沪科版九年级数学下册试题 24.2 圆的基本性质 一课一练 （含答案）

24.2 圆的基本性质
一、选择题
1.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，半径OB＝3，sinA＝，则弦BC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．3.75
2.矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，如果分别以A、C为圆心的两圆外切，且点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是（　　）
A．5＜r＜12 B．18＜r＜25 C．1＜r＜8 D．5＜r＜8
3.如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（　　）
A．π B．2π C．4π D．0.5π
4.如图，△ABC内接于⊙O，AC＝5，BC＝12，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（　　）
A． B． C． D．4
5.如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
6.如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD＝4，连接AC，OD，若∠A与∠DOB互余，则EB的长是（　　）
A．2 B．4 C． D．2
二、填空题
7.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝　　　　　　．
8.如图，△ABC是圆O的内接三角形，连接OA、OC，若∠AOC＝∠ABC，弦AC＝5，则圆O的半径为　　　　　　．
9.如图，若△ABC内接于半径为6的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为　　　　　　．
10.已知抛物线y＝x2+（m+1）x﹣m﹣2（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，不论m取何正数，经过A、B、C三点的⊙P恒过y轴上的一个定点，则该定点的坐标是　　　　　　．
11.⊙O的内接正方形的边长为a和外切正三角形的边长为b，则＝　　　　　　．
12.如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是　　．
13.抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，若一个半径为的圆也经过点A、B，则该圆的圆心为　　 　．
14.如图，边长为4的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则⊙O的内接正三角形ACE的边长为　　　　　　．
三、解答题
15.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的直径AB的长度．
16.如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求桥拱所在圆的半径长；
（2）如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，且cotα＝3，求水面上升的高度．
17.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A，B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．
（1）求证：AE＝BF．
（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF．
（3）若AE＝2，EB＝4，求DG的长．
18.已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC和BD相交于E，BC＝CD＝4，AE＝6，且BE和DE的长是正整数，求BD的长．
19.如图：△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝45°，∠AOC＝150°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．
（1）求证：CD＝CB；
（2）如果⊙O的半径为2，求AC的长．
20.如图已知⊙O经过A、B两点，AB＝6，C是的中点，联结OC交弦AB与点D，CD＝1．
（1）求圆⊙O的半径；
（2）过点B、点O分别作点AO、AB的平行线，交于点G，E是⊙O上一点，联结EG交⊙O于点F，当EF＝AB，求sin∠OGE的值．
答案
一、选择题
B．C．C．B．C．D．
二、填空题
7.10﹣2．
8.．
9.6．
10.（0，1）．
11.．
12.8．
13.（﹣1，1）或（﹣1，﹣1）．
14.4．
三、解答题
15.（1）证明：∵在△AME中，ME＝3，AE＝4，AM＝5，
∴AM2＝ME2+AE2，
∴△AME是直角三角形，
∴∠AEM＝90°，
又∵MN∥BC，
∴∠ABC＝∠AEM＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接OM，如图，设⊙O的半径是r，
在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，ME＝3，OM＝r，
∵OM2＝ME2+OE2，
∴r2＝32+（4﹣r）2，
解得：r＝，
∴AB＝2r＝．
16.解：（1）∵，DC⊥AB，
∴AC＝BC，DC经过圆心，
设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，
∵AB＝8，
∴AC＝BC＝4，
联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，
∵OD⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
解之得R＝5．
答：桥拱所在圆的半径长为5米．
（2）设OD与EF相交于点G，联结OE，
∵EF∥AB，OD⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴∠EGD＝∠EGO＝90°，
在Rt△EGD中，，
∴EG＝3DG，
设水面上升的高度为x米，即CG＝x，则DG＝2﹣x，
∴EG＝6﹣3x，
在Rt△EGO中，∵EG2+OG2＝OE2，
∴（6﹣3x）2+（3+x）2＝52，
化简得 x2﹣3x+2＝0，解得 x1＝2（舍去），x2＝1，
答：水面上升的高度为1米．
17.（1）证明：连接BD．如图，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝45°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，
∴BD＝AD＝CD，∠CBD＝∠C＝45°，
∵DF⊥DG，∠FDG＝90°，
∴∠FDB+∠BDG＝90°，
又∵∠EDA+∠BDG＝90°，
∴∠EDA＝∠FDB，
在△AED和△BFD中，
∴△AED≌△BFD（ASA），
∴AE＝BF；
（2）证明：如图，由（1）知△AED≌△BFD，
∴DE＝DF．
∵∠EDF＝90°．
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴∠DEF＝45°，
∵∠G＝∠A＝45°．
∴∠G＝∠DEF，
∴GB∥EF；
（3）解：∵AE＝BF，AE＝2，
∴BF＝2．
在Rt△EBF中，EF＝＝2，
∵△DED为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，
∴DE＝EF＝×2＝，
∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED，
∴△GEB∽△AED，
∴，即GE DE＝AE BE，
∴GE＝＝，
∴DG＝GE+ED＝+＝．
18.解：∵BC＝CD＝4，
∴，
∴∠CBE＝∠CDB＝∠CAB，
又∵∠BCE＝∠ACB，
∴△CBE∽△CAB，
∴＝，即＝，
整理得：EC2+6EC﹣16＝0，
解得：EC＝2，或EC＝﹣8（舍去），
∴EC＝2，
由相交弦定理得：BE×ED＝AE×EC，
∴BE×ED＝2×6＝12，
∵BE和DE的长是正整数，
∴BE和DE的取值分别为3，4或2，6或1，12；
∵BC＝CD＝4，
∴BD＜BC+CD＝4+4＝8，
∴BD＝3+4＝7．
19.（1）证明：连接OB，则∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝OBA＝45°，
∵∠AOC＝150°，OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝15°，
∴∠OCB＝∠OCA+∠ACB＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝∠OBC＝60°，
∴∠CBD＝180°﹣∠OBA﹣∠OBC＝75°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D＝360°﹣∠OBD﹣∠BOC﹣∠OCD＝360°﹣（60°+75°）﹣60°﹣90°＝75°，
∴∠CBD＝∠D，
∴CB＝CD；
（2）在Rt△AOB中，AB＝OA＝2，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCB＝∠CAD，
∵∠D是公共角，
∴△DBC∽△DCA，
∴＝
∴CD2＝AD BD＝BD （BD+AB），
∵CD＝BC＝OC＝2，
∴4＝BD （2+BD），
解得：BD＝﹣，
∴AC＝AD＝AB+BD＝+．
20.解：（1）∵AB＝6，C是的中点，CD＝1，
∴OC⊥AB且OC平分AB，
∴AD＝3，∠ODA＝90°，
设OA＝r，则OD＝r﹣1，
∴r2＝32+（r﹣1）2，
解得，r＝5，
即圆⊙O的半径为5；
（2）作OH⊥EF于点H，
∵AB＝EF，OD＝r﹣1＝4，
∴OH＝OD＝4，∠OHG＝90°，
∵OA∥BG，OG∥AB，
∴四边形OABG是平行四边形，
∴OG＝AB，
∵AB＝6，
∴OG＝6，
∴sin∠OGH＝＝＝，
即sin∠OGE＝．