第二单元质数和合数（教学实录）五年级下册数学人教版1

第二单元 因数与倍数
2.3 质数和合数
学习目标
1.了解质数（素数）和合数的概念，在1 到100 的自然数中，能找出质数与合数，感受质数、合数与1 之间的联系与区别。
2.经历猜想、操作、感悟、验证的活动过程，提高解决问题的能力、抽象能力和推理能力。
3.在探索活动中，激发学习数学的兴趣。
重点：理解质数、合数的概念，知道它们之间的联系和区别，能正确判断一个数是质数还是合数。
难点：知道100以内的质数，熟悉20以内的质数。
老师：同学们好，很高兴和大家一起学习。今天我们学习的内容是因数与倍数单元中的质数和合数。请同学们准备好20个相同的小正方形，如果没有也没关系可以在同学们拼摆的过程中和他们一起思考。首先我们一起做一个拼摆游戏，同学们看有这样一些信封上面分别有1到20这20个数。请注意，信封上的数是几里面就有几个相同的小正方形。例如6号信封里就有6个小正方形，活动要求是这样的：一、选一选。每位同学可以从中任意选择2个信封。二、拼一拼。分别用每个信封里所有的小正方形拼摆出不同的长方形或正方形。三、看一看。如果你选的每个信封里的小正方形都能有两种或两种以上的拼摆方案，那么游戏就成功了。同学们你们听清楚活动要求了吗？赶快开始你的活动吧。我看到很多同学已经完成了，谁来说一说你选的是几号信封？有哪几种拼摆方案呢？小林同学你来说一说吧。
学生1： 6号和9号信封：六个小正方形可以一行摆六个，摆这样的一行；一行摆一个，摆这样的六行；还可以一行摆三个，摆这样的两行；或者一行摆两个，摆这样的三行。共4种摆法。我还用算式进行验证1×6=6，2×3=6大家同意我的方案吗？
学生2：你用算式进行验证是一个好方法但是我认为应该只有两种摆法。因为通过旋转前两种是一样的，是同一种摆法。后两种旋转后也是同一种摆法。
学生3：你说的有道理，我现在就调整拼摆的方案。6个小正方形应该有两种摆法。我还选了9号信封那么摆法应该是这样的：一行摆9个，摆这样的一行；一行摆3个，摆这样的三行；用算式进行验证1×9=9，3×3=9。
老师：小林不但能认真倾听同学的意见还能及时调整和完善自己的拼摆方案，真是一个会学习的孩子。还有谁想和同学们分享自己的拼摆方案。
学生4：我选的是19号和20号信封，因为我觉得他们是这组数中最大的两个数。小正方形越多，拼摆的方案也一定多。我先用20个小正方形进行拼摆，一行摆20个，摆这样的一行；一行摆10个，摆这样的两行；一行摆5个，摆这样的四行。然后用算式20×1=20，10×2=20，5×4=20进行验证，确定一共有三种拼摆方案。但是不知道为什么19个小正方形却只有这一种拼摆方案。
老师：这可是一个值得研究的问题。同学们谁和小瑞有同样的疑问？是啊，怎么19个小正方形只有一种拼摆方案呢？小正方形的个数多，拼摆的方案应该多呀？小瑞的这个想法到底对不对呢？
学生5：我认为有多少种拼摆方案与小正方形的个数的多少没有关系。我选的6个和9个小正方形，虽然个数并不多还能分别有两种拼摆方案呢。
学生6：拼之前我就想能有多少种拼摆方案可能和因数的个数有点关系，所以我不想选3和5他俩都只有1和他本身两个因数，所以一定只有一种拼法。
学生7：我发现只要拼摆的小正方形个数能有3个或3个以上的因数就能有两个或两种以上的拼摆方案。比如12有1和12、2和6、3和4共6个因数就有这样三种拼摆方案。
学生8：我也发现了如果小正方形个数的因数多，摆法就多。15有1和15、3和5四个因数有两种拼摆方案。16有5个因数有三种拼摆方案。
老师：同学们真会思考。不但用实力证实了小正方形个数多拼摆的方案就多是错误的，而且在讨论中研究的焦点从表面的小正方形的总个数转移到了隐藏的因数的个数。拼摆方案的多少真的和因数的个数有关系吗？仅看这几种情况可不行还需要用更多的数据来验证。刚才同学们发现3、5、19都只有两个因数所以只有一种拼摆方案。还有谁选的小正方形也只有一种拼摆方案？
学生9：我选了13号，13只有1和13两个因数，也只有一种拼法。
学生10： 17只有1和17这两个因数也只有一种拼法。
学生11：我没拼。但是2和7肯定只有一种拼法因为他们分别只有两个因数。
学生12： 11也只有两个因数只有一种拼法。
老师：同学们齐心协力找全了只有一种拼摆方案的所有情况。接下来我们再看有两种或两种以上拼摆方案的情况。我们已经找到了这些还有要补充的吗？
学生13：:4有1、2、4共三个因数，有两种拼法。
学生14： 10有1和10，2和5这四个因数也有两种拼法。
学生15： 8和14分别有4个因数都有两种不同的拼法。
学生16：18有6个因数有3种不同的拼法。
老师：同学们，从刚才的数据来看拼摆方案的多少真的和因数的个数有关系。但这会不会只是一个巧合呢？当小正方形的个数超过20了，超过100了，超过1000了，还会是这样的吗？
学生17：我认为这不是巧合。因为只要有两个因数就会有一种拼法。
学生18：用乘法算式验证的时候我发现如果每行摆几个用字母a表示，摆这样的几行用字母b表示，小正方形的总个数用字母c表示，a和b就是c的因数。所以如果c只有2个因数就只有一种摆法，而c的因数越多拼摆的方案也就越多。
