
∴所求轨迹方程为．
（法二：交轨法或称参数法）设的斜率为，则的斜率为，
：，故点坐标，：，故点坐标，
设，中点坐标，
∴
∴，并验证斜率不存在时的情况。
（法三：直接法）分析：利用四点共圆，设是轨迹上任一点，则为圆心
∴，故，
所以，直线方程为．
五．小结：1．进一步熟悉求曲线方程的一般步骤；
2．明确曲线的交点与相应方程组的解之间的关系；
3．根据实际意义，写出曲线方程的制约条件。
六．作业：课本第72页习题第3，6，8，9题，
《数学之友》第57页4，1（2），
补充：已知定点，是抛物线上的一个动点，求线段的中点的轨迹方程。
曲线和方程（3）圆锥曲线复习讲义（2） 双曲线
一．复习目标：
1．正确理解双曲线的两种定义，能运用定义解题，能根据条件，求出双曲线的标准方程；
2．掌握双曲线的几何性质，能利用双曲线的几何性质，确定双曲线的标准方程 ；
3．掌握直线与双曲线位置关系的判定方法，能解决直线与双曲线相交的有关问题.
二．基础训练：
1．实半轴为，且与双曲线有公共焦点的双曲线的方程为 .
2．焦点在轴上的双曲线过点，且与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为 .
3．过点且与圆：外切的圆的圆心轨迹方程是 .
4．方程表示双曲线，则的取值范围是 （ ）
（A）-1＜k＜1 （B） k＞0 （C）k≥0 （D）k＞1或k＜-1
5．已知双曲线上有一点到左焦点的距离为，那么点到右焦点的距离为 （ ）
（A）2 （B）22 （C）7或17 （D）2或22
6. 椭圆与双曲线有公共焦点，，是两曲线的交点，则△的面积= .
7．经过点，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线方程是 .
三．例题分析：
例1．直线与双曲线 有两个交点，求实数的取值范围.
.
例2．已知双曲线的左右焦点分别为、，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点，使是到的距离与的比例中项？
例3.已知双曲线的焦点在轴上，且过点和，是双曲线上异于、的任一点，如果的垂心总在此双曲线上，求双曲线的标准方程.
四．课后作业：
1．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数 .
2．平面内有两个定点、和一动点，设命题甲：是定值；命题乙：
点的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 （ ）
（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件；
（C）充要条件； （D）既不充分也不必要条件
3．如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等差数列，则离心率为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
4．已知双曲线，离心率，则的取值范围是 （ ）
（A）（-12,0） （B）（-∞,0） （C）（-3,0） （D）（-60,-12）
5．．以为渐近线，且经过点的双曲线方程是________________.
6．以椭圆的长轴的端点为焦点，且过椭圆焦点的双曲线方程是 .
7．双曲线的离心率，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是———。
8．双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且
，求△的面积.
9．如图，是双曲线的实半轴，是虚半轴，为焦点，
且，，求该双曲线的方程.
10.直线：与以坐标轴为对称轴的双曲线交于、两点，点与、构成以为斜边的等腰直角三角形，求双曲线的方程.
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1一．课题：圆的方程（4）
二．教学目标：1.理解圆的参数方程，能熟练求出圆心在原点、半径为的圆的参数方程；
2.理解参数的意义；
3.理解圆心不在原点的圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程；
4.能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化，并能用之解题．
三．教学重、难点：目标1、3、4．
四．教学过程：
（一）复习：圆的标准方程和一般方程．
（二）新课讲解：（点题：圆的参数方程）
1．圆的参数方程的推导
设圆的圆心在原点，半径是，圆与轴的正半轴的交点是，设点在圆上从开始按逆时针方向运动到达点，，则点的位置与旋转角有密切的关系：
当确定时，点在圆上的位置也随着确定；
当变化时，点在圆上的位置也随着变化．
这说明，点的坐标随着的变化而变化．
设点的坐标是，你能否将、分别表示成以为自变量的函数？
根据三角函数的定义，， ①
显然，对于的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在圆上。
我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为的圆的参数方程，是参数．
圆心为，半径为的圆的参数方程是怎样的？
圆可以看成由圆按向量平移得到的（如图），
由可以得到圆心为，
半径为的圆的参数方程是 （为参数）②
2．参数方程的概念
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标、都是某个变数的函数，即　③
并且对于的每一个允许值，方程组③所确定的点都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系、之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数．
3．参数方程和普通方程的互化
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标、关系的方程，叫做曲线的普通方程．
将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化．
如：将圆的参数方程②的参数消去，就得到圆的普通方程．
4．练习：，练习1，2．
（三）例题分析：
例1．把下列参数方程化为普通方程：
（1） （为参数） （2） （为参数）
解：（1），
由得，这就是所求的普通方程．
（2）由原方程组得，把代入得，
化简得：（），这就是所求的普通方程．
说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围与、的取值范围之间的制约关系，
保持等价性．
例2．如图，已知点是圆上的一个动点，定点，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
解：设点，∵圆的参数方程为，
∴设点，由线段中点坐标公式得，
即点轨迹的参数方程为，
∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆．
【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？
又解：设，，
∵点是线段的中点，∴，∴，
∵点在圆上，∴，∴，
即点的轨迹方程为，
∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆．
例3．已知实数、满足，（1）求的最大值；（2）求的最小值．
解：原方程配方得：，它表示以为圆心，为半径的圆，用参数方程可表示为 （为参数，），
（1），
∴当，即时，．
（2），
∴当，即时，．
说明：本题也可数形结合解．
五．小结：1．圆心为原点、半径为的圆的参数方程，（为参数）；
2．圆心为，半径为的圆的参数方程（为参数）；
3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．
六．作业：课本第81页练习第3题；第82页习题第9，10题；
补充：已知曲线的参数方程为（为参数），是曲线上任意一点，，
求的取值范围．
圆的方程（4）一．课题：简单的线性规划（1）
二．教学目标：1.了解二元一次不等式表示平面区域，会用，或检验不等式（）表示的平面区域；
2.会画出二元一次不等式（组）表示的平面区域.
三．教学重、难点：怎样用二元一次不等式（组）表示平面区域；怎样确定不等式 （）表示直线的哪一侧区域.
四．教学过程：
（一）引入：
点集是以二元一次方程的解为坐标的集合，它是一条直线，经过和，那么点集在平面直角坐标系中表示什么图形呢？
（二）新课讲解：
1．尝试、猜想、证明
在平面直角坐标系中，所有的点被直线分成三类：
一类是在直线上；
二类是在直线的右上方的平面区域内；
三类是在直线的左下方的平面区域内.
对于任意一个点，把它的坐标代入，可得到一个实数，或等于，或大于，或小于，此时，可引导学生尝试在什么情况下，点在直线上、在直线右上方、在直线左下方？
猜想结论：对直线右上方的点，；对直线左下方的点，．
证明结论：如图，在直线上任取一点，
过作平行于轴的直线，在此直线上点右侧的任
意一点，都有，，
所以，，，
因为点为直线上任意一点，
所以，对于直线右上方任意点，都有，
同理对于直线左下方任意点，都有，
所以，结论得证.
2．得出结论
一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线.
说明：由于直线同侧的所有点的坐标代入，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域.特别地，当时，通常把原点作为此特殊点.
（三）例题分析：
例1．画出不等式表示的平面区域.
解：先画出直线（虚线），
取原点代入，∵，
∴原点在表示的平面区域内 ，
所以，不等式表示的平面区域如右图所示。
例2．画出不等式组表示的平面区域。
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
解：不等式表示直线上及其右下方的点的集合，
表示直线上及其右下方的点的集合，
表示直线上及其左方的点的集合，
所以，不等式组表示的平面区域入右图所示。
例3．图中阴影部分是下列不等式中 C 表示的区域。
提示：用原点作检验。
五．课堂练习：课本第60页练习1，2．
六．小结：1．会画二元一次不等式（组）表示的平面区域；
2．能用特殊点检验二元一次不等式（组）表示的平面区域.
七．作业：课本第65页习题第1题.
简单的线性规划（1）一．课题：点的轨迹的探求(圆锥曲线复习课4)
二．教学目标：使学生明确探求点的轨迹的思维出发点，初步理清解决这类问题的思路，能够准确地把握这类问题.
三．教学重、难点：理清点的轨迹问题的思路.
四．教学过程：
（一）引入：求曲线的方程、通过方程研究曲线是解析几何的两大主要内容。前面我们已经简单地接触到了一些求点的轨迹的问题，今天我们将对这个问题进行更加深入的研究.
（二）问题分析：
问题1．如图，是定圆内的一个定点，是圆上的动点，考察线段的垂直平分线与半径的交点的轨迹.
【分析】：注意到是垂直平分线，∴，
∴（是圆的半径），是定值，
又∵点在圆内，∴，
∴点的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆。
若要进一步求轨迹方程，
则以中点为原点，所在直线为轴
建立坐标系，设，，∴，
所以，点的轨迹方程为．
说明：本题所用的求轨迹的方法即为“定义法”.
问题2．探求点的轨迹。（学生猜想，几何画板演示）
【解法1】：∵，是定值，∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，因此，点轨迹方程是．
【解法2】：点的运动是由点引起的，点是控制点运动的主动点。而点在已知圆上运动，其方程是已知的。如果能够找出点与点的坐标之间的关系，然后再求出点的轨迹方程就不难了。设点，，则，，
又∵点的坐标满足圆的方程，∴，
∴点的轨迹方程是．
问题3．将“是中点”改为“是线段的三等分点”，再探求点的轨迹.
【解法1】：过作的平行线，交于，则，当在上的位置确定后，是定值，∴就是定值。因此，点轨迹是以为圆心，半径为的圆。
【解法2】：设，，∵分的比为，∵，
∴，
又∵点坐标满足圆的方程，
∴有，即
表示以为圆心，半径为的圆。
拓展：若是线段上的任意一点呢？
【解法1】：与“问题3”类似。
【解法2】：设，，及分的比为，
∵，∴，
又∵点坐标满足圆的方程，
∴有，
即表示圆心为，半径为的圆。
问题4．线段上所有点的轨迹可组成什么样的图形？
（先由学生猜测，再借助于动画演示验证结论，即为已知圆面）
〖练习〗：探求线段中点的轨迹，并求出方程。
【解法1】：设，，又∵，，
由点坐标满足方程，
即．
【解法2】：∵，∴，
∵，∴，是定值，
所以，点轨迹是以为焦点的椭圆。
〖思考〗：问题1中，如果将点拖到圆的外面，此时线段与中垂线没有交点，如果设延长线交中垂线于点，这时，的轨迹又怎样？
（答案：是一组双曲线）
小结：通过这节课的几个轨迹的探求，我们可以体会到探求点的轨迹问题的出发点是找出约束动点变动的几何条件或者找出影响动点变动的因素。抓住这两点，就抓住了问题的本质。
点的轨迹的探求一．课题：算术平均数几何平均数（2）
二．教学目标：会运用均值不等式求某些函数的最值，求最大值时注意一正二定三相等.
三．教学重、难点：均值不等式的灵活运用.
四．教学过程：
（一）复习：均值定理.
（二）新课讲解：
例1．已知都是正数，求证：
①如果积是定值，那么当时，和有最小值；
②如果和是定值，那么当时，积有最大值．
证明：∵， ∴ ，
①当 (定值)时， ∴，
∵上式当时取“”， ∴当时有；
②当 (定值)时， ∴，
∵上式当时取“” ∴当时有．
说明：①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）；
②用极值定理求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.
例2．（1）求 的最值，并求取最值时的的值.
解：∵∴
于是，
当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值是，此时．
（2）若上题改成，结果将如何？
解：∵
于是，
从而，
∴的最大值是，此时．
例3．若，则为何值时有最小值，最小值为多少？
解：∵， ∴， ∴，
∴=，
当且仅当即时．
例4．已知，求的最小值．
解：由 知，，
∴，
∴，
上式中两个“”号中的等号当且仅当都成立，
即当时，取得最小值．
五．课堂练习：
（1）若，求的最值.
（2）下列函数中，最小值是的是 （ ）
，
（3）已知，求的最大值，并求相应的值.
六．小结：利用均值不等式求函数的最值时要注意一“正”、二“定”、三“相等”.
七．作业：
补充：1．已知，求的最大值，并求相应的值.
2．已知，求的最小值，并求相应的值.
3．已知，求函数的最大值，并求相应的值.
4．已知，求的最小值，并求相应的值.
5．已知求的最小值，并求相应的值.
6．已知，求函数的最小值，并求相应的值.
算术平均数几何平均数（2）一．课题：圆的方程（1）
二．教学目标：1.掌握圆的标准方程及其特点，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；能从圆的标准方程中熟练地求出它的圆心坐标、半径；
2.会根据不同的已知条件，利用待定系数法建立圆的标准方程；
3．能运用圆的标准方程解决一些实际问题．
三．教学重点：根据条件求出圆的标准方程．
四．教学难点：运用圆的标准方程解决一些实际问题．
五．教学过程：
（一）复习引入：
1．圆的定义；
2．提出问题：根据圆的定义，怎样求出圆心是，半径是的圆的方程？
（二）新课讲解：
1．圆的标准方程 （由学生推导）
设是圆上任意一点，由点到圆心的距离等于，
得：，
两边平方得：．
此方程即为圆心是，半径是的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．
说明：（1）圆的标准方程由圆心和半径确定，已知圆心坐标和半径就可写出圆的标准方程；由圆的标准方程也可直接得到圆心坐标和半径；
（2）如果圆心在原点，那么圆的方程就是．
（三）例题分析：
例1．求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。（学生思考后口答或板演）
解：由题意：圆的半径，
又圆心为，∴所求的圆的方程为．
例2．一圆过原点和点，圆心在直线上，求此圆的方程。（学生思考、探索不同解法）
解法一：∵圆心在直线上， ∴设圆心坐标为，
则圆的方程为，
∵点和在圆上，
∴，解得，
所以，所求的圆的方程为．
解法二：由题意：圆的弦的斜率为，中点坐标为，
∴弦的垂直平分线方程为，即，
∵圆心在直线上，且圆心在弦的垂直平分线上，
∴由解得，即圆心坐标为，
又∵圆的半径，
所以，所求的圆的方程为．
说明：（1）圆的标准方程中有三个量，要求圆的标准方程即要求三个量，有时可用待定系数法；
（2）要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用．
例3．如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度，拱高，在建造时每
隔需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到）．
解：建立坐标系如图，圆心在轴上，由题意：，，
设圆的方程为，∵点和在圆上，
∴，解得：，
∴这个圆的方程是，
设点，由题意，代入圆方程得：，
解得，
答：支柱的长度约为．
六．课堂练习：课本第77页练习1，2．
七．小结：1．圆的标准方程；
2．圆的标准方程中有三个量，要求圆的标准方程，需有三个独立条件．
3．求圆的标准方程常用待定系数法．
八．作业：第81页习题第1，2，4题，
补充：求经过点，圆心在直线上，且和直线相切的圆的标准方程．
PAGE
2
圆的方程（1）一．课题：双曲线的几何性质（3）
二．教学目标：1．能熟记双曲线的离心率、明确的几何意义；
2．知道双曲线的另一定义和准线的概念，能正确写出双曲线的准线方程.
三．教学重、难点：双曲线的离心率和双曲线的第二定义.
四．教学过程：
（一）复习：双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线.
（二）新课讲解：
1．离心率：
1）概念：双曲线焦距与实轴长之比.
2）定义式：
3）范围：
4）考察双曲线形状与的关系：，
因此越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.
由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔.
2．双曲线的第二定义：
例1．点与定点的距离与到的距离之比为常数，求的轨迹方程.
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求点轨迹是集合
由此得：
化简得：.
设，就可化为：
这是双曲线的标准方程，所以点的轨迹是实轴长、虚轴长分别为的双曲线.
说明：此例题要求学生进一步熟悉并熟练掌握求解曲线轨迹方程的一般步骤.
双曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线.
说明：
1）其中定点---焦点，定直线----准线.
对于来说，相对于左焦点对应着左准线
相对于右焦点对应着右准线
对于来说，相对于下焦点对应着下准线
相对于上焦点对应着上准线
2）位置关系：
3）焦点到相应准线的距离：
练习：已知双曲线上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离。（答案：）
3．例题分析：
例2．双曲线的中心在坐标原点，离心率为，一条准线方程为，求双曲线的方程.
解：设双曲线的方程为，
由题意得 解得
∴
∴双曲线的方程为.
例3．双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为4，且经过,求双曲线的方程.
解：若焦点在轴上，则双曲线的方程设为，
由已知，有
∴，，代入，整理得
∴或，∴或，
∴双曲线的方程为或.
若焦点在轴上，则设双曲线的方程为，
由已知，得 ∵，代入得，此方程无实数解。
∴双曲线的方程为或.
说明：当双曲线的焦点位置不定时，必须进行分类讨论.
五．课堂小结：
方 程 （） （）
图 象
关 系
范 围
顶 点
对 称 性 关于轴成轴对称、关于原点成中心对称
渐 近 线
离 心 率
焦 点
准 线
六．作业：课本习题8.4 第3题
补充：
1．求符合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）离心率为，准线方程为；（答案：）
（2）双曲线的一条渐近线经过点，两准线间距离为.（答案：或）
2．已知双曲线的左、右焦点分别是，双曲线左支上有一点，设到左准
线的距离为，且恰成等比数列，试求点的坐标.（选做）（答案）
双曲线的几何性质（3）一．课题：曲线和方程（1）
二．教学目标：1.初步掌握曲线的方程、方程的曲线的概念及其相互关系，并能根据定义作简单的判断与推理；
2.初步掌握求曲线方程的方法；
3.进一步培养学生的逻辑推理能力与抽象思维能力.
三．教学重、难点：曲线和方程的意义.
四．教学过程：
（一）复习引入：
问：什么叫点的轨迹？轨迹与条件之间有何关系？
（二）新课讲解：
1．曲线的方程和方程的曲线的概念：
特例：①求两坐标轴所成的角位于第一、第三象限的平分线上的坐标满足的关系。
第一、三象限角平分线点的横坐标与纵坐标相等．
第一、三象限角平分线上的任一点都满足方程；
以方程的解为坐标的点都在一、三象限的角平分线上。
②分析抛物线与方程的对应关系.
曲线的方程和方程的曲线的概念：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做方程的曲线（图形）.
说明：定义中的两点可统一为：如果曲线的方程是，那么在曲线上的充要条件是．
例1．证明圆心为坐标原点，半径等于的圆的方程是，并判断点，是否在这个圆上.
证明：（1）设是圆上任意一点，因为点在原点的距离等于，
所以，也就是．即是方程的解．
（2）设是方程的解，那么，两边开方取算术根，得，即点到原点的距离等于，点是这个圆上的点，
所以，由（1），（2）可知，是圆心为坐标原点，半径等于的圆的方程.
把点的坐标代入方程，左右两边相等， 是方程的解，所以点在这个圆上；把点的坐标代入方程，左右两边不等，不是方程的解，所以点不在这个圆上．
说明：（1）验证：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都在曲线上；
（2）验证点是否在曲线上转化为点的坐标是否满足方程.
例2．方程的曲线是否是：到轴的距离是到轴距离的倍的动点轨迹？为什么？
解：不是.到轴的距离是到轴距离的倍的动点轨迹的方程是：．
满足方程的点在曲线上，但曲线上的点未必满足方程，比如点．
例3．画出方程的曲线：．
解：由，得：，
即原方程的曲线等价于或，（图略）．
说明：（1）围绕曲线的方程和方程的曲线说明；
（2）方程的变形要做到同解变形。
五．课堂练习：课本练习1，2，3．
六．小结：1．掌握曲线的方程与方程的曲线的概念；
2．会作曲线的图象.
七．作业：课本第72页习题第1，2题．
补充：1．若曲线通过点，，求的取值范围；
2．在直角坐标系内，说明下列方程所表示的曲线，并画出它们的大致形状：
（1）； （2）．
3．已知，点在曲线上，求的值.
曲线和方程（1）一．课题：不等式证明（2）——综合法
二．教学目标：熟悉综合法证明不等式的一般方法，能用综合法证明一些较简单的不等式.
三．教学重点、难点：恰当地选用已经证明过的不等式及不等式性质来证明不等式.
四．教学过程：
（一）复习：1．不等式性质； 2．基本不等式.
（二）新课讲解：
例1．已知是不全相等的正数，求证：．
证：∵, ∴；
同理：, ，
∴ ．
当且仅当时，即取等号，而是不全相等的正数，
∴．
说明：（1）利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；
（2）利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件.
例2．设，
（1）求证：；
（2）求证：．
证：（1）∵，
∴， ∴．
（2）由（1）知，
同理：， ，
三式相加得：．
例3．若, 求证：．
证：由均值不等式知：
．
∴．
例4．已知都是正数，求证：．
证：∵，
∴，
同理：，，
三式相加得：，
∴．
【练习】
1．已知，求证：；
2．已知都是正数，求证：．
五．小结：综合法证明不等式的逻辑关系是：，及从已知条
件出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论．
六．作业：补充：
1．已知都是正数，且，求证：.
2．已知且都是正数，求证：.
3．已知，求证：.
4．已知是不相等正数，且，求证：.
5．已知，，求证：．
不等式证明（2）一．课题：抛物线及其标准方程（2）
二．教学目标：1.会用定义法、直译法、参数法，求与抛物线有关的动点的轨迹方程；
2.会判断直线与抛物线的位置关系；
3.会求解与抛物线的焦点弦有关的问题.
三．教学重、难点：目标1，2，3。
四．教学过程：
（一）复习：
1．抛物线的定义及其标准方程
2．练习：
①抛物线的焦点坐标是．
②抛物线上与焦点的距离等于的点的坐标是．
③抛物线上一点到焦点的距离是，则点到准线的距离是
，点的横坐标是．
④抛物线的准线方程是，顶点在坐标原点，则它的焦点坐标是，标准方程是．
（二）新课讲解：
例1．、是抛物线上的两点，满足（为坐标原点）：
（1）求证：、两点的横坐标之积为定值；
（2）直线经过一定点；
（3）求线段的中点的轨迹方程．
解：（1）设所在直线方程为，则所在直线方程为，设，．
由方程组求得，同理得．
∴（定值），且（定值）．
∴、两点的横坐标之积为定值.
（2）由（1）知当时，直线所在斜率，
∴所在直线方程：，即，
显然直线经过一定点．当或者时，点与点的横坐标都是，直线方程为，直线也经过一定点。
（3）设线段的中点为，则
，
消去参数得，，即所求线段的中点的轨迹方程是．
例2．斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交与两点、，求线段的长．
解：如图，由抛物线的标准方程可知，
抛物线的焦点坐标，
所以直线方程为． ①
将方程①代入抛物线方程，
得．
化简得．
（法一）解这个方程，得，．
将、的值代入方程①中，得，，
即、的坐标分别是、．
∴．
（法二）根据抛物线的定义，等于点到准线的距离
即，
同理，于是得．
由上已知，，故．∴．
说明：设，，抛物线方程：，则焦点弦的计算公式：．
（法三）．
五．课堂练习：课本 习题 第7题．
六．小结：1．抛物线的定义在解题中的应用；
2．用坐标法求轨迹方程；
3．求曲线的交点和弦长问题.
七．作业：，习题，第6题．
补充：1．已知直线：，抛物线：，
（1）求证：与抛物线必相交于两点；（2）求截得的弦的长；
（3）当为何值时，弦的中点在直线上；
2．过点作直线与抛物线只有一个公共点，求直线的方程；
3．已知是抛物线过焦点的弦，求：
（1）弦长； （2）弦长的最小值.
PAGE
2
抛物线及其标准方程（2）一．课题：椭圆及其标准方程（1）
二．教学目标：1.理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念；
2.能由椭圆的定义推导椭圆的标准方程.
三．教学重、难点：椭圆的定义和标准方程；椭圆标准方程的推导.
四．教学过程：
（一）引入：
1．提问：①地球绕太阳旋转的轨迹是什么图形？（椭圆）
②列举一些椭圆的具体例子．
2．演示：
取一条一定长（）的细绳，把它的两个端点固定在小黑板上的和两点（），用笔尖拉紧绳，使笔尖在小黑板上慢慢地移动，画出一个椭圆．
提问：椭圆是满足什么条件的点的轨迹？（到定点距离等于定长的点的轨迹）
（二）新课讲解：
1．椭圆的定义：
平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距．
若为椭圆上任意一点，则有．
2．椭圆方程的推导：
（1）回顾求曲线方程的一般方法、步骤：建系、设点、列式、化简、说明。
（2）由学生思考建系方案，经对比、归纳后可得下列两种方案：
（3）选定方案一，推导方程：
①建系：以和所在直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系；
②设点：设是椭圆上任意一点，设，则，；
③列式：由得；
④化简：移项平方后得，
整理得，
两边平方后整理得
问题：能否美化结论的形象？
回顾：过点的直线的方程的推导过程，
可否得到启发？
由椭圆的定义知，，即，∴，
令，其中，代入上式，得，
两边除以，得：（）． （☆）
说明：（1）思考：以上方程中的大小关系如何？（）；
（2）方程（）（☆）叫做椭圆的标准方程。它表示焦点在轴上，焦点坐标为，，其中．
（3）若选择方案二建立坐标系，方程的形式又如何？（将☆式中的用代替可得（），它也是椭圆的标准方程。此时，椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，，其中）．
（4）在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆．
3．练习1：
（1）写出适合条件的椭圆的标准方程：
①焦点，，； ②焦点，，；
（答案①；②）
（2）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为．
（三）例题分析：
例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于；
（2）两个焦点的坐标分别是、，并且椭圆经过点．
解：（1）∵椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），
∵，，∴，
所以，椭圆的标准方程为．
（2）∵椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），
由椭圆的定义知，，
∴，又∵，∴，
所以，椭圆的标准方程为．
五．课堂练习：课本第94页练习 第1，2，3题，习题第4题。
六．小结：1．椭圆的定义、焦点、焦距的概念；
2．椭圆的标准方程的两种形式（焦点分别在轴、轴上）．
七．作业：课本第96页 练习第4题，习题第1（2）（3），2，3题．
补充：求椭圆（）的焦点坐标．
方案二
方案一
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3
椭圆及其标准方程（1）一．课题：双曲线的几何性质（2）
二．教学目标：1. 巩固双曲线的几何性质；
2. 能熟练地利用双曲线的性质求双曲线的标准方程.
三．教学重、难点：几何性质的运用.
四．教学过程：
（一）复习：
1．双曲线的几何性质：
①范围；②对称性；③顶点；④渐近线；⑤离心率。
2．练习：
①双曲线的实轴长等于 ，虚轴长等于 ，顶点坐标为 ，
焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，离心率等于 ．
（若方程改为呢？）
（二）新课讲解：
例1．求证：双曲线（）与双曲线有共同的渐近线.
解：若，则双曲线方程可化为，
渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，
∴两双曲线渐近线相同；
若，则双曲线方程可化为，
渐近线方程为，即，
又∵双曲线的渐近线方程为，
∴两双曲线渐近线相同，所以，原命题结论成立.
说明：与双曲线（）有共同渐近线的所有双曲线方程为（）．
【练习】与双曲线有共同的渐近线且经过点的双曲线方程是．
例2．求中心在原点，一条渐近线方程为，且一焦点为的双曲线标准方程.
解：（方法一）设双曲线的标准方程为，
∵双曲线准线方程为
∴， 又∵焦点，∴
∵，∴由①②③得.
∴双曲线方程为：.
方法二：由题意，可以设双曲线方程为：.
∵焦点为， ∴，
∴ ，∴双曲线方程为：.
例3．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为12，求它的标准方程.
解：由题意，可以设双曲线方程为.
当时，，∴；
当时，，∴。
所求双曲线方程为：或.
五．小结： 用双曲线的性质求双曲线方程.
六．作业： 课本第6题
补充：1．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.
（1）求双曲线方程；
（2）若点在双曲线上，求证：；
（3）求的面积.
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2
双曲线的几何性质（2）一．课题：曲线和方程（2）
二．教学目标：1.了解坐标法和解析几何的基本思路；
2.能按照求曲线方程的一般步骤求曲线方程，即：建立设点、列式、坐标代换、化简、说明；
3.能根据实际意义写出曲线方程的制约条件.
三．教学重、难点：求轨迹方程的步骤.
四．教学过程：
（一）复习：曲线的方程与方程的曲线的概念.
（二）新课讲解：
1．有关概念与特性：
（1）坐标法的概念：借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.
（2）解析几何的概念：用坐标法研究几何图形，代数方法研究几何问题的一门学科.
（3）解析几何研究的主要问题：
①根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
②通过方程，研究平面曲线的性质.
（三）例题分析：
例1．设、两点的坐标是，，求线段的垂直平分线的方程．
解：设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合．
由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为．
将上式两边平方，整理得． ①
证明方程①是线段的垂直平分线的方程．
（1）由求方程的过程知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程的解．
（2）设点的坐标是方程①的解，即，．
点到、的距离分别是
；
．
∴，即点在线段的垂直平分线上，
所以，由（1）、（2）可知，方程①是线段的垂直平分线的方程．
说明：求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
（1）建立适当坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；（设动点）
（2）写出适合条件的点的集合；（写集合）
（3）用坐标表示条件，列出方程；（写方程）
（4）化方程为最简形式； （化简）
（5）证明求出的方程就是所求曲线的方程．（验证）
例2．点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数，求点的轨迹方程．
解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，
设点的坐标为．点的轨迹就是与坐标轴的距离的积等于常数的点的集合
，其中、分别是点到轴、轴的垂线的垂足，
∴可写成，即． ①
下面证明方程①是所求轨迹的方程：
（1）由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；
（2）设点的坐标是方程①的解，那么，即．而、正是点到纵轴、横轴的距离，因此点到这两条直线的距离的积是常数，点是曲线上的点．
所以，由（1）、（2）可知，方程①是所求轨迹的方程．
说明：建立适当的坐标系的原则：1．若曲线是轴对称图形，则可以选它的对称轴为坐标轴．
2．可以选曲线上的特殊点作为原点．
例3．已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是，求这条曲线的方程．
解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是，
那么点属于集合，
由距离公式，点适合的条件可表示为．
∴，化简得，
又因为曲线在轴的上方，所以，
所以，曲线的方程是．
五．小结：1．求曲线方程五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程；
2．求曲线方程时，五个步骤不一定完全要实施，化简过程是等价变形．
六．作业：课本第72页习题第4，5，7题．
补充：
1．求与两定点、满足（是常数）的动点的轨迹方程．
2．已知的两个顶点为，，第三个顶点在直线上，求 的重心的轨迹方程．
3．经过定点作互相垂直的两条直线和，它们分别与轴、轴交于和两点，求线段的中点的轨迹方程．
曲线和方程（2）一．课题：椭圆的几何性质（2）
二．教学目标：1.了解椭圆的第二定义，并会用第二定义解决相关问题，理解准线的概念；
2.能根据焦距、长轴长、离心率、准线方程，求椭圆的标准方程.
三．教学重、难点：用坐标法研究椭圆的另一种定义；理解焦点与相应准线的相互关系及其相互转化关系.
四．教学过程：
（一）复习：
1．椭圆的几何性质：
顶点坐标：，
对称性：对称轴为坐标轴，对称中心是原点，长轴长，短轴长
焦点坐标：，
离心率：（）
（二）新课讲解：
1．椭圆的第二定义：
例1．点与定点的距离和它到定直线：的距离比是常数（），求点的轨迹．
解：设是点到直线的距离，
由题意，所求点属于集合，
由此得，
将上式两边平方，化简得
设，上式可化为，为椭圆的标准方程．
所以，点的轨迹是长轴、短轴长分别为的椭圆，这个定点是椭圆的焦点，为离心率，定直线为这个焦点对应的准线．
说明：．
2．椭圆的准线方程：
（1），对应焦点的准线方程：，右准线；
对应焦点的准线方程：，左准线．
（2），对应焦点的准线方程：；
对应焦点的准线方程：．
例2．（1）求椭圆和的准线方程；
（2）已知椭圆上的点到它的右准线的距离为，则到左焦点的距离为 ；
（3）椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，准线方程为，椭圆上一点到两焦点的距离分别为和，则椭圆的方程是 ．
解：（1）由得，∴准线方程为，
由得，∴准线方程为．
（2）由得，
又∵到它的右准线的距离为，
∴到右焦点的距离为，
又∵到左、右焦点距离和为，
∴到左焦点的距离为．
说明：1．椭圆的第二定义其实贯穿了一个转化思想，把椭圆上的点到焦点的距离转化为它到对应准线的距离；
2．有时根据题目需要，要同时用到椭圆的两种定义．
（3）由题意，，∴，
所以，椭圆的方程为．
3．椭圆的焦半径：
（1）椭圆上任意一点到焦点的线段称为椭圆的焦半径．
（2）焦半径公式：
①椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，则，．
②椭圆的焦点分别为，，是椭圆上一点，则，．
证明：以①为例，设到右准线：的距离为，
则且，
∴，
∴，同理．
【练习】求椭圆上一点分别到两焦点、的距离．
（答案：，）
例3．已知是椭圆（）上的一点，、上两焦点，到两准线的距离分别为和，且，求此椭圆的方程．
解：由题意得，即 ①
又∵，，
在中，由余弦定理得：
，
∴，∴ ②
又∵，代入②得，代入①得，
∴，所以，椭圆的方程为．
说明：一般涉及椭圆的焦半径的问题，用第二定义比较方便．
五．小结：1．椭圆的第二定义；
2．椭圆的准线方程、焦半径．
六．作业：课本第103页习题 第8，10题，
补充：1．若是内一点，是椭圆的左焦点，点在椭圆上，则的最大值为 ，最小值为 ．
2．已知是椭圆上一点，、是两焦点，且，若点到两准线的距离分别为和，求此椭圆方程；
3．已知点在椭圆上，且点到椭圆左、右两焦点的距离之比为，求点到两准线的距离；
4．已知椭圆：，、是两个焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是和的等比中项；若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
椭圆的几何性质（2）一．课题：圆的方程（5）
二．教学目标：1.能熟练解决与圆有关的轨迹问题；
2.能解决与圆有关的最值问题．
三．教学重、难点：目标1，2．
四．教学过程：
（一）例题分析：
例1．（例1）圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦．
（1）当时，求的长；
（2）当的长最短时，求直线的方程．
解：（1）当时，直线的斜率为，
∴直线的方程为，即．
解法一：（用弦长公式）
由 消去得：，
设，，则，，
∴．
解法二：（几何法）弦心距，半径，弦长，
（2）当的长最短时，，
∵，∴，
∴直线的方程为，即．
例2．（例2）求证：到圆心距离为的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线．
证明：建立直角坐标系，设圆以原点为圆心，为半径；圆以点为圆心，为半径。过点的直线与圆相切于点，直线与圆相切于点，且，
则圆的方程为，圆的方程为，
∵，∴，
由勾股定理得 ，
即，化简得 ，
这就是点的轨迹方程，它表示一条垂直于轴的直线．
例3．圆上的点到直线的最近距离为 ，
最远距离为 ．
解：（作图分析）圆方程化为，圆心到直线的距离为
，∴所求的最近距离为，最远距离为．
例4．（1）已知直线：与曲线：有两个不同的公共点，则实数的取值范围是 ；
（2）若关于的不等式解集为，则实数的取值范围是 ．
解：（1）（数形结合）方程表示斜率为，在轴上截距为的直线；
方程表示单位圆在上及其上方的半圆，
如图，当直线过、两点时，它与半圆交于两点，此时，直线记为；
当直线与半圆相切时，，直线记为．
直线要与半圆有两个不同的公共点，必须满足在与之间（包括但不包括），
∴，即所求的的取值范围是．
（2）不等式恒成立，即半圆在直线上方，
当直线过点时，，∴所求的的取值范围是．
例5．（10）求当点在以原点为圆心，为半径的圆上运动时，点的轨迹方程．
解：设点为所求轨迹上任意一点，与对应的圆上的动点的坐标为
，则所求轨迹的参数方程为
（为参数），
消去参数，得轨迹的普通方程为 ，．
五．课堂练习：画出方程的曲线。（答案：两个半圆）
六．小结：1．与圆有关的最值问题，要重视数形结合求解；
2．与圆的弦长有关的问题，要重视几何方法的运用；
3．将参数方程化为普通方程，要注意等价性（限制变量的范围）．
七．作业：课本第82页第11题；第89页第5，6，8，9一．课题：两直线的位置关系（6）
二．教学目标：1.进一步掌握和应用两直线的位置关系的有关知识；
2.掌握点、直线关于点成中心对称（或关于直线成轴对称）的点、直线的求解方法；
3.能运用点、直线的对称知识解决问题。
三．教学过程：
（一）复习：1．两直线平行或重合的条件；
2．一条直线到另一条直线的角的运算公式及两直线的夹角公式；
3．点到直线的距离公式。
（二）新课讲解：
例1．求过点且被两直线：，:所截得的线段长为的直线的方程。
解：如图，设所求直线分别交、于点，
∵ ，∴ 、之间的距离|=，
由已知|， ∴，
即所求直线与（或）的夹角为，设所求直线的斜率为，
则有：，解之得，或，
所以，所求直线的方程为或，
即或．
例2．求点关于直线的对称点的坐标。
解：设点的坐标为，
∵，∴，
∴，即 ①
设线段的中点为，则，
∵点在直线上， ∴，
即 ②
联立①、②，解得， ∴点的坐标为.
说明：点关于直线：（不全为零）对称问题，
设对称点为,则根据是线段的垂直平分线，即⊥且的中点在直线上，得,应满足的方程组为：，由此解得点的坐标.
结论：，特别地，若对称轴的方程为，则任意一点关于它的对称点的坐标为，这相当于从对称轴方程中解出所得到的.我们还可以把上述结论进一步推广：
（1）点关于直线的对称点的坐标为；
（2）点关于直线的对称点的坐标为．
上述“代换法则”仅对对称轴的斜率为时才适用，且只能用于选择题和填空题中，它可以作为检验的手段。
例3．已知直线：， ：，求直线关于直线对称的直线的方程。解：（法一）由，得，∴过点，
又，显然是直线上一点，设关于直线的对称点为，
则有，解之得，即，
直线经过点、，由两点式得它的方程为．
（法二）由解法一知，与的交点为，
设直线的斜率为，且与的斜率分别为和，
∵到的角等于到的角，∴ =，∴ ，
所以，直线的方程为，即．
（法三）设是直线上的任意一点，点关于直线的对称点为，坐标为，则，解得， 即点，
∵点在直线上，将它的坐标代入直线的方程得，即为直线的方程。
说明：从上例可以看出，直线的对称问题可以归结为点的对称问题。
四．课堂练习：
1．直线关于轴对称的直线的方程为 ，关于轴对称的直线的方程为 ，关于原点对称的直线的方程为 ．
2．直线关于点对称的直线的方程为 ．
五．作业：《数学之友》第48页，
1．△中，角的对边为则两直线， 位置关系是 ．
2．在△中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为，求点和点坐标。
3．光线沿直线1：照射到直线2：上后反射，求反射线所在直线的方程。
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1
两直线的位置关系（6）一．课题：圆的方程（2）
二．教学目标：1.能判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系；
2.会根据已知条件，求圆的方程或圆的切线方程．
三．教学重点：根据条件求出圆的标准方程或圆的切线方程．
四．教学难点：求圆的标准方程．
五．教学过程：
（一）复习引入：
1．圆的标准方程；
2．平面几何中判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的方法．
（二）新课讲解：
1．提出问题：
（1）已知点的坐标和圆的方程，如何判断点在圆内、圆上、圆外？
比较点到圆心的距离和半径的大小．
（2）已知直线和圆的方程，如何判断直线和圆是相交、相切、相离？
比较圆心到直线的距离与半径的大小；
将直线方程和圆方程联立方程组，判断方程组的解的个数．
（3）已知圆和圆的方程，如何判断它们是相交、相切、内含、外离？
比较圆心距与两半径和、半径差．
（三）例题分析：
例1．已知直线过点，且与圆：相交，求直线的倾斜角的取值范围．
（学生思考后口答或板演，探索不同解法）
解法一：设直线的方程为，即，
∵直线与圆相交，∴圆心到直线的距离小于半径，
即，化简得，∴，即，
当时，；当时，，
所以，的取值范围是．
解法二：设直线的方程为，
由 消去得：，
∵直线与圆相交，∴，
化简得，（以下同解法一）．
说明：（1）涉及直线与圆的位置关系的问题，常可运用以上两种方法；
（2）本题若改为选择题或填空题，也可利用图形直接得到答案．
例2．已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线方程．
解：当点不在坐标轴上时，设切线的斜率为，半径的斜率为，
∵圆的切线垂直于过切点的半径，∴，
∵，∴，∴经过点的切线方程是，
整理得：， 又∵点在圆上，∴，
∴所求的切线方程是．
当点在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适用．
例3．求过点，且与圆相切的直线的方程．
解：设切线方程为，即，
∵圆心到切线的距离等于半径，
∴，解得，
∴切线方程为，即，
当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径，故直线也适合题意．
所以，所求的直线的方程是或．
例4．已知一圆与轴相切，在直线上截得的弦长为，圆心在直线上，求此圆的方程．
解：∵圆心在直线上，∴设圆的方程为，
∵圆与轴相切，∴，
又圆心到弦的距离为，
∴，∴，，
所以，所求的圆方程为或．
说明：（1）求圆的方程，常用待定系数法，要注意用部分条件设方程（少设未知数），再用其余的条件求待定的系数；
（2）要十分重视平面几何知识在解题中的运用．
六．小结：1．求圆的切线方程的常用方法； 2．求圆的标准方程常用待定系数法．
七．作业：课本第88页复习参考题第23题，
补充：1.过点且与圆相切的直线的方程是 ．
2.已知圆：，求圆的在两坐标轴上截距相等的切线方程．
3.过圆外一点作直线与圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程。
4.已知一圆与直线切于点，且截轴所得弦长为，求圆的方程．
5.求经过点，且与直线、都相切的圆的方程．
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1
圆的方程（2）一．课题：直线的倾斜角和斜率（2）
二．教学目标：1.掌握经过两点和的直线的斜率公式：（）；
2.进一步理解倾斜角和斜率的相互联系.
三．教学重、难点：过两点的直线的斜率公式；斜率公式的推导.
四．教学过程：
（一）复习：
1．直线的倾斜角为，则如何求斜率？
2．直线的倾斜角为，斜率为，则当及时，与之对应的的取值范围是什么？
（二）新课讲解：
1．过两点的直线的斜率公式
已知点、，且与轴不垂直，用的坐标来表示的斜率．
作图如上，以（1）为例，图（2）情形由学生自证。
设直线的倾斜角为，向量的方向是向上的，过原点作向量，
∵向量的坐标为，
∴点的坐标为，且直线倾斜角为，
根据正切函数的定义有：，即．
归纳可得斜率公式：过两点、的直线的斜率公式．
方向向量：直线上的向量及与它平行的向量。
斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：
（1）由、点的坐标求的值；
（2）已知及中的三个量可求第四个量；
（3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求；
（4）证明三点共线。
2．例题分析：
例1．求经过点，的直线的斜率和倾斜角.
解：，即，
又∵，∴，
所以，该直线的斜率是，倾斜角是．
例2．求过下列两点的直线的斜率及倾斜角．
（1），；（2），；（3），．
解：（1）∵与轴垂直，∴直线斜率不存在，倾斜角；
（2），
∴直线斜率为，倾斜角；
（3），
∴直线斜率为，倾斜角．
说明：用反三角函数表示直线倾斜角：当斜率时，；当时，；
当时，．
例3．若三点，，共线，求实数的值。
解：，，
∵三点共线，∴，
∴， ∴．
例4．已知三角形的顶点，，，的中点为，当斜率为时，
求的值及的长.
解：点的坐标为，
∴，∴，∴点坐标为，
∴．
五．课堂练习：课本第37页练习3，4，5．
六．小结：1．过两点的直线的斜率公式.
七．作业：第37页习题第4，5题.
补充：
1．已知点，，过点的直线与线段有公共点，求直线的斜率的取值范围；
2．求经过两点和（）的直线的斜率，并求出其倾斜角及其取值范围.
（1）
（2）
直线的倾斜角和斜率（2）一．课题：简单的线性规划（3）
二．教学目标：1.进一步熟练二元一次不等式（组）表示的平面区域的画法；
2.巩固用图解法求线性目标函数的最大、最小值问题.
三．教学过程：
例1．设满足约束条件组，求的最大值和最小值.
解：由知，代入不等式组消去得，
代入目标函数得，
作直线：，
作一组平行线：平行于，
由图象知，当往左上方移动时，随之增大，
当往右下方移动时，随之减小，
所以，当经过时，，
当经过时，，
所以，，．
例2．（1）已知，求的取值范围；
（2）设，且，，求的取值范围.
解：（1）不等式组表示的平面区域如图所示，
作直线：，
作一组平行线：，
由图知由向右下方平移时，随之增大，反之减小，
∴当经过点时取最小值，
当经过点时取最大值，
由和分别得，，
∴，，
所以，．
（2），，，
由（1）知，．
例3．已知函数满足，，求的取值范围.
解：∵，，，
∴约束条件组，
目标函数，
由不等式组作出平面区域如图，
作直线：，
作一组平行线：，
当过点时，，
当过点时，，
所以，．
例4．已知的三边长满足，，求的取值范围.
解：设，，则，
作出平面区域（如右图），
由图知：，，
∴，即．
四．小结：图解法求线性规划问题的最大、最小值.
五．作业：补充：
1．设满足约束条件组，求的最大值和最小值；
2．求的最大值，使式中满足约束条件．
简单的线性规划（3）圆锥曲线复习讲义（1） 椭圆
一．复习目标：
1．正确理解椭圆的两种定义，能运用定义解题，能根据条件，求出椭圆的标准方程；
2．掌握椭圆的几何性质，能利用椭圆的几何性质，确定椭圆的标准方程 ；
3．理解椭圆的参数方程，并掌握它的应用；
4．掌握直线与椭圆位置关系的判定方法，能解决与弦长、弦的中点有关的问题.
二．基础训练：
1．已知椭圆的方程为，、分别为它的焦点，CD为过的弦，则△ 的周长为16 ．
2．已知椭圆的离心率，焦距是16，则椭圆的标准方程是或.
3．已知方程表示椭圆，则k的取值范围为 -3＜k＜2 且k≠.
4．椭圆的焦点坐标为.
三．例题分析：
例1． 如图，中，,,面积为1，建立适当的坐标系，求以、为焦点，经过点的椭圆方程.
解： 以MN所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y 轴，建立如图直角坐标系.
设所求椭圆的方程为（＞＞0），又设点M、N、P的坐标分别为（-c，0）、（c，0）、（，），由斜率公式，得，，
即 -2+c=0
2--2c=0 由此解得点P的坐标为（，）.
△PMN的面积为,∴ .∴ 点P的坐标为（，）.
∴，，
由椭圆的定义，得=，从而.
故所求椭圆的方程为.
例2．已知椭圆的中心在坐标原点O，一条准线方程为，倾斜角为的直线交椭圆于、两点,设线段的中点为，直线与的夹角为．
(1)当时，求椭圆的方程；
(2)当时，求椭圆的短轴长的取值范围．
解：(1)设所求的椭圆方程为＋＝1，由已知＝1，∴ a2＝c，b2＝a2－c2＝c－c2.
故所求的椭圆为＋＝1．即(1－c)x2＋y2＋c2－c＝0． ①
∵ 直线的倾斜角为45o，故可设直线l的方程为y＝x＋m（m≠0）． ②
由①、②消去y，得 (2－c)x2＋2mx＋m2＋c2－c＝0． ③
由②、③得M点的坐标为(，).
∴ kOM＝c－1. ∴ tg＝＝＝.
∵ tg＝tg(arctg2)＝2， ∴ ＝2， ∴ c＝．
故所求的椭圆方程为＋＝1．
(2)∵ 2＜tg＜3．即2＜＜3．解得＜c＜．
∵ b＝＝＝．由＜c＜,得＜－(c－)2＋＜，
∴ ＜b＜， ∴ ＜2b＜1．
例3.如图，已知椭圆的一个顶点为A(0，1),焦点在x轴上，且右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3，试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点M、N,且满足|AM|＝|AN|，并说明理由．
解: 由已知，椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且b＝1．
∵ 右焦点(c，0)到直线x－y＋2＝0的距离为3，
∴ ＝3， ∴ c＝，∴ a2＝b2＋c2＝3．
∴ 已知椭圆的方程为 ＋y2＝1． ①
设l存在且其方程为y＝kx＋m（m≠0）,代入①并整理得：
(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0. ②
设M(x1，y1)， N(x2，y2)，线段MN的中点为B（，），则
,∴ B(，).
∵ |AM|＝|AN|的充要条件是AB⊥MN，故，得:
，解之得，m＝－(1＋3k2)．
此时，方程②的判别式△＞0，即(6km)2－12(1＋3k2)(m2－1)＝－9(3k2＋1)(k2－1)＞0．
解得－1＜k＜1（k≠0）.
∴ 当－1＜k＜1（k≠0）时，存在满足条件的直线；当k≤－1或k≥1时，不存在满足条件的直线l.
四．课后作业：
1．的一边在轴上，的中点在原点，，和两边上中线长的和为，则此三角形重心的轨迹方程是.
2．直线与椭圆恒有共点时，则的取值范围是________.
3．已知、是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，若，则到左准线的距离为————————————————。
4．方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 .
5．是椭圆上的一个动点，则的最大值是——————，最小值是——————————。
6．椭圆与直线相交于、两点，过中点与坐标原
点的直线的斜率为,则的值为 .
7．若椭圆的一个焦点是，则的值为——————————————。．
8．设是椭圆上一点，、是焦点，，则△的面积等于 .
9．过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、，若弦的长恰好等于短轴长，求直线的方程.
10．如图：是两个定点，且，动点到点的距离是，线段的垂直平分线交于点，直线垂直于直线，且点到直线的距离为.
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）求证：点到点的距离与点至直线的距离之比为定值；
（Ⅲ）若点到、两点的距离之积为，当取最大值时，求点的坐标.
答案:+=1,
e=, （0，）或（0，－）
11．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆相交于和，且，，求椭圆方程. (或)一．课题：两直线的位置关系（1）——平行
二．教学目标：1.掌握两条直线平行的充要条件,并会根据倾斜角、斜率和直线方程判断两条直线是否平行的位置关系；
2. 注意解几思想的渗透和表述的规范性，培养学生的探索和概括能力。
三．教学重、难点：理解和掌握两条直线的平行的充要条件是本节课的重点，难点是斜率不存在时两直线位置关系的讨论。
四．教学过程：
（一）复习：
1．平面内两条不重合的直线的位置关系有几种？
2．在平面直角坐标系内，两直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？
（二）新课讲解：
1．两直线平行的充要条件的推导
设直线和是有斜率的两条直线，方程分别为：，：，
若//，则，且它们的倾斜角相等（如图），即，
∴∴，
若且，则，
∵，，
∴，∴//．
归纳：当直线和有斜截式方程：，：时，
直线//的充要条件是且；直线和重合的充要条件是且．
2．设直线和有方程：，：，
（1）当，时，则，，，，
∵//的充要条件是且，
∴=且，即（有时用于判断比较方便），
即且．
（2）当，时，满足，此时，：，：，
∴//的充要条件是，即．
归纳：当直线和有方程：，：时，
直线//的充要条件是且或且．
直线和重合的充要条件是：且；
或且
3．设直线和的方向向量分别是和，且不重合，则直线//的充要条件是．
（三）例题分析：
例1．已知直线方程：：，证明：//．
证明：（法一）把和的方程写成斜截式：，：，
∵，，∴//，
（法二）∵，
且， ∴//．
例2．（1）下列各组直线中，两条直线互相平行的是（ ）
与 与
与 与
（2）两直线和的位置关系是 平行或重合 ．
例3．若直线和平行，则实数的取值为．
例4．若直线：与：互相平行，则的值为．
解：，∴，即，解得或，
当两方程化为与显然平行，
当 两方程化为与两直线重合，
∴不符合，∴．
说明：1．已知两直线的方程，判断它们位置关系的方法；
2．已知两直线的位置关系，求字母系数值的方法。
例5．求经过点且与直线平行的直线方程。
解：已知直线的斜率，∵两直线平行，∴所求直线的斜率也为，
所以，所求直线的方程为：，即．
另解：设与直线平行的直线的方程为：，
过点，∴，解之得，
所以，所求直线的方程为．
说明：（1）一般地与直线平行的直线方程可设为，其中待定；
（2）把上题改为求与直线平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程。（）
五．课堂练习：
1．课本P47 1、2（1）、3（3）；
2．补充：
（1）直线和直线平行的条件是 ．
（2如果直线与直线平行，则系数 ．
（3）如果直线与直线互相平行，求实数的值。
六．小结：1．两直线平行和重合的充要条件；
2．已知两直线的方程，判断它们位置关系的方法；
3．已知两直线的位置关系，求字母系数值的方法。
七．作业：1．课本习题7.3 1、2（1） （2）
2．数学之友 P42 C 1（1）（2） C 2．
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两直线的位置关系（1）一．课题：双曲线及其标准方程（2）
二．教学目标：
1．进一步掌握双曲线标准方程的求法，特别是要熟练用待定系数法求双曲线标准方程的方法；
2．学会利用双曲线的定义和标准方程的知识解决简单的实际问题.
三．教学重、难点：理解双曲线的的定义和标准方程.
四．教学过程：
（一）复习：1.双曲线的定义、焦点、焦距、两种情形的标准方程.
2．练习：（1）点在双曲线上，为两焦点，若，则 （1或9）
（2）表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 .（）
（3）以椭圆的短半轴长为值，长轴长为焦距且焦点在轴上的双曲线的方程是 .（，或者）
（二）例题分析：
例1．已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为①
∵点在双曲线上， ∴点的坐标适合方程①。
将分别代入方程①中，得方程组：
将和看着整体，解得 ∴即双曲线的标准方程为.
说明：本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚.
例1变式一：已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程.
例1变式二：在双曲线上任取一点与双曲线两焦点构成的内切圆与的切点坐标.
解：如图，由已知得
根据圆的切线长定理和双曲线的定义，有
∴
∴， ∴，
因此切点坐标为，根据对称性，当在双曲线右支时，切点的坐标为.
例1变式三：双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程.
解：如图，设点坐标各为，∴在已知双曲线方程中，∴
∴已知双曲线两焦点为，
∵存在，∴
由三角形重心坐标公式有即 ∵ ∴
已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有
即所求重心的轨迹方程为：.
例2．一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处晚，
（1）爆炸点应在怎样的曲线上？
（2）已知两地相距，并且此时声速为，求曲线的方程.
解：（1）由声波及两处听到爆炸声的时间差，可知两处与爆炸点的距离差，因此爆炸点应位于以为焦点的双曲线上，因为爆炸点离处比离处更远，所以爆炸点应在靠近处的一支上。
（2）如图，建立直角坐标系，使两点在轴上，并且点与线段的中点重合，
设爆破点的坐标为，则，则 又∵
∴，
又∵ ∴ 所求的双曲线的方程为
说明：利用两个不同的观察点测得同一爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置，如果再增设一个观察点，利用（或）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置，这就是双曲线的一个重要应用。（选做题2为此中类型）
五．课堂小结：
1．待定系数法、代入法求双曲线的标准方程；
2．用双曲线解决实际问题.
六．作业：课本习题8.3 第4，5，6
选做题：
1．双曲线的方程为，直线经过双曲线的右焦点，且与
双曲线交于两点，若，求出双曲线的方程。
答案：.
2．某国北部沿海顺次分布着纬度相同的三地，距200，距300，若三地分别于当日10时零8分，10时零3分，10时13分监听到海上一火山爆发时的巨大爆炸声，并且此时声速为20，问这一火山大约在距地多远的什么方向的海面上？（结果精确到0.1）.
答案：346.4.
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双曲线及其标准方程（2）一．课题：直线与双曲线的位置关系（4）
二．教学目标：1.理解双曲线和直线的位置关系，并能够熟练地进行判定；
2.会求直线被双曲线所截得的弦长.
三．教学重、难点：交点个数和弦长的求法.
四．教学过程：
（一）复习：椭圆与直线的交点个数的求法和直线被椭圆所截得的弦长公式.
（二）新课讲解：
例1．过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程.
解：若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为则，
， ∴，
，
当时，方程无解，不满足条件；
当时，方程有一解，满足条件；
当时，令，
化简得：无解，所以不满足条件；
所以满足条件的直线有两条和.
说明：（1）若过点呢？过点呢？（分别是四条直线和两条直线）
（2）用图象去判断直线的条数，可以知道：和渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点.
例2．（1）求直线被双曲线截得的弦长；
（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.
解：由得得（*）
设方程（*）的解为，则有 得，
.
（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为，
由得（*）
设方程（*）的解为，则 ∴，
且，
∴，
得或.
方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则
得：，
∴， 即， 即（图象的一部分）
说明：（1）弦长公式；
（2）有关中点弦问题的两种处理方法.
例3．已知双曲线，分别是该双曲线的左右焦点，是双曲线左支上的一点，求证：，.
证明：由题意可知，双曲线的左准线方程为：，
离心率
点到的距离为
由双曲线的第二定义，得到左焦点的距离为：；
由双曲线的定义得，点到右焦点的距离为：；
说明：（1）若点在右支上呢？（焦半径公式）
（2）若焦点在轴上又怎样？
例4．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围.
解：设双曲线的方程为，，渐近线，则过的直线方程为，则
代入得
∴即得
∴ 即得到
五．课堂练习：求过定点的直线被双曲线截得的弦的中点恰为的直线方程.
六．课堂小结：弦长公式和双曲线与直线的交点个数；
七．作业：课本习题8.4 第3题和第7题
补充：
1.已知双曲线和椭圆有公共焦点，且它们离心率的和为2，求双曲线的方程.
2．直线与双曲线的右支有两个不同的交点，求实数的取值范围.
3．垂直于直线的直线被双曲线截得的弦长为，求直线的方程.
4．在双曲线的上半支上求一点，使到直线的 距离为.
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双曲线的几何性质（4）一．课题：抛物线及其标准方程（1）
二．教学目标：
1.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
2.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．
3.通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．
三．教学重、难点：
1. 重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)．
2. 难点：抛物线的标准方程的推导．(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系．)
四、教学过程
(一)导出课题：我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．
请大家思考两个问题：
问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？
在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？
问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？
在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．
引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．
(二)抛物线的定义
1．回顾：平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，
当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？
2．简单实验
如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．
3．定义：
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
(三)抛物线的标准方程
设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？
让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：
方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)
以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．
化简后得：y=2pxp (p＞0)．
方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)
以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：
p={M||MF|=|MD|}．
化简得：y=2px+p (p＞0)．
方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．)
取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．
抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．
化简后得：y=2px(p＞0)．
比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？
引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：
由学生讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．
(四)四种标准方程的应用
例题：(1)已知抛物线的标准方程是y=6x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)，求它的标准方程．
方程是x=8y．
练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：
(1)焦点是F(3，0)； 答案是：(1)y=12x；
(2)y=x；
(3)焦点到准线的距离是2． (3)y=4x，y=4x，x=4y，x=4y．
由三名学生演板，教师予以订正．
这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．
(五)小结：
本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．
五、作业：
到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？
2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x=2y；(2)4x+3y=0；(3)2y+5x=0；(4)y6x=0．
3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：
(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；
(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(6，3)．
4．求焦点在直线3x4y12=0上的抛物线的标准方程．
作业答案：
3．(1)y=24x，y=2x，(2)x=12y(图略)
4．分别令x=0，y=0得两个焦点F1(0，3)，F2(4，0)，从而可得抛物线方程为x=12y或y=16x.
第 4 页 共 4 页一．课题：圆的方程（3）
二．教学目标：1.掌握圆的一般方程，知道它的特点；
2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径；
3.能用待定系数法由已知条件求出圆的方程．
三．教学重、难点：目标2，3．
四．教学过程：
（一）复习：写出圆的标准方程：．
（二）新课讲解：
1．圆的一般方程
将上述标准方程展开，整理，得，
可见，任何一个圆的方程都可以写成 　　　　　　　　①
的形式。
　　反过来，形如①的方程的曲线是否一定是圆呢？（学生思考、探索）
将①配方得：． 　　　　　　　　　 ②
把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：
（1）当时，方程①表示以为圆心，为半径的圆；
（2）当时，方程①表示一个点；
（3）当时，方程①不表示任何图形．
结论：当时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程形式上的特点：
（1）和的系数相同，且不等于；
（2）没有这样的二次项．
以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件．
说明：要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数、、就可以了．
（三）例题分析：
例1．求过三点、、的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．
解：设所求的圆方程为，
∵、、在圆上，
∴解得，
∴所求的圆方程为，
圆心坐标为，半径为．
注意：⑴由于所求的圆过原点，可设原的方程为；
⑵本题也可以换一种说法：已知中，三个顶点的坐标分别、、，求的外接圆的方程．
例2．已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．
解：设是曲线上任意一点，由题意：，
∴ ，化简得，　　①
这就是所求的曲线方程．
把方程①配方得：，所以方程①的曲线是以为圆心，为半径的圆．（作图）
注意：本题也可以一般化
已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．
提示：以直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设，则可以按照上例的方法求解。可得：
要注意讨论对曲线的形状的影响．
例3．已知圆与直线相交于、两点，定点，若
，求实数的值．
解：设、，
由，消去得：， ①
由题意：方程①有两个不等的实数根，∴，，
由韦答定理：，
∵，∴，∴，即，
即， ②
∵，∴，
，代入②得：，即，
∴，适合，所以，实数的值为．
五．课堂练习：．
六．小结：1．圆的一般方程及其形式特点；
2．求圆的方程，应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关，则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标，则宜用一般方程．
七．作业：课本第82页习题
补充：1．若圆与直线的交点为、，且（为原点），求的值．
2．已知圆：，直线：，
（1）证明：不论取何实数，直线与圆恒相交；
（2）求直线被圆截得的线段的最短长度及此时直线的方程．
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3
圆的方程（3）一．课题：抛物线的简单几何性质（1）
二．教学目标： 1.记住抛物线的几何性质，会根据抛物线的几何性质确定抛物线的位置及基本量；
2.会简单应用抛物线的几何性质；
3.强化数形结合的思想.
三．教学重、难点：抛物线的几种不同状态下的标准方程的几何性质和应用.
四．教学过程：
（一）复习：
（1）抛物线的四种标准方程；
（2）基本量的几何意义.
（二）新课讲解：
抛物线的几何性质列表如下：
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
范围
对称性 轴 轴 轴 轴
顶点
离心率
说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径.
（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线.
例1．已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
解：∵抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，
所以设它的标准方程为．
∵点在抛物线上，所以，即．
∴所求方程是．（图略）
例2．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分（图（1）），光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm,求抛物线的标准方程和焦点的位置．
图（1） 图（2）
解：如图（2），在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是．
由已知条件可知点，代入方程，得．
∴所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是．
例3．若抛物线的通径长为7，顶点在坐标原点，且关于坐标轴对称，求抛物线的方程．
解：设抛物线方程或者，
∵通径长，所以
所求抛物线方程或者．
例4．点、是抛物线上两点，垂直于这条抛物线的对称轴，且，为坐标原点，，求的值．
解：由抛物线的对称性可知，点、是抛物线上关于对称轴轴对称的两点．
∵，∴可设点，，
又∵，∴，于是得．
∴抛物线过点，代入得：．
五．小结：抛物线的几何性质.（对称性、范围、顶点、离心率）
六．作业：书P123,1、2、4、5 题
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抛物线的简单几何性质（1）一．课题：含参数不等式的解法举例
二．教学目标：1.进一步掌握常见不等式的解法；
2.能根据参数的“位置”正确进行分类讨论，解不等式.
三．教学重、难点：通过分类讨论解含参数的不等式.
四．教学过程：
例1．解不等式 ．
解：原不等式可化为，即：，
∴，∵是增函数，∴，∴，
∴原不等式的解集为．
【变题】解关于x的不等式 ．
解：原不等式可化为，即： ①
（1）当时，由①得：，∵是增函数，∴；
（2）当时，由①得：，∴；
（3）当时，由①得：， ∴；
（4）当时，由①得：，∴．
综上所述：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
例2．解不等式 ．
解：∵是增函数，∴原不等式等价于
，
∴，即原不等式的解集为．
例3．解关于x的不等式 ．
解：原不等式等价于 ， 即：，
∴，
（1）当时， ；
（2）当时，．
综上所述：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
说明：去掉对数符号时，必须限制真数大于零.
例4．设，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围；
（3）若为仅含一个元素的集合，求的取值范围.
解：，
∴当时，；当时，，
又，
（1）若，则的取值范围是；
（2）若，则的取值范围是；
（3）若为仅含一个元素的集合，则的取值范围是．
五．小结：1．解指数、对数不等式的基本方法是：依据指数函数、对数函数的单调性进行等
价转化，去掉对数符号时，必须限制真数大于零；
2．在解含有参数的不等式时，要根据参数的“位置”正确进行分类讨论.
六．作业：
1．解不等式：（1） ；（2） ．
2. 解关于的不等式：（1）；
（2）；
（3）（）；
（4）．
3．若方程：有两个不同的负根，求的范围.
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2
含参数不等式的解法一．课题：椭圆的几何性质（2）
二．教学目标：1.了解椭圆的第二定义，并会用第二定义解决相关问题，理解准线的概念；
2.能根据焦距、长轴长、离心率、准线方程，求椭圆的标准方程.
三．教学重、难点：用坐标法研究椭圆的另一种定义；理解焦点与相应准线的相互关系及其相互转化关系.
四．教学过程：
（一）复习：
1．椭圆的几何性质：
顶点坐标：，
对称性：对称轴为坐标轴，对称中心是原点，长轴长，短轴长
焦点坐标：，
离心率：（）
（二）新课讲解：
1．椭圆的第二定义：
例1．点与定点的距离和它到定直线：的距离比是常数（），求点的轨迹．
解：设是点到直线的距离，
由题意，所求点属于集合，
由此得，
将上式两边平方，化简得
设，上式可化为，为椭圆的标准方程．
所以，点的轨迹是长轴、短轴长分别为的椭圆，这个定点是椭圆的焦点，为离心率，定直线为这个焦点对应的准线．
说明：．
2．椭圆的准线方程：
（1），对应焦点的准线方程：，右准线；
对应焦点的准线方程：，左准线．
（2），对应焦点的准线方程：；
对应焦点的准线方程：．
例2．（1）求椭圆和的准线方程；
（2）已知椭圆上的点到它的右准线的距离为，则到左焦点的距离为 ；
（3）椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，准线方程为，椭圆上一点到两焦点的距离分别为和，则椭圆的方程是 ．
解：（1）由得，∴准线方程为，
由得，∴准线方程为．
（2）由得，
又∵到它的右准线的距离为，
∴到右焦点的距离为，
又∵到左、右焦点距离和为，
∴到左焦点的距离为．
说明：1．椭圆的第二定义其实贯穿了一个转化思想，把椭圆上的点到焦点的距离转化为它到对应准线的距离；
2．有时根据题目需要，要同时用到椭圆的两种定义．
（3）由题意，，∴，
所以，椭圆的方程为．
3．椭圆的焦半径：
（1）椭圆上任意一点到焦点的线段称为椭圆的焦半径．
（2）焦半径公式：
①椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，则，．
②椭圆的焦点分别为，，是椭圆上一点，则，．
证明：以①为例，设到右准线：的距离为，
则且，
∴，
∴，同理．
【练习】求椭圆上一点分别到两焦点、的距离．
（答案：，）
例3．已知是椭圆（）上的一点，、上两焦点，到两准线的距离分别为和，且，求此椭圆的方程．
解：由题意得，即 ①
又∵，，
在中，由余弦定理得：
，
∴，∴ ②
又∵，代入②得，代入①得，
∴，所以，椭圆的方程为．
说明：一般涉及椭圆的焦半径的问题，用第二定义比较方便．
五．小结：1．椭圆的第二定义；
2．椭圆的准线方程、焦半径．
六．作业：课本第103页习题 第8，10题，
补充：1．若是内一点，是椭圆的左焦点，点在椭圆上，则的最大值为 ，最小值为 ．
2．已知是椭圆上一点，、是两焦点，且，若点到两准线的距离分别为和，求此椭圆方程；
3．已知点在椭圆上，且点到椭圆左、右两焦点的距离之比为，求点到两准线的距离；
4．已知椭圆：，、是两个焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是和的等比中项；若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
椭圆的几何性质（2）一．课题：抛物线的简单几何性质（2）
二．教学目标：1.灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；
2.会处理抛物线与直线、圆等曲线组合的综合问题；
3.会证明抛物线的简单几何性质。
三．教学重、难点：抛物线的几何性质，以及抛物线与直线的位置关系.
四．教学过程：
（一）复习：
1．抛物线的定义及几何性质．
2．练习：
①抛物线的顶点坐标是，焦点坐标是，准线方程是，离心率是1，通径长．
②抛物线上的两点、到焦点的距离之和为5，则线段的中点的横坐标是 2 ．
③若点，点为抛物线的焦点，则使取最小值的抛物线上点的坐标是．
（二）新课讲解：
例1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长．
解：设正三角形的顶点、在抛物线上，
且设点，，则，
，又，所以，
即，
．
∵，，，∴．
由此可得，即线段关于轴对称．
因为轴垂直于，且，所以．
∵，∴，∴．
例2．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物
线的准线相切．
证明：（法一）设抛物线方程为，则焦点，
准线．设以过焦点的弦为直径的圆的圆心
，、、在准线上的射影分别是、、，
则，
又，
∴，即为以为直径的圆的半径，且准线，
∴命题成立．
（法二）设抛物线方程为，则焦点，
准线．过点的抛物线的弦的两个端点，
，线段的中点
则，
∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径．
点到准线的距离，
∴圆与准线相切．
例3．定长为3的线段的两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，求点到轴的最小距离．
解：抛物线焦点，准线：，
设点、、在准线上的射影分别是
、、，设点，
则，
又，
又，，
∴，所以，即的最小值是．
∴点到轴的最小距离是，当且仅当过点是取得最小距离．
五．小结：综合处理抛物线的有关问题，特别是抛物线的弦的问题.
六．作业：书P133 A组16题，17题。
补充：1．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，若点、在抛物线的准线上的射影分别是，．求证：。
2．抛物线上有两个定点、（位于轴的上下两侧），是抛物线的焦点，并且，.在抛物线这段曲线上，求一点，使得的面积最大，并求最大面积.
PAGE
2
抛物线的简单几何性质（2）一．课题：不等式证明（4）——放缩法、反证法、换元法
二．教学目标：1.熟悉其它一些证明不等式的常用方法：放缩法、反证法、换元法；
2.培养学生分析能力及变换能力.
三．教学重点、难点：恰当的选用方法来证明不等式.
四．教学过程：
（一）复习：证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析法.
（二）新课讲解：
例1．当时，求证：．
证：∵， ∴，且，
∴，
∴时, .
例2．（1）化简：；（2）求证：.
解：（1）∵，
∴．
（2）∵，
∴.
例3．设，求证：不可能同时大于.
证：设，，，
则三式相乘：，
即， ①
又∵ ∴，∴，
同理：，，
以上三式相乘得： 与①矛盾，
∴不可能同时大于.
例4．已知，求证：.
证明：∵，
∴可设，
∴.
五．小结：1．结论是否定形式或无限结论的命题或至多（少）命题常用反证法；
2．已知条件是形式常用换元法.
六．作业：补充：
1.已知，求证.
2.若且，则和中至少有一个小于.
3. 设，，，求证：.
4.；
5.设，求证.
6.已知，求证.
7.已知都为正数，且，求证.
8.设，求证：不可能同时大于．
不等式证明（4）一．课题：双曲线的综合习题课（5）
二．教学目标：巩固双曲线的几何性质，能运用双曲线的几何性质或图形特征解题，提高学生对基本知识的运用能力.
三．教学重、难点：几何性质的运用.
四．教学过程：
（一）复习：由学生列表对照复习椭圆的几何性质和双曲线的几何性质.
（二）新课讲解：
例1． 在双曲线的一支上有不同的三点与焦点的距离成等差数列，
（1）求的值；
（2）求证：线段的垂直平分线经过某一定点，并求出该定点的坐标.
解：（1）双曲线方程可以化为：，
由题意可知三点在双曲线的一支上，即得
∵成等差数列
∴ ∴ 得；
（2）设的中点坐标，由于在双曲线上，故
两式相减得：
整理得：
∴中垂线斜率为
∴的中垂线方程为：即
∴当时
即的中垂线经过定点.
例2．对于双曲线，过能否作直线，时使与双曲线交于两点，且是的中点.
解：假设存在直线，设，则
（1）－（2）得：
∴
∴
∴的方程为：即
由得
∴与已知双曲线无交点，即假设不成立， ∴不存在.
例3．已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于这条直线对称.
解：设椭圆上关于对称的 两点，其所在的直线方程为
由得：，
∵， ∴，
∴ ①
又∵的中点在上，即在上，
∵
∴ 即②
将①代入②得：.
五．课堂小结：双曲线的几何性质和存在性问题；
六．作业：
补充：
1．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线和双曲线交于两点，是
的中点，求.
2．已知椭圆焦距为，一双曲线与该椭圆共焦点，且实半轴长比椭圆的长半轴的长小4，
而椭圆与双曲线离心率之比为3：7，求椭圆和双曲线的标准方程.
3．已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，分别是左右焦点，双曲线右支上有一点，
且，且的面积为，又双曲线的离心率，求双曲线方程及坐标.
双曲线的几何性质（5）一．课题：不等式性质（3）
二．教学目标：1．掌握并会证明定理4及其推论1，2；
2．掌握并会证明定理5，进一步掌握反证法证明思想.
三．教学重、难点：定理4，5的证明及运用.
四．教学过程：
（一）复习：定理1，2，3．
（二）新课讲解：
定理4．如果且，那么；如果且，那么．
证明：∵ ∵ ∴
根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：
当时，，即：；
当时，，即：．
推论1：如果且，那么．
证明：．
说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；
（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；
（3）推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.
这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.
推论2：如果， 那么 ．
定理5：如果，那么 ．
证明：（反证法）假设，
则：若这都与矛盾，
∴．
例1．已知，求证．
证明：∵，
两边同乘以正数，得，
即 ，又，
所以，．
例2．若，比较与大小．
解（法一）：（1）若异号，则， ∴ ∴．
（2）若同号，则，， ∴， ∴．
（法二）：∵，
又，即，
（1）若异号，则，∴， ∴；
（2）若同号，则，∴， ∴．
例3．根据下列的取值范围，求的取值范围.
（1）； （2）且； （3）且．
解：（1），∴，所以的取值范围是．
（2）且，即或，∴或，
所以，的取值范围是．
（3）且，即或，∴或，
所以，的取值范围是．
五．课堂小结：掌握不等式乘法、乘方、开方的有关性质，在进行不等式乘法、乘方、开方的有关运算时特别要注意符号.
六．作业：补充：
1．求证：
（1）如果，那么；
（2）如果，那；
（3）如果，那么；
2．如果，求的取值范围；
3．如果，其中都不为零且，求的取值范围．
不等式的性质（3）直线中的对称问题
一 教学目标
用直线的有关知识解决对称问题
二 教学重点
点关于直线对称的求法
三 教学难点
用直线的有关知识解决对称问题的应用
四 教学辅助手段 多媒体
五 教学过程
【情景设置】
放映图片 一条笔直的小河同侧有两个村庄A、B，问在河上何处建桥，能使这座桥到 A、B 两村的距离和最小？
图__(1)
学生分析：作 A关于小河L 的对称点，连 B 与L 的交点即为所找的建桥处（如图（1））.
【新知探求】
1． 点关于点对称
练习 M(x,y)关于P(a,b) 的对称点为▁▁▁▁▁.
2． 轴对称问题
练习 M(-1,3)关于x+y-1=0的对称点如何求？
点拨：由M 与 关于对称性知：
1） M⊥L 2）M 中点E 在L 上。
解：设（a，b） 线段 M中点E 为（，）由M 与 关于L 对称得
(-1)=-1
+-1=0
a=-2
b=2
∴ 的坐标为（-2，2）
3． 应用举例
例1已知A（2，0），B（-2，-2），在直线L x+y -3=0上求一点P 使得∣PA∣ +∣PB∣ 最小
解: 作B关于L的对称点，连A交L于P ，设 F为L上 异于E的点，
则∣FB∣+∣FA∣=∣F∣+∣FA∣＜∣A∣=∣PA∣+∣PB∣
设为(a,b)，则线段B中点为E(, ) y 而=-1
(-1)=-1
+=3
a=2 , b=5 (5,5)
A方程可求得 5x-3y-10=0
解 5x-3y-10=0
x+y-3=0
得x= ,y= .
当 L上P在 时(， )时,∣PA∣+∣PB∣最小
注 10 利用几何画板演示 当A、B 在L 的同侧时， 点即为 AB与L的交点.
20 利用几何画板演示 若在L 上求一点Q 使∣∣QA∣-∣QB∣∣最大，则 Q如何求？
分析 ：利用三角形两边之差的绝对值小于第三边可知，若A、B 在L 的同侧，则Q 为线段AB (或BA )的延长线与L的交点；若A、B 在L 的异侧，则作A 关于L 的对称点 ,Q为线段 Q（或Q ）的延长线与L的交点.
例2 求直线 x+2y-1=0 关于x-y+2=0 的对称直线 L方程.
解：（法一） x-y+2=0
x+2y-1=0
得 x=-1 , y=1.
对称直线L 过 E（-1，1）.
在 x+2y-1=0 上取点（1，0），则A 关于x-y+2=0 得对称点在L上
易得 （-1.5,2）. 用两点式可算出 L为：2x+y+1=0
L
（法二）设 M为对称直线 上任一点坐标为(x,y) ，M关于x-y+2=0 得对称点(,) 用x, y表示 ,，可得:
=y-2
=x+2
代入 x+2y-1=0 及可求得
注： 利用两点确定一条直线的特点和点对称的性质得法一的解法；
法二则是解析几何中的常用求曲线方程的方法——代入法
【课堂练习】
1． 和直线 3x-4y+5=0关于x 轴 对称的直线方程是
A 3x+4y-5=0 B 3x+4y+5=0 C -3x+4y-5=0 D –3x+4y+5=0
2． 直线2x-y+1=0关于x 轴对称的直线方程是▁▁▁▁▁ . 关于原点 对称的直线方程是　▁▁▁▁.
3． 光线从点（-2，3）射到 轴上一点 P（1，0被 x轴反射，求反射光线所在的直线方程.
4． 求直线 y=3x-4关于点P（2，-1）对称的直线方程.
【总结】
1， 点关于点对称的求法.
2， 点关于直线的对称的求法.
【作业】
1． 点关于点的对称点是
A（3，-1） B（1，2） C（6，5） D（2，4）
2． 点（0，2）关于直线 对称点是
A（-2，0） B（-1，0） C（0，-1） D（-，-）
3． 求直线y=2x+1关于直线x+y+1=0对称的直线方程.
4． 已知ABC的一个顶点A（4，1），其内角B、C平分线方程分别是y=x-1 和x=1 ，求BC边、AB边所在的直线方程.
高二数学组 邓爱萍 2002--- 9----16
x
→
x
→
x
→
y
↑
↑
y
↑一．课题：算术平均数几何平均数（2）
二．教学目标：会运用均值不等式求某些函数的最值，求最大值时注意一正二定三相等.
三．教学重、难点：均值不等式的灵活运用.
四．教学过程：
（一）复习：均值定理.
（二）新课讲解：
例1．已知都是正数，求证：
①如果积是定值，那么当时，和有最小值；
②如果和是定值，那么当时，积有最大值．
证明：∵， ∴ ，
①当 (定值)时， ∴，
∵上式当时取“”， ∴当时有；
②当 (定值)时， ∴，
∵上式当时取“” ∴当时有．
说明：①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）；
②用极值定理求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.
例2．（1）求 的最值，并求取最值时的的值.
解：∵∴
于是，
当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值是，此时．
（2）若上题改成，结果将如何？
解：∵
于是，
从而，
∴的最大值是，此时．
例3．若，则为何值时有最小值，最小值为多少？
解：∵， ∴， ∴，
∴=，
当且仅当即时．
例4．已知，求的最小值．
解：由 知，，
∴，
∴，
上式中两个“”号中的等号当且仅当都成立，
即当时，取得最小值．
五．课堂练习：
（1）若，求的最值.
（2）下列函数中，最小值是的是 （ ）
，
（3）已知，求的最大值，并求相应的值.
六．小结：利用均值不等式求函数的最值时要注意一“正”、二“定”、三“相等”.
七．作业：
补充：1．已知，求的最大值，并求相应的值.
2．已知，求的最小值，并求相应的值.
3．已知，求函数的最大值，并求相应的值.
4．已知，求的最小值，并求相应的值.
5．已知求的最小值，并求相应的值.
6．已知，求函数的最小值，并求相应的值.
算术平均数几何平均数（2）一．课题：椭圆的几何性质（1）
二．教学目标：1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；
2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响.
三．教学重、难点：目标1；数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质.
四．教学过程：
（一）复习：
1．椭圆的标准方程.
（二）新课讲解：
1．范围：
由标准方程知，椭圆上点的坐标满足不等式，
∴，，∴，，
说明椭圆位于直线，所围成的矩形里.
2．对称性：
在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称.
所以，椭圆关于轴、轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.
3．顶点：
确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标.
在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点.
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即．
4．离心率：
椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率.
∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。
当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为．
（三）例题分析：
例1．求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并画出图形．
解：把已知方程化为标准方程，，，
∴，
∴椭圆长轴和短轴长分别为和，离心率，
焦点坐标，，顶点，，，．（图略）
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点、；
（2）长轴长等于，离心率等于．
解：（1）由题意，，，又∵长轴在轴上，
所以，椭圆的标准方程为．
（2）由已知，，
∴，，∴，
所以，椭圆的标准方程为或．
例3．如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆。已知它的近地点（离地面最近的点）距地面，远地点（离地面最远的点）距地面，并且、、在同一直线上，地球半径约为，求卫星运行的轨道方程（精确到）．
解：如图，建立直角坐标系，使点在轴上，为椭圆右焦点（记为左焦点），
设椭圆标准方程为（），
则，
，
解得：
∴，
所以，卫星的轨道方程是．
五．小结：椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）．
六．作业：课本第103页习题 第3，4，6题
补充：
1．已知椭圆的一个焦点将长轴分成的两个部分，且经过点，求椭圆的标准方程。
2．如图①，已知椭圆中心在原点，它在轴上的一个焦点与短轴的两个端点，的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点的距离为，求这个椭圆的方程．
图①
椭圆的几何性质（1）一．课题：双曲线的几何性质（1）
二．教学目标：1．能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；
2．掌握双曲线的渐近线的概念和证明；
3．明确双曲线方程中的几何意义；
4．能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题.
三．教学重、难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线.
四．教学过程：
（一）复习：
1．双曲线的定义和标准方程；
2．椭圆的性质；
（二）新课讲解：以双曲线标准方程为例进行说明。
1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧.
注意：从双曲线的方程如何验证？
从标准方程可知，由此双曲线上点的坐标都适合不等式
即，即双曲线在两条直线的外侧.
2．对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.
在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点.
令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），
双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长.
虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长.
在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点.
4．渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.
在初中学习反比例函数时提到x轴y轴都是它的渐近线。高中三角函数，渐近线是.
所谓渐近，既是无限接近但永不相交。那么如何证明这个无限接近但永不相交？
思考：从哪个量上反映“无限接近但永不相交”？——距离。只要证明什么？——距离趋向于0.
下面证明，取第一象限内的部分进行证明.（见课本）
求法：求已知双曲线的渐近线方程：令右端的1为0，解出的直线方程即为双曲线的渐近线方程.
5．等轴双曲线：
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 定义式：
2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：
当时交点在轴，当时焦点在轴上。
6．注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。
共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。通过分析曲线的方程，发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。
1）性质：共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。
2）如何确定双曲线的共轭双曲线？将1变为。
3）共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征？可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上。
4）与双曲线有同一对渐近线的双曲线的方程可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上。
（三）．例题分析：
例1．求双曲线的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程。
解：把方程化标准方程：，由此可知，实半轴长，虚半轴长；
，焦点的坐标是
渐近线方程为，即。
例2．双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如左图），它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到）.
解：如图（右图），建立坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合；这时，上、下口的直径平行于轴，且，；设曲线的方程为：
令点的坐标为，则点的坐标为，因为点在双曲线上，所以 化简，得 解得
∴所求双曲线的方程为：.
例3．求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的方程.
解：∵与双曲线有共同渐近线
故设所求双曲线的方程为
又∵过点 ∴
∴所求双曲线的方程为即.
五．课堂练习：课本练习第1，3，4，5题
六．课堂小结：双曲线的性质：（可以让学生填写下表）
椭 圆 双 曲 线 不 同 点
标准方程
图 象
范 围
对 称 性
顶 点
渐 近 线
七．作业：课本习题8.4的第2（1）（2）（4），4题
补充：求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的方程.
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3
双曲线的几何性质（1）一．课题：简单的线性规划（2）
二．教学目标：1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；
2.能根据条件建立线性目标函数；
3.了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.
三．教学重、难点：线性规划问题的图解法；寻求线性规划问题的最优解.
四．教学过程：
（一）复习练习：
1．画出下列不等式表示的平面区域：
（1）； （2）．
（二）新课讲解：
1．引例：设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值.
问题：能否用不等式的知识来解决以上问题？（否）
那么，能不能用二元一次不等式表示的平面区域来求解呢？怎样求解？
由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，
作一组平行于的直线：，，
可知：当在的右上方时，直线上的点
满足，即，
而且，直线往右平移时，随之增大。
由图象可知，
当直线经过点时，对应的最大，
当直线经过点时，对应的最小，
所以，，．
2．有关概念
在上述引例中，不等式组是一组对变量的约束条件，这组约束条件都是关于的一次不等式，所以又称为线性约束条件。是要求最大值或最小值所涉及的变量的解析式，叫目标函数。又由于是的一次解析式，所以又叫线性目标函数.
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解和分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
（三）例题分析：
例1．设，式中满足条件，求的最大值和最小值.
解：由引例可知：直线与所在直线平行，
则由引例的解题过程知，
当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，
当经过点时，对应最小，
∴，．
说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
2．线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个。
例2．已知满足不等式组，求使取最大值的整数．
解：不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，则坐标分别为，，，
作一组平行线：平行于：，
当往右上方移动时，随之增大，
∴当过点时最大为，但不是整数解，
又由知可取，
当时，代入原不等式组得， ∴；
当时，得或， ∴或；
当时，， ∴，
故的最大整数解为或．
说明：最优整数解常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点，关键是作图要准确；另一种是本题采用的方法，先确定区域内点的横坐标范围，确定的所有整数值，再代回原不等式组，得出的一元一次不等式组，再确定的所有相应整数值，即先固定，再用制约．
例3．设满足约束条件组，求的最大值和最小值.
解：由知，代入中，得，，
∴原约束条件组可化为，
如图，作一组平行线：平行于：，
由图象知，当往左上方时，往左上方移动时随之增大，
当往右下方移动时，随之减小，
所以，当直线经过时，；
当直线经过时，．
五．小结：1．线性规划问题的有关概念；
2．线性规划问题的图解法求目标函数的最大、最小值；
3．线性规划问题的最优整数解.
六．作业：课本第65页 第2题.
简单的线性规划（2）高二数学复习讲义（1）
不等式（1）
一．目的要求：
1．理解不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的常用方法；
2．掌握常用基本不等式，并能用之证明不等式和求最值；
3．掌握含绝对值的不等式的性质；
4．会解一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式、简单的高次不等式。学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关不等式的问题，形成良好的思维品质.
二．知识要点：
1．不等式的性质：
性 质 内 容
对称性 ，．
传递性 且．
加法性质 ；且．
乘法性质 ；，且．
乘方、开方性质 ；．
倒数性质 ．
2．绝对值不等式的性质：
；．
3．常用基本不等式：
条 件 结 论 等号成立的条件
，，
三．证明不等式的常用方法：比较法，综合法，分析法，换元法，反证法等.
四．运用基本不等式求最值的注意点：
①常用的不等式：，，．
②注意点：和定积最大，积定和最小；一正、二定、三相等.
五．常见不等式及其基本解法：
1．一元二次不等式：
（1）利用其与一元二次方程，二次函数的关系；
（2）含字母系数的一元二次不等式大致分为两类：
①的符号不确定，讨论的大小；
②通过因式分解（或求根公式）得出两根，但根的大小不明确，则讨论根的大小.
（3）一元二次不等式的应用：
①已知一个不等式的解集，求另一个不等式的解集；
②恒成立问题：通常可结合二次函数图象来考虑.
2.分式不等式：移项，通分，再转化为不等式组或序轴标根；
3.含有绝对值的不等式：用绝对值的定义去掉绝对值符号.
4.高次不等式：序轴标根法；
5.指数、对数不等式：利用指数函数、对数函数的单调性进行等价转化.
六．例题分析：
例1．已知，，，求证：．
证明：∵，∴，又，
∴，∴，又，∴．
例2．已知都是实数，求证：，并指出何时成立.
比较法或综合法，成立的条件是．
例3．已知，，求证：．
证明：∵，∴，又，∴，∴，
要证，只要证，
只要证，即，
只要证，∵，∴只要证，即，
∵成立，∴．
例4.在中，为三条边的长，表示的面积，
求证：，并说明“”成立的条件.
证明：由余弦定理，有，又，
∴
，
∵， ∴，∴，
当且仅当，即，也就是是等边三角形时，“”成立.
七．课后作业： 班级 学号 姓名
1．已知，则下列不等式一定成立的是 （ ）
2.下列命题中成立的是 （ ）
，当且仅当时成立；
，当且仅当时成立；
，当且仅当时成立；
，当且仅当时成立。
3．若，且，则下列结论中成立的是 （ ）
异号，； 异号，；
同号，； 同号，．
4． 已知两实数的算术平均数为，实数，，
，则与的大小关系为 ．
5．函数的最大值为 ，此时的值为 ．
6．已知，求证．
7．在中，三条边的长成等差数列，求角的取值范围.
8．已知都是实数，求证：．
9．若，求证：．
10．已知实数满足不等式，求证：
．一．课题：双曲线的几何性质（3）
二．教学目标：1．能熟记双曲线的离心率、明确的几何意义；
2．知道双曲线的另一定义和准线的概念，能正确写出双曲线的准线方程.
三．教学重、难点：双曲线的离心率和双曲线的第二定义.
四．教学过程：
（一）复习：双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线.
（二）新课讲解：
1．离心率：
1）概念：双曲线焦距与实轴长之比.
2）定义式：
3）范围：
4）考察双曲线形状与的关系：，
因此越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.
由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔.
2．双曲线的第二定义：
例1．点与定点的距离与到的距离之比为常数，求的轨迹方程.
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求点轨迹是集合
由此得：
化简得：.
设，就可化为：
这是双曲线的标准方程，所以点的轨迹是实轴长、虚轴长分别为的双曲线.
说明：此例题要求学生进一步熟悉并熟练掌握求解曲线轨迹方程的一般步骤.
双曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线.
说明：
1）其中定点---焦点，定直线----准线.
对于来说，相对于左焦点对应着左准线
相对于右焦点对应着右准线
对于来说，相对于下焦点对应着下准线
相对于上焦点对应着上准线
2）位置关系：
3）焦点到相应准线的距离：
练习：已知双曲线上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离。（答案：）
3．例题分析：
例2．双曲线的中心在坐标原点，离心率为，一条准线方程为，求双曲线的方程.
解：设双曲线的方程为，
由题意得 解得
∴
∴双曲线的方程为.
例3．双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为4，且经过,求双曲线的方程.
解：若焦点在轴上，则双曲线的方程设为，
由已知，有
∴，，代入，整理得
∴或，∴或，
∴双曲线的方程为或.
若焦点在轴上，则设双曲线的方程为，
由已知，得 ∵，代入得，此方程无实数解。
∴双曲线的方程为或.
说明：当双曲线的焦点位置不定时，必须进行分类讨论.
五．课堂小结：
方 程 （） （）
图 象
关 系
范 围
顶 点
对 称 性 关于轴成轴对称、关于原点成中心对称
渐 近 线
离 心 率
焦 点
准 线
六．作业：课本习题8.4 第3题
补充：
1．求符合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）离心率为，准线方程为；（答案：）
（2）双曲线的一条渐近线经过点，两准线间距离为.（答案：或）
2．已知双曲线的左、右焦点分别是，双曲线左支上有一点，设到左准
线的距离为，且恰成等比数列，试求点的坐标.（选做）（答案）
双曲线的几何性质（3）一．课题：不等式证明（5）
二．教学目标：1.灵活运用比较法、综合法、分析法证明不等式；
2.能利用函数、三角有关性质解决一些不等式问题.
三．教学重点、难点：证明方法的选择和恰当运用.
四．教学过程：
（一）复习：证明不等式的常用方法.
（二）新课讲解：
例1．若，证明：．
证明：左边，
令，则，
∵在上单调递减， ∴，
∴．
例2．设是的三边，是三角形的面积，求证：．
证明：∵，，
为了证明原不等式只需证：，
即证：，
即：，
即证：，
∵成立．
∴．
例3．设是的的三边，求证：．
解：∵， ， ，
∴，
∴，
由
，
∵是的的三边，
∴，，，
∴，
∴，
即．
例4．设，求证：．
证明：∵，∴，，
∵，
当时，，，∴，
当时，，，∴，
当时，∴，
∴，
∴．
五．小结：认真分析题意，寻找恰当的解题方法，并能结合函数、三角等有关知识来解决不等式问题.
六．作业：补充：
1．已知，求证： .
2．求证：.
3．已知关于的不等式（），对任意实数恒成立，求证：.
4．证明函数在定义域上是减函数.
5．设是的三边，且，求证：.
6．求证：．
不等式证明（5）一．课题：不等式的解法举例（2）
二．教学目标：1.熟炼掌握分式不等式、绝对值不等式的解法；
2.能用序轴标根法解常见的高次不等式.
三．教学重、难点：等价转化.
四．教学过程：
（一）复习：解下列不等式：
（1）； （2）．
答案：（1）或或；（2）．
（二）新课讲解：
例1.解不等式．
解：原不等式化为：，即，
等价于，（序轴标根）
所以，原不等式的解集是或或．
说明：（1）使用序轴标根法，分解因式后，必须使各括号内的系数为正；
（2）若分式不等式有等号，则解集中应包括分子的根，但不包括分母的根.
例2.解不等式 ．
解：原不等式等价于且，（序轴标根）
所以，原不等式的解集为．
【变题】若原题目改为呢？
说明：若不等式对应的方程有重根，可转化为无重根，再解.
例3.解不等式．
解：原不等式等价于
即：，
，
所以，原不等式的解集为．
例4.为何值时，不等式恒成立？
解：原不等式可化为：，
而恒成立，
∴原不等式等价于恒成立，
由得．
五.小结：1. 使用序轴标根法，分解因式后，必须使各括号内的系数为正；
2. 若分式不等式有等号，则解集中应包括分子的根，但不包括分母的根；
3. 若不等式对应的方程有重根，可转化为无重根，再解.
六.作业：补充：
1．解不等式.
2．解不等式.
3．解不等式.
4．求适合不等式的x的整数解.
5．若不等式的解为,求的值.
6．为何值时，不等式对任意实数恒成立？
7．如果关于的不等式的解集是，求关于
的不等式的解集.一．课题：抛物线及其标准方程（2）
二．教学目标：1.会用定义法、直译法、参数法，求与抛物线有关的动点的轨迹方程；
2.会判断直线与抛物线的位置关系；
3.会求解与抛物线的焦点弦有关的问题.
三．教学重、难点：目标1，2，3。
四．教学过程：
（一）复习：
1．抛物线的定义及其标准方程
2．练习：
①抛物线的焦点坐标是．
②抛物线上与焦点的距离等于的点的坐标是．
③抛物线上一点到焦点的距离是，则点到准线的距离是
，点的横坐标是．
④抛物线的准线方程是，顶点在坐标原点，则它的焦点坐标是，标准方程是．
（二）新课讲解：
例1．、是抛物线上的两点，满足（为坐标原点）：
（1）求证：、两点的横坐标之积为定值；
（2）直线经过一定点；
（3）求线段的中点的轨迹方程．
解：（1）设所在直线方程为，则所在直线方程为，设，．
由方程组求得，同理得．
∴（定值），且（定值）．
∴、两点的横坐标之积为定值.
（2）由（1）知当时，直线所在斜率，
∴所在直线方程：，即，
显然直线经过一定点．当或者时，点与点的横坐标都是，直线方程为，直线也经过一定点。
（3）设线段的中点为，则
，
消去参数得，，即所求线段的中点的轨迹方程是．
例2．斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交与两点、，求线段的长．
解：如图，由抛物线的标准方程可知，
抛物线的焦点坐标，
所以直线方程为． ①
将方程①代入抛物线方程，
得．
化简得．
（法一）解这个方程，得，．
将、的值代入方程①中，得，，
即、的坐标分别是、．
∴．
（法二）根据抛物线的定义，等于点到准线的距离
即，
同理，于是得．
由上已知，，故．∴．
说明：设，，抛物线方程：，则焦点弦的计算公式：．
（法三）．
五．课堂练习：课本 习题 第7题．
六．小结：1．抛物线的定义在解题中的应用；
2．用坐标法求轨迹方程；
3．求曲线的交点和弦长问题.
七．作业：，习题，第6题．
补充：1．已知直线：，抛物线：，
（1）求证：与抛物线必相交于两点；（2）求截得的弦的长；
（3）当为何值时，弦的中点在直线上；
2．过点作直线与抛物线只有一个公共点，求直线的方程；
3．已知是抛物线过焦点的弦，求：
（1）弦长； （2）弦长的最小值.
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2
抛物线及其标准方程（2）一．课题：不等式证明（4）——放缩法、反证法、换元法
二．教学目标：1.熟悉其它一些证明不等式的常用方法：放缩法、反证法、换元法；
2.培养学生分析能力及变换能力.
三．教学重点、难点：恰当的选用方法来证明不等式.
四．教学过程：
（一）复习：证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析法.
（二）新课讲解：
例1．当时，求证：．
证：∵， ∴，且，
∴，
∴时, .
例2．（1）化简：；（2）求证：.
解：（1）∵，
∴．
（2）∵，
∴.
例3．设，求证：不可能同时大于.
证：设，，，
则三式相乘：，
即， ①
又∵ ∴，∴，
同理：，，
以上三式相乘得： 与①矛盾，
∴不可能同时大于.
例4．已知，求证：.
证明：∵，
∴可设，
∴.
五．小结：1．结论是否定形式或无限结论的命题或至多（少）命题常用反证法；
2．已知条件是形式常用换元法.
六．作业：补充：
1.已知，求证.
2.若且，则和中至少有一个小于.
3. 设，，，求证：.
4.；
5.设，求证.
6.已知，求证.
7.已知都为正数，且，求证.
8.设，求证：不可能同时大于．
不等式证明（4）第七章直线和圆方程复习讲义（1）
直线与线性规划
一．内容提要：
1．直线倾斜角和斜率：
2．直线方程：
3．两直线位置关系：
4．线性规划：
二．基础训练：
1．若直线在第一、二、三象限，则 （ D）
（） （）（） （）
2．直线的倾斜角是 （C）
（） （） （） （）
3．如果直线沿轴负方向平移3个单位，接着再沿轴正方向平移一个单位后又回到原来的位置，那么直线的斜率是 （ A）
（） （） （） （）
4．若直线的倾斜角为，则 （ C ）
（） （） （） （）不存在
5．若直线的倾斜角为且过点，则直线的方程为．
6．直线与射线有交点，则
三．例题分析：
例1．求直线关于直线对称的直线方程.
答案：4x－6y＋3＝0
例2．已知点到两定点的距离的比为，点到直线的距离为1，求直线的方程
答案：x-y-1=0,x+y-1=0
例3．已知，求的最小值.
答案：1
四．课后作业： 班级 学号 姓名
1．下列四个命题中的真命题是 （B）
经过定点的直线都可以用方程。
经过任意两个不同的点的直线方程都可以用方程表示。
不经过原点的直线方程都可以用方程表示。
经过定点的直线都可以用方程表示。
2．和直线关于轴对称的直线方程为 （B）
3．设A，B是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是 （A）
4．直线与关于直线对称，则直线的方程是 （D）
或
5．若点关于直线对称，则的方程为 （D）
6．给定三点，那么过点并且与直线垂直的直线方程是 。 x+y-1=0
7．过点且倾斜角的正弦值是的直线方程为 。4x-3y+2=0,4x+3y-10=0
8．为实数，则直线经过的定点是 。(-2,3)
9．已知直线垂直于直线，且直线与两坐标轴围成的三角形的周长为10，求直线的方程。
答案：4x+3y+10=0,或者4x+3y－10=0
10．一条光线经过点，射到直线上反射后穿过点，求入射光线和反射光线所在的直线方程。
答案：入射光线所在的直线方程为5x-4y+2=0;
反射光线所在的直线方程为：4x－5y＋1＝0。
11．的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为，求点的坐标。
答案：
12．已知定点，动点在直线上，动点在直线上，且，求面积的最小值。 答案：8。一．课题：直线方程（2）
二．教学目标：1.掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况；
2.能够根据条件熟练地求出直线的方程.
三．教学重点、难点：求出直线的方程.
四．教学过程：
（一）复习：直线方程的点斜式、斜截式.
（二）新课讲解：
1．两点式：
问题引入：已知直线经过两点，，求直线的方程.
解：∵直线经过两点，，
∴斜率，代入点斜式得：，
当时，方程可写成．
说明：（1）这个方程是由直线上的两点确定，叫做直线方程的两点式；
（2）这个方程适用范围是，．
例1．已知直线与轴的交点，与轴的交点，其中，求直线的方程。
解：∵经过两点，，
代入两点式得：，
即，
说明：（1）这个方程是由直线在轴与轴上的截距确定，叫做直线方程的截距式；
（2）这个方程适用范围是．
例2．三角形的顶点是、、，求这个三角形三边所在直线方程。
解：∵直线过，两点，
由两点式得：， 整理得，
∵直线过，斜率，
由点斜式得：，整理得：，
∵直线过，两点，
由截距式得：，整理得：．
例3．求经过点且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程。
解：设直线在轴与轴上的截距分别为，
①当时，设直线方程为，
∵直线经过点，∴，
∵，∴或，
∴直线方程为 或；
②当时，则直线经过原点及
∴直线方程为 ，
综上，所求直线方程为 或或．
例4．求斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线方程．
解：设直线方程为，
令，得，
∴，∴，
所以，所求直线方程为或．
五．课堂练习：课本第41页练习1，2．
六．小结：1．直线方程的两点式、截距式；
2．如何待定系数求直线方程.
七．作业：课本第44页习题第4，6，7，8，9，10．
直线方程（2）一．课题：曲线和方程（3）
二．教学目标：1.进一步熟悉求曲线方程的一般步骤；
2.明确曲线的交点与相应方程组的解之间的关系 ；
3.能正确区分轨迹方程与轨迹的区别与联系。
三．教学重、难点：曲线交点与曲线方程组的解的关系。
四．教学过程：
（一）复习：求曲线方程的一般步骤。
（二）新课讲解：
1．两曲线的交点坐标与相应方程组的解之间的关系：
（1）已知：曲线的方程为，曲线的方程为，
则；
（2）的个数与的解的组数相同。
特别地，与没有公共点没有解。
例1．求直线被抛物线截得的线段的中点坐标。
解：，∴，，
∴线段的中点坐标是．
问：若将直线方程改为，结论又如何？
例2．过点引直线交曲线于、两点，若点恰好是线段的中点，求此直线方程。
解：设所求直线方程为，、，
则，显然，∴，
又∵，∴，而当时，有成立，
所以，所求直线方程为．
例3．用图像法求实数的取值范围，使曲线：，：有两个交点。
答：．（图略）
例4．过作两互相垂直的直线和，交轴于点，与轴交于点，求线段中点的轨迹方程 ．
解：（法一：转移法或称相关点法）设是轨迹上任一点，设，
∴，，∴，，∵
若与的斜率都存在（），
则，且，
∴，∴
若的斜率不存在，则，，则中点代入方程适合．
∴所求轨迹方程为．
（法二：交轨法或称参数法）设的斜率为，则的斜率为，
：，故点坐标，：，故点坐标，
设，中点坐标，
∴
∴，并验证斜率不存在时的情况。
（法三：直接法）分析：利用四点共圆，设是轨迹上任一点，则为圆心
∴，故，
所以，直线方程为．
五．小结：1．进一步熟悉求曲线方程的一般步骤；
2．明确曲线的交点与相应方程组的解之间的关系；
3．根据实际意义，写出曲线方程的制约条件。
六．作业：课本第72页习题第3，6，8，9题，
《数学之友》第57页4，1（2），
补充：已知定点，是抛物线上的一个动点，求线段的中点的轨迹方程。
曲线和方程（3）一．课题：算术平均数与几何平均数（1）
二．教学目标：1. 能推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；
2. 理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式.
三．教学重、难点：均值定理证明及运用.
四．教学过程：
（一）复习：
1．用和号填空：
（1）如果，那么 ；
（2）如果，那么 ；
（3）如果，那么 ；
（4）如果，那么 ；
（5）如果，那么 ．
（二）新课讲解：
．基本不等式：
定理：如果，那么（当且仅当时取“”）．
证明：，
（当且仅当时取“”）．
说明：（1）指出定理适用范围：；
（2）强调取“”的条件．
定理：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）
证明：∵， ∴，
即： 当且仅当时 ．
说明：（1）这个定理适用的范围：；
（2）我们称的算术平均数，称的几何平均数
即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2．的几何解释：（如图1）以为直径作圆，在直径上取一点， 过作弦，则，从而，而半径．
例1．已知为两两不相等的实数，求证：
证明：∵为两两不相等的实数，
∴，，，
以上三式相加：
所以，．
例2．已知都是正数，求证．
证明：由都是正数，得：
，
，
∴，
即．
例3．求证：．
证明：∵， 又， ∴，
∴，
即．
五．课堂练习：已知都是正数，求证：．
六．课堂小结：都是正数，的算术平均数是什么？几何平均数是什么？它们的关系怎样？
七．作业：补充：
1．已知都是正数，且，求证：；
2．求证：；
3．已知都是正数，求证：；
4．已知都是正数，
求证：（1）； （2）．
5．已知且，，求证：．
（图1）
几何平均数算术平均数（1）一．课题：椭圆的几何性质（1）
二．教学目标：1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；
2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响.
三．教学重、难点：目标1；数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质.
四．教学过程：
（一）复习：
1．椭圆的标准方程.
（二）新课讲解：
1．范围：
由标准方程知，椭圆上点的坐标满足不等式，
∴，，∴，，
说明椭圆位于直线，所围成的矩形里.
2．对称性：
在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称.
所以，椭圆关于轴、轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.
3．顶点：
确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标.
在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点.
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即．
4．离心率：
椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率.
∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。
当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为．
（三）例题分析：
例1．求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并画出图形．
解：把已知方程化为标准方程，，，
∴，
∴椭圆长轴和短轴长分别为和，离心率，
焦点坐标，，顶点，，，．（图略）
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点、；
（2）长轴长等于，离心率等于．
解：（1）由题意，，，又∵长轴在轴上，
所以，椭圆的标准方程为．
（2）由已知，，
∴，，∴，
所以，椭圆的标准方程为或．
例3．如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆。已知它的近地点（离地面最近的点）距地面，远地点（离地面最远的点）距地面，并且、、在同一直线上，地球半径约为，求卫星运行的轨道方程（精确到）．
解：如图，建立直角坐标系，使点在轴上，为椭圆右焦点（记为左焦点），
设椭圆标准方程为（），
则，
，
解得：
∴，
所以，卫星的轨道方程是．
五．小结：椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）．
六．作业：课本第103页习题 第3，4，6题
补充：
1．已知椭圆的一个焦点将长轴分成的两个部分，且经过点，求椭圆的标准方程。
2．如图①，已知椭圆中心在原点，它在轴上的一个焦点与短轴的两个端点，的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点的距离为，求这个椭圆的方程．
图①
椭圆的几何性质（1）一．课题：直线的倾斜角和斜率（1）
二．教学目标：1.了解“直线的方程”和“方程的直线”；
2.了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；
3.理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是时的直线没有斜率；
4.已知直线的倾斜角（或斜率），会求直线的斜率（或倾斜角）；
5.培养和提高学生联系、对应、转化等辨证思维能力.
三．教学重、难点：直线的倾斜角和斜率的概念；直线斜率存在与不存在的分类讨论及用反三角函数表示直线的倾斜角.
四．教学过程：
（一）“直线的方程”和“方程的直线”的概念
①数对满足，在直线上有一点，对应坐标；
②直线上有点，则满足；
即满足的数对在上，
反过来，直线上的点的坐标满足的函数式。
归纳：以一个方程的解为坐标的点都是某直线上的点，反过来，
这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做
这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。
（二）直线倾斜角的概念
问题：在直角坐标系中，过点的一条直线绕点旋转，不管旋转多少周，它对轴的相对位置有几种情形？
归纳：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角。
规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．
（三）直线斜率的概念
倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．
（四）例题分析：
例1．如图，直线的倾斜角，直线，求、的斜率。
解：的斜率，
∵的倾斜角，
∴的斜率．
例2．（1）已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；
（2）已知直线的斜率，求该直线的倾斜角的范围.
解：（1）∵，∴．
（2）∵，
∴．
例3．已知和分别是的倾斜角和斜率，当（1）；（2）；（3）时，分别求直线的斜率．
解：当时，∵，∴．
当时，∵，∴，∴．
当时，∵，∴，∴．
五．课堂练习：课本第37页练习1，2．
六．小结：1. “直线的方程”和“方程的直线”的概念；
2.直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围；
3.直线斜率的概念；
4.已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法.
七．作业：课本第37页 习题1，2，3．
直线的倾斜角和斜率（1）一．课题：简单的线性规划（3）
二．教学目标：1.进一步熟练二元一次不等式（组）表示的平面区域的画法；
2.巩固用图解法求线性目标函数的最大、最小值问题.
三．教学过程：
例1．设满足约束条件组，求的最大值和最小值.
解：由知，代入不等式组消去得，
代入目标函数得，
作直线：，
作一组平行线：平行于，
由图象知，当往左上方移动时，随之增大，
当往右下方移动时，随之减小，
所以，当经过时，，
当经过时，，
所以，，．
例2．（1）已知，求的取值范围；
（2）设，且，，求的取值范围.
解：（1）不等式组表示的平面区域如图所示，
作直线：，
作一组平行线：，
由图知由向右下方平移时，随之增大，反之减小，
∴当经过点时取最小值，
当经过点时取最大值，
由和分别得，，
∴，，
所以，．
（2），，，
由（1）知，．
例3．已知函数满足，，求的取值范围.
解：∵，，，
∴约束条件组，
目标函数，
由不等式组作出平面区域如图，
作直线：，
作一组平行线：，
当过点时，，
当过点时，，
所以，．
例4．已知的三边长满足，，求的取值范围.
解：设，，则，
作出平面区域（如右图），
由图知：，，
∴，即．
四．小结：图解法求线性规划问题的最大、最小值.
五．作业：补充：
1．设满足约束条件组，求的最大值和最小值；
2．求的最大值，使式中满足约束条件．
简单的线性规划（3）一．课题：椭圆与直线的位置关系（1）
二．教学目标：1.掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法；
2.能熟练地运用弦长公式求椭圆与直线相交时的弦长问题.
三．教学重、难点：目标1，2．
四．教学过程：
（一）复习：圆与直线的位置关系的判定方法；
（1）代数方法：消元，判断；（2）几何方法：圆心到直线的距离与圆半径进行比较.
（二）新课讲解：
1．椭圆与直线的位置关系的判定：
例1．当为何值时，直线与椭圆相交？相切？相离？
解：由得，
∴
当，即时，直线和椭圆相交；
当，即时，直线和椭圆相切；
当，即或时，直线和椭圆相离.
说明：1.直线与椭圆的位置关系可由它们的交点个数来判断，即通过直线与椭圆方程联立的方程组的解的个数来判断.
2.要讲究运算次序,不用计算器.
例2．如图，已知椭圆的焦点分别是、，过中心作直线与椭圆相交于、两点，若要使的面积是，求该直线方程.
解：∵，∴可设所在直线方程为，
由消去得：，
∴，
∴，
由得，
∴直线的方程为，即．
说明：⑴此题要能注意到是有公共边的两个和的面积之和，故只需构造关于的一元二次方程，利用韦达定理求出两个三角形高的和；
⑵设直线方程为比设好，可避免讨论斜率不存在的情况.
⑶已知椭圆的焦点分别是、，点在椭圆上，，求证：的面积为.
2．弦长问题：
例3．求直线被椭圆所截得的弦长.
解：（法一）由得或，
∴弦长为．
（法二）设直线与椭圆的交点为，，
由消去得，
∴，，
∴弦长．
说明：弦长公式，不仅适用于圆，也适用于椭圆及双曲线等二次曲线.
五．小结：1．直线与椭圆位置关系的判定方法；
2．弦长问题（弦长公式）.
七．作业：课本第103页 第11题，第132页 A组第8题，第133页 B组第3题，
补充：1．求中心在坐标原点，坐标轴为对称轴，过点，且与直线有且只有一个公共点的椭圆方程；
2．已知直线：，椭圆：，
（1）求证：直线与椭圆有两个交点；（2）求这两个公共点所成线段的长.
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2
椭圆与直线的位置关系（1）一．课题：直线方程（2）
二．教学目标：1.掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况；
2.能够根据条件熟练地求出直线的方程.
三．教学重点、难点：求出直线的方程.
四．教学过程：
（一）复习：直线方程的点斜式、斜截式.
（二）新课讲解：
1．两点式：
问题引入：已知直线经过两点，，求直线的方程.
解：∵直线经过两点，，
∴斜率，代入点斜式得：，
当时，方程可写成．
说明：（1）这个方程是由直线上的两点确定，叫做直线方程的两点式；
（2）这个方程适用范围是，．
例1．已知直线与轴的交点，与轴的交点，其中，求直线的方程。
解：∵经过两点，，
代入两点式得：，
即，
说明：（1）这个方程是由直线在轴与轴上的截距确定，叫做直线方程的截距式；
（2）这个方程适用范围是．
例2．三角形的顶点是、、，求这个三角形三边所在直线方程。
解：∵直线过，两点，
由两点式得：， 整理得，
∵直线过，斜率，
由点斜式得：，整理得：，
∵直线过，两点，
由截距式得：，整理得：．
例3．求经过点且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程。
解：设直线在轴与轴上的截距分别为，
①当时，设直线方程为，
∵直线经过点，∴，
∵，∴或，
∴直线方程为 或；
②当时，则直线经过原点及
∴直线方程为 ，
综上，所求直线方程为 或或．
例4．求斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线方程．
解：设直线方程为，
令，得，
∴，∴，
所以，所求直线方程为或．
五．课堂练习：课本第41页练习1，2．
六．小结：1．直线方程的两点式、截距式；
2．如何待定系数求直线方程.
七．作业：课本第44页习题第4，6，7，8，9，10．
直线方程（2）一．课题：抛物线的简单几何性质（1）
二．教学目标： 1.记住抛物线的几何性质，会根据抛物线的几何性质确定抛物线的位置及基本量；
2.会简单应用抛物线的几何性质；
3.强化数形结合的思想.
三．教学重、难点：抛物线的几种不同状态下的标准方程的几何性质和应用.
四．教学过程：
（一）复习：
（1）抛物线的四种标准方程；
（2）基本量的几何意义.
（二）新课讲解：
抛物线的几何性质列表如下：
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
范围
对称性 轴 轴 轴 轴
顶点
离心率
说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径.
（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线.
例1．已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
解：∵抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，
所以设它的标准方程为．
∵点在抛物线上，所以，即．
∴所求方程是．（图略）
例2．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分（图（1）），光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm,求抛物线的标准方程和焦点的位置．
图（1） 图（2）
解：如图（2），在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是．
由已知条件可知点，代入方程，得．
∴所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是．
例3．若抛物线的通径长为7，顶点在坐标原点，且关于坐标轴对称，求抛物线的方程．
解：设抛物线方程或者，
∵通径长，所以
所求抛物线方程或者．
例4．点、是抛物线上两点，垂直于这条抛物线的对称轴，且，为坐标原点，，求的值．
解：由抛物线的对称性可知，点、是抛物线上关于对称轴轴对称的两点．
∵，∴可设点，，
又∵，∴，于是得．
∴抛物线过点，代入得：．
五．小结：抛物线的几何性质.（对称性、范围、顶点、离心率）
六．作业：书P123,1、2、4、5 题
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2
抛物线的简单几何性质（1）一．课题：两直线的位置关系（1）——平行
二．教学目标：1.掌握两条直线平行的充要条件,并会根据倾斜角、斜率和直线方程判断两条直线是否平行的位置关系；
2. 注意解几思想的渗透和表述的规范性，培养学生的探索和概括能力。
三．教学重、难点：理解和掌握两条直线的平行的充要条件是本节课的重点，难点是斜率不存在时两直线位置关系的讨论。
四．教学过程：
（一）复习：
1．平面内两条不重合的直线的位置关系有几种？
2．在平面直角坐标系内，两直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？
（二）新课讲解：
1．两直线平行的充要条件的推导
设直线和是有斜率的两条直线，方程分别为：，：，
若//，则，且它们的倾斜角相等（如图），即，
∴∴，
若且，则，
∵，，
∴，∴//．
归纳：当直线和有斜截式方程：，：时，
直线//的充要条件是且；直线和重合的充要条件是且．
2．设直线和有方程：，：，
（1）当，时，则，，，，
∵//的充要条件是且，
∴=且，即（有时用于判断比较方便），
即且．
（2）当，时，满足，此时，：，：，
∴//的充要条件是，即．
归纳：当直线和有方程：，：时，
直线//的充要条件是且或且．
直线和重合的充要条件是：且；
或且
3．设直线和的方向向量分别是和，且不重合，则直线//的充要条件是．
（三）例题分析：
例1．已知直线方程：：，证明：//．
证明：（法一）把和的方程写成斜截式：，：，
∵，，∴//，
（法二）∵，
且， ∴//．
例2．（1）下列各组直线中，两条直线互相平行的是（ ）
与 与
与 与
（2）两直线和的位置关系是 平行或重合 ．
例3．若直线和平行，则实数的取值为．
例4．若直线：与：互相平行，则的值为．
解：，∴，即，解得或，
当两方程化为与显然平行，
当 两方程化为与两直线重合，
∴不符合，∴．
说明：1．已知两直线的方程，判断它们位置关系的方法；
2．已知两直线的位置关系，求字母系数值的方法。
例5．求经过点且与直线平行的直线方程。
解：已知直线的斜率，∵两直线平行，∴所求直线的斜率也为，
所以，所求直线的方程为：，即．
另解：设与直线平行的直线的方程为：，
过点，∴，解之得，
所以，所求直线的方程为．
说明：（1）一般地与直线平行的直线方程可设为，其中待定；
（2）把上题改为求与直线平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程。（）
五．课堂练习：
1．课本P47 1、2（1）、3（3）；
2．补充：
（1）直线和直线平行的条件是 ．
（2如果直线与直线平行，则系数 ．
（3）如果直线与直线互相平行，求实数的值。
六．小结：1．两直线平行和重合的充要条件；
2．已知两直线的方程，判断它们位置关系的方法；
3．已知两直线的位置关系，求字母系数值的方法。
七．作业：1．课本习题7.3 1、2（1） （2）
2．数学之友 P42 C 1（1）（2） C 2．
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两直线的位置关系（1）一．课题：不等式证明（1）——比较法
二．教学目标：1.能熟练运用比较法来证明不等式；
2.利用不等式解决实际问题时，能分析题意，设出未知数，找出数量关系，求
出结果.
三．教学重点、难点：对不等式左右两边的差进行变形.
四．教学过程：
（一）复习：
1．实数大小关系：
2．比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论.
（二）新课讲解：
例1．求证：．
证：∵，
∴．
例2．已知都是正数，并且，求证：．
证：
∵都是正数，并且，∴, ，
∴ 即：．
【变式】若，结果会怎样？若没有“”这个条件，应如何判断？
【练习】克糖水中有克糖，若再添上克糖，则糖水就变甜了，试根据这个
事实提炼一个不等式： ．
例3．已知都是正数，并且，求证：
证：
∵都是正数，∴
又∵，∴，
∴，
即：．
例4．甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；有一半路程乙以速度行走，另一半路程以速度行走，如果，问：甲乙两人谁先到达指定地点？
解：设从出发地到指定地点的路程为，甲乙两人走完全程所需时间分别是，，
则： 可得：
∴
∵都是正数，且，∴， 即：，
所以，甲先到达指定地点.
【变式】若，结果会怎样？
五．小结：1．比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；
2．为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常
数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负.
六．作业：
补充：1．已知，求证．
2．已知，求证．
3．已知都是正数，且，求证．
4．已知，求证．
5．已知，求证．
6．已知，求证．
7．求证：的充要条件是．
；
；
．
不等式证明（1）第七章直线和圆方程复习讲义（3）
直线与曲线方程
一．基础训练：
1．已知两点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是 （ ）
（）（）（） （）
2．当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是 （ ）
（） （） （） （）
3．已知圆方程，若过定点所作圆的切线有两条，则的取值范围为 （ ）
（） （） （） （）
4．若方程所表示的曲线关于直线对称，则必有 （ ）
（） （） （） （）两两不相等
5．直线与圆的位置关系是 （ ）
（）相交 （）相切 （）相离 （）相交或相切
6．已知点，，点在坐标轴上，且，则满足条件的点的个数为 。
7．设圆的弦的中点为，则直线的方程： 。
8．设圆有且仅有两点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是 。
二．例题分析：
例1．已知定点，点在上运动，的平分线交于点，求点的轨迹方程。
例2．过点和，并且与轴相切的圆有且只有一个，求的值.
例3．已知圆经过点，且和直线相切，和圆外切，圆心在直线上；
（1）求圆的方程；
（2）若为圆上的点，延长到点，使，求动点的轨迹方程.
例4．点是直线上一点，与圆分别相切于两点，求：四边形的面积的最小值，并求此时点的坐标．
三．课后作业： 班级 学号 姓名
1．方程表示 （ ）
经过点的一切直线 经过点的且不垂直于轴的一切直线
经过点的一切直线相交 经过点的且不垂直于轴的一切直线
2．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ( )
3．若原点到直线上的射影是，则直线的方程为 （ ）
4．曲线和圆没有公共点，则的取值范围是 （ ）
或
5．从点向圆作切线，切线长度的最小值等于 （ ）
6．直线当 时该直线的倾斜角为.
7．若直线，则的倾斜角的范围为 .
8．经过点且与原点距离为3的直线方程为 .
9．已知圆，有点向所引切线长相等，求动点的轨迹方程.
10．已知方程的图形是圆，
（1）求的取值范围； （2）求其中面积最大的圆的方程；
（3）若点恒在所给圆内，求的取值范围.
11．某纺纱厂一天中生产甲，乙两种棉纱，已知生产一吨甲种棉纱需耗一级子棉２吨，二级子棉１吨；生产一吨乙种棉纱需耗一级子棉１吨，二级子棉２吨，每一吨甲种棉纱的利润为５００元，每一吨乙种棉纱的利润为４００元，工厂在生产这两种棉纱的计划中，要求消耗一级子棉不超过１２吨，二级子棉不超过９吨，甲，乙两种棉纱应各生产多少吨才能使一天中的利润最大？最大利润是多少？
12．已知圆，是否存在斜率为1的直线，使被圆截得的弦为直径的圆经过原点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.一．课题：两直线的位置关系（4）——相交
二．教学目标：1.理解两直线方程联立方程组解的情况与两直线位置关系的对应关系；
2.当两条直线相交时，会求交点的坐标；
3.了解直线系方程的概念，掌握过两条直线交点的直线系方程并会进行简单的应用；
4.培养学生的转化能力。
三．教学重、难点：两直线位置关系与方程组解的关系和已知两条直线求交点；直线系方程及应用。
四．教学过程：
（一）复习：
引例：解下列方程组：
（1）； （2）； （3）．
答案：（1）； （2）无数解； （3）无解。
提问：方程组解的情况与方程所表示的直线的位置关系的对应关系？
（二）新课讲解：
1．两直线的位置关系
由引例归纳：（1）如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解，反过来，两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是两直线的交点。
直线、的方程联立的方程组．
用系数判断：
若直线、的方程分别为：，（，）
则：与相交；与重合；与平行。（2）直线、交点的求法：联立直线、的方程组成方程组，求方程组的解。
（三）例题分析：
例1．判断下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标（课本第51页 练习2）．
（1）， ； 相交于（
（2）， ； 重合
（3）， ． 平行
例2．求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线：，．
解：解方程组： 得， ∴与的交点是，
设经过原点的直线方程为，把点代入，得，
所以，所求的直线方程为．
例3．若三条直线：，：，：，当为何值时，三条直线不能构成三角形？
解：（1）三条直线交于同一点：解方程组 得，
即与的交点是（），把点（）代入直线的方程得．
（2）//： ∴，
： ∴，
综上：当或或时三条直线不能构成三角形。
2.直线系方程
前面已讨论了确定一直线需两个互相独立的条件。对只给了一个条件的情况将如何？这就是直线系方程所要研究的。
具有某一共同属性的一类直线的集合叫做直线系，它的方程叫做直线系方程。
例如前面已研究过与直线平行（或垂直）的直线可表示为（）（、为变量）.
直线系可分为两类：
（1）把平面上有相同方向直线的全体叫做平行直线系。如斜率为的直线系为（）；
（2）把平面上通过定点的直线叫做中心直线系。如过点的直线系方程为 及.
下面再介绍一种中心直线系方程：
设：，：是相交两直线，
则：（为任意实数）表示经过和的交点的直线系方程（不包括在内）.
由学生自行证明，体现设而不求思想。
思考：若与是平行直线，则：（为任意实数）表示这样的直线？（是与平行直线的直线系）。
例4．求经过两已知直线：和：的交点及点的直线的方程。
解：经过和的交点的直线系方程为，
又直线过点，把点的坐标代入上面方程得：，∴.
于是直线的方程为。
五．课堂练习：已知两直线：和：的夹角为，并且交点在第一
象限，求出的值，并确定的取值范围。（或；当时，；当时，）．
六．小结：1．方程组解的情况与方程所表示的直线的位置关系的对应关系；
2．直线系方程及过两直线的交点的直线系方程。
七．作业： 课本第54页习题第11、12题；
补充：1．《数学之友》第46页 B5 C4．
思考：直线方程为，求证：不论m为何值，所给的直线经过一定点。
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2
两直线的位置关系（4）一．课题：含参数不等式的解法举例
二．教学目标：1.进一步掌握常见不等式的解法；
2.能根据参数的“位置”正确进行分类讨论，解不等式.
三．教学重、难点：通过分类讨论解含参数的不等式.
四．教学过程：
例1．解不等式 ．
解：原不等式可化为，即：，
∴，∵是增函数，∴，∴，
∴原不等式的解集为．
【变题】解关于x的不等式 ．
解：原不等式可化为，即： ①
（1）当时，由①得：，∵是增函数，∴；
（2）当时，由①得：，∴；
（3）当时，由①得：， ∴；
（4）当时，由①得：，∴．
综上所述：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
例2．解不等式 ．
解：∵是增函数，∴原不等式等价于
，
∴，即原不等式的解集为．
例3．解关于x的不等式 ．
解：原不等式等价于 ， 即：，
∴，
（1）当时， ；
（2）当时，．
综上所述：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
说明：去掉对数符号时，必须限制真数大于零.
例4．设，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围；
（3）若为仅含一个元素的集合，求的取值范围.
解：，
∴当时，；当时，，
又，
（1）若，则的取值范围是；
（2）若，则的取值范围是；
（3）若为仅含一个元素的集合，则的取值范围是．
五．小结：1．解指数、对数不等式的基本方法是：依据指数函数、对数函数的单调性进行等
价转化，去掉对数符号时，必须限制真数大于零；
2．在解含有参数的不等式时，要根据参数的“位置”正确进行分类讨论.
六．作业：
1．解不等式：（1） ；（2） ．
2. 解关于的不等式：（1）；
（2）；
（3）（）；
（4）．
3．若方程：有两个不同的负根，求的范围.
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2
含参数不等式的解法一．课题：两直线的位置关系（4）——相交
二．教学目标：1.理解两直线方程联立方程组解的情况与两直线位置关系的对应关系；
2.当两条直线相交时，会求交点的坐标；
3.了解直线系方程的概念，掌握过两条直线交点的直线系方程并会进行简单的应用；
4.培养学生的转化能力。
三．教学重、难点：两直线位置关系与方程组解的关系和已知两条直线求交点；直线系方程及应用。
四．教学过程：
（一）复习：
引例：解下列方程组：
（1）； （2）； （3）．
答案：（1）； （2）无数解； （3）无解。
提问：方程组解的情况与方程所表示的直线的位置关系的对应关系？
（二）新课讲解：
1．两直线的位置关系
由引例归纳：（1）如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解，反过来，两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是两直线的交点。
直线、的方程联立的方程组．
用系数判断：
若直线、的方程分别为：，（，）
则：与相交；与重合；与平行。（2）直线、交点的求法：联立直线、的方程组成方程组，求方程组的解。
（三）例题分析：
例1．判断下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标（课本第51页 练习2）．
（1）， ； 相交于（
（2）， ； 重合
（3）， ． 平行
例2．求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线：，．
解：解方程组： 得， ∴与的交点是，
设经过原点的直线方程为，把点代入，得，
所以，所求的直线方程为．
例3．若三条直线：，：，：，当为何值时，三条直线不能构成三角形？
解：（1）三条直线交于同一点：解方程组 得，
即与的交点是（），把点（）代入直线的方程得．
（2）//： ∴，
： ∴，
综上：当或或时三条直线不能构成三角形。
2.直线系方程
前面已讨论了确定一直线需两个互相独立的条件。对只给了一个条件的情况将如何？这就是直线系方程所要研究的。
具有某一共同属性的一类直线的集合叫做直线系，它的方程叫做直线系方程。
例如前面已研究过与直线平行（或垂直）的直线可表示为（）（、为变量）.
直线系可分为两类：
（1）把平面上有相同方向直线的全体叫做平行直线系。如斜率为的直线系为（）；
（2）把平面上通过定点的直线叫做中心直线系。如过点的直线系方程为 及.
下面再介绍一种中心直线系方程：
设：，：是相交两直线，
则：（为任意实数）表示经过和的交点的直线系方程（不包括在内）.
由学生自行证明，体现设而不求思想。
思考：若与是平行直线，则：（为任意实数）表示这样的直线？（是与平行直线的直线系）。
例4．求经过两已知直线：和：的交点及点的直线的方程。
解：经过和的交点的直线系方程为，
又直线过点，把点的坐标代入上面方程得：，∴.
于是直线的方程为。
五．课堂练习：已知两直线：和：的夹角为，并且交点在第一
象限，求出的值，并确定的取值范围。（或；当时，；当时，）．
六．小结：1．方程组解的情况与方程所表示的直线的位置关系的对应关系；
2．直线系方程及过两直线的交点的直线系方程。
七．作业： 课本第54页习题第11、12题；
补充：1．《数学之友》第46页 B5 C4．
思考：直线方程为，求证：不论m为何值，所给的直线经过一定点。
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两直线的位置关系（4）一．课题：简单的线性规划（1）
二．教学目标：1.了解二元一次不等式表示平面区域，会用，或检验不等式（）表示的平面区域；
2.会画出二元一次不等式（组）表示的平面区域.
三．教学重、难点：怎样用二元一次不等式（组）表示平面区域；怎样确定不等式 （）表示直线的哪一侧区域.
四．教学过程：
（一）引入：
点集是以二元一次方程的解为坐标的集合，它是一条直线，经过和，那么点集在平面直角坐标系中表示什么图形呢？
（二）新课讲解：
1．尝试、猜想、证明
在平面直角坐标系中，所有的点被直线分成三类：
一类是在直线上；
二类是在直线的右上方的平面区域内；
三类是在直线的左下方的平面区域内.
对于任意一个点，把它的坐标代入，可得到一个实数，或等于，或大于，或小于，此时，可引导学生尝试在什么情况下，点在直线上、在直线右上方、在直线左下方？
猜想结论：对直线右上方的点，；对直线左下方的点，．
证明结论：如图，在直线上任取一点，
过作平行于轴的直线，在此直线上点右侧的任
意一点，都有，，
所以，，，
因为点为直线上任意一点，
所以，对于直线右上方任意点，都有，
同理对于直线左下方任意点，都有，
所以，结论得证.
2．得出结论
一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线.
说明：由于直线同侧的所有点的坐标代入，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域.特别地，当时，通常把原点作为此特殊点.
（三）例题分析：
例1．画出不等式表示的平面区域.
解：先画出直线（虚线），
取原点代入，∵，
∴原点在表示的平面区域内 ，
所以，不等式表示的平面区域如右图所示。
例2．画出不等式组表示的平面区域。
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
解：不等式表示直线上及其右下方的点的集合，
表示直线上及其右下方的点的集合，
表示直线上及其左方的点的集合，
所以，不等式组表示的平面区域入右图所示。
例3．图中阴影部分是下列不等式中 C 表示的区域。
提示：用原点作检验。
五．课堂练习：课本第60页练习1，2．
六．小结：1．会画二元一次不等式（组）表示的平面区域；
2．能用特殊点检验二元一次不等式（组）表示的平面区域.
七．作业：课本第65页习题第1题.
简单的线性规划（1）一．课题：圆的方程（1）
二．教学目标：1.掌握圆的标准方程及其特点，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；能从圆的标准方程中熟练地求出它的圆心坐标、半径；
2.会根据不同的已知条件，利用待定系数法建立圆的标准方程；
3．能运用圆的标准方程解决一些实际问题．
三．教学重点：根据条件求出圆的标准方程．
四．教学难点：运用圆的标准方程解决一些实际问题．
五．教学过程：
（一）复习引入：
1．圆的定义；
2．提出问题：根据圆的定义，怎样求出圆心是，半径是的圆的方程？
（二）新课讲解：
1．圆的标准方程 （由学生推导）
设是圆上任意一点，由点到圆心的距离等于，
得：，
两边平方得：．
此方程即为圆心是，半径是的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．
说明：（1）圆的标准方程由圆心和半径确定，已知圆心坐标和半径就可写出圆的标准方程；由圆的标准方程也可直接得到圆心坐标和半径；
（2）如果圆心在原点，那么圆的方程就是．
（三）例题分析：
例1．求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。（学生思考后口答或板演）
解：由题意：圆的半径，
又圆心为，∴所求的圆的方程为．
例2．一圆过原点和点，圆心在直线上，求此圆的方程。（学生思考、探索不同解法）
解法一：∵圆心在直线上， ∴设圆心坐标为，
则圆的方程为，
∵点和在圆上，
∴，解得，
所以，所求的圆的方程为．
解法二：由题意：圆的弦的斜率为，中点坐标为，
∴弦的垂直平分线方程为，即，
∵圆心在直线上，且圆心在弦的垂直平分线上，
∴由解得，即圆心坐标为，
又∵圆的半径，
所以，所求的圆的方程为．
说明：（1）圆的标准方程中有三个量，要求圆的标准方程即要求三个量，有时可用待定系数法；
（2）要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用．
例3．如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度，拱高，在建造时每
隔需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到）．
解：建立坐标系如图，圆心在轴上，由题意：，，
设圆的方程为，∵点和在圆上，
∴，解得：，
∴这个圆的方程是，
设点，由题意，代入圆方程得：，
解得，
答：支柱的长度约为．
六．课堂练习：课本第77页练习1，2．
七．小结：1．圆的标准方程；
2．圆的标准方程中有三个量，要求圆的标准方程，需有三个独立条件．
3．求圆的标准方程常用待定系数法．
八．作业：第81页习题第1，2，4题，
补充：求经过点，圆心在直线上，且和直线相切的圆的标准方程．
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2
圆的方程（1）一．课题：不等式性质（2）
二．教学目标：1．理解同向不等式，异向不等式概念，掌握并会证明定理1，2，3；
2．初步理解证明不等式的逻辑推理方法.
三．教学重点、难点：定理1，2，3及推论的证明思路及运用.
四．教学过程：
（一）复习：实数运算的符号法则：
；
；
．
（二）新课讲解：
1．同向不等式，异向不等式概念：
同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.
例：是异向不等式，是同向不等式.
2．不等式的性质：
定理1：若，则；若，则．即．
说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性。
证明：∵，∴，
由正数的相反数是负数，得：， ∴，∴．
（定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证．）
定理2：若，且，则．
证明：∵，∴，
根据两个正数的和仍是正数，得：，∴，∴．
说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性.
定理3：若，则．
证明：，
∴．
说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；
（2）定理3的证明相当于比较与的大小，采用的是求差比较法；
（3）定理3的逆命题也成立（可让学生自证）；
（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。
理由是：根据定理3可得出：若，则即
定理3推论：若．
证明：∵， ∴ ①
又∵， ∴ ②
由①、②得．
说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；
（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向。
例1．已知，求证
证明：由知，由知，
，
∴．
例2．已知，，比较与的大小．并说明在什么条件下与相等。
解：∵，
∴ （1）
又 ∵，，
∴，
，
∴ （2）
由（1）（2）知
当（1）（2）同时取等号时，即且时与相等。
五．小结：要求大家熟悉并掌握定理1，2，3，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法。
六．作业：
补充：1．能否判定下列两式大小？若能加以证明，若不能举出反例。
（1）如果，判断与的大小；
（2）如果，判断与的大小；
（3）如果，判断与的大小；
（4）如果，判断与的大小。
2．已知：，求的取值范围。
不等式性质（2）一．课题：不等式性质（3）
二．教学目标：1．掌握并会证明定理4及其推论1，2；
2．掌握并会证明定理5，进一步掌握反证法证明思想.
三．教学重、难点：定理4，5的证明及运用.
四．教学过程：
（一）复习：定理1，2，3．
（二）新课讲解：
定理4．如果且，那么；如果且，那么．
证明：∵ ∵ ∴
根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：
当时，，即：；
当时，，即：．
推论1：如果且，那么．
证明：．
说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；
（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；
（3）推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.
这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.
推论2：如果， 那么 ．
定理5：如果，那么 ．
证明：（反证法）假设，
则：若这都与矛盾，
∴．
例1．已知，求证．
证明：∵，
两边同乘以正数，得，
即 ，又，
所以，．
例2．若，比较与大小．
解（法一）：（1）若异号，则， ∴ ∴．
（2）若同号，则，， ∴， ∴．
（法二）：∵，
又，即，
（1）若异号，则，∴， ∴；
（2）若同号，则，∴， ∴．
例3．根据下列的取值范围，求的取值范围.
（1）； （2）且； （3）且．
解：（1），∴，所以的取值范围是．
（2）且，即或，∴或，
所以，的取值范围是．
（3）且，即或，∴或，
所以，的取值范围是．
五．课堂小结：掌握不等式乘法、乘方、开方的有关性质，在进行不等式乘法、乘方、开方的有关运算时特别要注意符号.
六．作业：补充：
1．求证：
（1）如果，那么；
（2）如果，那；
（3）如果，那么；
2．如果，求的取值范围；
3．如果，其中都不为零且，求的取值范围．
不等式的性质（3）圆锥曲线复习讲义（2） 双曲线
一．复习目标：
1．正确理解双曲线的两种定义，能运用定义解题，能根据条件，求出双曲线的标准方程；
2．掌握双曲线的几何性质，能利用双曲线的几何性质，确定双曲线的标准方程 ；
3．掌握直线与双曲线位置关系的判定方法，能解决直线与双曲线相交的有关问题.
二．基础训练：
1．实半轴为，且与双曲线有公共焦点的双曲线的方程为.
2．焦点在轴上的双曲线过点，且与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为.
3．过点且与圆：外切的圆的圆心轨迹方程是
（x≥3）.
4．方程表示双曲线，则的取值范围是 （ A ）
（A）-1＜k＜1 （B） k＞0 （C）k≥0 （D）k＞1或k＜-1
5．已知双曲线上有一点到左焦点的距离为，那么点到右焦点的距离为 （ D ）
（A）2 （B）22 （C）7或17 （D）2或22
6. 椭圆与双曲线有公共焦点，，是两曲线的交点，则△的面积= .
+=2m =m+n
解: 不妨设点P在第一象限 -=2n 解得 =m-n
+===，
∴∠=.又,，
∴===1.
7．经过点，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线方程是.
三．例题分析：
例1．直线与双曲线 有两个交点，求实数的取值范围.
解： y=kx－1
消去y，得 (4－9k2)x2+18kx－45=0
4x2－9y2=36
4－9k2≠0
由条件得：
△=(18k)2－4·(－45)(4－9k2)＞0
∴ k的取值范围是.
反思: 解题过程中,△=(18k)2－4·(－45)(4－9k2)＞0,应提取36后再解,而不能直接死算.
例2．已知双曲线的左右焦点分别为、，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点，使是到的距离与的比例中项？
解： ∵c2=a2+b2=25+144=169, ∴c=13 e=.
假设双曲线左支上有一点P，使得|PF1|2=d·|PF2|
则……①
又∵|PF2|-|PF1 |=2a=10……②
解①②得|PF1|= |PF2|=
∴|PF1|+|PF2|= 而|F1F2|=2c=26，
从而|PF1|+|PF2|＜|F1F2| 这与|PF1|+|PF2|≥|F1F2|矛盾，∴符合条件的P点不存在.
反思:本题也可以联立方程组消元后,用法求解.
例3.已知双曲线的焦点在轴上，且过点和，是双曲线上异于、的任一点，如果的垂心总在此双曲线上，求双曲线的标准方程.
解: 设P（，），∵PH⊥AB，由对称性知，H（，
-）∴，∴.设双曲线的方程为，将A（1，0）代入得a=1，故双曲线方程为，将P点坐标代入，得，
∴，即恒成立，∴=1，∴所求双曲线方程为.
四．课后作业：
1．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数 .
提示:4-=+2，a=±1.
2．平面内有两个定点、和一动点，设命题甲：是定值；命题乙：
点的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 （ ）
（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件；
（C）充要条件； （D）既不充分也不必要条件
提示:∵|MF1|-|MF2|=2（定值），必须是2＜|F 1F2|时点M的轨迹才是双曲线，∴选（B）.
3．如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等差数列，则离心率为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
提示:由 ，，得 ，∴， ∴选（D）.
4．已知双曲线，离心率，则的取值范围是 （ ）
（A）（-12,0） （B）（-∞,0） （C）（-3,0） （D）（-60,-12）
提示:∵2=4，b2=-m, ∴， 由1＜＜2, 解得m(-12,0)，∴选（A）.
5．．以为渐近线，且经过点的双曲线方程是________________.
提示:设双曲线方程为4x2-9y2=k, 将点(1,2)代入得，k=-32，
∴所求方程是4x2-9y2+32=0.
6．以椭圆的长轴的端点为焦点，且过椭圆焦点的双曲线方程是 .
提示 由题意，，，∴ 所求的方程为.
7．双曲线的离心率，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是———。提示 由，即c=2a，得，故所求的比为3：1.
8．双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且
，求△的面积.
解: 已知双曲线方程可化为，则a=3，b=4，c=5.由双曲线的定义知，
=6，又=2c=10，所以在△中，由余弦定理，得
=.
因此，=.
9．如图，是双曲线的实半轴，是虚半轴，为焦点， 且，，求该双曲线的方程.
解: 由题意知，，
，
∴，∴b2=3，从而a2=9， 故所求方程为.
10.直线：与以坐标轴为对称轴的双曲线交于、两点，点与、构成以为斜边的等腰直角三角形，求双曲线的方程.
解: A、B为以P为圆心|PA|为半径的圆与的交点.
P到的距离， |PA|=，
∴圆的方程为（x-5）2+(y-14)2=148.
5x-7y-1=0 x=3 x=17
由 得
(x-5)2+(y-14)2=148 y=2 y=12
所以A（3，2），B（17，12）.
设所求双曲线方程为mx2+ny2=1（mn＜0），将A、B两点坐标代入方程求得m=1,n=-2，
∴所求双曲线方程为x2-2y2=1.
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4一．课题：圆的方程（3）
二．教学目标：1.掌握圆的一般方程，知道它的特点；
2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径；
3.能用待定系数法由已知条件求出圆的方程．
三．教学重、难点：目标2，3．
四．教学过程：
（一）复习：写出圆的标准方程：．
（二）新课讲解：
1．圆的一般方程
将上述标准方程展开，整理，得，
可见，任何一个圆的方程都可以写成 　　　　　　　　①
的形式。
　　反过来，形如①的方程的曲线是否一定是圆呢？（学生思考、探索）
将①配方得：． 　　　　　　　　　 ②
把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：
（1）当时，方程①表示以为圆心，为半径的圆；
（2）当时，方程①表示一个点；
（3）当时，方程①不表示任何图形．
结论：当时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程形式上的特点：
（1）和的系数相同，且不等于；
（2）没有这样的二次项．
以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件．
说明：要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数、、就可以了．
（三）例题分析：
例1．求过三点、、的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．
解：设所求的圆方程为，
∵、、在圆上，
∴解得，
∴所求的圆方程为，
圆心坐标为，半径为．
注意：⑴由于所求的圆过原点，可设原的方程为；
⑵本题也可以换一种说法：已知中，三个顶点的坐标分别、、，求的外接圆的方程．
例2．已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．
解：设是曲线上任意一点，由题意：，
∴ ，化简得，　　①
这就是所求的曲线方程．
把方程①配方得：，所以方程①的曲线是以为圆心，为半径的圆．（作图）
注意：本题也可以一般化
已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．
提示：以直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设，则可以按照上例的方法求解。可得：
要注意讨论对曲线的形状的影响．
例3．已知圆与直线相交于、两点，定点，若
，求实数的值．
解：设、，
由，消去得：， ①
由题意：方程①有两个不等的实数根，∴，，
由韦答定理：，
∵，∴，∴，即，
即， ②
∵，∴，
，代入②得：，即，
∴，适合，所以，实数的值为．
五．课堂练习：．
六．小结：1．圆的一般方程及其形式特点；
2．求圆的方程，应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关，则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标，则宜用一般方程．
七．作业：课本第82页习题
补充：1．若圆与直线的交点为、，且（为原点），求的值．
2．已知圆：，直线：，
（1）证明：不论取何实数，直线与圆恒相交；
（2）求直线被圆截得的线段的最短长度及此时直线的方程．
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3
圆的方程（3）一．课题：椭圆的参数方程
二．教学目标：1.了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数、的含义；
2.通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识.
