第七章 随机变量及其分布 单元测试（含答案）

2022——2023学年第二学期高中数学选择性必修三
第七章随机变量及其分布单元测试
一、单选题
1．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次，设表示向上一面出现6点的次数，则的数学期望的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知随机变量的分布列如下：
其中、，若，则（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
3．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．给出下列各量：
①某机场候机室中一天的游客数量；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；
③某同学离开自己学校的距离；
④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；
⑤体积为8的正方体的棱长.
其中是离散型随机变量的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④
5．已知随机变量满足，其中.若，则（ ）
A． B． C． D．
6．设随机变量X的分布列如下
X 1 2 3
P 0.5 x y
若E(X)=,则D(X)等于　(　　)
A． B．
C． D．
7．一个袋中装有大小和质地相同的5个球，其中有2个红色球，3个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，下列结论正确的是（ ）
A．第一次摸到绿球的概率是 B．第二次摸到绿球的概率是
C．两次都摸到绿球的概率是 D．两次都摸到红球的概率是
8．已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
二、多选题
9．已知随机变量服从正态分布（参考数据：若，则），则（ ）
A．的方差为 B．
C． D．
10．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．，，是两两互斥的事件 B．事件与事件B相互独立
C． D．
11．某校组织“喜迎二十大，奋进新征程”线上演讲比赛，经预选有甲、乙、丙、丁、戊五名同学进入复赛，在复赛中采用抽签法决定演讲顺序，记事件A：学生甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，B：学生乙第一个出场，则下列结论中正确的是（ ）
A．事件A中包括78种情况 B．
C． D．
12．高考数学引入多选题后增加了区分度，突出了选拔性.四个选项中有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.若选项中有个选项是符合题目要求的.随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量则有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．为了降低对大气的污染和能源的消耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车车型A和车型B，并在“十一黄金周”期间同时投放市场.为了了解这两款车型在“十一黄金周”的销售情况，制造商随机调查了5家汽车4S店的销量（单位：台），得到如下数据：
4S店车型 甲 乙 丙 丁 戊
车型A 6 6 13 8 11
车型B 12 9 13 6 4
现从这5家汽车4S店中任选3家举行促销活动，用X表示其中车型A销量超过车型B销量的4S店的个数，则______.
14．设随机变量的分布列为，则___________.
15．某个部件由两个电子元件按如图
方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立．那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_________.
16．若随机变量服从正态分布，，，设，且，则_______．
四、解答题
17．现有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶是红色或黑色的概率．
18．某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作几个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．
（1）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，
①求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；
②在当天的利润不低于750元的条件下，求当天需求量不低于18个的概率．
（2）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决定依据，判断应该制作16个是17个？
19．第31届世界大学生夏季运动会将于今年在我国成都举行．某体校田径队正在积极备战，考核设有100米、400米和1500米三个项目，需要选手依次完成考核，成绩合格后的积分分别记为，和，总成绩为累计积分和．考核规定：项目考核逐级进阶，即选手只有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止．对于100米和400米项目，每个项目选手必须考核2次，且全部达标才算合格；对于1500米项目，选手必须考核3次，但只要达标2次及以上就算合格．已知选手甲三个项目的达标率依次为，，，选手乙三个项目的达标率依次为，，，每次考核是否达标相互独立．
(1)用表示选手甲考核积分的总成绩，求的分布列和数学期望；
(2)证明：无论，和取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的数学期望值．
20．近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于的天气现象出现增多.陡然降温幅度大于容易引起幼儿伤风感冒疾病.为了解伤风感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院随机对人院的名幼儿进行调查,得到了如下的列联表,若在全部名幼儿中随机抽取人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为,
(1)请将下面的列联表补充完整;
患伤风感冒疾病 不患伤风感冒疾病 合计
男 25
女 20
合计 100
(2)能否在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关 说明你的理由;
(3)已知在患伤风感冒疾病的名女性幼儿中,有名又患黄痘病.现在从患伤风感冒疾病的名女性中,选出名进行其他方面的排查,记选出患黄痘病的女性人数为,求的分布列以及数学期望.下面的临界值表供参考:
参考公式：，其中
21．某学校在学校内招募了名男志愿者和名女志愿者.将这名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：），若身高在以上（包括）定义为“高个子”，身高在以下（不包括）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取人，再从这人中选人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少
(2)若从所有“高个子”中选名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望.
22．某厂工会在征求职工对节假日期间的业余生活安排意见时，随机抽取200名职工(其中35岁以下职工占75%)进行问卷调查.统计数据显示，35岁以下职工愿意观看电影的占80%，35岁及以上职工愿意观看电影的占40%.
（1）完成下列2×2联列表，并判断能否有99.9%的把握认为观看电影与年龄有关.
愿意观看电影 不愿意观看电影 合计
35岁以下
35岁及以上
合计
（2）该厂工会节假日期间共组织4次观看电影活动，统计35岁以下职工观看电影场次如表：
观看场次 1 2 3 4
占比 40% 30% 20% 10%
现采用分层抽样的方法从中抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，记这2人观看电影的总场次为X，求X的概率分布和数学期望.
附：，其中.
0.010 0.005 0.001
k0 6.635 7.879 10.828
参考答案：
1．D 2．A 3．A 4．A 5．B 6．D 7．C 8．D
9．BD 10．AC 11．BC 12．ABC
13． 14．/ 15．. 16．2 17．
18．解：（1）①当时，；
当时，．
得．
②设当天的利润不低于750元为事件A，设当天需求量不低于18个为事件，
由①得“利润不低于元”等价于“需求量不低于16个”，则，
；
（2）蛋糕店一天应制作17个生日蛋糕，理由如下：
若蛋糕店一天制作17个，表示当天的利润（单位：元），的分布列为
550 650 750 850
0．1 0．2 0．16 0．54
若蛋糕店一天制作16个，表示当天的利润（单位：元），的分布列为
600 700 800
0．1 0．2 0．7
，
由以上的计算结果可以看出，，即一天制作17个的利润大于制作16个的利润，
所以蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕.
19．（1）对于选手甲：
记“100米成绩合格”、“400米成绩合格”、“1500米成绩合格”分别为事件、、，
则，
由题意可得：的可能取值有，则有：
，
，
，
可得的分布列为：
0
所以.
（2）对于选手乙：
记“100米成绩合格”、“400米成绩合格”、“1500米成绩合格”分别为事件、、，
则，
用表示选手乙考核积分的总成绩，由题意可得：的可能取值有，
则有：
，
，
，
可得的分布列为：
0
所以，
因为，
且均为正数，则，即，
所以无论，和取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的数学期望值.
20．(1)列联表补充如下;
患伤风感冒疾病 不患伤风感冒疾病 合计
男
女
合计
计算的观测值为,
所以不能在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美.
(3)根据题意,的值可能为.
则,,
故的分布列如下：
故的数学期望：.
21．（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，
所以利用分层抽样的方法所抽取的“高个子”的人数为人，
抽取的“非高个子”的人数为人，
设“至少有一人是“高个子””为事件，
则，
即至少有一人是“高个子”的概率为.
（2）
依题意知，“女高个子”的人数为人，随机变量的所有可能取值为.
，，
，.
随机变量的分布列是：
数学期望.
22．(1)
愿意观看电影 不愿意观看电影 合计
35岁以下 120 30 150
35岁及以上 20 30 50
合计 140 60 200
从而，
所以有的把握认为观看电影与年龄有关.
(2)用分层抽样的方法抽取的10人中，观看场次为的人数分别为4，3，2，1.
从这10人中随机抽取2人，观看电影的总场次的可能取值为2，3，4，5，6，7，
其概率分别为：
，
，
，
，
，
，
所以的概率分布为：
2 3 4 5 6 7
所以.