北京市海淀区名校2022-2023学年高一下学期期中调研数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）cos2α﹣sin2α等于（ ）
A．sin2α B．cos2α C．0 D．1
2．（4分）已知集合A＝{x|log2（x﹣2）＞0}，B＝{y|y＝x2﹣4x+5，x∈A}，则A∪B＝（ ）
A．[3，+∞） B．[2，+∞） C．（3，+∞） D．（2，+∞）
3．（4分）已知，那么tanα＝（ ）
A． B． C．﹣2 D．﹣2或
4．（4分）已知，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则实数t等于（ ）
A． B．﹣1 C．0 D．﹣2
5．（4分）已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（4分）将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，所得图象的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
7．（4分）已知A（xA，yA）是单位圆上（圆心在坐标原点O）任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交单位圆于点B（xB，yB），则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．（4分）已知f（x）＝2cos（ωx+φ）+m（ω＞0），对任意实数t都有，且，则实数m的值等于（ ）
A．±3 B．﹣3 C．﹣1或3 D．﹣3或1
9．（4分）已知向量，且，那么向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）设函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：
①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点；
②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点；
③f（x）在（0，）单调递增；
④ω的取值范围是[，）．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11．（4分）cos15°＝ ．
12．（4分）sin13°sin58°+sin77°sin32°＝ ．
13．（4分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且＝x，则x+y＝ ，的最小值为 ．
15．（4分）关于函数f（x）＝sin|x|﹣|sinx|有下述四个结论：
①f（x）是偶函数；
②f（x）在区间上单调递增；
③f（x）的最大值为1；
④f（x）在区间[﹣π，π]上有3个零点．
其中正确的结论是 ．
三、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（9分）已知非零向量，满足，，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求向量与的夹角θ；
（Ⅲ）求的值．
17．（9分）已知，，，．
（Ⅰ）求sinβ，cosβ的值；
（Ⅱ）求sin（β﹣α）的值．
18．（11分）已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、单调递减区间和对称中心；
（Ⅱ）当 x∈[﹣π，0]时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．
19．（11分）阅读问题：如图，已知单位圆上一点，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB（B在单位圆上），求点B的坐标．
解决问题：点A在角α的终边上，且|OA|＝1，则cosα＝，sinα＝，点B在角α+的终边上，且|OB|＝1，于是点B的坐标满足＝﹣，，即 ．
根据上述解题过程求解下列问题：
（1）将OA绕坐标原点顺时针旋转并延长至点C，使|OC|＝4|OA|，求点C的坐标；
（2）若将OA绕坐标原点逆时针旋转θ并延长至ON，使|ON|＝r|OA|（r＞0），求点N的坐标（用含有r，θ的数学式子表示）；
（3）定义 P（x1，y1），Q（x2，y2）的中点的坐标为，将OA逆时针旋转β，并延长至OD，使|OD|＝2|OA|，若DA的中点M也在单位圆上，求cosβ的值．北京市海淀区名校2022-2023学年高一下学期期中调研数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．【解答】解：cos2α﹣sin2α＝cos2α．
故选：B．
2．【解答】解：集合A＝{x|log2（x﹣2）＞0}＝{x|x＞3}，
B＝{y|y＝x2﹣4x+5，x∈A}＝{y|y＞2}，
则A∪B＝{x|x＞2}．
故选：D．
3．【解答】解：∵，
∴＝，
得4﹣4tan2α＝6tanα，
即2tan2α+3tanα﹣2＝0，
得（tanα+2）（2tanα﹣1）＝0，
得tanα＝﹣2或tanα＝．
故选：D．
4．【解答】解：∵向量与向量共线，
∴存在实数k使得＝k（），
化为：（1﹣2k）＝（t+k），
∵，是两个不共线的向量，
∴1﹣2k＝0且t+k＝0，
则实数t＝﹣，
故选：A．
5．【解答】解：三角形ABC，那么“” ＞0，可得A为锐角．此时三角形ABC不一定为锐角三角形．