老师：这真是一个了不起的发现。看来因数的个数与拼摆方案的多少之间确实是有联系的。这不是一个巧合，在现象的背后还蕴含着深刻的道理。其实数学学习就需要这种深入的思考，我们研究问题不但要深入还要全面，可是刚才同学们在研究的过程中却漏掉了1号信封。为什么同学们都不选1呢？
学生19： 1只有一个因数就是他自己。
学生20：而且一个小正方形也不能拼成一个新的长方形或正方形啊。
老师：看来同学们不选1号信封确实是有道理的。通过拼一拼、摆一摆的游戏，相信同学们对1到20这些数有了更加深刻的认识。带着这些新认识我们给这些数分分类吧。谁来说一说你是怎么分的？
学生21：我按不同的拼法分类。把1分为一类，因为一个小正方形不能拼成新的长方形或正方形。有一种拼法的分一类，有两种或两种以上拼法的分一类。
学生22：我和小瑞的分类方法一样但是分的更细些。有两种拼法的和有三种拼法的分别是一类。
学生23：还可以这样分类，因数的个数是偶数个的分一类，因数的个数是奇数个的分一类。
老师：同学们，你们发现了吗？小丽的分类方法和前面两位同学不太一样，她关注到了因数的个数。我们再来听听小明的想法。
学生24：我也是按照因数的个数来分类的，只有一个因数的1是一类；只有1和它本身两个因数的数是一类；有两个以上的因数是另一类。
学生25：我发现小明和小瑞的分类标准虽然不相同，但是分的结果却是相同的。因为拼的方法和因数的个数有关系所以不能拼成新的长方形、正方形的就是只有一个因数的；有一种拼摆方案的就是只有两个因数的；有两种或两种以上拼摆方案的就是有两个以上因数的。
老师：其实同学们的分类方法都是对的。因为站的角度不同分类的标准不同，所以分类的结果也不同。数学家们根据因数的个数也把这些数分成了这样几类：一个数如果只有1和它本身两个因数这样的数叫做质数或素数；一个数如果除了1和它本身还有别的因数这样的数叫做合数。那么1呢？它是质数还是合数呢？对了 1既不是质数也不是合数因为它只有一个因数。刚才我们通过拼一拼、摆一摆的游戏已经找到了20以内的所有的质数，他们是2、3、5、7、11、13、17、19 。下面我们继续做游戏找一找。看这就是我们熟悉的百数表，请在百数表中找出100以内的所有质数，赶快试试吧。谁和同学们分享一下自己的办法。
学生26：我想这样找，先看21 它除了1和21外还有3和7两个因数所以是合数。22除了1和22外还有因数2和11也是合数。23除了1和23外没有其他因数了所以它是质数。我们根据因数的个数就能一个一个找到100以内所有的质数了。
学生27：我和小静的方法有点不一样，我用的是排除法。我觉得除了2以外所有的偶数都可以划去，因为他们除了1和他本身外至少都还有因数2所以都是合数。
老师：同学们，小林的说法你们同意吗？那我们就一起把这些数划去吧。看一下子排除了这么多数呢？还有谁想继续和同学们分享自己的方法。
学生28：我受到小林的启发想到了还可以划掉除了5以外的个位是5的两位数。因为他们都是5的倍数。接着划去除了3以外的3的倍数9、21、27、33、39、51、57、63、69、81、87、93、99。还又划去除了7以外的7的倍数49、77、91。现在剩下的就都是质数了。
学生29：不对不对我提醒大家还得划掉1呢，1既不是质数也不是合数。
老师：同学们太棒了。在相互补充和启发中找到了100以内所有的质数快给自己鼓鼓掌吧。同学们你们都找对了吗？找到了100以内的质数我们继续来做下一个游戏你说我答。活动要求：我们请一个同学说出一个大于2的偶数其他同学说出和是此数的两个质数。小静同学你来说这个偶数吧，其他同学准备好了吗？开始。
学生30：我说的偶数是6。
老师：想到答案了吗？3+3 ，对了。
学生31：第二个偶数是10。
老师：有的同学说是3+7，还有的同学说5+5。都对了。看来有时候答案并不唯一。
学生32：下一个是12。
老师：想到答案了吗？7+5，5+7都可以。
学生33：最后一个是16。
老师：3+13，5+11都对了。同学们这个游戏有意思吗？如果继续玩下去是不是所有大于2的偶数都可以表示为两个质数的和呢？同学们你们知道吗这个问题是由德国数学家哥德巴赫最早提出的被称为哥德巴赫猜想。这个看似简单的问题难倒了无数的数学家，成为数学界一个著名的悬而未解的问题。我国数学家陈景润离最后的证明只有一步之遥，愉快的一节课就要结束了，回顾本节课的学习同学们都有哪些收获呢？
学生34：我知道了什么是质数、什么是合数。质数只有1和它本身两个因数，合数有两个以上的因数，1既不是质数也不是合数。
学生35：回忆研究质数和合数的过程，我们先进行了猜测然后通过操作进行了验证最终得到结论。我觉得这个研究过程对我来说很重要我可以用这种方法学习其他的知识。
学生36：学习中遇到困难时可以带着困惑和同学们交流和沟通，很多不明白的问题就迎刃而解了。
老师：看来大家不仅收获了知识，掌握了学习方法，更重要的是我们经历了研究的过程。这些都是我们继续学习最宝贵的收获。今天我们学习的内容在数学书第14页，课后请同学们完成数学书第16页第2题然后写出100以内的所有质数和合数，今天的课就上到这里同学们再见。