福建省普通高中2021-2022学年高二学业水平合格性考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 福建省普通高中2021-2022学年高二学业水平合格性考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 919.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-28 11:22:30 | ||
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文档简介
福建省普通高中2021-2022学年高二学业水平合格性考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，在其定义域上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的定义域为
A． B． C． D．
4．抛掷一枚骰子，则向上的点数是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．一组数据2，3，3，4，4，4，5，5，6，6的中位数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．已知圆柱的底面半径为，母线长为，则该圆柱的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
9．若，则一定有（ ）
A． B． C． D．
10．的内角，所对的边分别为，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．某人连续射击两次，事件“两次都没有命中目标”的对立事件是（ ）
A．至少有一次命中目标 B．至多有一次命中目标
C．恰好两次都命中目标 D．恰好有一次命中目标
12．如图，四面体中，分别为的中点．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
13．为了得到函数的图像，只需把曲线上所有的点（ ）
A．向左平移个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍
B．向右平移个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍
C．向左平移个单位，再把纵坐标缩短到原来的
D．向右平移个单位，再把纵坐标缩短到原来的
14．设，，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
15．某池塘里浮萍的面积（单位：）为时间（单位：月）的指数函数，即，且有关数据如图所示．若经过年，浮萍恰好充满整个池塘，则下列说法正确的是（ ）
A．浮萍面积的月增长率均为
B．浮萍面积的月增加量都相等
C．第个月，浮萍面积为
D．第个月，浮萍面积占池塘面积的一半
二、多选题
16．下列函数中，最小值为的函数为（ ）
A． B．
C． D．
17．函数的一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的有（ ）
A．函数的解析式是
B．函数的最大值是
C．函数的最小正周期是
D．函数的一个对称中心是
18．下列各组向量中，可以用来表示向量的是（ ）
A． B．
C． D．
19．某校为调查学生身高情况，按男女生比例进行分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本．已知中男生数据为23个，平均数为，方差为12.59；女生数据为27，平均数为，方差为38.62．下列说法正确的是（ ）
A．该校男生的身高都比女生高
B．该校女生身高分布比男生集中
C．样本的平均数为
D．样本的方差为51.4862
三、填空题
20．计算___________（为虚数单位）
21．，则向量的夹角为___________
22．某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是___________人
23．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为___________．
四、解答题
24．已知为第二象限角，且．
(1)求；
(2)求的值．
25．如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．
(1)求三棱锥的体积；
(2)若，且为锐角，求证：平面．
26．已知函数．
(1)判断的奇偶性；
(2)若，判断在的单调性，并用定义法证明；
(3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】直接利用交集的定义求解.
【详解】因为，
所以.
故选：A
2．D
【分析】根据一次函数、二次函数、指数函数和对数函数性质直接判断各个选项即可.
【详解】对于A，由一次函数性质知：在上单调递减，A错误；
对于B，由二次函数性质知：在上单调递增，在上单调递减，B错误；
对于C，由指数函数性质知：在上单调递减，C错误；
对于D，由对数函数性质知：在上单调递增，D正确.
故选：D.
3．B
【详解】由，得选B
4．C
【分析】根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：依题意可知，基本事件总数为6，其中满足条件的有3个，故概率
故选：C
【点睛】本题考查古典概型的概率计算，属于基础题.
5．C
【分析】分别将和代入对应解析式即可求得结果.
【详解】，.
故选：C.
6．C
【分析】根据中位数定义确定数据中的中位数即可.
【详解】由中位数是从小到大排序后，中间两位数的平均值.
故选：C
7．B
【分析】利用圆柱侧面积公式直接求解即可.
【详解】圆柱的侧面积.
故选：B.
8．A
【分析】利用三角函数的坐标定义求出即得解.
【详解】由题得，，
.
故选：A
9．D
【分析】作差法比较各式的大小，注意成立的条件，即可得答案.
【详解】A：，仅当时，即，错；
B：，仅当时，即，错；
C：，仅当时，即，错；
D：，故一定正确，对.
故选：D
10．B
【分析】应用正弦定理、三角形内角性质求的值.
【详解】由正弦定理知：，则，，
所以或，又，故.
故选：B
11．A
【分析】根据对立事件定义直接判断即可.
【详解】由对立事件定义知：事件“两次都没有命中目标”的对立事件为“至少有一次命中目标”.
故选：A.
12．D
【分析】是中点，利用中位线性质平移相关线段，将、转化为、，根据四面体侧面形状不定判断A、B；利用线面平行的判定及平面的基本性质判断C、D.