三．教学重、难点：巩固和掌握由曲线求方程及由方程研究曲线的方法；深入理解推导椭圆参数方程的推导过程.
四．教学过程：
（一）复习：
1．圆的参数方程：（为参数），其中为圆心坐标，为圆半径，为旋转角.
（二）新课讲解：
1．椭圆的参数方程：
引例：如图，以原点为圆心，分别以、为半径作两个圆，点是大圆半径与小圆半径的交点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，求当半径绕点旋转时的轨迹的参数方程.
分析：动点、是如何动的？点、有什么联系？如何选取参数较恰当？
解：设点坐标为，，以为参数，
则
，即 ①
即为点的参数方程，
消去①中的可得为椭圆的标准方程.
由此可知，点的轨迹是椭圆，方程①是椭圆的参数方程。
在椭圆的参数方程中，常数、分别是椭圆的长半轴长和
短半轴长。为离心角.
【练习1】把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程：
（1）；（2）；（3）；（4）．
（三）例题分析：
例1．在椭圆上求一点，使到直线：的距离最小.
解：（法一：几何法）
设与平行且与椭圆相切的直线方程为，
则由得，
，∴，
由图知，时距离最小，此时点坐标为，
此时，最短距离即为与间距离．
（法二）设点，则有
，，
当时，，
此时，，，∴，，
∴点坐标为．
【练习2】（1）把上例中距离“最小”改为“最大”；
（2）求椭圆的内接矩形的最大面积.
五．小结：椭圆的参数方程.
七．作业：
补充：
1．已知点，动点在椭圆上，求的最大值和最小值，当的坐标为时，的最值情况又如何？
2．在椭圆上求一点，使到直线的距离最大，并求出最大值.
3．点在圆：上移动，点在椭圆上移动，求的最大值及相应的点的坐标.
椭圆的参数方程一．课题：椭圆及其标准方程（1）
二．教学目标：1.理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念；
2.能由椭圆的定义推导椭圆的标准方程.
三．教学重、难点：椭圆的定义和标准方程；椭圆标准方程的推导.
四．教学过程：
（一）引入：
1．提问：①地球绕太阳旋转的轨迹是什么图形？（椭圆）
②列举一些椭圆的具体例子．
2．演示：
取一条一定长（）的细绳，把它的两个端点固定在小黑板上的和两点（），用笔尖拉紧绳，使笔尖在小黑板上慢慢地移动，画出一个椭圆．
提问：椭圆是满足什么条件的点的轨迹？（到定点距离等于定长的点的轨迹）
（二）新课讲解：
1．椭圆的定义：
平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距．
若为椭圆上任意一点，则有．
2．椭圆方程的推导：
（1）回顾求曲线方程的一般方法、步骤：建系、设点、列式、化简、说明。
（2）由学生思考建系方案，经对比、归纳后可得下列两种方案：
（3）选定方案一，推导方程：
①建系：以和所在直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系；
②设点：设是椭圆上任意一点，设，则，；
③列式：由得；
④化简：移项平方后得，
整理得，
两边平方后整理得
问题：能否美化结论的形象？
回顾：过点的直线的方程的推导过程，
可否得到启发？
由椭圆的定义知，，即，∴，
令，其中，代入上式，得，
两边除以，得：（）． （☆）
说明：（1）思考：以上方程中的大小关系如何？（）；
（2）方程（）（☆）叫做椭圆的标准方程。它表示焦点在轴上，焦点坐标为，，其中．
（3）若选择方案二建立坐标系，方程的形式又如何？（将☆式中的用代替可得（），它也是椭圆的标准方程。此时，椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，，其中）．
（4）在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆．
3．练习1：
（1）写出适合条件的椭圆的标准方程：
①焦点，，； ②焦点，，；
（答案①；②）
（2）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为．
（三）例题分析：
例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于；
（2）两个焦点的坐标分别是、，并且椭圆经过点．
解：（1）∵椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），
∵，，∴，
所以，椭圆的标准方程为．
（2）∵椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），
由椭圆的定义知，，
∴，又∵，∴，
所以，椭圆的标准方程为．
五．课堂练习：课本第94页练习 第1，2，3题，习题第4题。
六．小结：1．椭圆的定义、焦点、焦距的概念；
2．椭圆的标准方程的两种形式（焦点分别在轴、轴上）．
七．作业：课本第96页 练习第4题，习题第1（2）（3），2，3题．
补充：求椭圆（）的焦点坐标．
方案二
方案一
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椭圆及其标准方程（1）一．课题：含有绝对值的不等式
二．教学目标：1.要求学生掌握绝对值不等式的性质定理及其证明；
2.能熟练运用绝对值不等式的性质定理求解和证明含绝对值的不等式问题.
三．教学重、难点：绝对值不等式的性质定理的证明及其运用；
四．教学过程：
（一）复习：绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法.
1.当时，；
2.对一切实数，都有.
（二）新课讲解：
定理：.
证明：∵ ①
又∵，，
所以由①得：， 即 ②
综合①②得：.
说明：①左边可以“加强”，不等式同样成立，即；
②这个不等式俗称“三角形不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
【思考1】在上面的定理中，满足什么条件时，右边取“”？
满足什么条件时，左边取“”？
结论：在定理中，当时右边取“”；当，且时左边取“”；
在定理的“加强”中，当时右边取“”；当时左边取“”.
【思考2】上面的定理能否推广到三个字母或三个字母以上？
推论1：≤；≤.
【思考3】将定理中的改成，定理是否还成立？证明你的结论。
推论2：. 加强：.
证明（推论2）：在定理中以代得：，
即：.
例1．已知，，，求证：．
证明：，
，，，
∴，
∴.
例2．设都是不等于的实数，求证：.
证明：∵，，，，
∴， ①
②
又 ③
由①，②，③式，得.
例3．已知，，求证：.
证明：
，
由，，可知成立，所以.
说明：这道题的证明过程中，用了 这一结论.
【练习】1．已知：，，求证：.
2．已知：，，
求证：（1）； （2）.
3．求证：.
五．小结： 1．绝对值不等式的性质定理的证明及其运用；
2．运用绝对值不等式的性质定理，要注意等号成立的条件.
六．作业：补充：
1．求证：（1）；（2）；
2．（1）已知，，求证：；
（2）已知，求证：；
3．设为正整数，解不等式；
4．求证：；
5．求证：；
6. 已知，当时，求证：.
证一：
.
证二：（构造法）
如图：
由三角形两边之差小于第三边得：.
1
含有绝对值的不等式（1）一．课题：双曲线的几何性质（1）
二．教学目标：1．能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；
2．掌握双曲线的渐近线的概念和证明；
3．明确双曲线方程中的几何意义；
4．能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题.
三．教学重、难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线.
四．教学过程：
（一）复习：
1．双曲线的定义和标准方程；
2．椭圆的性质；
（二）新课讲解：以双曲线标准方程为例进行说明。
1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧.
注意：从双曲线的方程如何验证？
从标准方程可知，由此双曲线上点的坐标都适合不等式
即，即双曲线在两条直线的外侧.
2．对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.
在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点.
令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），
双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长.
虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长.
在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点.
4．渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.
在初中学习反比例函数时提到x轴y轴都是它的渐近线。高中三角函数，渐近线是.
所谓渐近，既是无限接近但永不相交。那么如何证明这个无限接近但永不相交？
思考：从哪个量上反映“无限接近但永不相交”？——距离。只要证明什么？——距离趋向于0.
下面证明，取第一象限内的部分进行证明.（见课本）
求法：求已知双曲线的渐近线方程：令右端的1为0，解出的直线方程即为双曲线的渐近线方程.
5．等轴双曲线：
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 定义式：
2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：
当时交点在轴，当时焦点在轴上。
6．注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。
共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。通过分析曲线的方程，发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。
1）性质：共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。
2）如何确定双曲线的共轭双曲线？将1变为。
3）共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征？可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上。
4）与双曲线有同一对渐近线的双曲线的方程可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上。
（三）．例题分析：
例1．求双曲线的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程。
解：把方程化标准方程：，由此可知，实半轴长，虚半轴长；
，焦点的坐标是
渐近线方程为，即。
例2．双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如左图），它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到）.
解：如图（右图），建立坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合；这时，上、下口的直径平行于轴，且，；设曲线的方程为：
令点的坐标为，则点的坐标为，因为点在双曲线上，所以 化简，得 解得
∴所求双曲线的方程为：.
例3．求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的方程.
解：∵与双曲线有共同渐近线
故设所求双曲线的方程为
又∵过点 ∴
∴所求双曲线的方程为即.
五．课堂练习：课本练习第1，3，4，5题
六．课堂小结：双曲线的性质：（可以让学生填写下表）
椭 圆 双 曲 线 不 同 点
标准方程
图 象
范 围
对 称 性
顶 点
渐 近 线
七．作业：课本习题8.4的第2（1）（2）（4），4题
补充：求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的方程.
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双曲线的几何性质（1）一．课题：圆的方程（2）
二．教学目标：1.能判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系；
2.会根据已知条件，求圆的方程或圆的切线方程．
三．教学重点：根据条件求出圆的标准方程或圆的切线方程．
四．教学难点：求圆的标准方程．
五．教学过程：
（一）复习引入：
1．圆的标准方程；
2．平面几何中判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的方法．
（二）新课讲解：
1．提出问题：
（1）已知点的坐标和圆的方程，如何判断点在圆内、圆上、圆外？
比较点到圆心的距离和半径的大小．
（2）已知直线和圆的方程，如何判断直线和圆是相交、相切、相离？
比较圆心到直线的距离与半径的大小；
将直线方程和圆方程联立方程组，判断方程组的解的个数．
（3）已知圆和圆的方程，如何判断它们是相交、相切、内含、外离？
比较圆心距与两半径和、半径差．
（三）例题分析：
例1．已知直线过点，且与圆：相交，求直线的倾斜角的取值范围．
（学生思考后口答或板演，探索不同解法）
解法一：设直线的方程为，即，
∵直线与圆相交，∴圆心到直线的距离小于半径，
即，化简得，∴，即，
当时，；当时，，
所以，的取值范围是．
解法二：设直线的方程为，
由 消去得：，
∵直线与圆相交，∴，
化简得，（以下同解法一）．
说明：（1）涉及直线与圆的位置关系的问题，常可运用以上两种方法；
（2）本题若改为选择题或填空题，也可利用图形直接得到答案．
例2．已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线方程．
解：当点不在坐标轴上时，设切线的斜率为，半径的斜率为，
∵圆的切线垂直于过切点的半径，∴，
∵，∴，∴经过点的切线方程是，
整理得：， 又∵点在圆上，∴，
∴所求的切线方程是．
当点在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适用．
例3．求过点，且与圆相切的直线的方程．
解：设切线方程为，即，
∵圆心到切线的距离等于半径，
∴，解得，
∴切线方程为，即，
当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径，故直线也适合题意．
所以，所求的直线的方程是或．
例4．已知一圆与轴相切，在直线上截得的弦长为，圆心在直线上，求此圆的方程．
解：∵圆心在直线上，∴设圆的方程为，
∵圆与轴相切，∴，
又圆心到弦的距离为，
∴，∴，，
所以，所求的圆方程为或．
说明：（1）求圆的方程，常用待定系数法，要注意用部分条件设方程（少设未知数），再用其余的条件求待定的系数；
（2）要十分重视平面几何知识在解题中的运用．
六．小结：1．求圆的切线方程的常用方法； 2．求圆的标准方程常用待定系数法．
七．作业：课本第88页复习参考题第23题，
补充：1.过点且与圆相切的直线的方程是 ．
2.已知圆：，求圆的在两坐标轴上截距相等的切线方程．
3.过圆外一点作直线与圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程。
4.已知一圆与直线切于点，且截轴所得弦长为，求圆的方程．
5.求经过点，且与直线、都相切的圆的方程．
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圆的方程（2）一．课题：不等式证明（5）
二．教学目标：1.灵活运用比较法、综合法、分析法证明不等式；
2.能利用函数、三角有关性质解决一些不等式问题.
三．教学重点、难点：证明方法的选择和恰当运用.
四．教学过程：
（一）复习：证明不等式的常用方法.
（二）新课讲解：
例1．若，证明：．
证明：左边，
令，则，
∵在上单调递减， ∴，
∴．
例2．设是的三边，是三角形的面积，求证：．
证明：∵，，
为了证明原不等式只需证：，
即证：，
即：，
即证：，
∵成立．
∴．
例3．设是的的三边，求证：．
解：∵， ， ，
∴，
∴，
由
，
∵是的的三边，
∴，，，
∴，
∴，
即．
例4．设，求证：．
证明：∵，∴，，
∵，
当时，，，∴，
当时，，，∴，
当时，∴，
∴，
∴．
五．小结：认真分析题意，寻找恰当的解题方法，并能结合函数、三角等有关知识来解决不等式问题.
六．作业：补充：
1．已知，求证： .
2．求证：.
3．已知关于的不等式（），对任意实数恒成立，求证：.
4．证明函数在定义域上是减函数.
5．设是的三边，且，求证：.
6．求证：．
不等式证明（5）一．课题：双曲线及其标准方程（1）
二．教学目标：1．掌握双曲线的定义；
2．推导双曲线的标准方程.
3．掌握两类标准方程，会求双曲线方程；
三．教学重点：双曲线的定义；
四．教学难点：推导双曲线方程.
五．教学过程：
（一）复习：1.椭圆定义及其标准方程；
2．椭圆中基本元素之关系：，
（二）新课讲解：
1．双曲线定义：
（1）问题：①把椭圆定义中的和改成差，动点的轨迹会发生什么变化？
②平面上与两点距离的差为非零常数的动点轨迹是什么？
③平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是什么？
（2）……………………（*）
注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下：
时为双曲线的一支（含的一支）；
时为双曲线的另一支（含的一支）.
②当时，表示两条射线.
③当时，不表示任何图形.
④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距.
（3）标准方程的推导：
取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴。设为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是.则：，又设与距离之差的绝对值等于（常数）
，
，
化简，得：，由定义
令代入，得：，两边同除得：
，此即为双曲线的标准方程。它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是，其中
若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程：
若焦点在轴上，则焦点是，将互换，得到，也是双曲线的标准方程.
2．椭圆和双曲线比较：
椭 圆 双 曲 线
定义
方程
焦点
注意：如何有方程确定焦点的位置！
3．例题分析：
例1．判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出其焦点的坐标.
① ② ③ ④
解：①是双曲线：，； ②是双曲线：；
③是双曲线：； ④是双曲线：.
总结：对于椭圆来说，注意到，则可以根据分母的大小，判断其焦点在哪个坐标轴上.
而对于双曲线而言，有，其中与的大小关系如何？可以为
是否是通过分母的大小，判断其焦点在哪个坐标轴上呢？------否.
那么如何判断其焦点在哪个坐标轴？双曲线标准方程的格式：平方差，注意当右断为正的时候，减数所含的未知数既是焦点所在的坐标轴.
例2．已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为
∵ ∴ ∴
所以所求双曲线的方程为.
例3．求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程.
解：椭圆的焦点为，可以设双曲线的方程为，则 又∵过点 ∴
综上得， 所以
六．课堂练习：课本练习第2题和第4题
七．课堂小结：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量之间的关系.
八．作业：课本习题8.3 第1，3，4
选做题：1.求与双曲线共焦点，且过点的双曲线的方程.
2．当时，方程表示怎样的曲线？
双曲线及其标准方程（1）一．课题：不等式证明（3）——分析法
二．教学目标： 1．熟悉分析法证明不等式的一般方法，能用分析法证明一些较简单的不等式；；
2．掌握分析法证明不等式的书写规范。
三．教学重点、难点：如何从结论分析出使结论成立的充分条件；
四．教学过程：
（一）复习：比较法，综合法证明不等式的一般方法.
（二）新课讲解：
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法.
例1．求证：．
证：（分析法）∵， 综合法：
只需证明：， ∵，
展开得： ， ∴，
即： ， ∴，
∴， ∴，
即：， ∴，
∵．成立 ∴．
∴．
说明：（1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不
等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；
（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综
合法的形式写出证明过程。
例2．设，证明不等式：．
证一：（分析法）证明原不等式不等式即证：，
即：，
即：，
∵， ∴只需证：，
又∵， ∴ 成立，
∴ ．
证二：（综合法）∵
．
∵， ∴．
例3．若，且为非负实数，求证：．
证明：要证，
只需证明，
展开得：，
又∵， ∴即证 ，
∵为非负实数， ∴，，，
三式相加得：，
∴成立， ∴．
例4．证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截
面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
证：设截面周长为，则周长为的圆的半径为，截面面积为，
周长为l的正方形边长为，截面积为，
∴本题只需证：> ，
即证：> ，两边同乘， 得：，
因此只需证：，显然是成立的，
∴ > ．
即：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面的周长相等，那么截面的圆的水管比截面
是正方形的水管流量大.
五．小结：分析法证明不等式的逻辑关系是：．即“执果索因”步步寻求上一步成立的充分条件，由于条件成立，所以结论成立.
六．作业（补充）：
1．已知：，求证：.
2．已知，证明：.
3．已知：，求证：.
4．求证： .
5．已知：，求证： .
6．某人乘坐出租车从地到地，有两种方案；第一种方案：乘坐的起步价为10元，每价为
元的出租车；第二种方案：乘坐起步价为8元，每为元的出租车，按出租车管理条例，在起
步价内，不同型号的出租车行驶的里程是相等的，则此人从地到地选择哪一种方案比较合适？
不等式证明（3）一．课题：不等式的解法举例（2）
二．教学目标：1.熟炼掌握分式不等式、绝对值不等式的解法；
2.能用序轴标根法解常见的高次不等式.
三．教学重、难点：等价转化.
四．教学过程：
（一）复习：解下列不等式：
（1）； （2）．
答案：（1）或或；（2）．
（二）新课讲解：
例1.解不等式．
解：原不等式化为：，即，
等价于，（序轴标根）
所以，原不等式的解集是或或．
说明：（1）使用序轴标根法，分解因式后，必须使各括号内的系数为正；
（2）若分式不等式有等号，则解集中应包括分子的根，但不包括分母的根.
例2.解不等式 ．
解：原不等式等价于且，（序轴标根）
所以，原不等式的解集为．
【变题】若原题目改为呢？
说明：若不等式对应的方程有重根，可转化为无重根，再解.
例3.解不等式．
解：原不等式等价于
即：，
，
所以，原不等式的解集为．
例4.为何值时，不等式恒成立？
解：原不等式可化为：，
而恒成立，
∴原不等式等价于恒成立，
由得．
五.小结：1. 使用序轴标根法，分解因式后，必须使各括号内的系数为正；
2. 若分式不等式有等号，则解集中应包括分子的根，但不包括分母的根；
3. 若不等式对应的方程有重根，可转化为无重根，再解.
六.作业：补充：
1．解不等式.
2．解不等式.
3．解不等式.
4．求适合不等式的x的整数解.
5．若不等式的解为,求的值.
6．为何值时，不等式对任意实数恒成立？
7．如果关于的不等式的解集是，求关于
的不等式的解集.一．课题：圆的方程（4）
二．教学目标：1.理解圆的参数方程，能熟练求出圆心在原点、半径为的圆的参数方程；
2.理解参数的意义；
3.理解圆心不在原点的圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程；
4.能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化，并能用之解题．
三．教学重、难点：目标1、3、4．
四．教学过程：
（一）复习：圆的标准方程和一般方程．
（二）新课讲解：（点题：圆的参数方程）
1．圆的参数方程的推导
设圆的圆心在原点，半径是，圆与轴的正半轴的交点是，设点在圆上从开始按逆时针方向运动到达点，，则点的位置与旋转角有密切的关系：
当确定时，点在圆上的位置也随着确定；
当变化时，点在圆上的位置也随着变化．
这说明，点的坐标随着的变化而变化。设点的坐标是，你能否将、分别表示成以为自变量的函数？
根据三角函数的定义，， ①
显然，对于的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在圆上．
我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为的圆的参数方程，是参数．
圆心为，半径为的圆的参数方程是怎样的？
圆可以看成由圆按向量平移得到的（如图），由可以得到圆心为，
半径为的圆的参数方程是 （为参数）②
2．参数方程的概念
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标、都是某个变数的函数，即　③
并且对于的每一个允许值，方程组③所确定的点都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系、之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数．
3．参数方程和普通方程的互化
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标、关系的方程，叫做曲线的普通方程．
将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化．
如：将圆的参数方程②的参数消去，就得到圆的普通方程．
4．练习：，练习1，2．
（三）例题分析：
例1．把下列参数方程化为普通方程：
（1） （为参数） （2） （为参数）
解：（1），
由得，这就是所求的普通方程。
（2）由原方程组得，把代入得，
化简得：（），这就是所求的普通方程。
说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围与、的取值范围之间的制约关系，
保持等价性。
例2．已知点是圆上的一个动点，定点，当点在圆上运动时，线段的
中点的轨迹是什么？
解：设点，∵圆的参数方程为，
∴设点，由线段中点坐标公式得，
即点轨迹的参数方程为，
∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆．
【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？
又解：设，，
∵点是线段的中点，∴，∴，
∵点在圆上，∴，∴，
即点的轨迹方程为，
∴点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆．
例3．已知实数、满足，（1）求的最大值；（2）求的最小值．
解：原方程配方得：，它表示以为圆心，为半径的圆，用参数方程可表示为 （为参数，），
（1），
∴当，即时，．
（2），
∴当，即时，．
说明：本题也可数形结合解．
五．小结：1．圆心为原点、半径为的圆的参数方程，（为参数）；
2．圆心为，半径为的圆的参数方程（为参数）；
3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．
六．作业：课本第81页练习第3题；第82页习题第9，10题；
补充：已知曲线的参数方程为（为参数），是曲线上任意一点，，求的取值范围．
PAGE
3
圆的方程（4）圆锥曲线复习讲义（2） 双曲线
一．复习目标：
1．正确理解双曲线的两种定义，能运用定义解题，能根据条件，求出双曲线的标准方程；
2．掌握双曲线的几何性质，能利用双曲线的几何性质，确定双曲线的标准方程 ；
3．掌握直线与双曲线位置关系的判定方法，能解决直线与双曲线相交的有关问题.
二．基础训练：
1．实半轴为，且与双曲线有公共焦点的双曲线的方程为.
2．焦点在轴上的双曲线过点，且与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为.
3．过点且与圆：外切的圆的圆心轨迹方程是
（x≥3）.
4．方程表示双曲线，则的取值范围是 （ A ）
（A）-1＜k＜1 （B） k＞0 （C）k≥0 （D）k＞1或k＜-1
5．已知双曲线上有一点到左焦点的距离为，那么点到右焦点的距离为 （ D ）
（A）2 （B）22 （C）7或17 （D）2或22
6. 椭圆与双曲线有公共焦点，，是两曲线的交点，则△的面积= .
+=2m =m+n
解: 不妨设点P在第一象限 -=2n 解得 =m-n
+===，
∴∠=.又,，
∴===1.
7．经过点，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线方程是.
三．例题分析：
例1．直线与双曲线 有两个交点，求实数的取值范围.
解： y=kx－1
消去y，得 (4－9k2)x2+18kx－45=0
4x2－9y2=36
4－9k2≠0
由条件得：
△=(18k)2－4·(－45)(4－9k2)＞0
∴ k的取值范围是.
反思: 解题过程中,△=(18k)2－4·(－45)(4－9k2)＞0,应提取36后再解,而不能直接死算.
例2．已知双曲线的左右焦点分别为、，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点，使是到的距离与的比例中项？
解： ∵c2=a2+b2=25+144=169, ∴c=13 e=.
假设双曲线左支上有一点P，使得|PF1|2=d·|PF2|
则……①
又∵|PF2|-|PF1 |=2a=10……②
解①②得|PF1|= |PF2|=
∴|PF1|+|PF2|= 而|F1F2|=2c=26，
从而|PF1|+|PF2|＜|F1F2| 这与|PF1|+|PF2|≥|F1F2|矛盾，∴符合条件的P点不存在.
反思:本题也可以联立方程组消元后,用法求解.
例3.已知双曲线的焦点在轴上，且过点和，是双曲线上异于、的任一点，如果的垂心总在此双曲线上，求双曲线的标准方程.
解: 设P（，），∵PH⊥AB，由对称性知，H（，
-）∴，∴.设双曲线的方程为，将A（1，0）代入得a=1，故双曲线方程为，将P点坐标代入，得，
∴，即恒成立，∴=1，∴所求双曲线方程为.
四．课后作业：
1．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数 .
提示:4-=+2，a=±1.
2．平面内有两个定点、和一动点，设命题甲：是定值；命题乙：
点的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 （ ）
（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件；
（C）充要条件； （D）既不充分也不必要条件
提示:∵|MF1|-|MF2|=2（定值），必须是2＜|F 1F2|时点M的轨迹才是双曲线，∴选（B）.
3．如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等差数列，则离心率为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
提示:由 ，，得 ，∴， ∴选（D）.
4．已知双曲线，离心率，则的取值范围是 （ ）
（A）（-12,0） （B）（-∞,0） （C）（-3,0） （D）（-60,-12）
提示:∵2=4，b2=-m, ∴， 由1＜＜2, 解得m(-12,0)，∴选（A）.
5．．以为渐近线，且经过点的双曲线方程是________________.
提示:设双曲线方程为4x2-9y2=k, 将点(1,2)代入得，k=-32，
∴所求方程是4x2-9y2+32=0.
6．以椭圆的长轴的端点为焦点，且过椭圆焦点的双曲线方程是 .
提示 由题意，，，∴ 所求的方程为.
7．双曲线的离心率，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是———。提示 由，即c=2a，得，故所求的比为3：1.
8．双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且
，求△的面积.
解: 已知双曲线方程可化为，则a=3，b=4，c=5.由双曲线的定义知，
=6，又=2c=10，所以在△中，由余弦定理，得
=.
因此，=.
9．如图，是双曲线的实半轴，是虚半轴，为焦点， 且，，求该双曲线的方程.
解: 由题意知，，
，
∴，∴b2=3，从而a2=9， 故所求方程为.
10.直线：与以坐标轴为对称轴的双曲线交于、两点，点与、构成以为斜边的等腰直角三角形，求双曲线的方程.
解: A、B为以P为圆心|PA|为半径的圆与的交点.
P到的距离， |PA|=，
∴圆的方程为（x-5）2+(y-14)2=148.
5x-7y-1=0 x=3 x=17
由 得
(x-5)2+(y-14)2=148 y=2 y=12
所以A（3，2），B（17，12）.
设所求双曲线方程为mx2+ny2=1（mn＜0），将A、B两点坐标代入方程求得m=1,n=-2，
∴所求双曲线方程为x2-2y2=1.
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4高二数学复习讲义（二）
不等式（2）
一．基础训练：
1.已知集合，，若，则实数的取值范围为 ．
2.不等式的解集为 ．
3.若，则不等式的解为 ．
4．当时，对一切恒成立 ．
5. 已知对任意都成立，则实系数的取值范围为 ．
6．若关于的不等式的解集为空集，则的取值范围是 ．
7. 不等式的解集为 ．
二.例题分析：
例1． 解关于的不等式 ．
解：原不等式等价于，即， ①
（1）若时，由①得 ，∴；
（2）若时，由①得 ，∴；
（3）若时，由①得 ， ②
又∵，
∴当时，，由②得： 或；
当时，，由②得： ；
当时，，由②得：或；
综上所述：（略）
例2.四边形的两条对角线相交于，如果的面积为，的面积为，求四边形的面积的最小值，并指出最小时四边形的形状.
解：设，，则
，，
，，
∴
，当且仅当时取“”，
∴的最小值为，此时由得：，即，∴，
即四边形是梯形.
例3.有一批影碟机原销售价为元，在甲、乙两家商场均有销售。甲商场用如下的方法促销：买一台单价为元，买两台每台单价为元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少元，但每台最低不能低于元；乙商场一律都按原价的销售。某单位需购买一批此类影碟机，应去哪家商场购买？
解：设此单位需购买台影碟机，在甲商场购买共需花费元，在乙商场购买共需花费元，由题意：，∴，
，
，，，
设此单位在甲、乙两家商场购货的差价为，则
当，由得 ，∴；
由得 ；
由得 ，∴；
当时，．
答：若买少于台影碟机，则应去乙商场购买；若买台，去甲、乙商场均可；若买超过台，则应去甲商场购买.
三．课后作业： 班级 学号 姓名
1.与不等式同解的不等式是 （ ）
2.已知，则 是 的 （ ）
充分而不必要条件 必要而不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
3.设为实数，关于的方程的解不大于，则 （ ）
或
或或
4.设，，则的取值范围为 ．
5.函数的最大值为 ．
6.若函数的最小值为，则实数的值为 ．
7.解不等式．
8. 解关于的不等式．
9.一个由辆汽车组成的车队，每辆车车长为米。当车队以速度（千米/小时）行驶时，相邻两辆车的车距至少为米，现车队要通过一座长为米的大桥，问车速为多少时，车队通过大桥所用的时间最少？最少需要多少分钟？
10.如图，某水泥渠道，两侧面的倾角均为，横断面是面积为定值（平方米）的等腰梯形，为使建造该渠道所用的水泥最省，腰长（米）与底宽（米）之比应是多少？一．课题：圆的方程（1）
二．教学目标：1.掌握圆的标准方程及其特点，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；能从圆的标准方程中熟练地求出它的圆心坐标、半径；
2.会根据不同的已知条件，利用待定系数法建立圆的标准方程；
3．能运用圆的标准方程解决一些实际问题.
三．教学重点：根据条件求出圆的标准方程.
四．教学难点：运用圆的标准方程解决一些实际问题.
五．教学过程：
（一）复习引入：
1．圆的定义；
2．提出问题：根据圆的定义，怎样求出圆心是，半径是的圆的方程？
（二）新课讲解：
1．圆的标准方程 （由学生推导）
设是圆上任意一点，由点到圆心的距离等于，
得：，
两边平方得：．
此方程即为圆心是，半径是的圆的方程。我们把它叫做圆的标准方程．
说明：（1）圆的标准方程由圆心和半径确定，已知圆心坐标和半径就可写出圆的标准方程；由圆的标准方程也可直接得到圆心坐标和半径；
（2）如果圆心在原点，那么圆的方程就是．
（三）例题分析：
例1．求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。（学生思考后口答或板演）
解：由题意：圆的半径，
又圆心为，∴所求的圆的方程为．
例2．一圆过原点和点，圆心在直线上，求此圆的方程。（学生思考、探索不同解法）
解法一：∵圆心在直线上， ∴设圆心坐标为，
则圆的方程为，
∵点和在圆上，
∴，解得，
所以，所求的圆的方程为．
解法二：由题意：圆的弦的斜率为，中点坐标为，
∴弦的垂直平分线方程为，即，
∵圆心在直线上，且圆心在弦的垂直平分线上，
∴由解得，即圆心坐标为，
又∵圆的半径，
所以，所求的圆的方程为．
说明：（1）圆的标准方程中有三个量，要求圆的标准方程即要求三个量，有时可用待定系数法；
（2）要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用．
例3．如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度，拱高，在建造时每
隔需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到）．
解：建立坐标系如图，圆心在轴上，由题意：，，
设圆的方程为，∵点和在圆上，
∴，解得：，
∴这个圆的方程是，
设点，由题意，代入圆方程得：，
解得，
答：支柱的长度约为．
六．课堂练习：课本第77页练习1，2．
七．小结：1．圆的标准方程；
2．圆的标准方程中有三个量，要求圆的标准方程，需有三个独立条件．
3．求圆的标准方程常用待定系数法。
八．作业：第81页习题第1，2，4题，
补充：求经过点，圆心在直线上，且和直线相切的圆的标准方程．
PAGE
2
圆的方程（1）一．课题：不等式性质（2）
二．教学目标：1．理解同向不等式，异向不等式概念，掌握并会证明定理1，2，3；
2．初步理解证明不等式的逻辑推理方法.
三．教学重点、难点：定理1，2，3及推论的证明思路及运用.
四．教学过程：
（一）复习：实数运算的符号法则：
；
；
．
（二）新课讲解：
1．同向不等式，异向不等式概念：
同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.
例：是异向不等式，是同向不等式.
2．不等式的性质：
定理1：若，则；若，则．即．
说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性。
证明：∵，∴，
由正数的相反数是负数，得：， ∴，∴．
（定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证．）
定理2：若，且，则．
证明：∵，∴，
根据两个正数的和仍是正数，得：，∴，∴．
说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性.
定理3：若，则．
证明：，
∴．
说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；
（2）定理3的证明相当于比较与的大小，采用的是求差比较法；
（3）定理3的逆命题也成立（可让学生自证）；
（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。
理由是：根据定理3可得出：若，则即
定理3推论：若．
证明：∵， ∴ ①
又∵， ∴ ②
由①、②得．
说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；
（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向。
例1．已知，求证
证明：由知，由知，
，
∴．
例2．已知，，比较与的大小．并说明在什么条件下与相等。
解：∵，
∴ （1）
又 ∵，，
∴，
，
∴ （2）
由（1）（2）知
当（1）（2）同时取等号时，即且时与相等。
五．小结：要求大家熟悉并掌握定理1，2，3，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法。
六．作业：
补充：1．能否判定下列两式大小？若能加以证明，若不能举出反例。
（1）如果，判断与的大小；
（2）如果，判断与的大小；
（3）如果，判断与的大小；
（4）如果，判断与的大小。
2．已知：，求的取值范围。
不等式性质（2）§7.5 线 性 规 划 模 型
1、 问题的提出
在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果.
例1 若需在长为4000mm的圆钢上 ，截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎样截取才能使残料最少？
初步分析 可以先考虑两种“极端”的情况：
（1） 全部截出长为698mm的甲件，一共可截出5件，残料长为510mm。
（2） 全部截出长为518mm的乙件，一共可截出7件，残料长为374mm。
由此可以想到，若将 x个甲件和y 个乙件搭配起来下料，是否可能使残料减少？把截取条件数学化地表示出来就是：
698 x + 518y 4000
x ，y都是非负整数
目标是使：z = （材料利用率）尽可能地接近或等于1。（尽可能地大）
该问题可用数学模型表示为：
目标函数： max z =
满足约束条件：　　698 x + 518y 4000 ， (1)
　　　　　x ，y都是非负整数 . (2)
例2 某工厂在计划期内要安排生产I 、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台数及A、B两种原料的消耗，如下表所示。
I II
设备 1 2 8台数
原材料A 4 0 16kg
原材料B 0 4 12kg
该工厂每生产一件产品I可获利 2 元，每生产一件产品II可获利 3 元，问应如何安排生产计划使工厂获利最多？
这问题可以用以下的数学模型来描述：设 x 1, x 2分别表示在计划期内产品I、II的产量。因为设备的有效台数为8，这是一个限制产量的条件，所以在确定I 、II的产量时，要考虑不超过设备的有效台数，即可用不等式表示为：
x 1 + 2x 2 8 .
同理，因原材料A 、B的限量，可以得到以下不等式组：
4 x 1 16
4 x 2 12.
该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x 1、x 2以得到最大的利润。若用 z 表示利润，这时z = 2x 1 + 3 x 2 。综上所述，该计划问题可用数学模型表示为：
目标函数： max z = 2x 1 + 3 x 2
满足约束条件： x 1 + 2x 2 8
4 x 1 16
4 x 2 12.
x 1 ，x 2 0
该模型的特征是：
（1） 有一组决策变量（x 1 ,x 2 ,…,x n）表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案.一般这些变量取值是非负的.
（2） 存在一定的约束条件，这些约束条件可用一组线性等式（不等式）组来表示.
（3） 有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示.按问题的不同，要求实现目标函数最大化或最小化.
