6.4.3余弦定理、正弦定理 同步练习（含解析）

6.4.3 余弦定理、正弦定理
题型一 利用正余弦定理解三角形
（多选）1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，有两解的是（　　）
A．a＝ B．a＝2，b＝
C． D．
2．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）A＝60°，a＝1，b+c＝2，解此三角形；
（2）ab＝60，sinA＝cosB，S△ABC＝15，求△ABC的三个内角．
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于（　　）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝4，c＝2，C＝60°，则此三角形的解的情况是（　　）
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
题型二 正余弦定理综合应用
1.边角互化求值
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（b﹣c）sinB+csinC＝asinA，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，向量，且满足，则角A＝（　　）
A． B． C． D．
7．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（b﹣a）（sinB+sinA）＝（b﹣c）sinC．
（1）求A；
（2）从下列条件中：①a＝；②S△ABC＝中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．
2.判断三角形形状
8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（a+b+c）（b+c﹣a）＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，则此三角形的形状是（　　）
A．直角三角形
B．正三角形
C．腰和底边不等的等腰三角形
D．等腰直角三角形
9．△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a，b，c，给出下列命题：
①若sinBcosC＞﹣cosBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；
②若sin2A+sin2B＝sin2C，则△ABC一定是直角三角形；
③若bcosA＝acosB，则△ABC为等腰三角形；
④在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
其中正确命题的序号是　 　．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
3.三角形的面积问题
10．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，a＝7，b+c＝8，则b c＝　 　，△ABC的面积S＝　 　．
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sinBsinC+2sin2C＝sin2B，a＝，cosA＝﹣，则△ABC的面积S为 　 　．
4.与三角形有关的最值和范围问题
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosAsinC+asinBcosC＝．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，其外接圆半径为，求△ABC周长的取值范围．
13．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期、单调递增区间及最值；
（2）若A为锐角△ABC的内角且，求△ABC面积的最大值．
5.多三角形问题
14．四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2．
（1）求角C；
（2）求四边形ABCD的面积．
6.解三角形与平面向量、三角函数的综合问题
15．已知向量＝（cosωx，sinωx），＝（cosωx，2cosωx﹣sinωx）（x∈R，ω＞0）函数f（x）＝||+ 且最小正周期为π，
（1）求函数，f（x）的最大值，并写出相应的x的取值集合；
（2）在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c且f（B）＝2，c＝3，S△ABC＝6，求b的值．
16．已知向量＝（sin，1），＝（cos，cos2）．
（1）若＝1，求cos（﹣x）的值；
（2）记f（x）＝，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2a﹣c）cosB＝bcosC，求f（B）的值．
题型三 利用正余弦定理解决实际问题
1.测量距离问题
17．如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，则AB的长为　 　．
18．（1）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若b+c＝2a，3sinA＝5sinB，求角C的值．
（2）如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．
2.测量高度问题
19．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在北偏西15°的方向上，仰角为75°，则此山的高度CD＝　 　m．
20．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处测得公路北侧一山顶D在西偏北30°（即∠BAC＝30°）的方向上；行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°（即∠CBE＝75°）的方向上，且仰角为30°．则此山的高度CD＝（　　）
A．m B．m C．m D．m
3.测量角度问题
21．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，则∠DEF的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
6.4.3 余弦定理、正弦定理
参考答案与试题解析
一．试题（共21小题）
（多选）1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，有两解的是（　　）
A．a＝ B．a＝2，b＝
C． D．
【解答】解：对于A，：a＝，b＝2，B＝120°，△ABC是钝角三角形，只有一解；
对于B，a＝2，b＝，B＝45°，由正弦定理得＝，解得sinA＝，
又a＞b，且A∈（0，π），所以A有个值，三角形有两解；
对于C，b＝3，c＝，B＝60°，由正弦定理得＝，解得sinC＝，
由b＞c，所以B＞C，所以C＝30°，三角形只有一解；
对于D，a＝2，b＝，B＝60°，由正弦定理得＝，解得sinA＝，
又b＜a，所以A＞60°，所以A有两个值，三角形有两解．
故选：BD．
2．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）A＝60°，a＝1，b+c＝2，解此三角形；
（2）ab＝60，sinA＝cosB，S△ABC＝15，求△ABC的三个内角．
【解答】解：（1）根据余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
即1＝（b+c）2﹣3bc，
解得bc＝1，
由，解得b＝c＝1，
∴△ABC为等边三角形，
∴B＝C＝60°；
（2）∵ab＝60，S△ABC＝15，
∴S△ABC＝absinC，
即15＝×60sinC，
则sinC＝，
∵0＜C＜180°，
∴C＝30°或C＝150°，
∵sinA＝cosB，
∴A+B＝90°或A＝90°+B，
当A+B＝90°，此时与C＝30°或C＝150°相矛盾，
若C＝30°，则，解得A＝120°，B＝30°，
若C＝150°，则，此时无解，
综上所述，A＝120°，B＝30°，C＝30°．
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于（　　）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
【解答】解：在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a＝4，b＝4，∠A＝30°
利用正弦定理：
解得：sinB＝
则：B＝60°或120°
故选：D．
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝4，c＝2，C＝60°，则此三角形的解的情况是（　　）
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
【解答】解：因为b＝4，c＝2，C＝60°，
由正弦定理得，
故sinB＝＝＝＞1，
故B不存在，即三角形无解．
故选：C．
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（b﹣c）sinB+csinC＝asinA，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：已知等式（b﹣c）sinB+csinC＝asinA，利用正弦定理化简得：（b﹣c）b+c2＝a2，
∴b2+c2﹣a2＝bc，
∴cosA＝，
∴sinA＝，
故选：B．
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，向量，且满足，则角A＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：＝2asinA，
由正弦定理有，即，
由余弦定理有b2+c2﹣a2＝2bccosA，可得，
故，
故选：D．
7．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（b﹣a）（sinB+sinA）＝（b﹣c）sinC．
（1）求A；
（2）从下列条件中：①a＝；②S△ABC＝中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．
【解答】解：（1）因为（b﹣a）（sinB+sinA）＝（b﹣c）sinC，
由正弦定理得（b﹣a）（b+a）＝（b﹣c）c，即b2+c2﹣a2＝bc﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
由余弦定理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）选择①．由正弦定理，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
即△ABC周长＝＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
即△ABC周长的取值范围﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
选择②．，得，得bc＝4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣12，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
即△ABC周长，
∵，当且仅当b＝c＝2时等号成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
∴
即△ABC周长的取值范围[6，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（a+b+c）（b+c﹣a）＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，则此三角形的形状是（　　）
A．直角三角形
B．正三角形
C．腰和底边不等的等腰三角形
D．等腰直角三角形
【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）＝3bc，
∴[（b+c）+a][（b+c）﹣a]＝3bc，
∴（b+c）2﹣a2＝3bc，可得b2+2bc+c2﹣a2＝3bc，可得b2﹣bc+c2＝a2，
根据余弦定理有a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得b2﹣bc+c2＝a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴bc＝2bccosA，可得cosA＝，
∴A＝60°，
∵sinA＝2sinBcosC，可得sin（B+C）＝2sinBcosC，
∴sin（B﹣C）＝0，可得B＝C，
∵A＝60°，∴B＝C＝60°，
∴△ABC是正三角形．
故选：B．
9．△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a，b，c，给出下列命题：
①若sinBcosC＞﹣cosBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；
②若sin2A+sin2B＝sin2C，则△ABC一定是直角三角形；
③若bcosA＝acosB，则△ABC为等腰三角形；
④在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
其中正确命题的序号是　②③④　．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
【解答】解：①若sinBcosC＞﹣cosBsinC sinBcosC+cosBsinC＝sin（B+C）＞0 0＜B+C＜π，所以①不一定成立；
②∵sinA＝，sinB＝，sinC＝，∴+＝，即a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，②成立，
③若bcosA＝acosB 2rsinBcosA＝2rsinAcosB sin（B﹣A）＝0 A＝B即③成立．
④在△ABC中，若A＞B a＞b 2rsinA＞2rsinB sinA＞sinB即④成立；
故正确命题的是②③④．
故答案为：②③④．
10．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，a＝7，b+c＝8，则b c＝　15　，△ABC的面积S＝　　．
【解答】解：∵，a＝7，b+c＝8，
∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得：49＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc＝64﹣bc，
解得：bc＝15，
∴S△ABC＝bcsinA＝＝．
故答案为：15，．
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sinBsinC+2sin2C＝sin2B，a＝，cosA＝﹣，则△ABC的面积S为 　　．
【解答】解：由题意得：由sinBsinC+2sin2C＝sin2B，可得b2﹣bc﹣2c2＝0，
即（b﹣2c）（b+c）＝0，所以b＝2c，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，得，
所以c＝1，b＝2，
又由，可得，
则．
故答案为：．
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosAsinC+asinBcosC＝．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，其外接圆半径为，求△ABC周长的取值范围．
【解答】解：（1）△ABC中，由bcosAsinC+asinBcosC＝，
利用正弦定理可得sinBcosAsinC+sinAsinBcosC＝sinB，
因为sinB≠0，所以cosAsinC+sinAcosC＝sin（A+C）＝sinB＝，
又B∈（0，π），
所以B＝，或；
（2）若△ABC为锐角三角形，由（1）知B＝，且外接圆的半径为，
由正弦定理得＝2×，可得b＝3，
由正弦定理得＝2，
所以a+c＝2（sinA+sinC）；
因为A+C＝，
所以a+c＝2[sinA+sin（﹣A）]＝2×（sinA+cosA）＝6sin（A+），
又△ABC为锐角三角形，则0＜A＜，且0＜C＜，
又C＝﹣A，则＜A＜，所以＜A+＜，
所以＜sin（A+）≤1，
所以3＜a+c≤6，
所以△ABC周长a+b+c的取值范围是（3+3，9]．
13．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期、单调递增区间及最值；
（2）若A为锐角△ABC的内角且，求△ABC面积的最大值．
【解答】解：（1）f（x）＝2sinxcosx+2＝sin2x﹣＝2sin（2x﹣），
故函数f（x）的最小正周期．
由，（k∈Z），整理得，（k∈Z），
函数f（x）的单调递增区间为：[]，（k∈Z）；
∴f（x）max＝2，f（x）min＝﹣2．
（2）A为锐角△ABC的内角，由，
整理得，解得或（舍）．
由余弦定理：＝，
解得b2+c2＝12+bc．
而b2+c2≥2bc，得bc≤12，
则，
当且仅当时，S取得最大值．
14．四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2．
（1）求角C；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1连接BD，
在△ABD中，由余弦定理得：BD2＝AB2+AD2﹣2AB ADcosA＝5﹣4cosA，
在△BCD中，由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC CDcosC＝13﹣12cosC，
∴13﹣12cosC＝5﹣4cosA，
∵A+C＝π，∴cosA＝﹣cosC，
∴13﹣12cosC＝5+4cosC，
则cosC＝，
∴C＝．
（2）∵A+C＝π，∴sinA＝sinC＝．
∴SABD＝＝，S△BCD＝＝．
∴四边形ABCD的面积为SABD+S△BCD＝2．
15．已知向量＝（cosωx，sinωx），＝（cosωx，2cosωx﹣sinωx）（x∈R，ω＞0）函数f（x）＝||+ 且最小正周期为π，
（1）求函数，f（x）的最大值，并写出相应的x的取值集合；
（2）在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c且f（B）＝2，c＝3，S△ABC＝6，求b的值．
【解答】解：（1）∵向量＝（cosωx，sinωx），＝（cosωx，2cosωx﹣sinωx），∴||＝＝1．
＝cos2ωx+2sinωxcosωx﹣sin2ωx＝cos2ωx+sin2ωx＝2（cos2ωx+sin22ωx）＝2sin（2ωx+），
∴f（x）＝2sin（2ωx+）+1．
由T＝＝π，解得ω＝1．∴f（x）＝2sin（2x+）+1．
由 2x+＝2kπ+（k∈Z），即 x＝kπ+（k∈Z），
即当x∈{x|x＝kπ+，k∈Z}时，f （x）有最大值3．
（2）∵f （B）＝2，由（1）知2sin（2x+）+1＝2，即 sin（2x+）＝．
于是2B+＝，解得B＝．
由S△ABC＝＝6，即 ，解得a＝8，
由余弦定理得 b2＝a2+c2﹣2accosB＝64+9﹣2×8×3×＝49，
∴b＝7． （12分）
16．已知向量＝（sin，1），＝（cos，cos2）．
（1）若＝1，求cos（﹣x）的值；
（2）记f（x）＝，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2a﹣c）cosB＝bcosC，求f（B）的值．
【解答】解：（1）若＝1，即为sincos+cos2
＝sin+（1+cos）＝+sin（+）＝1，
故sin（+）＝，
即有cos（﹣）＝cos（﹣﹣）＝sin（+）＝，
则有cos（﹣x）＝2cos2（﹣）﹣1＝2sin2（+）﹣1
＝2×﹣1＝﹣；
（2）f（x）＝＝sincos+cos2
＝sin+（1+cos）＝+sin（+），
由（2a﹣c）cosB＝bcosC，
则2acosB＝ccosB+bcosC，
由正弦定理可得2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC
＝sin（B+C）＝sinA，
cosB＝，由于B为三角形的内角，
则有B＝，
则f（B）＝+sin（+）＝+＝．
17．如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，则AB的长为　　．
【解答】解：由题意，ACD是等边三角形，∠ACB＝∠BCD＝30°
∴可得CB⊥AD，且AD＝，
∵∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，
∴∠BDA＝45°，
可得DB＝，
由余弦定理：AB2＝a2+a2﹣2×＝a2；
则AB＝；
故答案为：
18．（1）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若b+c＝2a，3sinA＝5sinB，求角C的值．
（2）如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．
【解答】解：（1）∵b+c＝2a，3sin A＝5sin B，即3a＝5b，
∴b＝，c＝，
∴cosC＝＝﹣．
∵C∈（0°，180°），
∴C＝120°．
（2）在△BDC中，∠CBD＝180°﹣30°﹣105°＝45°，
由正弦定理得＝，
则BC＝＝（km）．
在△ACD中，∠CAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△ACD为正三角形．∴AC＝CD＝（km）．
在△ABC中，由余弦定理得：
AB2＝AC2+BC2﹣2AC BC cos 45°
＝+﹣2×××＝，
∴AB＝（km）．
19．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在北偏西15°的方向上，仰角为75°，则此山的高度CD＝　600　m．
【解答】解：在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝∠CBE﹣∠BAC＝45°，
由正弦定理得，即，
∴BC＝，
在Rt△BCD中，∠CBD＝75°，
＝．
故答案为：．
20．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处测得公路北侧一山顶D在西偏北30°（即∠BAC＝30°）的方向上；行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°（即∠CBE＝75°）的方向上，且仰角为30°．则此山的高度CD＝（　　）
A．m B．m C．m D．m
【解答】解：在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝∠CBE﹣∠BAC＝45°，
由正弦定理得，即，
解得BC＝300，
在Rt△BCD中，∵tan30°＝＝，
∴CD＝BC＝100．
故选：A．
21．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，则∠DEF的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M．
DF＝＝＝10（m），
DE＝＝＝130（m），
EF＝＝＝150（m）．
在△DEF中，由余弦定理，
得cos∠DEF＝＝＝．
故选：A．