【详解】由题设，若，即，
由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故A错；
若是中点，连接，则，若，即，
同上，各侧面形状不定，不一定成立，故B错；
若是中点，连接，则，而面，面，
所以面，显然面与面不是同一平面，且面面，
所以平面不成立，C错；
由题意，面，面，
所以平面，D对.
故选：D
13．A
【分析】根据解析式确定图象平移过程即可.
【详解】将向左平移个单位得，
再把纵坐标伸长到原来的2倍，得.
故选：A
14．D
【分析】根据指数函数和对数函数单调性直接判断即可.
【详解】，.
故选：D.
15．D
【分析】根据图象所过点可求得函数解析式，通过反例可说明AB错误；代入可知C错误；对比池塘面积和第个月的浮萍面积可知D正确.
【详解】过点，，则；
对于A，第个月的月增长率为，A错误；
对于B，浮萍面积第个月的增加量为；第个月的增加量为，B错误；
对于C，当时，，即浮萍面积为，C错误；
对于D，池塘总面积为，第个月浮萍面积为，
第个月，浮萍面积占池塘面积的一半，D正确.
故选：D.
16．ABC
【分析】根据基本不等式和对勾函数单调性依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，（当且仅当，即时取等号），
的最小值为，A正确；
对于B，，（当且仅当，即时取等号），
的最小值为，B正确；
对于C，，，的最小值为，C正确；
对于D，当时，，
令，在上单调递减，当时，，
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为，D错误.
故选：ABC.
17．BCD
【分析】根据图象可确定最大值、最小正周期和对称中心，知BCD正确；结合五点法可构造方程求得，知A错误.
【详解】对于B，由图象可知：，B正确；
对于C，由图象可知：最小正周期，C正确；
对于A，由BC得：，，即；
或
当时，，
，解得：，
；
当时，，
，解得：，
；
或，A错误；
对于D，当时，，
的一个对称中心为，D正确.
故选：BCD.
18．BC
【分析】根据基底的性质判断各向量组是否能表示出向量即可.
【详解】A：为零向量，基底不能含零向量，故不能表示，错；
B：，故可以表示，对；
C：，故可以表示，对；
D：，基底不能共线，故不能表示，错；
故选：BC
19．CD
【分析】根据样本平均数、方差的意义判断A、B；利用平均数、方差公式求样本均值、方差判断C、D.
【详解】A：样本平均数男生大于女生，但不能说明该校男生的身高都比女生高，错；
B：样本方差男生小于女生，样本可估计该校女生身高分布比男生分散，错；
C：样本的平均数为，对；
D：男生方差，女生方差，而样本的方差为，
所以
，对.
故选：CD
20．
【分析】根据虚数单位的幂指数运算可直接得到结果.
【详解】.
故答案为：.
21．/
【分析】利用向量夹角的坐标公式求夹角余弦值，进而确定夹角大小.
【详解】由题设，而，
所以.
故答案为：
22．
【分析】根据分层抽样等比例的性质求应抽取的女生人数.
【详解】由题意，应抽取的女生人数是人.
故答案为：
23．1
【分析】设花卉带的宽度为米，根据题设有求解集，即可确定最小值.
【详解】设花卉带的宽度为米，则，即，
所以，故，
所以花卉带的宽度至少应为1米.
故答案为：1
24．(1)
(2)
【分析】（1）由平方关系求余弦值，商数关系求正切值；
（2）根据诱导公式、二倍角正弦公式求值即可.
【详解】（1）由题设，则.
（2）.
25．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由面面垂直的性质可得面，即为体高，利用棱锥体积公式求体积即可；
（2）由三角形面积公式可得，根据已知及平方关系求余弦值，应用余弦定理求，易知，再由线面垂直的性质得，最后应用线面垂直的判定证结论.
【详解】（1）面面，，面面，面，
所以面，又的面积为6，
所以三棱锥的体积.
（2）由题设，即，又为锐角，
所以，
由，故，
所以，
由（1）知面，面，故，
，面，故平面.
26．(1)奇函数
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)有两个不同的零点，理由见解析
【分析】（1）根据奇偶性定义直接判断即可；
（2）任取，可得，由单调性定义可得结论；
（3）令，，令可求得的值，由此可求得对应的的取值，即的零点.
【详解】（1）由题意知：的定义域为，
，为定义在上的奇函数.
（2）在上单调递减，证明如下：
任取，
；
，，，又，，
在上单调递减.