满足以上三个条件的数学模型称为线性规划模型. 其一般形式为：
目标函数： max(min) z = c 1x 1 + c 2x 2 + …+ c nx n
a11x 1 + a12x 2 +….+ a13x n (= , ) b 1
a21x 1 + a22x 2 +…. + a23x n (= , ) b2
满足约束条件： … …
a m1x 1 + a m2x 2 +….+ a m3x n (= , ) b m
x 1 ,x 2 ,…, x n 0
2、 穷举法
以例1为例介绍穷举法。
先根据（1）求出x 所有可能的取值为：0、1、2、3、4、5，再由（1）把相应y 的最大值求出，对应为7、6、5、3、2、0，依此计算住z值如下表：
x 0 1 2 3 4 5
y 7 6 5 3 2 0
z 90.65% 95.15% 99.65% 91.20% 95.70% 87.25%
由表可知，在一根圆钢上截取2个甲件和5个乙件，可以得到最高的材料利用率99.65%。
例2作为课后练习。
三、图解法
1、 用二元一次不等式表示平面区域
y y y y
o x o x o x o x
ax + by > c ax +by < c ax +by >c ax +by < c
a>0, b >0 a >0, b<0 a>0, b<0 a>0, b<0
2． 图解法
图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。现对例1进行图解。
条件（1）、（2）对应的恰好是图1中斜线下方和两条坐标轴在第一象限中的三角形AOB内的整点（即横、纵坐标都是整数的点）。当整点越靠近直线AB，残料就越少（若AB恰好过其中一个整点，则该整点坐标所对应的截料方法一定是无残了的最佳截料方法）。比较C、D、E、F、G、H，知E（2，5）距直线AB最近，故知取x =2，y = 5是材料利用率最高的截料方法。
在以x1、x2为坐标轴的直角坐标系中，非负条件x1, x2 0 是指第一象限（及x轴正半轴、y轴正半轴)。每一个约束条件都表示一个半平面。若约束条件 x 1 + 2x 2 8 是代表以直线x 1 + 2x 2 = 8为边界的左下方的半平面。 x2 4x1 = 16
若同时满足x 1 + 2x 2 8，4 x 1 16， x 1 + 2x 2 = 8 4x 2=12
4 x 2 12和x 1 ，x 2 0约束的点， Q4 Q3
必然在由这三个半平面围成的区域内。 3 Q2
由例1的所有约束条件为半平面围成 2
的区域见右图阴影部分。阴影区域中 1
的每一个点（包括边界点）都这个线 Q1 x1
性规划问题的解。 o
再分析目标函数max z = 2x 1 + 3 x 2，在这坐标平面上，它表示以 z为参数、– 为斜率的一族平行直线 ：
x 2 = – x1 +
位于同一直线上的点，具有相同的目标函数值，因而称它为“等值线”。当z值由小变大时，直线x 2 = – x1 + 沿其法线方向（法线方向是指与直线垂直的方向）向上方移动。当移动到Q 2点时，使z值在可行域（阴影部分）边界上实现最大化，这就得到了例 1 的最优解Q2，Q2点的坐标为（4，2）。于是算得z =14。
这说明该厂的最优生产计划方案是：生产产品I 4件，生产产品更新换代II 2件，可得到最大利润为14元.
练习：
1． 某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获利70元；生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利120元。有一个生产日，这个厂可动用的煤是360吨，电力是200千瓦，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少？（甲20件，乙24件，获利4280元）
2． 电视台为某个广告公司特约播放两套片集。其中片集甲播映时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万，片集乙播映时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万。广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于80分钟的节目时间。电视台每周应播映两套片集各多少次，才能获得最高的收视率？
3． 预测2000年奥运会男子铅球的成绩。（资料来源：1996-08-02《体育报》）
届次 成绩（米） 届次 成绩（米） 届次 成绩（米）
7 14．81 15 17．41 21 21．05
8 14．955 16 18．57 22 21．35
9 15．87 17 19．68 23 21．26
10 16．005 18 20．33 24 22．47
11 16．20 19 20．54 25 21．70
14 17．12 20 21．18 26 ？
4． 预测2000年我国进出口总额。（资料来源：1994年《中国经济统计年鉴》及1997-1-2
《人民日报》）
年份 进出口总额 年份 进出口总额 年份 进出口总额
1981 4 1987 6．8 1993 19．6
1982 3．9 1988 7．9 1994 24
1983 4 1989 11．2 1995 28．1
1984 5 1990 11．5 1996 29
1985 6 1991 13．5
1986 6 1992 16．6 2000 ？
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4一．课题：两直线的位置关系（3）
二．教学目标：1.理解并会准确地表述两条直线的夹角和直线到的角的概念，知道它们的联系和区别；
2. 掌握两条直线夹角和直线到的角的计算公式及推导，并会进行应用；
3．培养学生周密分析，严格论证的能力，进一步体会解几的基本思想和方法。
三．教学重点：两条直线的夹角及两条直线的夹角公式。
四．教学难点：区别“到角”和“夹角”的概念。
五．教学过程：
（一）复习：
1．两条直线平行和垂直的充要条件是什么？
2．两条直线在什么条件下相交？
（二）新课讲解：
问题引入：如图，直线和相交构成几个角，它们有什么关系？
1．直线到直线的角
定义：把直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，叫做到的角。（图中的）
说明：（1）范围：；（2）是直线到的角，且+=．
2．两直线的夹角
由上面的定义可知，当和不相等时必有一个是锐角，一个是钝角。
定义：当直线和相交但不垂直时，我们把其中的锐角叫做两条直线的夹角，记为，
当时，直线和的夹角是．夹角的范围：．
3．到角公式和夹角公式及其推导
设直线和的斜率分别是、，直线到的角为，
直线和的方程分别是：，：，
（1）若，即=时，=；
（2）当时，设、的倾斜角分别是、，则，
（让学生思考以后，画图，注意两种情况）
由图可知：，或
∴或]，
而，
∴．
结论：（1）到角公式：；（2）夹角公式：=．
说明：公式的适用范围是两直线都有斜率，并且不垂直，对于两直线中有一条的斜率不存在时，用数形结合求解。
（三）例题分析：
例1．求直线：，：的夹角（用反三角函数表示）。
解：∵，，∴，∴．
例2．已知直线：，直线：（，，），直线到的角为，求证：．
证明：设两条直线的斜率分别为、，则，，
∴．
例3．求直线与直线的夹角。（解法：数形结合，答案：）．
例4．等腰三角形一腰所在的直线的方程为，底边所在的直线的方程为，点在另一腰上，求这条腰所在直线的方程。
解：设的斜率分别为，到的角为，到的角为，
则，，，
∵组成的三角形是等腰三角形，∴，∴，
即，把代入，得，
∵直线经过点，∴由点斜式方程得，
即，这就是直线的方程。
六．课堂练习：
1．课本P50第1（1）2（2）（3）；
2．补充：已知直线过点，且与直线的夹角为，求直线的方程。
（答案：或）．
七．小结：1．直线到的角的概念、两直线夹角的概念及它们的区别；
2．到角与夹角的计算公式及应用条件。
八．作业：1．课本第54页第8、9、10题；2．数学之友P45 B（1） C（2）．
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2
两直线的位置关系（3）一．课题：圆的方程（1）
二．教学目标：1.掌握圆的标准方程及其特点，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；能从圆的标准方程中熟练地求出它的圆心坐标、半径；
2.会根据不同的已知条件，利用待定系数法建立圆的标准方程；
3．能运用圆的标准方程解决一些实际问题.
三．教学重点：根据条件求出圆的标准方程.
四．教学难点：运用圆的标准方程解决一些实际问题.
五．教学过程：
（一）复习引入：
1．圆的定义；
2．提出问题：根据圆的定义，怎样求出圆心是，半径是的圆的方程？
（二）新课讲解：
1．圆的标准方程 （由学生推导）
设是圆上任意一点，由点到圆心的距离等于，
得：，
两边平方得：．
此方程即为圆心是，半径是的圆的方程。我们把它叫做圆的标准方程．
说明：（1）圆的标准方程由圆心和半径确定，已知圆心坐标和半径就可写出圆的标准方程；由圆的标准方程也可直接得到圆心坐标和半径；
（2）如果圆心在原点，那么圆的方程就是．
（三）例题分析：
例1．求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。（学生思考后口答或板演）
解：由题意：圆的半径，
又圆心为，∴所求的圆的方程为．
例2．一圆过原点和点，圆心在直线上，求此圆的方程。（学生思考、探索不同解法）
解法一：∵圆心在直线上， ∴设圆心坐标为，
则圆的方程为，
∵点和在圆上，
∴，解得，
所以，所求的圆的方程为．
解法二：由题意：圆的弦的斜率为，中点坐标为，
∴弦的垂直平分线方程为，即，
∵圆心在直线上，且圆心在弦的垂直平分线上，
∴由解得，即圆心坐标为，
又∵圆的半径，
所以，所求的圆的方程为．
说明：（1）圆的标准方程中有三个量，要求圆的标准方程即要求三个量，有时可用待定系数法；
（2）要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用．
例3．如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度，拱高，在建造时每
隔需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到）．
解：建立坐标系如图，圆心在轴上，由题意：，，
设圆的方程为，∵点和在圆上，
∴，解得：，
∴这个圆的方程是，
设点，由题意，代入圆方程得：，
解得，
答：支柱的长度约为．
六．课堂练习：课本第77页练习1，2．
七．小结：1．圆的标准方程；
2．圆的标准方程中有三个量，要求圆的标准方程，需有三个独立条件．
3．求圆的标准方程常用待定系数法。
八．作业：第81页习题第1，2，4题，
补充：求经过点，圆心在直线上，且和直线相切的圆的标准方程．
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2
圆的方程（1）第七章直线和圆方程复习讲义（2）
曲线与圆方程
一．内容提要：
1．曲线与方程：
2．求曲线方程：
3．圆方程：
4．圆与直线：
二．基础训练：
1．设直线与轴的交点为，点把圆的直径分为两段，则其长度之比为 （ A ）
（）或 （）或 （）或 （）或
2．直线与圆的位置关系是 （ A ）
（）过圆心 （）相切 （）相离 （）相交但不过圆心
3．若直线与圆相切，则为 （ C ）
（）0和2 （） （）2 （）无解
4．圆上到直线的距离为的点共有 （ C ）
（）1个 （）2个 （）3个 （）4个
5．方程表示的曲线是 （ D ）
（）直线 （）射线 （）圆 （）两个半圆
6．圆与轴交于两点，圆心为，若，
则 。
7．过点引圆的两条切线，则切线方程为： 和
；过两切点的直线方程为 .
8．与圆相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有 4 条.
三．例题分析：
例1．自点发出的光线射到轴上被轴反射，其反射线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程.
答案：
例2．已知点，点，直线与圆E：相交于点两点，且；
（1）求的值；答案：8
（2）求线段的中点的轨迹方程；
（3）求的面积的最小值.
例3．已知直线；
（1）求证：对与的交点恒在一个定圆上；
（2）若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一个交点为，求面积的最大值及对应的.
答案：（1）（2）
四．课后作业： 班级 学号 姓名
1．两圆和的位置关系是 （A ）
外切 内切 相交 相离
2．以为圆心的圆与直线相离，那么圆的半径的取值范围是(C)
3．两圆与外切，则的值是 （ D）
4．已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ D）
或 或
5．如果把圆沿向量平移到，并与直线相切，则的值为 （A）
2或 或 或 或
6．已知点是圆上任意一点，则的最大值为，的最大值为.
7．已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的方程.
答案：.
8．求经过点外一点与圆相切的直线方程.
答案：.
9．求与轴相切并与圆相外切的动圆的圆心的轨迹方程.
答案：.
10．求以圆和圆的公共弦为直径的圆的方程.
答案：.
11．点是圆内的一个定点，圆上动点满足，求动弦中点的轨迹方程。
答案：.
12．已知实数满足，求使不等式恒成立的实数的取值范围.
答案：.
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2一．课题：不等式性质（1）
二．教学目标：1．掌握实数的运算性质与大小顺序间关系，进一步了解数形结合思想；
2．掌握求差法比较两实数或代数式大小.
三．教学重、难点：比较两个实数的大小.
四．教学过程：
（一）复习：两实数的大小关系。
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．例如，在图一中，点表示实数，点表示实数,点在点右边，那么．
我们再看图一，表示减去所得的差是一个大于的数即正数.
一般地：
若，则是正数；逆命题也正确．
类似地，若，则是负数；若，则；它们的逆命题都正确.
这就是说：
；
；
．
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.
（二）新课讲解：
1．比较两实数大小的方法——求差比较法：
比较两个实数与的大小，归结为判断它们的差的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.
2．例题分析：
例1．比较与的大小.
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小．
解：
∴．
例2．已知，比较与的大小.
分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.
解：，
由得，从而．
例3．设且比较与的大小.
解：
当时，则，∴；
当时，则 ∴，
∴总有．
例4．比较与的大小.
解：，
∴．
五．课堂练习：
1．比较 的大小；
2．如果,比较 的大小；
3．已知,比较与的大小.
六．课堂小结：
1．求差比较法来比较两实数或代数式的大小的一般步骤：作差—变形—判断—结论；
2．为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负.
七．作业：
补充：1．比较与的大小；
2．比较与的大小；
3．设，比较与的大小；
4．比较与的大小；
5．比较与的大小；
6．设，比较与的大小.
图6—1
不等式的性质（1）一．课题：含有绝对值的不等式
二．教学目标：1.要求学生掌握绝对值不等式的性质定理及其证明；
2.能熟练运用绝对值不等式的性质定理求解和证明含绝对值的不等式问题.
三．教学重、难点：绝对值不等式的性质定理的证明及其运用；
四．教学过程：
（一）复习：绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法.
1.当时，；
2.对一切实数，都有.
（二）新课讲解：
定理：.
证明：∵ ①
又∵，，
所以由①得：， 即 ②
综合①②得：.
说明：①左边可以“加强”，不等式同样成立，即；
②这个不等式俗称“三角形不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
【思考1】在上面的定理中，满足什么条件时，右边取“”？
满足什么条件时，左边取“”？
结论：在定理中，当时右边取“”；当，且时左边取“”；
在定理的“加强”中，当时右边取“”；当时左边取“”.
【思考2】上面的定理能否推广到三个字母或三个字母以上？
推论1：≤；≤.
【思考3】将定理中的改成，定理是否还成立？证明你的结论。
推论2：. 加强：.
证明（推论2）：在定理中以代得：，
即：.
例1．已知，，，求证：．
证明：，
，，，
∴，
∴.
例2．设都是不等于的实数，求证：.
证明：∵，，，，
∴， ①
②
又 ③
由①，②，③式，得.
例3．已知，，求证：.
证明：
，
由，，可知成立，所以.
说明：这道题的证明过程中，用了 这一结论.
【练习】1．已知：，，求证：.
2．已知：，，
求证：（1）； （2）.
3．求证：.
五．小结： 1．绝对值不等式的性质定理的证明及其运用；
2．运用绝对值不等式的性质定理，要注意等号成立的条件.
六．作业：补充：
1．求证：（1）；（2）；
2．（1）已知，，求证：；
（2）已知，求证：；
3．设为正整数，解不等式；
4．求证：；
5．求证：；
6. 已知，当时，求证：.
证一：
.
证二：（构造法）
如图：
由三角形两边之差小于第三边得：.
1
含有绝对值的不等式（1）一．课题：直线的倾斜角和斜率（2）
二．教学目标：1.掌握经过两点和的直线的斜率公式：（）；
2.进一步理解倾斜角和斜率的相互联系.
三．教学重、难点：过两点的直线的斜率公式；斜率公式的推导.
四．教学过程：
（一）复习：
1．直线的倾斜角为，则如何求斜率？
2．直线的倾斜角为，斜率为，则当及时，与之对应的的取值范围是什么？
（二）新课讲解：
1．过两点的直线的斜率公式
已知点、，且与轴不垂直，用的坐标来表示的斜率．
作图如上，以（1）为例，图（2）情形由学生自证。
设直线的倾斜角为，向量的方向是向上的，过原点作向量，
∵向量的坐标为，
∴点的坐标为，且直线倾斜角为，
根据正切函数的定义有：，即．
归纳可得斜率公式：过两点、的直线的斜率公式．
方向向量：直线上的向量及与它平行的向量。
斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：
（1）由、点的坐标求的值；
（2）已知及中的三个量可求第四个量；
（3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求；
（4）证明三点共线。
2．例题分析：
例1．求经过点，的直线的斜率和倾斜角.
解：，即，
又∵，∴，
所以，该直线的斜率是，倾斜角是．
例2．求过下列两点的直线的斜率及倾斜角．
（1），；（2），；（3），．
解：（1）∵与轴垂直，∴直线斜率不存在，倾斜角；
（2），
∴直线斜率为，倾斜角；
（3），
∴直线斜率为，倾斜角．
说明：用反三角函数表示直线倾斜角：当斜率时，；当时，；
当时，．
例3．若三点，，共线，求实数的值。
解：，，
∵三点共线，∴，
∴， ∴．
例4．已知三角形的顶点，，，的中点为，当斜率为时，
求的值及的长.
解：点的坐标为，
∴，∴，∴点坐标为，
∴．
五．课堂练习：课本第37页练习3，4，5．
六．小结：1．过两点的直线的斜率公式.
七．作业：第37页习题第4，5题.
补充：
1．已知点，，过点的直线与线段有公共点，求直线的斜率的取值范围；
2．求经过两点和（）的直线的斜率，并求出其倾斜角及其取值范围.
（1）
（2）
直线的倾斜角和斜率（2）基本不等式应用题
最值问题
一．教学目标：1．进一步掌握用均值不等式求函数的最值问题；
2．能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题。
二．教学重点、难点：化实际问题为数学问题。
三．教学过程：
（一）复习：1．均值不等式：
2．极值定理：
（二）新课讲解：
例1．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深为，如果池底每的造价为元，池壁每的造价为元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
例2．如图，设矩形的周长为，把它关于折起来，折过去后，交于，设，求的最大面积及相应的值。
例3．甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为，固定部分为元，
（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/时）的函数，指出定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
四．课后作业： 班级 学号 姓名
1．一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时
菜园的面积最大，最大面积是多少？
2．在直径为的圆的内接矩形中，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大，最大面积是多少？
3．已知直角三角形两条直角边的和等于，求面积最大时斜边的长，最大面积是多少？
4．（1）在面积为定值的扇形中，半径是多少时扇形周长最小？
（2）在周长为定值的扇形中，半径是多少时扇形面积最大？
5．某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为元，房屋侧面的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元。一．课题：椭圆与直线的位置关系（1）
二．教学目标：1.掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法；
2.能熟练地运用弦长公式求椭圆与直线相交时的弦长问题.
三．教学重、难点：目标1，2．
四．教学过程：
（一）复习：圆与直线的位置关系的判定方法；
（1）代数方法：消元，判断；（2）几何方法：圆心到直线的距离与圆半径进行比较.
（二）新课讲解：
1．椭圆与直线的位置关系的判定：
例1．当为何值时，直线与椭圆相交？相切？相离？
解：由得，
∴
当，即时，直线和椭圆相交；
当，即时，直线和椭圆相切；
当，即或时，直线和椭圆相离.
说明：1.直线与椭圆的位置关系可由它们的交点个数来判断，即通过直线与椭圆方程联立的方程组的解的个数来判断.
2.要讲究运算次序,不用计算器.
例2．如图，已知椭圆的焦点分别是、，过中心作直线与椭圆相交于、两点，若要使的面积是，求该直线方程.
解：∵，∴可设所在直线方程为，
由消去得：，
∴，
∴，
由得，
∴直线的方程为，即．
说明：⑴此题要能注意到是有公共边的两个和的面积之和，故只需构造关于的一元二次方程，利用韦达定理求出两个三角形高的和；
⑵设直线方程为比设好，可避免讨论斜率不存在的情况.
⑶已知椭圆的焦点分别是、，点在椭圆上，，求证：的面积为.
2．弦长问题：
例3．求直线被椭圆所截得的弦长.
解：（法一）由得或，
∴弦长为．
（法二）设直线与椭圆的交点为，，
由消去得，
∴，，
∴弦长．
说明：弦长公式，不仅适用于圆，也适用于椭圆及双曲线等二次曲线.
五．小结：1．直线与椭圆位置关系的判定方法；
2．弦长问题（弦长公式）.
七．作业：课本第103页 第11题，第132页 A组第8题，第133页 B组第3题，
补充：1．求中心在坐标原点，坐标轴为对称轴，过点，且与直线有且只有一个公共点的椭圆方程；
2．已知直线：，椭圆：，
（1）求证：直线与椭圆有两个交点；（2）求这两个公共点所成线段的长.
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椭圆与直线的位置关系（1）一．课题：几何平均数与算术平均数（3）
二．教学目标：1．进一步掌握用均值不等式求函数的最值问题；
2．能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题。
三．教学重点、难点：化实际问题为数学问题。
四．教学过程：
（一）复习：1．均值不等式； 2．极值定理。
（二）新课讲解：
例1．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为,深为，如果池底每的造价为元，池壁每的造价为元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
解：设水池底面一边的长度为，水池的总造价为元，根据题意，得：
当．
因此，当水池的底面是边长为的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是元。
例2．如图，设矩形的周长为，把它关于折起来，折过去后，交于，设，求的最大面积及相应的值。
分析：要求的最大面积，首先要写出的面积表达式．由于，关键是要将用表示出来．从图中看到，，于是在中运用勾股定理，可以将用表示出来。
解：∵， ∴，
又，，
由勾股定理得 ，得，
∴的面积，
∵，∴，
∴．
当且仅当时，即当时，有最大值．
例3．甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为，固定部分为元，
（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/时）的函数，指出定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：（1）由题知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为
，
所以，函数及其定义域为，；
（2）由题知都为正数，故有，
当且仅当，即时上式等号成立；
若，则当时，全程运输成本最小；
若，当时，
有，
∵， ∴，
∴，当且仅当时上式等号成立，即当时，全程运输成本最小。
综上：为使全程运输成本最小，当时，行驶速度应为；
当时，行驶速度应为．
五．小结：解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题。
六．作业：补充：
1．一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜
园的面积最大，最大面积是多少？；
2．在直径为的圆的内接矩形中，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大，最大面积是多少？
3．已知直角三角形两条直角边的和等于，求面积最大时斜边的长，最大面积是多少？
4．（1）在面积为定值的扇形中，半径是多少时扇形周长最小？
（2）在周长为定值的扇形中，半径是多少时扇形面积最大？
5．某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为元，房屋侧面的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最底，最低总造价是多少元。
几何平均数算术平均数（3）圆锥曲线复习讲义（1）
椭 圆
一．复习目标：
1．正确理解椭圆的两种定义，能运用定义解题，能根据条件，求出椭圆的标准方程；
2．掌握椭圆的几何性质，能利用椭圆的几何性质，确定椭圆的标准方程 ；
3．理解椭圆的参数方程，并掌握它的应用；
4．掌握直线与椭圆位置关系的判定方法，能解决与弦长、弦的中点有关的问题.
二．基础训练：
1．已知椭圆的方程为，、分别为它的焦点，CD为过的弦，则△ 的周长为 ．
2．已知椭圆的离心率，焦距是16，则椭圆的标准方程是 .
3．已知方程表示椭圆，则的取值范围为 .
4．椭圆的焦点坐标为 .
三．例题分析：
例1． 如图，中，,,面积为1，建立适当的坐标系，求以、为焦点，经过点的椭圆方程.
例2．已知椭圆的中心在坐标原点O，一条准线方程为，倾斜角为的直线交椭圆于、两点,设线段的中点为，直线与的夹角为，
(1)当时，求椭圆的方程；
(2)当时，求椭圆的短轴长的取值范围.
例3.已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上，且右焦点到直线的距离为，试问能否找到一条斜率为的直线,使与已知椭圆交于不同的两点、且满足，并说明理由.
四．课后作业： 班级 学号 姓名
1．的一边在轴上，的中点在原点，，和两边上中线长的和为，则此三角形重心的轨迹方程是 .
2．直线与椭圆恒有共点时，则的取值范围是___ _____.
3．已知、是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，若，则到左准线的距离为 ．
4．方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 .
5．是椭圆上的一个动点，则的最大值是 ，最小值是 。
6．椭圆与直线相交于、两点，过中点与坐标原
点的直线的斜率为,则的值为 ．
7．若椭圆的一个焦点是，则的值为 ．
8．设是椭圆上一点，、是焦点，，则△的面积等于 ．
9．过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、，若弦的长恰好等于短轴长，求直线的方程.
10．如图，是两个定点，且，动点到点的距离是，线段的垂直平分线交于点，直线垂直于直线，且点到直线的距离为，
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）求证：点到点的距离与点至直线的距离之比为定值；
（Ⅲ）若点到、两点的距离之积为，当取最大值时，求点的坐标.
11．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆相交于和，且，，求椭圆方程.一．课题：椭圆及其标准方程（2）
二．教学目标：1.熟练掌握椭圆的定义，以及之间的关系，能用椭圆定义解题；
2.学会用待定系数法求椭圆的方程.
三．教学重、难点：目标1，2．
四．教学过程：
（一）复习：
1．椭圆的定义及其标准方程.
2．练习：
①椭圆的焦距是，焦点坐标为，若为过左焦点的弦，则的周长为．
②椭圆上一点到焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离是．
③动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为 线段 ．
④方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是．
（二）新课讲解：
例1．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴上，，；
（2）焦点在轴上，，且过点；
（3）焦距为，；
（4）椭圆经过两点，．
解：（1）∵，∴，①
又由代入①得，
∴，∴，又∵焦点在轴上，
所以，椭圆的标准方程为．
（2）设椭圆方程为，
∴，∴，
又∵，∴，
所以，椭圆的标准方程为．
（3）∵焦距为，∴，
∴，又∵，∴，，
所以，椭圆的标准方程为或．
（4）设椭圆方程为（），
由得，
所以，椭圆方程为．
例2．已知是该椭圆上两点，点坐标为，，且，求这椭圆的标准方程方程.
解：设椭圆方程为（），
∵所在直线方程为，又∵，
∴所在直线方程为，故可设，
∴， ∴， ∴点坐标为，，
又∵在椭圆上，∴ ①
又∵在椭圆上，∴ ②
∴由①②得，
所以，椭圆方程为．
例3．已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点，且，求的面积。
解：椭圆方程为，∴，，，
在中，由余弦定理得：
，
又∵，， ∴，
∴．
五．课堂练习：求下列椭圆方程：
（1），；（答案：或）
（2），，且．（答案：或）
六．小结：1．待定系数法求椭圆方程；
2．椭圆的定义在解题中的应用。
七．作业：课本第96页 习题第5题.
补充：
1．求过点，两点的椭圆的标准方程；（答案：）
2．已知椭圆上一点为，、是该椭圆的两个焦点，且，求的面积；
3．求和椭圆有共同的焦点，且经过点的椭圆方程.
椭圆及其标准方程（2）一．课题：椭圆及其标准方程（2）
二．教学目标：1.熟练掌握椭圆的定义，以及之间的关系，能用椭圆定义解题；
2.学会用待定系数法求椭圆的方程.
三．教学重、难点：目标1，2．
四．教学过程：
（一）复习：
1．椭圆的定义及其标准方程.
2．练习：
①椭圆的焦距是，焦点坐标为，若为过左焦点的弦，则的周长为．
②椭圆上一点到焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离是．
③动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为 线段 ．
④方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是．
（二）新课讲解：
例1．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴上，，；
（2）焦点在轴上，，且过点；
（3）焦距为，；
（4）椭圆经过两点，．
解：（1）∵，∴，①
又由代入①得，
∴，∴，又∵焦点在轴上，
所以，椭圆的标准方程为．
（2）设椭圆方程为，
∴，∴，
又∵，∴，
所以，椭圆的标准方程为．
（3）∵焦距为，∴，
∴，又∵，∴，，
所以，椭圆的标准方程为或．
（4）设椭圆方程为（），
由得，
所以，椭圆方程为．
例2．已知是该椭圆上两点，点坐标为，，且，求这椭圆的标准方程方程.
解：设椭圆方程为（），
∵所在直线方程为，又∵，
∴所在直线方程为，故可设，
∴， ∴， ∴点坐标为，，
又∵在椭圆上，∴ ①
又∵在椭圆上，∴ ②
∴由①②得，
所以，椭圆方程为．
例3．已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点，且，求的面积。
解：椭圆方程为，∴，，，
在中，由余弦定理得：
，
又∵，， ∴，
∴．
五．课堂练习：求下列椭圆方程：
（1），；（答案：或）
（2），，且．（答案：或）
六．小结：1．待定系数法求椭圆方程；
2．椭圆的定义在解题中的应用。
七．作业：课本第96页 习题第5题.
补充：
1．求过点，两点的椭圆的标准方程；（答案：）
2．已知椭圆上一点为，、是该椭圆的两个焦点，且，求的面积；
3．求和椭圆有共同的焦点，且经过点的椭圆方程.
椭圆及其标准方程（2）一．课题：圆的方程（5）
二．教学目标：1.能熟练解决与圆有关的轨迹问题；
2.能解决与圆有关的最值问题．
三．教学重、难点：目标1，2．
四．教学过程：
（一）例题分析：
例1．（例1）圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦．
（1）当时，求的长；
（2）当的长最短时，求直线的方程．
解：（1）当时，直线的斜率为，
∴直线的方程为，即．
解法一：（用弦长公式）
由 消去得：，
设，，则，，
∴．
解法二：（几何法）弦心距，半径，弦长，
（2）当的长最短时，，
∵，∴，
∴直线的方程为，即．
例2．（例2）求证：到圆心距离为的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线．
证明：建立直角坐标系，设圆以原点为圆心，为半径；圆以点为圆心，为半径。过点的直线与圆相切于点，直线与圆相切于点，且，
则圆的方程为，圆的方程为，
∵，∴，
由勾股定理得 ，
即，化简得 ，
这就是点的轨迹方程，它表示一条垂直于轴的直线．
例3．圆上的点到直线的最近距离为 ，
最远距离为 ．
解：（作图分析）圆方程化为，圆心到直线的距离为
，∴所求的最近距离为，最远距离为．
例4．（1）已知直线：与曲线：有两个不同的公共点，则实数的取值范围是 ；
（2）若关于的不等式解集为，则实数的取值范围是 ．
解：（1）（数形结合）方程表示斜率为，在轴上截距为的直线；
方程表示单位圆在上及其上方的半圆，
如图，当直线过、两点时，它与半圆交于两点，此时，直线记为；
当直线与半圆相切时，，直线记为．
直线要与半圆有两个不同的公共点，必须满足在与之间（包括但不包括），
∴，即所求的的取值范围是．
（2）不等式恒成立，即半圆在直线上方，
当直线过点时，，∴所求的的取值范围是．
例5．（10）求当点在以原点为圆心，为半径的圆上运动时，点的轨迹方程．
解：设点为所求轨迹上任意一点，与对应的圆上的动点的坐标为
，则所求轨迹的参数方程为
（为参数），
消去参数，得轨迹的普通方程为 ，．
五．课堂练习：画出方程的曲线。（答案：两个半圆）
六．小结：1．与圆有关的最值问题，要重视数形结合求解；
2．与圆的弦长有关的问题，要重视几何方法的运用；
3．将参数方程化为普通方程，要注意等价性（限制变量的范围）．
七．作业：课本第82页第11题；第89页第5，6，8，9一．课题：两直线的位置关系（2）——垂直
二．教学目标：1. 掌握两条直线垂直的充要条件,并会根据直线方程判断两条直线是否垂直；
2. 注意解几思想的渗透和表述的规范性，培养学生的探索和概括能力。
三．教学重、难点：理解和掌握两条直线的垂直的充要条件是本节课的重点，难点是斜率不存在时两直线位置关系的讨论。
四．教学过程：
（一）复习：
1．两条直线平行和重合的充要条件；（列表）
2．已知向量，，且，，求，及与的夹角；
3．已知直线和的斜率分别是和，求直线和的方向向量。
答：分别是：（1，），（1，）
（二）新课讲解：
1． 两直线垂直的充要条件及推导：
（1）已知直线和的斜率分别是和，且均不为0， 则；
（2）已知直线和的斜率中有一个为0，则另一个的斜率不存在；
（3）已知直线和的方程分别为：，
则．
（三）例题分析：
例1．已知两直线，，求证：．
证明：的斜率，的斜率，∴，∴．
另证：∵，∴．
例2．若直线与互相垂直，求实数的值。
解：∵两直线垂直，∴，
∴，∴．
例3．求过点，且与直线垂直的直线的方程。
解：已知直线的斜率为，直线与已知直线垂直，∴的斜率为，
所以，所求直线的方程为，即．
另解：设与直线垂直的直线方程为，
∵直线经过点，
∴，∴，
所以，所求直线的方程为．
说明：一般地，与直线垂直的直线的方程可设为，其中待定。
例4．已知直线的方程为，求直线的方程，使与垂直且与坐标轴围成的三角形面积为．
解：设直线的方程为，令，得，令，得，
由题意：，即，，
所以，所求直线的方程为．
五．课堂练习：
1．课本第47页第1、2（2）、3（2）、4；
2．过原点作直线的垂线，若垂足为，则直线的方程是 ；
答：
3．已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为 ．
答：；
六．小结：1．两直线垂直的判定条件；
2．与直线垂直的直线的方程可设为，其中待定。
七．作业：1．课本第74页第2（3）、5、6；
2．数学之友：第43页 B 5、C1．
PAGE
2
两直线的位置关系（2）一．课题：双曲线的几何性质（2）
二．教学目标：1. 巩固双曲线的几何性质；
2. 能熟练地利用双曲线的性质求双曲线的标准方程.
三．教学重、难点：几何性质的运用.
四．教学过程：
（一）复习：
1．双曲线的几何性质：
①范围；②对称性；③顶点；④渐近线；⑤离心率。
2．练习：
①双曲线的实轴长等于 ，虚轴长等于 ，顶点坐标为 ，
焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，离心率等于 ．
（若方程改为呢？）
（二）新课讲解：
例1．求证：双曲线（）与双曲线有共同的渐近线.
解：若，则双曲线方程可化为，
渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，
∴两双曲线渐近线相同；
若，则双曲线方程可化为，
渐近线方程为，即，
又∵双曲线的渐近线方程为，
∴两双曲线渐近线相同，所以，原命题结论成立.
说明：与双曲线（）有共同渐近线的所有双曲线方程为（）．
【练习】与双曲线有共同的渐近线且经过点的双曲线方程是．
例2．求中心在原点，一条渐近线方程为，且一焦点为的双曲线标准方程.
解：（方法一）设双曲线的标准方程为，
∵双曲线准线方程为
∴， 又∵焦点，∴
∵，∴由①②③得.
∴双曲线方程为：.
方法二：由题意，可以设双曲线方程为：.
∵焦点为， ∴，
∴ ，∴双曲线方程为：.
例3．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为12，求它的标准方程.
解：由题意，可以设双曲线方程为.
当时，，∴；
当时，，∴。
所求双曲线方程为：或.
五．小结： 用双曲线的性质求双曲线方程.
六．作业： 课本第6题
补充：1．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.
（1）求双曲线方程；
（2）若点在双曲线上，求证：；
（3）求的面积.
PAGE
2
双曲线的几何性质（2）一．课题：直线方程（3）
二．教学目标：1. 掌握直线方程的一般式（不同时为）理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：⑴ 直线的方程是都是关于的二元一次方程；⑵ 关于的二元一次方程的图形是直线；
2.掌握直线方程的各种形式之间的互相转化；
3.了解“设而不求”的解题方法.
三．教学重点、难点：理解直线方程的一般式的含义.
四．教学过程：
（一）复习：直线方程的几种形式.
（二）新课讲解：
1．一般式：
直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式），都是关于、的二元一次方程，那么，直线的方程是否都是二元一次方程？反之，二元一次方程的图形是否都是直线？
（1）直线的方程是都是关于的二元一次方程：
在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，在和两种情况下，直线方程可分别写成及这两种形式，它们又都可变形为的形式，且不同时为，即直线的方程都是关于的二元一次方程。
（2）关于的二元一次方程的图形是直线：
因为关于的二元一次方程的一般形式为，其中不同时为.在和两种情况下，一次方程可分别化成和，它们分别是直线的斜截式方程和与轴平行或重合的直线方程，即每一个二元一次方程的图形都是直线。
这样我们就建立了直线与关于二元一次方程之间的对应关系。我们把（其中不同时为）叫做直线方程的一般式。
一般地，需将所求的直线方程化为一般式。
（三）例题分析：
例1．已知直线经过点，斜率，求直线的点斜式和一般式方程.
解：经过点且斜率的直线方程的点斜式方程为：，
化成一般式，得：．
例2．把直线的方程化成斜截式，求直线的斜率和它在轴与轴上的截距，并画图.
