8.6.3平面与平面垂直（第二课时）同步检测（含解析）

8.6.3 平面与平面垂直（第二课时）（同步检测）
一、选择题
1.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)
A.AB∥m B.AC⊥m
C.AB∥β D.AC⊥β
2.在正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，沿 AD 折成二面角B AD C后，BC＝AB，这时二面角B AD C的大小为(　　)
A.60° B.90°
C.45° D.120°
3.三棱锥P ABC的各棱长都相等，D，E，E分别是AB，BC，CA的中点，下列四个结论中不成立的是(　　)
A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE
C.平面PDE⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC
4.若以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
5.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥β，m⊥β，m α，则m∥α；
③若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
其中正确命题的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
6.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在(　　)
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
7.下列命题中错误的是(　　)
A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
8.如图所示，在斜三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在(　　)
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
9.(多选)如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是(　　)
A.PE⊥AC B.PE⊥BC
C.平面PBE⊥平面ABCD D.平面PBE⊥平面PAD
二、填空题
10.空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________
11.如图，在三棱锥P ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，
且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________
12.如图所示，两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________
13.已知m，n为直线，α，β为空间的两个平面．给出下列命题：
① n∥α；② m∥n；③ α∥β，④ m∥n．
其中正确的命题为________(填序号)
三、解答题
14.等边三角形ABC(如图1所示)的边长为a，沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ(如图2所示)，在图2中，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d，当x为何值时，d2取得最小值？最小值是多少？
图1　　　　　　　　　　图2
15.如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
16.如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：
(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．
参考答案及解析：
一、选择题
1.D　解析：如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥α AC⊥m，AB∥l AB∥β． 故选D．
2.A　解析：∠BDC为二面角B AD C的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝m，BD＝DC＝m，所以∠BDC＝60°．
3.C　
4.C　解析：如图①，AD⊥DC，AD⊥DB，
图①　　　　　　图②
∴∠CDB＝90°，设AB＝AC＝a，则CD＝BD＝a，∴CB＝a，
∴图②中△ABC是正三角形．∴∠CAB＝60°．
5.B 6.A　 7.D
8.A 解析：连接AC1.∠BAC＝90°，即AC⊥AB.又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC 平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上.
9.ABC
二、填空题
10.答案：45°　 解析：如图，过A作AO⊥BD于O 点，
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB ＝AD．∴∠ADO＝45°．
11.答案： 解析：∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC.又AB 平面ABC，∴PA⊥AB.∴PB＝＝＝.
12.答案：
13.答案：③④　 解析：对于①，会有n α的情况，因此不正确；对于②，会有m，n异面的情况，因此不正确；容易验证③④都是正确的．
三、解答题
14.解：
∵平面APQ⊥平面PBCQ，且AR⊥PQ，AR 平面APQ，平面APQ∩平面PBCQ＝PQ，
∴AR⊥平面PBCQ．
∵RB 平面PBCQ，∴AR⊥RB．
在Rt△BRD中，BR2＝BD2＋RD2＝＋，而AR2＝x2，
∴d2＝BR2＋AR2＝2x2－ax＋a2＝2＋，
∴当x＝a时，d2取得最小值．
15.(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．
∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD．
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD．
又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB．
∵PB 平面PGB，∴AD⊥PB．
(2)解：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD．设F为PC的中点，
连接GC交DE于H，连接FH．
∵GB∥DE，且E为BC中点，∴H为GC中点．∴FH∥PG．
由(1)知PG⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD．
∵FH 平面DEF，∴平面DEF⊥平面ABCD．
16.解：(1)设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，则CF＝DB＝a．
因为CE⊥平面ABC，所以BC⊥CF，DF⊥EC，所以DE＝＝a．
又因为DB⊥平面ABC，所以DA＝＝a，所以DE＝DA．
(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MNCEDB．
所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN．
又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD．
又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE．
又AE∩EC＝E，所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA．
(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM 平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA．