2022-2023学年北京市东城区重点中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市东城区重点中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，，若与共线，则( )
A. B. C. D.
2. 已知函数，下列说法错误的为( )
A. 最小正周期为 B. 为偶函数 C. 在单调递减 D.
3. 若圆柱的底面半径是，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( )
A. B. C. D.
4. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
5. 等于( )
A. B. C. D.
6. 平面向量，，，则与的夹角是( )
A. B. C. D.
7. 为了得到函数的图像，只需将的图像( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
8. 已知正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，为上一点，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
9. 数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为( )
A. B.
C. D.
10. 若函数在区间上单调递减，且在区间上有唯一的实数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算的值为______ ．
12. 已知点，点，若，则点的坐标是______ ．
13. 内角、、的对边是、、，若，，，则 ______ ．
14. 从空间中点作四条射线，每两条射线间的夹角均相等，则此夹角的余弦值为 ．
15. 已知，给出以下几个结论：
的最小正周期为；
是偶函数；
的最小值为；
在上有个零点；
在区间上单调递减；
其中正确结论的序号为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
已知为坐标原点，，．
求；
在轴上有一点，使有最小值，求此时点的坐标．
17. 本小题分
已知函数．
求的最小正周期和值域；
求的单调区间．
18. 本小题分
如图是一个正四棱台的石料，上、下底面的边长分别为和，高．
求四棱台的表面积；
若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，求圆台的体积．
19. 本小题分
在中，．
Ⅰ求；
Ⅱ若的面积为，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值．
条件：；条件：；条件：
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20. 本小题分
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面，摩天轮上均匀设置了依次标号为号的个座舱开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要．
求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
若甲、乙两人分别坐在号和号座舱里，在转动一周的过程中，求两人距离地面的高度差单位：关于的函数解析式，并求高度差的最大值．
21. 本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
Ⅰ设函数，试求的伴随向量；
Ⅱ记向量的伴随函数为，求当且时的值；
Ⅲ设，已知，问在的图象上是否存在一点，使得若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为与共线，
所以，解得．
故选：．
根据平面向量共线的坐标表示即可求解．
本题主要考查了向量共线的坐标表示，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为函数为奇函数，故B错误；
最小正周期为，故A正确；
令，，解得，，
即函数的单调减区间为，，
当时，即为，，故C正确；
且，故D正确．
故选：．
根据诱导公式可得，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果．
本题主要考查余弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意侧面展开图的边长不，面积为．
故选：．
侧面展开图的面积就是侧面积．
本题主要考查了圆柱的侧面展开图，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：．
故选：．
先应用诱导公式进行化简，再由两角和的正弦公式即可求值．
本题主要考查了诱导公式及和差角公式的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
，即，
，
，
，
的夹角是．
故选：．
求出，代入夹角公式计算．
本题考查了平面向量的数量积运算及向量垂直的条件，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，
所以只需将的图像上的所有点向左平移个单位长度即可得到函数的图像．
故选：．
利用诱导公式化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位即可得解．
本题考查函数的图象变换，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图，为正四棱柱，
为到平面的距离，
根据等体积算法可得：
．
故选：．
由为到平面的距离，所以根据等体积法可得，代入数值即可得解．
本题考查三棱锥的体积的求解，化归转化思想，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，函数，定义域为，
因为，所以函数为奇函数，
又，故A符合图象；
对于，函数，定义域为，
因为，所以函数为奇函数，
又，故B不符题意；
对于，函数，定义域为，
因为，故C不符题意；
对于，当时，，故D不符题意．
故选：．
根据函数的奇偶性，再利用特殊值法，逐一判断即可．
本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由题意令，，
解得，，
又因为在区间上单调递减，
所以且，，
所以，，
当时，，
因为方程在区间上有唯一的实数解，
则有，解得，
综上的取值范围是，
故选：．
由在区间上单调递减，可得且，，由方程在区间上有唯一的实数解，可得，即可得答案．
本题考查了正弦函数的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：设的坐标是，
点，点，
，
，
，
的坐标是
故答案为：
设出点的坐标，写出要用的两个向量的坐标，根据两个向量之间的关系，写出两个向量之间的关系，解出，的值，得到要求的点的坐标．
本题考查向量平行的坐标表示，是一个基础题，这种题目可以出现在大型考试的选择或填空中，一旦出现，是一个得分题目．
13.【答案】
【解析】解：若，，，
则，
又，可得，则舍．
故答案为：．
由三角形的正弦定理和三角形的边角关系，可得所求角．
本题考查三角形的正弦定理，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：如图，可把正方体的中心看成点，相对的四个顶点看作，，，，
设正方体棱长为，则，，，
所以，
故答案为：．
可把，，，放入正方体中，借助正方体中的边角关系，即可求出该角的余弦值．
本题主要考查了求异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：对于：，，
即，故的最小正周期不是，故错误；
对于：，故是偶函数，故正确；
对于：当时，可得，
，则，
，，即；
当时，可得，
，则，
，故；
综上，当，的值域为．
当时，则，可得，
故时，的值域为，
又是偶函数，
在上的值域为，即的最小值为，故错误；
对于：由可得：当时，令，即，
，则，
当，即时，；
当时，可得，即，
，则，
当，即时，；
综上所述：在上有个零点．
是偶函数，
在上有个零点，故正确；
对于：当时，则，
可得在区间上单调递减，故正确．
故答案为：．
对：根据周期性、奇偶性的定义分析判断；对：分类讨论去绝对值，结合辅助角公式以及正弦函数的性质逐项分析判断．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】解：由题意，，
则；
由题意，设，
则，
当且仅当时，有最小值，
此时．
【解析】由已知计算出的坐标，再由模长公式计算出；
设出点坐标，利用数量积的坐标公式化简计算，结合二次函数的性质，得出最小值以及此时点的坐标．
本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查向量的模长公式，属于基础题．
17.【答案】解：，
则的最小正周期，值域为；
令，，解得，，
故的单调递增区间为，，
令，，解得 ，
故的单调递减区间为，．
【解析】先对化简，再结合三角函数的周期公式，以及有界性，即可求解；
根据已知条件，结合三角函数的单调性，即可求解．
本题主要考查三角函数的性质，属于基础题．
18.【答案】解：，
点到的距离，
四棱台的表面积为：
圆台的体积为：

【解析】利用勾股定理求出和点到的距离，由此能求出四棱台的表面积．
利用圆台体积公式能求出圆台的体积．
本题考查正四棱台、圆台的结构特征、棱台的表面积公式、圆台的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：Ⅰ因为，由正弦定理得，，
又，所以，得到，
又，所以，
又，所以，得到，所以；
Ⅱ选条件：；
由知，，根据正弦定理知，，即，
所以角有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件．
选条件：；
因为，所以，
又，得到，代入，得到，解得，所以，
由余弦定理得，，所以．
选条件：；
因为，所以，
由，得到，
又，由知，
所以，
又由正弦定理得，得到，代入，得到，解得，所以，
由余弦定理得，，所以．
【解析】Ⅰ利用正弦定理：边转化角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；
Ⅱ条件，可得角是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选；条件，利用条件建立，边与的方程组，求出与，再利用余弦定理，即可求出结果；条件，利用正弦定理，先把角转化成边，再结合条件建立，边与的方程组，求出与，利用余弦定理，即可求出结果．
本题考查正余弦定理，属于中档题．
20.【答案】解：根据题意设，
因为某摩天轮最高点距离地面高度为，最低点距离地面，
即，解得，，
因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要，
所以，解得，
因为时，，所以，即，解得，，
所以，．
因为甲、乙两人分别坐在号和号座舱里，设甲乙二人对应的位置分别为，，如图所示：
则，经过后甲距离地面的高度为，点始终落后点，
所以乙距离地面的高度为，
所以两人距离地面的高度差为：
，；
当或，即或时，取得最大值为；
所以甲乙二人距离地面的高度差的最大值为．
【解析】根据题意设，求出、和、的值即可．
写出甲、乙距离地面的高度函数解析式，求出高度差，再求高度差的最大值．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题．
21.【答案】解：Ⅰ
，的伴随向量
Ⅱ向量的伴随函数为，且，，
又且，
Ⅲ设，
，
，
当，等式成立
此时，满足
【解析】Ⅰ可得，的伴随向量
Ⅱ可得向量的伴随函数为，，且，解得
Ⅲ设，可得，可得，，利用求出点坐标
本题考查了三角函数、向量的综合应用，属于中档题．
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