三角形ABC为锐角三角形 A为锐角．
∴三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．
故选：B．
6．【解答】解：将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，
所得图象的函数表达式是y＝sin2（x+）＝sin（2x+）．
故选：D．
7．【解答】解：设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），
∴＝sinα+cos（α+）
＝+cos﹣sin
＝+
＝sin（α+），
∴的最大值为1．
故选：A．
8．【解答】解：f（x）＝2cos（ωx+φ）+m（a＞0）对任意实数t都有，
所以函数f（x）的对称轴是，此时函数f（x）取得最值，
又，所以﹣1＝±2+m，解得m＝1或﹣3．
故选：D．
9．【解答】解：向量在向量上的投影向量为：
＝ ＝＝＝（）．
故选：C．
10．【解答】解：依题意作出 的图象如图，其中 m 2π＜n，
显然①正确，②错误；
当x∈[0，2π]时，ωx+∈（，2πω+），
∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，
∴5π≤2πω+＜6π，
∴，故④正确，
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
下面判断③是否正确，
当x∈（0，）时，ωx+∈（，），
若f（x）在（0，）单调递增，
则，即ω＜3，
∵，故③正确．
故选：D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11．【解答】解：cos15°＝cos（45°﹣30°）
＝cos45°cos30°+sin45°sin30°
＝×+×
＝．
故答案为：
12．【解答】解：sin13°sin58°+sin77°sin32°＝sin13°cos32°+cos13°sin32°＝sin（13°+32°）＝sin45°＝．
故答案为：．
13．【解答】解：根据函数的图象，得到A＝2，
由于，所以T＝4π，所以ω＝．
当x＝时，f（）＝2sin（φ）＝2，
根据0＜φ＜π，解得φ＝．
故f（x）＝2sin（x+）．
故答案为：f（x）＝2sin（x+）．
14．【解答】解：设＝m+n，＝λ+μ，
∵B，D，E，C四点共线，
∴m+n＝1，λ+μ＝1，
∵+＝x+y，
∴x+y＝2，
∴+＝（x+y）（+）＝（5++）≥（5+2）＝，
当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，
所以+的最小值为．
故答案为：2；．
15．【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|﹣|sin（﹣x）＝sin|x|﹣|sinx|＝f（x），则f（x）是偶函数，故①正确，
当x≥0时，f（x）＝sinx﹣|sinx|，此时函数的周期是2π，
则当0≤x≤π时，f（x）＝sinx﹣sinx＝0，
当π＜x≤2π时，f（x）＝sinx+sinx＝2sinx，
则f（x）的图象如图：
f（x）在区间上单调递增，故②正确，
当π＜x≤2π时，f（x）＝2sinx∈[﹣2，0]，综上f（x）∈[﹣2，0]，即f（x）的最大值为0，故③错误，
当0≤x≤π时，f（x）＝0有无数的根，即f（x）在区间[﹣π，π]上有无数个零点，故④错误．
故答案为：①②．
三、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
16．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，，所以，所以；
（Ⅱ），又因为0≤θ≤π，所以θ＝60°；
（Ⅲ）＝．
17．【解答】解：（Ⅰ）因为，，
所以，＝，
可得，；
（Ⅱ）因为，
所以；
所以sin（β﹣α）＝sinβcosα﹣cosβsinα＝．
18．【解答】解：（Ⅰ）
＝
＝，
所以f（x）的最小正周期为2π，
令+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，解得+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间为[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，
令x+＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ﹣，k∈Z，
所以f（x）的对称中心为（kπ﹣，0），k∈Z．
（Ⅱ）因为﹣π≤x≤0，所以，所以，当，
即时，，
所以f（x）的最小值为，此时．
19．【解答】解：（1）xC＝4cos（α﹣）＝4sinα＝4×＝2，yC＝4sin（α﹣）＝﹣4cosα＝﹣4×＝﹣2，即C的坐标为（2，﹣2）．
（2）∵，∴取α＝，
则xN＝rcos（α+θ）＝rcos（+θ），yN＝rsin（α+θ）＝rsin（+θ），即N的坐标为（rcos（+θ），rsin（+θ））．
（3）由题意A（，），D（2cos（+β），2sin（+β）），
则中点M（[2cos（+β）+]，[2sin（+β）+]，
∵|OM|＝1，
∴由两点间的距离公式得[（2cos（+β）+]2+[2sin（+β）+]2＝1，
即4cos2（+β）+4sin2（+β）+2cos（+β）+2sin（+β）++＝4，
即4+1+4[cos（+β）+sin（+β）]＝4，
得5+4sin（+β+）＝4，
即5+4cosβ＝4，得cosβ＝﹣．