（3）当时，，；
令，则，；
令，解得：，
在上单调递增，当或时，，
有两个不同的零点.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，在其定义域上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的定义域为
A． B． C． D．
4．抛掷一枚骰子，则向上的点数是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．一组数据2，3，3，4，4，4，5，5，6，6的中位数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．已知圆柱的底面半径为，母线长为，则该圆柱的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
9．若，则一定有（ ）
A． B． C． D．
10．的内角，所对的边分别为，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．某人连续射击两次，事件“两次都没有命中目标”的对立事件是（ ）
A．至少有一次命中目标 B．至多有一次命中目标
C．恰好两次都命中目标 D．恰好有一次命中目标
12．如图，四面体中，分别为的中点．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
13．为了得到函数的图像，只需把曲线上所有的点（ ）
A．向左平移个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍
B．向右平移个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍
C．向左平移个单位，再把纵坐标缩短到原来的
D．向右平移个单位，再把纵坐标缩短到原来的
14．设，，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
15．某池塘里浮萍的面积（单位：）为时间（单位：月）的指数函数，即，且有关数据如图所示．若经过年，浮萍恰好充满整个池塘，则下列说法正确的是（ ）
A．浮萍面积的月增长率均为
B．浮萍面积的月增加量都相等
C．第个月，浮萍面积为
D．第个月，浮萍面积占池塘面积的一半
二、多选题
16．下列函数中，最小值为的函数为（ ）
A． B．
C． D．
17．函数的一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的有（ ）
A．函数的解析式是
B．函数的最大值是
C．函数的最小正周期是
D．函数的一个对称中心是
18．下列各组向量中，可以用来表示向量的是（ ）
A． B．
C． D．
19．某校为调查学生身高情况，按男女生比例进行分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本．已知中男生数据为23个，平均数为，方差为12.59；女生数据为27，平均数为，方差为38.62．下列说法正确的是（ ）
A．该校男生的身高都比女生高
B．该校女生身高分布比男生集中
C．样本的平均数为
D．样本的方差为51.4862
三、填空题
20．计算___________（为虚数单位）
21．，则向量的夹角为___________
22．某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是___________人
23．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为___________．
四、解答题
24．已知为第二象限角，且．
(1)求；
(2)求的值．
25．如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．
(1)求三棱锥的体积；
(2)若，且为锐角，求证：平面．
26．已知函数．
(1)判断的奇偶性；
(2)若，判断在的单调性，并用定义法证明；
(3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】直接利用交集的定义求解.
【详解】因为，
所以.
故选：A
2．D
【分析】根据一次函数、二次函数、指数函数和对数函数性质直接判断各个选项即可.
【详解】对于A，由一次函数性质知：在上单调递减，A错误；
对于B，由二次函数性质知：在上单调递增，在上单调递减，B错误；
对于C，由指数函数性质知：在上单调递减，C错误；
对于D，由对数函数性质知：在上单调递增，D正确.
故选：D.
3．B
【详解】由，得选B
4．C
【分析】根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：依题意可知，基本事件总数为6，其中满足条件的有3个，故概率
故选：C
【点睛】本题考查古典概型的概率计算，属于基础题.
5．C
【分析】分别将和代入对应解析式即可求得结果.
【详解】，.
故选：C.
6．C
【分析】根据中位数定义确定数据中的中位数即可.
【详解】由中位数是从小到大排序后，中间两位数的平均值.
故选：C
7．B
【分析】利用圆柱侧面积公式直接求解即可.
【详解】圆柱的侧面积.
故选：B.
8．A
【分析】利用三角函数的坐标定义求出即得解.
【详解】由题得，，
.
故选：A
9．D
【分析】作差法比较各式的大小，注意成立的条件，即可得答案.
【详解】A：，仅当时，即，错；
B：，仅当时，即，错；
C：，仅当时，即，错；
D：，故一定正确，对.
故选：D
10．B
【分析】应用正弦定理、三角形内角性质求的值.
【详解】由正弦定理知：，则，，
所以或，又，故.
故选：B
11．A
【分析】根据对立事件定义直接判断即可.
【详解】由对立事件定义知：事件“两次都没有命中目标”的对立事件为“至少有一次命中目标”.
故选：A.
12．D
【分析】是中点，利用中位线性质平移相关线段，将、转化为、，根据四面体侧面形状不定判断A、B；利用线面平行的判定及平面的基本性质判断C、D.