解：∵， ∴，
∴直线的斜截式方程是，令得，
∴直线的斜率，它在轴截距是，在轴上的截距是．
例3．若一直线被直线和截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线的方程。
解：（法一）由于已知两直线在轴上的截距不是互为相反数，所求直线不是轴，
设所求直线的方程为，
由 得， 又由 得，
由题知：，
∴，
所以，所求直线方程为．
说明：上述解法是具有一般性必须要掌握。
（法二）（“设而不求” 的方法）：由题意，设所求直线与已知两直线的交点分别为，，
则 相加得，
显然，，的坐标满足方程，而两点确定一条直线，
所以，所求直线的方程为.
五．课堂练习：课本．
六．小结：1．什么是直线的一般式？直线方程的各种形式之间的如何互相转化？
2．“设而不求”方法是：设出交点的坐标，并不需要具体解出来，通过充分利用方程的性质，最终使本题的目标得以实现.
七．作业：课本 ，，
补充：（1）已知，，试求被直线所分成的比；
（2）已知，，若直线与直线相交于点，不与重合，求证：点分的比.
直线方程（3）一．课题：直线与双曲线的位置关系（4）
二．教学目标：1.理解双曲线和直线的位置关系，并能够熟练地进行判定；
2.会求直线被双曲线所截得的弦长.
三．教学重、难点：交点个数和弦长的求法.
四．教学过程：
（一）复习：椭圆与直线的交点个数的求法和直线被椭圆所截得的弦长公式.
（二）新课讲解：
例1．过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程.
解：若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为则，
， ∴，
，
当时，方程无解，不满足条件；
当时，方程有一解，满足条件；
当时，令，
化简得：无解，所以不满足条件；
所以满足条件的直线有两条和.
说明：（1）若过点呢？过点呢？（分别是四条直线和两条直线）
（2）用图象去判断直线的条数，可以知道：和渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点.
例2．（1）求直线被双曲线截得的弦长；
（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.
解：由得得（*）
设方程（*）的解为，则有 得，
.
（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为，
由得（*）
设方程（*）的解为，则 ∴，
且，
∴，
得或.
方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则
得：，
∴， 即， 即（图象的一部分）
说明：（1）弦长公式；
（2）有关中点弦问题的两种处理方法.
例3．已知双曲线，分别是该双曲线的左右焦点，是双曲线左支上的一点，求证：，.
证明：由题意可知，双曲线的左准线方程为：，
离心率
点到的距离为
由双曲线的第二定义，得到左焦点的距离为：；
由双曲线的定义得，点到右焦点的距离为：；
说明：（1）若点在右支上呢？（焦半径公式）
（2）若焦点在轴上又怎样？
例4．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围.
解：设双曲线的方程为，，渐近线，则过的直线方程为，则
代入得
∴即得
∴ 即得到
五．课堂练习：求过定点的直线被双曲线截得的弦的中点恰为的直线方程.
六．课堂小结：弦长公式和双曲线与直线的交点个数；
七．作业：课本习题8.4 第3题和第7题
补充：
1.已知双曲线和椭圆有公共焦点，且它们离心率的和为2，求双曲线的方程.
2．直线与双曲线的右支有两个不同的交点，求实数的取值范围.
3．垂直于直线的直线被双曲线截得的弦长为，求直线的方程.
4．在双曲线的上半支上求一点，使到直线的 距离为.
PAGE
3
双曲线的几何性质（4）一．课题：两直线的位置关系（5）——点到直线的距离
二．教学目标：1.掌握点到直线的距离公式及其推导方法，并能熟练运用这一公式；
2.进一步体现数形结合、转化的数学思想，培养学生研究探索的能力。
三．教学重、难点：点到直线的距离公式、推导方法及其应用。
四．教学过程：
（一）复习：1．平面上两点间的距离公式是什么？
2．什么是点到直线的距离？
3．什么是两平行线之间的距离？
（二）新课讲解：
1．点到直线的距离公式及其推导
问题：在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，直线的方程是，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离呢？
思路一：根据定义，求点到直线的垂线段的长，此思路自然，但运算较繁。
思路二：设，这时与轴、轴都相交。
如图：过作轴的平行线，交于点；
作轴的平行线，交于点，
由，，
得，，
∴=，
=，
由三角形面积公式知：， ∴=，
当时，以上公式仍适用。
点到直线的距离公式：点到直线：的距离公式：=．
思路三（参考）：利用向量知识求点到直线的距离公式：如图，在上任取一点，可得到直角三角形.作向量，向量是直线的一个法向量，设向量与的夹角为.∵点在直线上，∴，即，
又，
∴
而，故.
（三）例题分析：
例1．求点到下列直线的距离：
（1）； （2）．
解：（1）由点到直线的距离公式，得，
（2）因为直线 平行于轴，所以 =．
例2．求平行线和 的距离。
解：在直线上任取一点，例如取，则点到直线的距离就是两平行线之间的距离，∴．
思考：是否可以在直线上取一般的点来求距离？
结论：两条平行线：，：之间的距离为，则．
例3．求过点，且与原点的距离等于的直线方程。
解：当斜率不存在时，方程为，不适合，
当斜率存在时，设方程为：，即，
由题意：， 解得或，
所以，所求的直线方程为：或．
例4．过两点作两条平行线，求满足下列条件的两条直线方程：
（1）两平行线间的距离为； （2）这两条直线各自绕、旋转，使它们之间的距离取最大值。
解：（1）当两直线的斜率不存在时，方程分别为，满足题意，
当两直线的斜率存在时，设方程分别为与，
即： 与，由题意：，解得，
所以，所求的直线方程分别为：，
综上：所求的直线方程分别为：，或．
（2）由（1）当两直线的斜率存在时，，∴，
∴， ∴，即，
∴，∴，∴，当，．
当两直线的斜率不存在时，， ∴，
此时两直线的方程分别为，．
另解：结合图形，当两直线与垂直时，两直线之间距离最大，最大值为，同上可求得两直线的方程。
五．课堂练习：课本第53页 练习1、2、3．
六．小结：1．点到直线的距离、两平行线之间的距离公式及其应用；
2．与距离有关的直线方程的求法：待定系数法，要注意讨论斜率是否存在。
七．作业：课本第54页第13、14、16题，
补充：1．求经过点且与原点距离等于的直线的方程；
2．已知正方形的中心和一边所在的直线方程为，
求其他三边所在的直线方程。
①
两直线的位置关系（5）圆锥曲线复习讲义（3） 抛物线
一．复习目标：
1．理解双曲线的定义，能运用定义解题，能根据条件，求出抛物线的标准方程；
2．掌握抛物线的几何性质，能利用抛物线的几何性质，确定抛物线的标准方程 ；
3．掌握直线与抛物线位置关系的判定方法，能解决直线与抛物线相交的有关问题.
二．基础训练：
1．抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上，则抛物线的方程为
2．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，则的值为
3．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是 .
4．曲线平移得曲线C2，则曲线C2的方程为
5．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是
6. 以抛物线上任一点为圆心作圆与直线相切，则这些圆必过定点
7．已知抛物线的焦点为F，定点A（3，2），在此抛物线上求一点P，使|PA|+|PF|最小，则P点坐标为
三．例题分析：
例1．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，设△AOB（O为原点）的面积为S，求.
例2．若抛物线上总有两点关于直线对称，求证：．
例3. M是抛物线上的动点，当M到A（1，0）的距离|MA|最小时，M的位置为M0，若|M0A|<1，求
（1） a的取值范围;
（2） a变化时，点M0的轨迹方程.
四．课后作业：
1．设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是
（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上答案均有可能
2．已知A、B抛物线上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是
3．过（－1，2）作直线与抛物线只有一个公共点，则该直线的斜率为
4．抛物线为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是
5．与椭圆有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是 .
6．对于抛物线上任意一点Q，点P（a,0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（ ） A．[0，1] B．（0，1） C．（―∞，1） D．（―∞，0）
7．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，则抛物线的方程为 ，的值为 .
8．设抛物线过定点A（0，2）且以x轴为准线，试求
（1）抛物线焦点的轨迹方程；
（2）抛物线顶点M的轨迹方程;
9．倾斜角为α的直线经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，求证：.
10．如图，已知动直线经过点（4，0），交抛物线于A、B两点，O为原点.
（1）求证：AO⊥BO；
（2）(选做)是否存在垂直于x轴的直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.
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3一．课题：椭圆与直线的位置关系（2）
二．教学目标：1.复习巩固直线与椭圆相交时的弦长问题（弦长公式）；
2.掌握求解直线与椭圆相交时弦的中点问题的一般求法.
三．教学重、难点：直线与椭圆相交弦的中点问题.
四．教学过程：
（一）复习：
1．直线与椭圆的位置关系的判定方法；
2．直线与椭圆相交所得弦长的求法（弦长公式）.
（二）新课讲解：
1．中点弦问题：
例1．求以椭圆内的点为中点的弦所在直线方程.
解：（法一）当直线斜率不存在时，点不可能上弦的中点，故可设直线方程为，
它与椭圆的交点分别为，，
则，消去得，
∴，
又∵为弦的中点，∴，即，
∴，从而直线方程为．
（法二）当直线斜率不存在时，点不可能上弦的中点，故可设直线方程为，
它与椭圆的交点分别为，，
则，
得：，
∵为中点，∴，，
∴，即，
所以，直线方程为．
说明：1．法一用“设而不求”法求中点弦方程，充分利用了弦中点坐标和弦两端点坐标间的关系；
2．法二中求中点弦的方法叫做“代点法”，该方法常用来处理中点弦问题.
例2．已知椭圆，求斜率为的平行弦的中点的轨迹方程；
（2）过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程.
解：（1）（法一）设弦所在直线方程为，
由消去得：，
，
即，∴，
设弦的两个端点为，，弦中点为，
则，∴，
∴弦中点坐标满足，
消去得中点轨迹方程为（）．
（法二）设弦的两个端点为，，弦中点为，
则，得：，
∴，∴，即，
所以，中点轨迹方程为（椭圆内部）．
（2）（法一）设直线斜率为，则方程为，
设弦两端点为，，中点为，
则把方程代入椭圆方程消去得：，
得，∴，
，
∴中点满足，消去得轨迹方程，
所以，弦的中点的轨迹方程为（椭圆内部）.
（法二）设弦两端点为，，中点为，
，由得，
∴，
又∵，∴，
∴，即，
所以，弦的中点的轨迹方程为（椭圆内部）.
五．小结：“中点弦”问题的一般处理方法（“设而不求”、“代点法”）.
六．作业：
补充：
1．已知椭圆方程为，
（1）求斜率为的平行弦中点轨迹方程；
（2）求以该椭圆内的点为中点的弦所在的直线方程；
（3）过的弦的中点的轨迹方程.
2．求过定点，以轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程。
3．过椭圆的一个焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的中心，求面积的最大值.
椭圆与直线的位置关系（2）一．课题：圆的方程（2）
二．教学目标：1.能判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系；
2.会根据已知条件，求圆的方程或圆的切线方程．
三．教学重点：根据条件求出圆的标准方程或圆的切线方程．
四．教学难点：求圆的标准方程．
五．教学过程：
（一）复习引入：
1．圆的标准方程；
2．平面几何中判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的方法．
（二）新课讲解：
1．提出问题：
（1）已知点的坐标和圆的方程，如何判断点在圆内、圆上、圆外？
比较点到圆心的距离和半径的大小．
（2）已知直线和圆的方程，如何判断直线和圆是相交、相切、相离？
比较圆心到直线的距离与半径的大小；
将直线方程和圆方程联立方程组，判断方程组的解的个数．
（3）已知圆和圆的方程，如何判断它们是相交、相切、内含、外离？
比较圆心距与两半径和、半径差．
（三）例题分析：
例1．已知直线过点，且与圆：相交，求直线的倾斜角的取值范围。
（学生思考后口答或板演，探索不同解法）
解法一：设直线的方程为，即，
∵直线与圆相交，∴圆心到直线的距离小于半径，
即，化简得，∴，即，
当时，；当时，，
所以，的取值范围是．
解法二：设直线的方程为，
由 消去得：，
∵直线与圆相交，∴，
化简得，（以下同解法一）．
说明：（1）涉及直线与圆的位置关系的问题，常可运用以上两种方法；
（2）本题若改为选择题或填空题，也可利用图形直接得到答案．
例2．已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线方程．
解：当点不在坐标轴上时，设切线的斜率为，半径的斜率为，
∵圆的切线垂直于过切点的半径，∴，又∵，∴，
∴经过点的切线方程是，
整理得：，
又∵点在圆上，∴，
∴所求的切线方程是．
当点在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适用．
例3．求过点，且与圆相切的直线的方程．
解：设切线方程为，即，
∵圆心到切线的距离等于半径，
∴，解得，
∴切线方程为，即，
当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径，
故直线也适合题意。
所以，所求的直线的方程是或．
例4．已知一圆与轴相切，在直线上截得的弦长为，圆心在直线上，
求此圆的方程．
解：∵圆心在直线上，∴设圆的方程为，
∵圆与轴相切，∴， 又圆心到弦的距离为，
∴，∴，，
所以，所求的圆方程为或．
说明：（1）求圆的方程，常用待定系数法，要注意用部分条件设方程（少设未知数），再用其余的条件求待定的系数；
（2）要十分重视平面几何知识在解题中的运用．
六．小结：1．求圆的切线方程的常用方法；
2．求圆的标准方程常用待定系数法．
七．作业：课本第88页复习参考题第23题，
补充：
1． 过点且与圆相切的直线的方程是 ．
2． 已知圆：，求圆的在两坐标轴上截距相等的切线方程．
3． 过圆外一点作直线与圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程．
4． 已知一圆与直线切于点，且截轴所得弦长为，求圆的方程．
5． 求经过点，且与直线、都相切的圆的方程．
圆的方程（2）一．课题：不等式性质（1）
二．教学目标：1．掌握实数的运算性质与大小顺序间关系，进一步了解数形结合思想；
2．掌握求差法比较两实数或代数式大小.
三．教学重、难点：比较两个实数的大小.
四．教学过程：
（一）复习：两实数的大小关系。
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．例如，在图一中，点表示实数，点表示实数,点在点右边，那么．
我们再看图一，表示减去所得的差是一个大于的数即正数.
一般地：
若，则是正数；逆命题也正确．
类似地，若，则是负数；若，则；它们的逆命题都正确.
这就是说：
；
；
．
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.
（二）新课讲解：
1．比较两实数大小的方法——求差比较法：
比较两个实数与的大小，归结为判断它们的差的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.
2．例题分析：
例1．比较与的大小.
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小．
解：
∴．
例2．已知，比较与的大小.
分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.
解：，
由得，从而．
例3．设且比较与的大小.
解：
当时，则，∴；
当时，则 ∴，
∴总有．
例4．比较与的大小.
解：，
∴．
五．课堂练习：
1．比较 的大小；
2．如果,比较 的大小；
3．已知,比较与的大小.
六．课堂小结：
1．求差比较法来比较两实数或代数式的大小的一般步骤：作差—变形—判断—结论；
2．为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负.
七．作业：
补充：1．比较与的大小；
2．比较与的大小；
3．设，比较与的大小；
4．比较与的大小；
5．比较与的大小；
6．设，比较与的大小.
图6—1
不等式的性质（1）一．课题：双曲线及其标准方程（1）
二．教学目标：1．掌握双曲线的定义；
2．推导双曲线的标准方程.
3．掌握两类标准方程，会求双曲线方程；
三．教学重点：双曲线的定义；
四．教学难点：推导双曲线方程.
五．教学过程：
（一）复习：1.椭圆定义及其标准方程；
2．椭圆中基本元素之关系：，
（二）新课讲解：
1．双曲线定义：
（1）问题：①把椭圆定义中的和改成差，动点的轨迹会发生什么变化？
②平面上与两点距离的差为非零常数的动点轨迹是什么？
③平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是什么？
（2）……………………（*）
注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下：
时为双曲线的一支（含的一支）；
时为双曲线的另一支（含的一支）.
②当时，表示两条射线.
③当时，不表示任何图形.
④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距.
（3）标准方程的推导：
取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴。设为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是.则：，又设与距离之差的绝对值等于（常数）
，
，
化简，得：，由定义
令代入，得：，两边同除得：
，此即为双曲线的标准方程。它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是，其中
若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程：
若焦点在轴上，则焦点是，将互换，得到，也是双曲线的标准方程.
2．椭圆和双曲线比较：
椭 圆 双 曲 线
定义
方程
焦点
注意：如何有方程确定焦点的位置！
3．例题分析：
例1．判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出其焦点的坐标.
① ② ③ ④
解：①是双曲线：，； ②是双曲线：；
③是双曲线：； ④是双曲线：.
总结：对于椭圆来说，注意到，则可以根据分母的大小，判断其焦点在哪个坐标轴上.
而对于双曲线而言，有，其中与的大小关系如何？可以为
是否是通过分母的大小，判断其焦点在哪个坐标轴上呢？------否.
那么如何判断其焦点在哪个坐标轴？双曲线标准方程的格式：平方差，注意当右断为正的时候，减数所含的未知数既是焦点所在的坐标轴.
例2．已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为
∵ ∴ ∴
所以所求双曲线的方程为.
例3．求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程.
解：椭圆的焦点为，可以设双曲线的方程为，则 又∵过点 ∴
综上得， 所以
六．课堂练习：课本练习第2题和第4题
七．课堂小结：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量之间的关系.
八．作业：课本习题8.3 第1，3，4
选做题：1.求与双曲线共焦点，且过点的双曲线的方程.
2．当时，方程表示怎样的曲线？
双曲线及其标准方程（1）一．课题：两直线的位置关系（6）
二．教学目标：1.进一步掌握和应用两直线的位置关系的有关知识；
2.掌握点、直线关于点成中心对称（或关于直线成轴对称）的点、直线的求解方法；
3.能运用点、直线的对称知识解决问题。
三．教学过程：
（一）复习：1．两直线平行或重合的条件；
2．一条直线到另一条直线的角的运算公式及两直线的夹角公式；
3．点到直线的距离公式。
（二）新课讲解：
例1．求过点且被两直线：，:所截得的线段长为的直线的方程。
解：如图，设所求直线分别交、于点，
∵ ，∴ 、之间的距离|=，
由已知|， ∴，
即所求直线与（或）的夹角为，设所求直线的斜率为，
则有：，解之得，或，
所以，所求直线的方程为或，
即或．
例2．求点关于直线的对称点的坐标。
解：设点的坐标为，
∵，∴，
∴，即 ①
设线段的中点为，则，
∵点在直线上， ∴，
即 ②
联立①、②，解得， ∴点的坐标为.
说明：点关于直线：（不全为零）对称问题，
设对称点为,则根据是线段的垂直平分线，即⊥且的中点在直线上，得,应满足的方程组为：，由此解得点的坐标.
结论：，特别地，若对称轴的方程为，则任意一点关于它的对称点的坐标为，这相当于从对称轴方程中解出所得到的.我们还可以把上述结论进一步推广：
（1）点关于直线的对称点的坐标为；
（2）点关于直线的对称点的坐标为．
上述“代换法则”仅对对称轴的斜率为时才适用，且只能用于选择题和填空题中，它可以作为检验的手段。
例3．已知直线：， ：，求直线关于直线对称的直线的方程。解：（法一）由，得，∴过点，
又，显然是直线上一点，设关于直线的对称点为，
则有，解之得，即，
直线经过点、，由两点式得它的方程为．
（法二）由解法一知，与的交点为，
设直线的斜率为，且与的斜率分别为和，
∵到的角等于到的角，∴ =，∴ ，
所以，直线的方程为，即．
（法三）设是直线上的任意一点，点关于直线的对称点为，坐标为，则，解得， 即点，
∵点在直线上，将它的坐标代入直线的方程得，即为直线的方程。
说明：从上例可以看出，直线的对称问题可以归结为点的对称问题。
四．课堂练习：
1．直线关于轴对称的直线的方程为 ，关于轴对称的直线的方程为 ，关于原点对称的直线的方程为 ．
2．直线关于点对称的直线的方程为 ．
五．作业：《数学之友》第48页，
1．△中，角的对边为则两直线， 位置关系是 ．
2．在△中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为，求点和点坐标。
3．光线沿直线1：照射到直线2：上后反射，求反射线所在直线的方程。
PAGE
2
两直线的位置关系（6）一．课题：抛物线及其标准方程（1）
二．教学目标：
1.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
2.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．
3.通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．
三．教学重、难点：
1. 重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)．
2. 难点：抛物线的标准方程的推导．(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系．)
四、教学过程
(一)导出课题：我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．
请大家思考两个问题：
问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？
在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？
问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？
在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．
引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．
(二)抛物线的定义
1．回顾：平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，
当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？
2．简单实验
如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．
3．定义：
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
(三)抛物线的标准方程
设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？
让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：
方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)
以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．
化简后得：y=2pxp (p＞0)．
方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)
以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：
p={M||MF|=|MD|}．
化简得：y=2px+p (p＞0)．
方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．)
取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．
抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．
化简后得：y=2px(p＞0)．
比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？
引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：
由学生讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．
(四)四种标准方程的应用
例题：(1)已知抛物线的标准方程是y=6x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)，求它的标准方程．
方程是x=8y．
练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：
(1)焦点是F(3，0)； 答案是：(1)y=12x；
(2)y=x；
(3)焦点到准线的距离是2． (3)y=4x，y=4x，x=4y，x=4y．
由三名学生演板，教师予以订正．
这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．
(五)小结：
本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．
五、作业：
到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？
2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x=2y；(2)4x+3y=0；(3)2y+5x=0；(4)y6x=0．
3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：
(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；
(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(6，3)．
4．求焦点在直线3x4y12=0上的抛物线的标准方程．
作业答案：
3．(1)y=24x，y=2x，(2)x=12y(图略)
4．分别令x=0，y=0得两个焦点F1(0，3)，F2(4，0)，从而可得抛物线方程为x=12y或y=16x.
第 4 页 共 4 页一．课题：直线的方程（1）
二．教学目标：1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例 ；
2.能通过待定系数（直线上的一个点的坐标及斜率，或者直线的斜率及在轴上的截距）求直线方程；
3.掌握斜率不存在时的直线方程，即．
三．教学重点、难点：直线的点斜式、斜截式方程的推导及运用.
四．教学过程：
（一）复习：（1）直线的倾斜角和斜率的概念；
（2）直线上两个不同点，，求此直线的斜率．
（二）新课讲解：
1．点斜式
问题引入：直线经过点，且斜率为，求直线的方程.
设点是直线不同于点的任意一点，根据直线的斜率公式，
得：，可化为．
可以验证：直线上每一个点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在直线上.
这个方程就是过点，斜率为的直线的方程，叫做直线方程的点斜式．
2．两种特殊的直线方程
（1）直线经过点的倾斜角为，则，直线的方程是；
（2）直线经过点的倾斜角为，则斜率不存在，因为直线上每一点的横坐标都等于，直线的方程是．
（三）例题分析：
例1．一条直线经过点，倾斜角为，求这条直线方程，并画出图形。
解：∵直线经过点，且斜率，
代入点斜式，得：，即．
例2．直线斜率为，与轴的交点是，求直线的方程。
解：代入直线的点斜式，得：，即．
说明：（1）直线与轴交点，与轴交点，称为直线在轴上的截距，称为直线在轴上的截距；
（2）这个方程由直线斜率和它在轴上的截距确定，叫做直线方程的斜截式；
（3）初中学习的一次函数中，常数是直线的斜率，常数为直线在轴上的截距（可以大于，也可以等于或小于）．
例3．已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的倍，求直线的方程．
解：设已知直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，
∵， ∴，
又∵直线经过点，
∴直线的方程为，
即所求的直线方程为．
例4．求直线绕点按顺时针方向旋转所得的直线方程。
解：设直线的倾斜角为，则，
又∵， ∴，
∴所求的直线的倾斜角为，
所以，所求的直线方程为．
五．课堂练习：1．课本第39页练习1，2，3；
2．求直线的倾斜角；
3．求过点且倾斜角满足的直线方程.
六．小结：要求直线方程，通过待定系数：直线上的一个点的坐标及斜率，或者直线的斜
率及在轴上的截距，代入点斜式或斜截式求出直线方程.
七．作业：课本第44页第1题（1）（3）（5）.
直线方程（1）一．课题：不等式证明（1）——比较法
二．教学目标：1.能熟练运用比较法来证明不等式；
2.利用不等式解决实际问题时，能分析题意，设出未知数，找出数量关系，求
出结果.
三．教学重点、难点：对不等式左右两边的差进行变形.
四．教学过程：
（一）复习：
1．实数大小关系：
2．比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论.
（二）新课讲解：
例1．求证：．
证：∵，
∴．
例2．已知都是正数，并且，求证：．
证：
∵都是正数，并且，∴, ，
∴ 即：．
【变式】若，结果会怎样？若没有“”这个条件，应如何判断？
【练习】克糖水中有克糖，若再添上克糖，则糖水就变甜了，试根据这个
事实提炼一个不等式： ．
例3．已知都是正数，并且，求证：
证：
∵都是正数，∴
又∵，∴，
∴，
即：．
例4．甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；有一半路程乙以速度行走，另一半路程以速度行走，如果，问：甲乙两人谁先到达指定地点？
解：设从出发地到指定地点的路程为，甲乙两人走完全程所需时间分别是，，
则： 可得：
∴
∵都是正数，且，∴， 即：，
所以，甲先到达指定地点.
【变式】若，结果会怎样？
五．小结：1．比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；
2．为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常
数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负.
六．作业：
补充：1．已知，求证．
2．已知，求证．
3．已知都是正数，且，求证．
4．已知，求证．
5．已知，求证．
6．已知，求证．
7．求证：的充要条件是．
；
；
．
不等式证明（1）第七章直线和圆方程复习讲义（2）
曲线与圆方程
一．内容提要：
1．曲线与方程：
2．求曲线方程：
3．圆方程：
4．圆与直线：
二．基础训练：
1．设直线与轴的交点为，点把圆的直径分为两段，则其长度之比为 （ A ）
（）或 （）或 （）或 （）或
2．直线与圆的位置关系是 （ A ）
（）过圆心 （）相切 （）相离 （）相交但不过圆心
3．若直线与圆相切，则为 （ C ）
（）0和2 （） （）2 （）无解
4．圆上到直线的距离为的点共有 （ C ）
（）1个 （）2个 （）3个 （）4个
5．方程表示的曲线是 （ D ）
（）直线 （）射线 （）圆 （）两个半圆
6．圆与轴交于两点，圆心为，若，
则 。
7．过点引圆的两条切线，则切线方程为： 和
；过两切点的直线方程为 .
8．与圆相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有 4 条.
三．例题分析：
例1．自点发出的光线射到轴上被轴反射，其反射线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程.
答案：
例2．已知点，点，直线与圆E：相交于点两点，且；
（1）求的值；答案：8
（2）求线段的中点的轨迹方程；
（3）求的面积的最小值.
例3．已知直线；
（1）求证：对与的交点恒在一个定圆上；
（2）若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一个交点为，求面积的最大值及对应的.
答案：（1）（2）
四．课后作业： 班级 学号 姓名
1．两圆和的位置关系是 （A ）
外切 内切 相交 相离
2．以为圆心的圆与直线相离，那么圆的半径的取值范围是(C)
3．两圆与外切，则的值是 （ D）
4．已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ D）
或 或
5．如果把圆沿向量平移到，并与直线相切，则的值为 （A）
2或 或 或 或
6．已知点是圆上任意一点，则的最大值为，的最大值为.
7．已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的方程.
答案：.
8．求经过点外一点与圆相切的直线方程.
答案：.
9．求与轴相切并与圆相外切的动圆的圆心的轨迹方程.
答案：.
10．求以圆和圆的公共弦为直径的圆的方程.
答案：.
11．点是圆内的一个定点，圆上动点满足，求动弦中点的轨迹方程。
答案：.
12．已知实数满足，求使不等式恒成立的实数的取值范围.
答案：.
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2高二数学复习讲义（1）
不等式（1）
一．目的要求：
1．理解不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的常用方法；
2．掌握常用基本不等式，并能用之证明不等式和求最值；
3．掌握含绝对值的不等式的性质；
4．会解一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式、简单的高次不等式。学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关不等式的问题，形成良好的思维品质.
二．知识要点：
1．不等式的性质：
性 质 内 容
对称性 ，．
传递性 且．
加法性质 ；且．
乘法性质 ；，且．
乘方、开方性质 ；．
倒数性质 ．
2．绝对值不等式的性质：
；．
3．常用基本不等式：
条 件 结 论 等号成立的条件
，，
三．证明不等式的常用方法：比较法，综合法，分析法，换元法，反证法等.
四．运用基本不等式求最值的注意点：
①常用的不等式：，，．
②注意点：和定积最大，积定和最小；一正、二定、三相等.
五．常见不等式及其基本解法：
1．一元二次不等式：
（1）利用其与一元二次方程，二次函数的关系；
（2）含字母系数的一元二次不等式大致分为两类：
①的符号不确定，讨论的大小；
②通过因式分解（或求根公式）得出两根，但根的大小不明确，则讨论根的大小.
（3）一元二次不等式的应用：
①已知一个不等式的解集，求另一个不等式的解集；
②恒成立问题：通常可结合二次函数图象来考虑.
2.分式不等式：移项，通分，再转化为不等式组或序轴标根；
3.含有绝对值的不等式：用绝对值的定义去掉绝对值符号.
4.高次不等式：序轴标根法；
5.指数、对数不等式：利用指数函数、对数函数的单调性进行等价转化.
六．例题分析：
例1．已知，，，求证：．
证明：∵，∴，又，
∴，∴，又，∴．
例2．已知都是实数，求证：，并指出何时成立.
比较法或综合法，成立的条件是．
例3．已知，，求证：．
证明：∵，∴，又，∴，∴，
要证，只要证，
只要证，即，
只要证，∵，∴只要证，即，
∵成立，∴．
例4.在中，为三条边的长，表示的面积，
求证：，并说明“”成立的条件.
证明：由余弦定理，有，又，
∴
，
∵， ∴，∴，
当且仅当，即，也就是是等边三角形时，“”成立.
七．课后作业： 班级 学号 姓名
1．已知，则下列不等式一定成立的是 （ ）
2.下列命题中成立的是 （ ）
，当且仅当时成立；
，当且仅当时成立；
，当且仅当时成立；
，当且仅当时成立。
3．若，且，则下列结论中成立的是 （ ）
异号，； 异号，；
同号，； 同号，．
4． 已知两实数的算术平均数为，实数，，
，则与的大小关系为 ．
5．函数的最大值为 ，此时的值为 ．
6．已知，求证．
7．在中，三条边的长成等差数列，求角的取值范围.
8．已知都是实数，求证：．
9．若，求证：．
10．已知实数满足不等式，求证：
．高二数学复习讲义（二）
不等式（2）
一．基础训练：
1.已知集合，，若，则实数的取值范围为 ．
2.不等式的解集为 ．
3.若，则不等式的解为 ．
4．当时，对一切恒成立 ．
5. 已知对任意都成立，则实系数的取值范围为 ．
6．若关于的不等式的解集为空集，则的取值范围是 ．
7. 不等式的解集为 ．
二.例题分析：
例1． 解关于的不等式 ．
解：原不等式等价于，即， ①
（1）若时，由①得 ，∴；
（2）若时，由①得 ，∴；
（3）若时，由①得 ， ②
又∵，
∴当时，，由②得： 或；
当时，，由②得： ；
当时，，由②得：或；
综上所述：（略）
例2.四边形的两条对角线相交于，如果的面积为，的面积为，求四边形的面积的最小值，并指出最小时四边形的形状.
解：设，，则
，，
，，
∴
，当且仅当时取“”，
∴的最小值为，此时由得：，即，∴，
即四边形是梯形.
例3.有一批影碟机原销售价为元，在甲、乙两家商场均有销售。甲商场用如下的方法促销：买一台单价为元，买两台每台单价为元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少元，但每台最低不能低于元；乙商场一律都按原价的销售。某单位需购买一批此类影碟机，应去哪家商场购买？
解：设此单位需购买台影碟机，在甲商场购买共需花费元，在乙商场购买共需花费元，由题意：，∴，
，
，，，
设此单位在甲、乙两家商场购货的差价为，则
当，由得 ，∴；
由得 ；
由得 ，∴；
当时，．
答：若买少于台影碟机，则应去乙商场购买；若买台，去甲、乙商场均可；若买超过台，则应去甲商场购买.
三．课后作业： 班级 学号 姓名
1.与不等式同解的不等式是 （ ）
2.已知，则 是 的 （ ）
充分而不必要条件 必要而不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
3.设为实数，关于的方程的解不大于，则 （ ）
或
或或
4.设，，则的取值范围为 ．
5.函数的最大值为 ．
6.若函数的最小值为，则实数的值为 ．
7.解不等式．
8. 解关于的不等式．
9.一个由辆汽车组成的车队，每辆车车长为米。当车队以速度（千米/小时）行驶时，相邻两辆车的车距至少为米，现车队要通过一座长为米的大桥，问车速为多少时，车队通过大桥所用的时间最少？最少需要多少分钟？
10.如图，某水泥渠道，两侧面的倾角均为，横断面是面积为定值（平方米）的等腰梯形，为使建造该渠道所用的水泥最省，腰长（米）与底宽（米）之比应是多少？一．课题：点的轨迹的探求(圆锥曲线复习课4)
二．教学目标：使学生明确探求点的轨迹的思维出发点，初步理清解决这类问题的思路，能够准确地把握这类问题.
三．教学重、难点：理清点的轨迹问题的思路.
四．教学过程：
（一）引入：求曲线的方程、通过方程研究曲线是解析几何的两大主要内容。前面我们已经简单地接触到了一些求点的轨迹的问题，今天我们将对这个问题进行更加深入的研究.
（二）问题分析：
问题1．如图，是定圆内的一个定点，是圆上的动点，考察线段的垂直平分线与半径的交点的轨迹.
【分析】：注意到是垂直平分线，∴，
∴（是圆的半径），是定值，
又∵点在圆内，∴，
∴点的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆。
若要进一步求轨迹方程，
则以中点为原点，所在直线为轴
建立坐标系，设，，∴，
所以，点的轨迹方程为．
说明：本题所用的求轨迹的方法即为“定义法”.
问题2．探求点的轨迹。（学生猜想，几何画板演示）
【解法1】：∵，是定值，∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，因此，点轨迹方程是．
【解法2】：点的运动是由点引起的，点是控制点运动的主动点。而点在已知圆上运动，其方程是已知的。如果能够找出点与点的坐标之间的关系，然后再求出点的轨迹方程就不难了。设点，，则，，
又∵点的坐标满足圆的方程，∴，
∴点的轨迹方程是．
问题3．将“是中点”改为“是线段的三等分点”，再探求点的轨迹.
【解法1】：过作的平行线，交于，则，当在上的位置确定后，是定值，∴就是定值。因此，点轨迹是以为圆心，半径为的圆。
【解法2】：设，，∵分的比为，∵，
∴，
又∵点坐标满足圆的方程，
∴有，即
表示以为圆心，半径为的圆。
拓展：若是线段上的任意一点呢？
【解法1】：与“问题3”类似。
【解法2】：设，，及分的比为，
∵，∴，
又∵点坐标满足圆的方程，
∴有，
即表示圆心为，半径为的圆。
问题4．线段上所有点的轨迹可组成什么样的图形？
（先由学生猜测，再借助于动画演示验证结论，即为已知圆面）
〖练习〗：探求线段中点的轨迹，并求出方程。
【解法1】：设，，又∵，，
由点坐标满足方程，
即．
【解法2】：∵，∴，
∵，∴，是定值，
所以，点轨迹是以为焦点的椭圆。
〖思考〗：问题1中，如果将点拖到圆的外面，此时线段与中垂线没有交点，如果设延长线交中垂线于点，这时，的轨迹又怎样？
（答案：是一组双曲线）
小结：通过这节课的几个轨迹的探求，我们可以体会到探求点的轨迹问题的出发点是找出约束动点变动的几何条件或者找出影响动点变动的因素。抓住这两点，就抓住了问题的本质。
点的轨迹的探求一．课题：椭圆及其标准方程（3）
二．教学目标：1.会利用椭圆的定义求轨迹方程（“定义法”求轨迹方程）；
2.能熟练利用“转移法”求动点轨迹方程.
