第六章 6.3.5　平面向量数量积的坐标表示(共63张PPT)-高一数学人教A版（2019）必修第二册课件

(共63张PPT)
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
第六章　§6.3　平面向量基本定理及坐标表示
学习目标
1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.
导语
同学们，前面我们学面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？
课时对点练
一、平面向量数量积的坐标表示
二、平面向量的模
三、平面向量的夹角、垂直问题
随堂演练
内容索引
平面向量数量积的坐标表示
一
问题　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？
提示　i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0.
∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.
又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，
∴a·b＝x1x2＋y1y2.
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a·b＝ .这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的
　　　　 .
知识梳理
x1x2＋y1y2
乘积的和
　　 (1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于
A.10 B.－10 C.3 D.－3
例1
√
a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，
所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于
A.6 B.5 C.4 D.3
√
由题意可得，8a－b＝(6,3)，
又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，
∴18＋3x＝30，解得x＝4.
进行向量数量积的坐标运算的注意点
(1)要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
①|a|2＝a·a；
②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；
③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
(2)在解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要先建立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的问题.
反思感悟
跟踪训练1
建立平面直角坐标系如图所示，
则A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0,0)，C(2,0)，
平面向量的模
二
1.若a＝(x，y)，则|a|2＝ ，或|a|＝ .
2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝ ，|a|＝ .
知识梳理
x2＋y2
(x2－x1，y2－y1)
例2
√
∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，
求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法
a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ ，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
反思感悟
跟踪训练2
√
∵a＝(2,1)，∴a2＝5，
即a2＋2a·b＋b2＝50，
∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.
平面向量的夹角、垂直问题
三
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角.
知识梳理
(2)a⊥b .
x1x2＋y1y2＝0
(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆.
(2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，同样余弦值小于0的夹角也不一定是钝角.
注意点：
例3
已知a＝(4,3)，b＝(－1,2).
(1)求a与b夹角的余弦值；
因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值.
因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
反思感悟
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝ 判断θ的值时，要注意当cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；当cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
跟踪训练3
因为P(－3，－2)，Q(x,2)，
(2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1).若向量a＋b与a垂直，则m＝_____.
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∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3).
又a＋b与a垂直，
所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)平面向量数量积的坐标表示.
(2)平面向量的模.
(3)平面向量的夹角、垂直问题.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错.
随堂演练
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1.若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于
√
a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
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√
a·b＝3×5＋4×12＝63.
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√
由题意2a－b＝(3，n)，
∵2a－b与b垂直，∴3×(－1)＋n2＝0，
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课时对点练
1.(多选)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是
A.|a|＝b2 B.a·b＝0
C.a∥b D.(a－b)⊥b
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基础巩固
√
√
|a|＝b2＝2，故A正确，B，C显然错误；
a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，
所以(a－b)⊥b.故D正确.
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2.已知向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于
由题意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2.
再由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)，
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3.已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
√
所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形.
4.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于
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a＝(2,0)，|b|＝1，
∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1.
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∵四边形OABC是平行四边形，
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由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，
又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6).
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7.已知a＝(－1,1)，b＝(1,2)，则a·(a＋2b)＝_____.
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∵a＋2b＝(1,5)，∴a·(a＋2b)＝4.
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8.设向量a＝(2,3)，b＝(6，t)，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围为__________________.
(－4,9)∪(9，＋∞)
因为a与b的夹角为锐角，
所以a·b>0，且a与b不共线，
所以实数t的取值范围为(－4,9)∪(9，＋∞).
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故c＝(－3,3)或c＝(3，－3).
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即a2－2a·b＝0，所以a·b＝1，
(2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ.
因为θ∈[0，π]，
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10.已知向量a＝(1， )，b＝(－2,0).
(1)求a－b的坐标以及a－b与a的夹角；
设a－b与a的夹角为θ，
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由题意得，|a|＝2，|b|＝2，a·b＝－2，
(2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围.
易知当t∈[－1,1]时，|a－tb|2∈[3,12]，
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综合运用
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因为平面向量a与b＝(1，－1)方向相同，
所以设a＝λ(1，－1)＝(λ，－λ)(λ>0)，
又因为|a|＝2，
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设点P的坐标为(x,0)，
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
此时点P的坐标为(3,0).
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以A为原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
∵点E在边CD上，
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拓广探究
15.已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定
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因为△ABC是锐角三角形，
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所以p·q＝sin A－cos B>0，
又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角.
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∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，
即x＋2y＝0.
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即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.
由(1)知x＋2y＝0，与上式联立，
化简得y2－2y－3＝0，
解得y＝3或y＝－1.
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当y＝3时，x＝－6，
本课结束