【详解】由题设，若，即，
由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故A错；
若是中点，连接，则，若，即，
同上，各侧面形状不定，不一定成立，故B错；
若是中点，连接，则，而面，面，
所以面，显然面与面不是同一平面，且面面，
所以平面不成立，C错；
由题意，面，面，
所以平面，D对.
故选：D
13．A
【分析】根据解析式确定图象平移过程即可.
【详解】将向左平移个单位得，
再把纵坐标伸长到原来的2倍，得.
故选：A
14．D
【分析】根据指数函数和对数函数单调性直接判断即可.
【详解】，.
故选：D.
15．D
【分析】根据图象所过点可求得函数解析式，通过反例可说明AB错误；代入可知C错误；对比池塘面积和第个月的浮萍面积可知D正确.
【详解】过点，，则；
对于A，第个月的月增长率为，A错误；
对于B，浮萍面积第个月的增加量为；第个月的增加量为，B错误；
对于C，当时，，即浮萍面积为，C错误；
对于D，池塘总面积为，第个月浮萍面积为，
第个月，浮萍面积占池塘面积的一半，D正确.
故选：D.
16．ABC
【分析】根据基本不等式和对勾函数单调性依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，（当且仅当，即时取等号），
的最小值为，A正确；
对于B，，（当且仅当，即时取等号），
的最小值为，B正确；
对于C，，，的最小值为，C正确；
对于D，当时，，
令，在上单调递减，当时，，
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为，D错误.
故选：ABC.
17．BCD
【分析】根据图象可确定最大值、最小正周期和对称中心，知BCD正确；结合五点法可构造方程求得，知A错误.
【详解】对于B，由图象可知：，B正确；
对于C，由图象可知：最小正周期，C正确；
对于A，由BC得：，，即；
或
当时，，
，解得：，
；
当时，，
，解得：，
；
或，A错误；
对于D，当时，，
的一个对称中心为，D正确.
故选：BCD.
18．BC
【分析】根据基底的性质判断各向量组是否能表示出向量即可.
【详解】A：为零向量，基底不能含零向量，故不能表示，错；
B：，故可以表示，对；
C：，故可以表示，对；
D：，基底不能共线，故不能表示，错；
故选：BC
19．CD
【分析】根据样本平均数、方差的意义判断A、B；利用平均数、方差公式求样本均值、方差判断C、D.
【详解】A：样本平均数男生大于女生，但不能说明该校男生的身高都比女生高，错；
B：样本方差男生小于女生，样本可估计该校女生身高分布比男生分散，错；
C：样本的平均数为，对；
D：男生方差，女生方差，而样本的方差为，
所以
，对.
故选：CD
20．
【分析】根据虚数单位的幂指数运算可直接得到结果.
【详解】.
故答案为：.
21．/
【分析】利用向量夹角的坐标公式求夹角余弦值，进而确定夹角大小.
【详解】由题设，而，
所以.
故答案为：
22．
【分析】根据分层抽样等比例的性质求应抽取的女生人数.
【详解】由题意，应抽取的女生人数是人.
故答案为：
23．1
【分析】设花卉带的宽度为米，根据题设有求解集，即可确定最小值.
【详解】设花卉带的宽度为米，则，即，
所以，故，
所以花卉带的宽度至少应为1米.
故答案为：1
24．(1)
(2)
【分析】（1）由平方关系求余弦值，商数关系求正切值；
（2）根据诱导公式、二倍角正弦公式求值即可.
【详解】（1）由题设，则.
（2）.
25．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由面面垂直的性质可得面，即为体高，利用棱锥体积公式求体积即可；
（2）由三角形面积公式可得，根据已知及平方关系求余弦值，应用余弦定理求，易知，再由线面垂直的性质得，最后应用线面垂直的判定证结论.
【详解】（1）面面，，面面，面，
所以面，又的面积为6，
所以三棱锥的体积.
（2）由题设，即，又为锐角，
所以，
由，故，
所以，
由（1）知面，面，故，
，面，故平面.
26．(1)奇函数
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)有两个不同的零点，理由见解析
【分析】（1）根据奇偶性定义直接判断即可；
（2）任取，可得，由单调性定义可得结论；
（3）令，，令可求得的值，由此可求得对应的的取值，即的零点.
【详解】（1）由题意知：的定义域为，
，为定义在上的奇函数.
（2）在上单调递减，证明如下：
任取，
；
，，，又，，
在上单调递减.
（3）当时，，；
令，则，；
令，解得：，
在上单调递增，当或时，，
有两个不同的零点.
答案第1页，共2页
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