三．教学重、难点：目标1，2．
四．教学过程：
（一）复习：
1．椭圆的标准方程；
2．求曲线方程的基本方法．
（二）新课讲解：
例1．已知是两个定点，，且的周长等于，求顶点的轨迹方程．
解：如图，以中点为坐标原点，所在直线为轴建立坐标系，
由已知，且，
∴，即点的轨迹是椭圆，
且，，∴，，
∴，
又∵三点共线时不能构成三角形，此时，
所以，点的轨迹方程为（）．
说明：本例中，利用椭圆的定义求动点轨迹方程，这种方法称之为定义法。使用定义法的关键是：充分分析图形的特点，熟悉各种曲线的定义，数形结合（注意结合图形，去掉不和题意的点）．
例2．如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹。
解：设，点坐标为，
则，∴ ①
∵在圆上，∴ ②
把②代入①得，即，
所以，点的轨迹是一个椭圆。
说明：1．本例中利用中间变量与之间的关系求曲线方程的方法叫“转移法”（或“相关点法”）；
2．由本题结论，将圆按某个方向均匀地压缩（或拉长），可以得到椭圆．
例3．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．
解：（法一）设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，
将圆方程分别配方得：，，
当与相切时，有 ①
当与相切时，有 ②
将①②两式的两边分别相加，得，
即 ③
移项再两边分别平方得： ④
两边再平方得：，
整理得，
所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆．
（法二）由解法一可得方程，
由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，
∴，，∴，，
∴，
∴圆心轨迹方程为．
五．小结：1．定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；
2．“转移法”求轨迹方程的方法．
七．作业：课本第97页习题 第6，7题，
补充：
1．在中，顶点的坐标分别为、，三边长，，成等差数列，求顶点的轨迹方程．
2．已知圆：及圆内一点，求过点且与已知圆内切的圆心的轨迹方程．
3．已知圆：，圆：，动圆圆心和圆外切，和圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．
4．已知圆：，及点，为圆上一动点，的垂直平分线交于点，求点的轨迹方程．
椭圆及其标准方程（3）一．课题：椭圆及其标准方程（3）
二．教学目标：1.会利用椭圆的定义求轨迹方程（“定义法”求轨迹方程）；
2.能熟练利用“转移法”求动点轨迹方程.
三．教学重、难点：目标1，2．
四．教学过程：
（一）复习：
1．椭圆的标准方程；
2．求曲线方程的基本方法．
（二）新课讲解：
例1．已知是两个定点，，且的周长等于，求顶点的轨迹方程．
解：如图，以中点为坐标原点，所在直线为轴建立坐标系，
由已知，且，
∴，即点的轨迹是椭圆，
且，，∴，，
∴，
又∵三点共线时不能构成三角形，此时，
所以，点的轨迹方程为（）．
说明：本例中，利用椭圆的定义求动点轨迹方程，这种方法称之为定义法。使用定义法的关键是：充分分析图形的特点，熟悉各种曲线的定义，数形结合（注意结合图形，去掉不和题意的点）．
例2．如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹。
解：设，点坐标为，
则，∴ ①
∵在圆上，∴ ②
把②代入①得，即，
所以，点的轨迹是一个椭圆。
说明：1．本例中利用中间变量与之间的关系求曲线方程的方法叫“转移法”（或“相关点法”）；
2．由本题结论，将圆按某个方向均匀地压缩（或拉长），可以得到椭圆．
例3．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．
解：（法一）设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，
将圆方程分别配方得：，，
当与相切时，有 ①
当与相切时，有 ②
将①②两式的两边分别相加，得，
即 ③
移项再两边分别平方得： ④
两边再平方得：，
整理得，
所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆．
（法二）由解法一可得方程，
由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，
∴，，∴，，
∴，
∴圆心轨迹方程为．
五．小结：1．定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；
2．“转移法”求轨迹方程的方法．
七．作业：课本第97页习题 第6，7题，
补充：
1．在中，顶点的坐标分别为、，三边长，，成等差数列，求顶点的轨迹方程．
2．已知圆：及圆内一点，求过点且与已知圆内切的圆心的轨迹方程．
3．已知圆：，圆：，动圆圆心和圆外切，和圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．
4．已知圆：，及点，为圆上一动点，的垂直平分线交于点，求点的轨迹方程．
椭圆及其标准方程（3）一．课题：简单的线性规划（2）
二．教学目标：1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；
2.能根据条件建立线性目标函数；
3.了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.
三．教学重、难点：线性规划问题的图解法；寻求线性规划问题的最优解.
四．教学过程：
（一）复习练习：
1．画出下列不等式表示的平面区域：
（1）； （2）．
（二）新课讲解：
1．引例：设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值.
问题：能否用不等式的知识来解决以上问题？（否）
那么，能不能用二元一次不等式表示的平面区域来求解呢？怎样求解？
由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，
作一组平行于的直线：，，
可知：当在的右上方时，直线上的点
满足，即，
而且，直线往右平移时，随之增大。
由图象可知，
当直线经过点时，对应的最大，
当直线经过点时，对应的最小，
所以，，．
2．有关概念
在上述引例中，不等式组是一组对变量的约束条件，这组约束条件都是关于的一次不等式，所以又称为线性约束条件。是要求最大值或最小值所涉及的变量的解析式，叫目标函数。又由于是的一次解析式，所以又叫线性目标函数.
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解和分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
（三）例题分析：
例1．设，式中满足条件，求的最大值和最小值.
解：由引例可知：直线与所在直线平行，
则由引例的解题过程知，
当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，
当经过点时，对应最小，
∴，．
说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
2．线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个。
例2．已知满足不等式组，求使取最大值的整数．
解：不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，则坐标分别为，，，
作一组平行线：平行于：，
当往右上方移动时，随之增大，
∴当过点时最大为，但不是整数解，
又由知可取，
当时，代入原不等式组得， ∴；
当时，得或， ∴或；
当时，， ∴，
故的最大整数解为或．
说明：最优整数解常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点，关键是作图要准确；另一种是本题采用的方法，先确定区域内点的横坐标范围，确定的所有整数值，再代回原不等式组，得出的一元一次不等式组，再确定的所有相应整数值，即先固定，再用制约．
例3．设满足约束条件组，求的最大值和最小值.
解：由知，代入中，得，，
∴原约束条件组可化为，
如图，作一组平行线：平行于：，
由图象知，当往左上方时，往左上方移动时随之增大，
当往右下方移动时，随之减小，
所以，当直线经过时，；
当直线经过时，．
五．小结：1．线性规划问题的有关概念；
2．线性规划问题的图解法求目标函数的最大、最小值；
3．线性规划问题的最优整数解.
六．作业：课本第65页 第2题.
简单的线性规划（2）一．课题：不等式证明（2）——综合法
二．教学目标：熟悉综合法证明不等式的一般方法，能用综合法证明一些较简单的不等式.
三．教学重点、难点：恰当地选用已经证明过的不等式及不等式性质来证明不等式.
四．教学过程：
（一）复习：1．不等式性质； 2．基本不等式.
（二）新课讲解：
例1．已知是不全相等的正数，求证：．
证：∵, ∴；
同理：, ，
∴ ．
当且仅当时，即取等号，而是不全相等的正数，
∴．
说明：（1）利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；
（2）利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件.
例2．设，
（1）求证：；
（2）求证：．
证：（1）∵，
∴， ∴．
（2）由（1）知，
同理：， ，
三式相加得：．
例3．若, 求证：．
证：由均值不等式知：
．
∴．
例4．已知都是正数，求证：．
证：∵，
∴，
同理：，，
三式相加得：，
∴．
【练习】
1．已知，求证：；
2．已知都是正数，求证：．
五．小结：综合法证明不等式的逻辑关系是：，及从已知条
件出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论．
六．作业：补充：
1．已知都是正数，且，求证：.
2．已知且都是正数，求证：.
3．已知，求证：.
4．已知是不相等正数，且，求证：.
5．已知，，求证：．
不等式证明（2）一．课题：直线方程（4）
二．教学目标：1.能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程；
2.熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化.
三．教学重点、难点：分析题意，确定适当的解题方法.
四．教学过程：
（一）复习：直线方程的几种形式.
（二）新课讲解：
例1．直线过点，且它在轴上的截距是它在轴上的截距的倍，求直线的方程。
分析：由题意可知，本题宜用截距式来解，但当截距等于零时，也符合题意，此时不能用截距式，应用点斜式来解.
解：（1）当截距不为零时，由题意，设直线的方程为，
∵ 直线过点，∴ ，∴，
∴ 直线的方程为，即.
（2）当截距为零时，则直线过原点，设其方程为，
将代入上式，得，所以，
∴直线的方程为，即，
综合（1）（2）得，所求直线的方程为或.
例2．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，
且，求的方程。
解：如图，①当时，，
代入中，得，
由两点式，得的方程为：.
②当时，，代入中，得，
由两点式，得的方程为：，
所以，的方程为或．
例3．过点作直线，分别交轴、轴的正半轴于点，若的面积最小，
试求直线的方程。
【分析一】设出直线的点斜式方程，分别求出它在轴、轴的正半轴上的截距，将的面积表示为的函数，通过求该函数的最小值确定出相应的值。
（解法一）设直线的方程为，
令，得，故，
令，得，故，
由题意知，，所以，
∴的面积，
∵ ，∴，从而，
当且仅当，即（舍去）时，，
所以，直线的方程为，即.
【分析二】由于的面积可以表示为在轴、轴上的截距的绝对值的一半，所以可以用直线的截距式设出直线的方程。
（解法二）设直线的方程为，
∵点在直线上，
∴，即，∴ ，
∵，∴，
∴的面积
，
当且仅当，即（舍去）时，，
所以，直线的方程为，即.
五．小结：求直线方程的基本思路是“选标准，定参数”，即根据已知条件选择适当的直线方程的形
式，再确定其中的参数，进而求出方程。
六．作业： 数，
补充：1．设，求直线的倾斜角；
2.已知的顶点，，重心，求边所在直线方程；
3.求经过点A（-2，2）且与x轴、y轴围成的三角形面积是的直线方程；
4．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程.
直线方程（4）一．课题：两直线的位置关系（5）——点到直线的距离
二．教学目标：1.掌握点到直线的距离公式及其推导方法，并能熟练运用这一公式；
2.进一步体现数形结合、转化的数学思想，培养学生研究探索的能力。
三．教学重、难点：点到直线的距离公式、推导方法及其应用。
四．教学过程：
（一）复习：1．平面上两点间的距离公式是什么？
2．什么是点到直线的距离？
3．什么是两平行线之间的距离？
（二）新课讲解：
1．点到直线的距离公式及其推导
问题：在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，直线的方程是，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离呢？
思路一：根据定义，求点到直线的垂线段的长，此思路自然，但运算较繁。
思路二：设，这时与轴、轴都相交。
如图：过作轴的平行线，交于点；
作轴的平行线，交于点，
由，，
得，，
∴=，
=，
由三角形面积公式知：， ∴=，
当时，以上公式仍适用。
点到直线的距离公式：点到直线：的距离公式：=．
思路三（参考）：利用向量知识求点到直线的距离公式：如图，在上任取一点，可得到直角三角形.作向量，向量是直线的一个法向量，设向量与的夹角为.∵点在直线上，∴，即，
又，
∴
而，故.
（三）例题分析：
例1．求点到下列直线的距离：
（1）； （2）．
解：（1）由点到直线的距离公式，得，
（2）因为直线 平行于轴，所以 =．
例2．求平行线和 的距离。
解：在直线上任取一点，例如取，则点到直线的距离就是两平行线之间的距离，∴．
思考：是否可以在直线上取一般的点来求距离？
结论：两条平行线：，：之间的距离为，则．
例3．求过点，且与原点的距离等于的直线方程。
解：当斜率不存在时，方程为，不适合，
当斜率存在时，设方程为：，即，
由题意：， 解得或，
所以，所求的直线方程为：或．
例4．过两点作两条平行线，求满足下列条件的两条直线方程：
（1）两平行线间的距离为； （2）这两条直线各自绕、旋转，使它们之间的距离取最大值。
解：（1）当两直线的斜率不存在时，方程分别为，满足题意，
当两直线的斜率存在时，设方程分别为与，
即： 与，由题意：，解得，
所以，所求的直线方程分别为：，
综上：所求的直线方程分别为：，或．
（2）由（1）当两直线的斜率存在时，，∴，
∴， ∴，即，
∴，∴，∴，当，．
当两直线的斜率不存在时，， ∴，
此时两直线的方程分别为，．
另解：结合图形，当两直线与垂直时，两直线之间距离最大，最大值为，同上可求得两直线的方程。
五．课堂练习：课本第53页 练习1、2、3．
六．小结：1．点到直线的距离、两平行线之间的距离公式及其应用；
2．与距离有关的直线方程的求法：待定系数法，要注意讨论斜率是否存在。
七．作业：课本第54页第13、14、16题，
补充：1．求经过点且与原点距离等于的直线的方程；
2．已知正方形的中心和一边所在的直线方程为，
求其他三边所在的直线方程。
①
两直线的位置关系（5）一．课题：圆的方程（2）
二．教学目标：1.能判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系；
2.会根据已知条件，求圆的方程或圆的切线方程．
三．教学重点：根据条件求出圆的标准方程或圆的切线方程．
四．教学难点：求圆的标准方程．
五．教学过程：
（一）复习引入：
1．圆的标准方程；
2．平面几何中判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的方法．
（二）新课讲解：
1．提出问题：
（1）已知点的坐标和圆的方程，如何判断点在圆内、圆上、圆外？
比较点到圆心的距离和半径的大小．
（2）已知直线和圆的方程，如何判断直线和圆是相交、相切、相离？
比较圆心到直线的距离与半径的大小；
将直线方程和圆方程联立方程组，判断方程组的解的个数．
（3）已知圆和圆的方程，如何判断它们是相交、相切、内含、外离？
比较圆心距与两半径和、半径差．
（三）例题分析：
例1．已知直线过点，且与圆：相交，求直线的倾斜角的取值范围。
（学生思考后口答或板演，探索不同解法）
解法一：设直线的方程为，即，
∵直线与圆相交，∴圆心到直线的距离小于半径，
即，化简得，∴，即，
当时，；当时，，
所以，的取值范围是．
解法二：设直线的方程为，
由 消去得：，
∵直线与圆相交，∴，
化简得，（以下同解法一）．
说明：（1）涉及直线与圆的位置关系的问题，常可运用以上两种方法；
（2）本题若改为选择题或填空题，也可利用图形直接得到答案．
例2．已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线方程．
解：当点不在坐标轴上时，设切线的斜率为，半径的斜率为，
∵圆的切线垂直于过切点的半径，∴，又∵，∴，
∴经过点的切线方程是，
整理得：，
又∵点在圆上，∴，
∴所求的切线方程是．
当点在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适用．
例3．求过点，且与圆相切的直线的方程．
解：设切线方程为，即，
∵圆心到切线的距离等于半径，
∴，解得，
∴切线方程为，即，
当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径，
故直线也适合题意。
所以，所求的直线的方程是或．
例4．已知一圆与轴相切，在直线上截得的弦长为，圆心在直线上，
求此圆的方程．
解：∵圆心在直线上，∴设圆的方程为，
∵圆与轴相切，∴， 又圆心到弦的距离为，
∴，∴，，
所以，所求的圆方程为或．
说明：（1）求圆的方程，常用待定系数法，要注意用部分条件设方程（少设未知数），再用其余的条件求待定的系数；
（2）要十分重视平面几何知识在解题中的运用．
六．小结：1．求圆的切线方程的常用方法；
2．求圆的标准方程常用待定系数法．
七．作业：课本第88页复习参考题第23题，
补充：
1． 过点且与圆相切的直线的方程是 ．
2． 已知圆：，求圆的在两坐标轴上截距相等的切线方程．
3． 过圆外一点作直线与圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程．
4． 已知一圆与直线切于点，且截轴所得弦长为，求圆的方程．
5． 求经过点，且与直线、都相切的圆的方程．
圆的方程（2）一．课题：直线方程（4）
二．教学目标：1.能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程；
2.熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化.
三．教学重点、难点：分析题意，确定适当的解题方法.
四．教学过程：
（一）复习：直线方程的几种形式.
（二）新课讲解：
例1．直线过点，且它在轴上的截距是它在轴上的截距的倍，求直线的方程。
分析：由题意可知，本题宜用截距式来解，但当截距等于零时，也符合题意，此时不能用截距式，应用点斜式来解.
解：（1）当截距不为零时，由题意，设直线的方程为，
∵ 直线过点，∴ ，∴，
∴ 直线的方程为，即.
（2）当截距为零时，则直线过原点，设其方程为，
将代入上式，得，所以，
∴直线的方程为，即，
综合（1）（2）得，所求直线的方程为或.
例2．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，
且，求的方程。
解：如图，①当时，，
代入中，得，
由两点式，得的方程为：.
②当时，，代入中，得，
由两点式，得的方程为：，
所以，的方程为或．
例3．过点作直线，分别交轴、轴的正半轴于点，若的面积最小，
试求直线的方程。
【分析一】设出直线的点斜式方程，分别求出它在轴、轴的正半轴上的截距，将的面积表示为的函数，通过求该函数的最小值确定出相应的值。
（解法一）设直线的方程为，
令，得，故，
令，得，故，
由题意知，，所以，
∴的面积，
∵ ，∴，从而，
当且仅当，即（舍去）时，，
所以，直线的方程为，即.
【分析二】由于的面积可以表示为在轴、轴上的截距的绝对值的一半，所以可以用直线的截距式设出直线的方程。
（解法二）设直线的方程为，
∵点在直线上，
∴，即，∴ ，
∵，∴，
∴的面积
，
当且仅当，即（舍去）时，，
所以，直线的方程为，即.
五．小结：求直线方程的基本思路是“选标准，定参数”，即根据已知条件选择适当的直线方程的形
式，再确定其中的参数，进而求出方程。
六．作业： 数，
补充：1．设，求直线的倾斜角；
2.已知的顶点，，重心，求边所在直线方程；
3.求经过点A（-2，2）且与x轴、y轴围成的三角形面积是的直线方程；
4．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程.
直线方程（4）一．课题：几何平均数与算术平均数（3）
二．教学目标：1．进一步掌握用均值不等式求函数的最值问题；
2．能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题。
三．教学重点、难点：化实际问题为数学问题。
四．教学过程：
（一）复习：1．均值不等式； 2．极值定理。
（二）新课讲解：
例1．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为,深为，如果池底每的造价为元，池壁每的造价为元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
解：设水池底面一边的长度为，水池的总造价为元，根据题意，得：
当．
因此，当水池的底面是边长为的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是元。
例2．如图，设矩形的周长为，把它关于折起来，折过去后，交于，设，求的最大面积及相应的值。
分析：要求的最大面积，首先要写出的面积表达式．由于，关键是要将用表示出来．从图中看到，，于是在中运用勾股定理，可以将用表示出来。
解：∵， ∴，
又，，
由勾股定理得 ，得，
∴的面积，
∵，∴，
∴．
当且仅当时，即当时，有最大值．
例3．甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为，固定部分为元，
（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/时）的函数，指出定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：（1）由题知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为
，
所以，函数及其定义域为，；
（2）由题知都为正数，故有，
当且仅当，即时上式等号成立；
若，则当时，全程运输成本最小；
若，当时，
有，
∵， ∴，
∴，当且仅当时上式等号成立，即当时，全程运输成本最小。
综上：为使全程运输成本最小，当时，行驶速度应为；
当时，行驶速度应为．
五．小结：解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题。
六．作业：补充：
1．一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜
园的面积最大，最大面积是多少？；
2．在直径为的圆的内接矩形中，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大，最大面积是多少？
3．已知直角三角形两条直角边的和等于，求面积最大时斜边的长，最大面积是多少？
4．（1）在面积为定值的扇形中，半径是多少时扇形周长最小？
（2）在周长为定值的扇形中，半径是多少时扇形面积最大？
5．某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为元，房屋侧面的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最底，最低总造价是多少元。
几何平均数算术平均数（3）圆锥曲线复习讲义（3） 抛物线
一．复习目标：
1．理解双曲线的定义，能运用定义解题，能根据条件，求出抛物线的标准方程；
2．掌握抛物线的几何性质，能利用抛物线的几何性质，确定抛物线的标准方程 ；
3．掌握直线与抛物线位置关系的判定方法，能解决直线与抛物线相交的有关问题.
二．基础训练：
1．抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上，则抛物线的方程为
2．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，则|AB|的值为8
3．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是.
4．曲线平移得曲线C2，则曲线C2的方程为
5．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（1，1）
6. 以抛物线上任一点为圆心作圆与直线相切，则这些圆必过定点
7．已知抛物线的焦点为F，定点A（3，2），在此抛物线上求一点P，使|PA|+|PF|最小，则P点坐标为（2，2）
三．例题分析：
例1．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，设△AOB（O为原点）的面积为S，求.
解：由题意得直线AB的斜率存在，∵抛物线
∵设直线AB方程为
例2．若抛物线上总有两点关于直线对称，求证：．
解：两个对称点为
由
由M在直线由题意得方程（1）的
代入t得
例3. M是抛物线上的动点，当M到A（1，0）的距离|MA|最小时，M的位置为M0，若|M0A|<1，求（1）a的取值范围，（2）a变化时，点M0的轨迹方程.
解（1）设
即的最小值为1
若
由
（2）由（1）知当
由
四．课后作业：
1．设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是
（ B ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上答案均有可能
2．已知A、B抛物线上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是 （D） A． B． C． D．
3．过（－1，2）作直线与抛物线只有一个公共点，则该直线的斜率为或
4．抛物线为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是
5．与椭圆有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是.
6．对于抛物线y2=2x上任意一点Q，点P（a,0）都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是
（ ）
A．[0，1] B．（0，1） C．（―∞，1] D．（―∞，0）
7．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，则抛物线的方程为 ,m的值为 .
8．倾斜角为α的直线经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，求证：.
证明：由题意得α≠0，设直线方程为
9．设抛物线过定点A（0，2）且以x轴为准线，试求（1）抛物线焦点的轨迹方程；
（2）抛物线顶点M的轨迹方程;
解：（2）设抛物线顶点M（x,y）,y>0，则其焦点F（x, 2y）
化简得
设抛物线顶点M的轨迹C的方程是（y>0）
10．如图，已知动直线l经过点P（4，0），交抛物线y2=4x于A、B两点，O为原点.
（Ⅰ）求证：AO⊥BO；
（Ⅱ）是否存在垂直于x轴的直线l′被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l′的方程；若不存在，请说明理由
证：①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k(x－4),
由
设
=16
②
（Ⅱ）解：设AP的中点为C，垂直于x轴的直线l′的方程为x=a，以AP为直径的圆
交 l′于D、E两点，DE的中点为H.
，则对任意满足条件的，都有|DH|2=（与x1无关），
即为定值.所求直线l′存在，其方程为x=3.圆锥曲线复习讲义（2） 双曲线
一．复习目标：
1．正确理解双曲线的两种定义，能运用定义解题，能根据条件，求出双曲线的标准方程；
2．掌握双曲线的几何性质，能利用双曲线的几何性质，确定双曲线的标准方程 ；
3．掌握直线与双曲线位置关系的判定方法，能解决直线与双曲线相交的有关问题.
二．基础训练：
1．实半轴为，且与双曲线有公共焦点的双曲线的方程为 .
2．焦点在轴上的双曲线过点，且与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为 .
3．过点且与圆：外切的圆的圆心轨迹方程是 .
4．方程表示双曲线，则的取值范围是 （ ）
（A）-1＜k＜1 （B） k＞0 （C）k≥0 （D）k＞1或k＜-1
5．已知双曲线上有一点到左焦点的距离为，那么点到右焦点的距离为 （ ）
（A）2 （B）22 （C）7或17 （D）2或22
6. 椭圆与双曲线有公共焦点，，是两曲线的交点，则△的面积= .
7．经过点，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线方程是 .
三．例题分析：
例1．直线与双曲线 有两个交点，求实数的取值范围.
.
例2．已知双曲线的左右焦点分别为、，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点，使是到的距离与的比例中项？
例3.已知双曲线的焦点在轴上，且过点和，是双曲线上异于、的任一点，如果的垂心总在此双曲线上，求双曲线的标准方程.
四．课后作业：
1．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数 .
2．平面内有两个定点、和一动点，设命题甲：是定值；命题乙：
点的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 （ ）
（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件；
（C）充要条件； （D）既不充分也不必要条件
3．如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等差数列，则离心率为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
4．已知双曲线，离心率，则的取值范围是 （ ）
（A）（-12,0） （B）（-∞,0） （C）（-3,0） （D）（-60,-12）
5．．以为渐近线，且经过点的双曲线方程是________________.
6．以椭圆的长轴的端点为焦点，且过椭圆焦点的双曲线方程是 .
7．双曲线的离心率，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是———。
8．双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且
，求△的面积.
9．如图，是双曲线的实半轴，是虚半轴，为焦点，
且，，求该双曲线的方程.
10.直线：与以坐标轴为对称轴的双曲线交于、两点，点与、构成以为斜边的等腰直角三角形，求双曲线的方程.
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1§7.5 线 性 规 划 模 型
1、 问题的提出
在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果.
例1 若需在长为4000mm的圆钢上 ，截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎样截取才能使残料最少？
初步分析 可以先考虑两种“极端”的情况：
（1） 全部截出长为698mm的甲件，一共可截出5件，残料长为510mm。
（2） 全部截出长为518mm的乙件，一共可截出7件，残料长为374mm。
由此可以想到，若将 x个甲件和y 个乙件搭配起来下料，是否可能使残料减少？把截取条件数学化地表示出来就是：
698 x + 518y 4000
x ，y都是非负整数
目标是使：z = （材料利用率）尽可能地接近或等于1。（尽可能地大）
该问题可用数学模型表示为：
目标函数： max z =
满足约束条件：　　698 x + 518y 4000 ， (1)
　　　　　x ，y都是非负整数 . (2)
例2 某工厂在计划期内要安排生产I 、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台数及A、B两种原料的消耗，如下表所示。
I II
设备 1 2 8台数
原材料A 4 0 16kg
原材料B 0 4 12kg
该工厂每生产一件产品I可获利 2 元，每生产一件产品II可获利 3 元，问应如何安排生产计划使工厂获利最多？
这问题可以用以下的数学模型来描述：设 x 1, x 2分别表示在计划期内产品I、II的产量。因为设备的有效台数为8，这是一个限制产量的条件，所以在确定I 、II的产量时，要考虑不超过设备的有效台数，即可用不等式表示为：
x 1 + 2x 2 8 .
同理，因原材料A 、B的限量，可以得到以下不等式组：
4 x 1 16
4 x 2 12.
该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x 1、x 2以得到最大的利润。若用 z 表示利润，这时z = 2x 1 + 3 x 2 。综上所述，该计划问题可用数学模型表示为：
目标函数： max z = 2x 1 + 3 x 2
满足约束条件： x 1 + 2x 2 8
4 x 1 16
4 x 2 12.
x 1 ，x 2 0
该模型的特征是：
（1） 有一组决策变量（x 1 ,x 2 ,…,x n）表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案.一般这些变量取值是非负的.
（2） 存在一定的约束条件，这些约束条件可用一组线性等式（不等式）组来表示.
（3） 有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示.按问题的不同，要求实现目标函数最大化或最小化.
满足以上三个条件的数学模型称为线性规划模型. 其一般形式为：
目标函数： max(min) z = c 1x 1 + c 2x 2 + …+ c nx n
a11x 1 + a12x 2 +….+ a13x n (= , ) b 1
a21x 1 + a22x 2 +…. + a23x n (= , ) b2
满足约束条件： … …
a m1x 1 + a m2x 2 +….+ a m3x n (= , ) b m
x 1 ,x 2 ,…, x n 0
2、 穷举法
以例1为例介绍穷举法。
先根据（1）求出x 所有可能的取值为：0、1、2、3、4、5，再由（1）把相应y 的最大值求出，对应为7、6、5、3、2、0，依此计算住z值如下表：
x 0 1 2 3 4 5
y 7 6 5 3 2 0
z 90.65% 95.15% 99.65% 91.20% 95.70% 87.25%
由表可知，在一根圆钢上截取2个甲件和5个乙件，可以得到最高的材料利用率99.65%。
例2作为课后练习。
三、图解法
1、 用二元一次不等式表示平面区域
y y y y
o x o x o x o x
ax + by > c ax +by < c ax +by >c ax +by < c
a>0, b >0 a >0, b<0 a>0, b<0 a>0, b<0
2． 图解法
图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。现对例1进行图解。
条件（1）、（2）对应的恰好是图1中斜线下方和两条坐标轴在第一象限中的三角形AOB内的整点（即横、纵坐标都是整数的点）。当整点越靠近直线AB，残料就越少（若AB恰好过其中一个整点，则该整点坐标所对应的截料方法一定是无残了的最佳截料方法）。比较C、D、E、F、G、H，知E（2，5）距直线AB最近，故知取x =2，y = 5是材料利用率最高的截料方法。
在以x1、x2为坐标轴的直角坐标系中，非负条件x1, x2 0 是指第一象限（及x轴正半轴、y轴正半轴)。每一个约束条件都表示一个半平面。若约束条件 x 1 + 2x 2 8 是代表以直线x 1 + 2x 2 = 8为边界的左下方的半平面。 x2 4x1 = 16
若同时满足x 1 + 2x 2 8，4 x 1 16， x 1 + 2x 2 = 8 4x 2=12
4 x 2 12和x 1 ，x 2 0约束的点， Q4 Q3
必然在由这三个半平面围成的区域内。 3 Q2
由例1的所有约束条件为半平面围成 2
的区域见右图阴影部分。阴影区域中 1
的每一个点（包括边界点）都这个线 Q1 x1
性规划问题的解。 o
再分析目标函数max z = 2x 1 + 3 x 2，在这坐标平面上，它表示以 z为参数、– 为斜率的一族平行直线 ：
x 2 = – x1 +
位于同一直线上的点，具有相同的目标函数值，因而称它为“等值线”。当z值由小变大时，直线x 2 = – x1 + 沿其法线方向（法线方向是指与直线垂直的方向）向上方移动。当移动到Q 2点时，使z值在可行域（阴影部分）边界上实现最大化，这就得到了例 1 的最优解Q2，Q2点的坐标为（4，2）。于是算得z =14。
这说明该厂的最优生产计划方案是：生产产品I 4件，生产产品更新换代II 2件，可得到最大利润为14元.
练习：
1． 某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获利70元；生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利120元。有一个生产日，这个厂可动用的煤是360吨，电力是200千瓦，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少？（甲20件，乙24件，获利4280元）
2． 电视台为某个广告公司特约播放两套片集。其中片集甲播映时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万，片集乙播映时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万。广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于80分钟的节目时间。电视台每周应播映两套片集各多少次，才能获得最高的收视率？
3． 预测2000年奥运会男子铅球的成绩。（资料来源：1996-08-02《体育报》）
届次 成绩（米） 届次 成绩（米） 届次 成绩（米）
7 14．81 15 17．41 21 21．05
8 14．955 16 18．57 22 21．35
9 15．87 17 19．68 23 21．26
10 16．005 18 20．33 24 22．47
11 16．20 19 20．54 25 21．70
14 17．12 20 21．18 26 ？
4． 预测2000年我国进出口总额。（资料来源：1994年《中国经济统计年鉴》及1997-1-2
《人民日报》）
年份 进出口总额 年份 进出口总额 年份 进出口总额
1981 4 1987 6．8 1993 19．6
1982 3．9 1988 7．9 1994 24
1983 4 1989 11．2 1995 28．1
1984 5 1990 11．5 1996 29
1985 6 1991 13．5
1986 6 1992 16．6 2000 ？
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4一．课题：双曲线的综合习题课（5）
二．教学目标：巩固双曲线的几何性质，能运用双曲线的几何性质或图形特征解题，提高学生对基本知识的运用能力.
三．教学重、难点：几何性质的运用.
四．教学过程：
（一）复习：由学生列表对照复习椭圆的几何性质和双曲线的几何性质.
（二）新课讲解：
例1． 在双曲线的一支上有不同的三点与焦点的距离成等差数列，
（1）求的值；
（2）求证：线段的垂直平分线经过某一定点，并求出该定点的坐标.
解：（1）双曲线方程可以化为：，
由题意可知三点在双曲线的一支上，即得
∵成等差数列
∴ ∴ 得；
（2）设的中点坐标，由于在双曲线上，故
两式相减得：
整理得：
∴中垂线斜率为
∴的中垂线方程为：即
∴当时
即的中垂线经过定点.
例2．对于双曲线，过能否作直线，时使与双曲线交于两点，且是的中点.
解：假设存在直线，设，则
（1）－（2）得：
∴
∴
∴的方程为：即
由得
∴与已知双曲线无交点，即假设不成立， ∴不存在.
例3．已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于这条直线对称.
解：设椭圆上关于对称的 两点，其所在的直线方程为
由得：，
∵， ∴，
∴ ①
又∵的中点在上，即在上，
∵
∴ 即②
将①代入②得：.
五．课堂小结：双曲线的几何性质和存在性问题；
六．作业：
补充：
1．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线和双曲线交于两点，是
的中点，求.
2．已知椭圆焦距为，一双曲线与该椭圆共焦点，且实半轴长比椭圆的长半轴的长小4，
而椭圆与双曲线离心率之比为3：7，求椭圆和双曲线的标准方程.
3．已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，分别是左右焦点，双曲线右支上有一点，
且，且的面积为，又双曲线的离心率，求双曲线方程及坐标.
双曲线的几何性质（5）圆锥曲线复习讲义（3） 抛物线
一．复习目标：
1．理解双曲线的定义，能运用定义解题，能根据条件，求出抛物线的标准方程；
2．掌握抛物线的几何性质，能利用抛物线的几何性质，确定抛物线的标准方程 ；
3．掌握直线与抛物线位置关系的判定方法，能解决直线与抛物线相交的有关问题.
二．基础训练：
1．抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上，则抛物线的方程为
2．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，则|AB|的值为8
3．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是.
4．曲线平移得曲线C2，则曲线C2的方程为
5．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（1，1）
6. 以抛物线上任一点为圆心作圆与直线相切，则这些圆必过定点
7．已知抛物线的焦点为F，定点A（3，2），在此抛物线上求一点P，使|PA|+|PF|最小，则P点坐标为（2，2）
三．例题分析：
例1．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，设△AOB（O为原点）的面积为S，求.
解：由题意得直线AB的斜率存在，∵抛物线
∵设直线AB方程为
例2．若抛物线上总有两点关于直线对称，求证：．
解：两个对称点为
由
由M在直线由题意得方程（1）的
代入t得
例3. M是抛物线上的动点，当M到A（1，0）的距离|MA|最小时，M的位置为M0，若|M0A|<1，求（1）a的取值范围，（2）a变化时，点M0的轨迹方程.
解（1）设
即的最小值为1
若
由
（2）由（1）知当
由
四．课后作业：
1．设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是
（ B ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上答案均有可能
2．已知A、B抛物线上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是 （D） A． B． C． D．
3．过（－1，2）作直线与抛物线只有一个公共点，则该直线的斜率为或
4．抛物线为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是
5．与椭圆有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是.
6．对于抛物线y2=2x上任意一点Q，点P（a,0）都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是
（ ）
A．[0，1] B．（0，1） C．（―∞，1] D．（―∞，0）
7．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，则抛物线的方程为 ,m的值为 .
8．倾斜角为α的直线经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，求证：.
证明：由题意得α≠0，设直线方程为
9．设抛物线过定点A（0，2）且以x轴为准线，试求（1）抛物线焦点的轨迹方程；
（2）抛物线顶点M的轨迹方程;
解：（2）设抛物线顶点M（x,y）,y>0，则其焦点F（x, 2y）
化简得
设抛物线顶点M的轨迹C的方程是（y>0）
10．如图，已知动直线l经过点P（4，0），交抛物线y2=4x于A、B两点，O为原点.
（Ⅰ）求证：AO⊥BO；
（Ⅱ）是否存在垂直于x轴的直线l′被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l′的方程；若不存在，请说明理由
证：①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k(x－4),
由
设
=16
②
（Ⅱ）解：设AP的中点为C，垂直于x轴的直线l′的方程为x=a，以AP为直径的圆
交 l′于D、E两点，DE的中点为H.
，则对任意满足条件的，都有|DH|2=（与x1无关），
即为定值.所求直线l′存在，其方程为x=3.基本不等式应用题
最值问题
一．教学目标：1．进一步掌握用均值不等式求函数的最值问题；
2．能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题。
二．教学重点、难点：化实际问题为数学问题。
三．教学过程：
（一）复习：1．均值不等式：
2．极值定理：
（二）新课讲解：
例1．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深为，如果池底每的造价为元，池壁每的造价为元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
例2．如图，设矩形的周长为，把它关于折起来，折过去后，交于，设，求的最大面积及相应的值。
例3．甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为，固定部分为元，
（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/时）的函数，指出定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
四．课后作业： 班级 学号 姓名
1．一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时
菜园的面积最大，最大面积是多少？
2．在直径为的圆的内接矩形中，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大，最大面积是多少？
3．已知直角三角形两条直角边的和等于，求面积最大时斜边的长，最大面积是多少？
4．（1）在面积为定值的扇形中，半径是多少时扇形周长最小？
（2）在周长为定值的扇形中，半径是多少时扇形面积最大？
5．某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为元，房屋侧面的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元。