沪科版九年级数学下册试题 24.3 圆周角 一课一练（含答案）

24.3 圆周角
一、选择题
1.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，半径OB＝3，sinA＝，则弦BC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．3.75
2.如图，半径为5的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A的优弧上一点，∠OBC＝30°，则点C的坐标为（　　）
A．（0，5） B．（0，5） C．（0，） D．（0，）
3.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知tan∠CDB＝，BD＝10，则OH的长度为（　　）
A． B．1 C． D．
4.如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O与CD切于点E，AD交⊙O于点F．连接CF，若CE＝2DE，则tan∠DFC的值为（　　）
A． B． C． D．
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，BD，点E在AD的延长线上，下列说法正确的是（　　）
A．若DC平分∠BDE，则AB＝BC
B．若AC平分∠BCD，则AB2＝AM MC
C．若AC⊥BD，BD为直径，则BC2+AD2＝AC2
D．若AC⊥BD，AC为直径，则sin∠BAD＝
6.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC＝∠PCA，则线段AP长的最小值为（　　）
A．0.5 B．﹣1 C．2﹣ D．
二、填空题
7.如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC＝，则CQ的最大值是　　　　　　．
8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为A′、D′，如果直线A′D′与⊙O相切，那么的值为　　　　　　．
9.如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为2的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是　　．
10.如图，定直线l经过圆心O，P是半径OA上一动点，AC⊥l于点C，当半径OA绕着点O旋转时，总有OP＝OC，若OA绕点O旋转60°时，P、A两点的运动路径长的比值是　　．
11.如图，在⊙O中，弦AB＝4，点C是上的动点（不为A，B），且∠ACB＝120°，则CA+CB的最大值为　　．
12.如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE　　　　　　．
13.如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为　　　　　　．
14.如图，点B（﹣1，a）、C（b，﹣4）在⊙A上，点A在x轴的正半轴上，点D是⊙A上第一象限内的一点，若∠D＝45°，则圆心A的坐标为　　　　　　．
三、解答题
15.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的直径AB的长度．
16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A，B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．
（1）求证：AE＝BF．
（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF．
（3）若AE＝2，EB＝4，求DG的长．
17.如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．
（1）求证：AB＝AC；
（2）联结OM、ON、MN，求证：＝．
18.如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若CP平分∠OPB，求的值．
19.已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OAC＝58°．
（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，求∠P的大小；
（Ⅱ）如图②，P为AB上一点，CP延长线与⊙O交于点Q．若AQ＝CQ，求∠APC的大小．
20.如图，已知AB是圆O的直径，AC、BC是圆O的弦，OM∥AC交圆O于M，交BC于E，过点B作圆O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DC是圆O的切线；
（2）当∠BAC＝　　　　时，四边形OBMC为菱形．
答案
一、选择题
B．A．A．A．D．C．
二、填空题
7.．
8.．
9.1．
10.1．
11.8．
12.．
13.3．
14.（3，0）．
三、解答题
15.（1）证明：∵在△AME中，ME＝3，AE＝4，AM＝5，
∴AM2＝ME2+AE2，
∴△AME是直角三角形，
∴∠AEM＝90°，
又∵MN∥BC，
∴∠ABC＝∠AEM＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接OM，如图，设⊙O的半径是r，
在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，ME＝3，OM＝r，
∵OM2＝ME2+OE2，
∴r2＝32+（4﹣r）2，
解得：r＝，
∴AB＝2r＝．
16.（1）证明：连接BD．如图，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝45°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，
∴BD＝AD＝CD，∠CBD＝∠C＝45°，
∵DF⊥DG，∠FDG＝90°，
∴∠FDB+∠BDG＝90°，
又∵∠EDA+∠BDG＝90°，
∴∠EDA＝∠FDB，
在△AED和△BFD中，
∴△AED≌△BFD（ASA），
∴AE＝BF；
（2）证明：如图，由（1）知△AED≌△BFD，
∴DE＝DF．
∵∠EDF＝90°．
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴∠DEF＝45°，
∵∠G＝∠A＝45°．
∴∠G＝∠DEF，
∴GB∥EF；
（3）解：∵AE＝BF，AE＝2，
∴BF＝2．
在Rt△EBF中，EF＝＝2，
∵△DED为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，
∴DE＝EF＝×2＝，
∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED，
∴△GEB∽△AED，
∴，即GE DE＝AE BE，
∴GE＝＝，
∴DG＝GE+ED＝+＝．
17.证明：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示：
∵AO平分∠BAC．
∴OD＝OE，
∴AB＝AC；
（2）联结OB，OM，ON，MN，如图所示，
∵AM＝CN，AB＝AC
∴BM＝AN，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO，
∵∠BAO＝∠OAN，
∴∠B＝∠OAN，
∴△BOM≌△AON（SAS），
∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，
∴∠AOB＝∠MON，
∴△NOM∽△BOA，
∴．
18.证明：（1）连接OB，BC，设AB与OP交于点K，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∵PA＝PB，
∴∠PBA＝∠PAB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠OAB+∠PAB＝∠OBA+∠PBA，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，且OB是半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠BPO，且PA＝PB，
∴PO⊥AB，即∠AKO＝90°，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴OP∥BC，
∴∠OPC＝∠PCB，
∵CP平分∠OPB，
∴∠OPC＝∠BPC，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴BP＝BC，
∵OP∥BC，
∴，
∴BC＝2OK，
∴AP＝BP＝2OK，
∵∠OAP＝∠AKO＝90°，∠APO＝∠APK，
∴△APK∽△OPA，
∴，
∴AP2＝KP OP，
∴4OK2＝KP （OK+KP），
∴KP＝OK，
∵OP∥BC，
∴＝．
19.解：（I）如图①，
∵OA＝OC，∠OAC＝58°，
∴∠OCA＝58°
∴∠COA＝180°﹣2×58°＝64°
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠P＝90°﹣64°＝26°；
（II）∵∠AOC＝64°，
∴∠Q＝∠AOC＝32°，
∵AQ＝CQ，
∴∠QAC＝∠QCA＝74°，
∵∠OCA＝58°，
∴∠PCO＝74°﹣58°＝16°，
∵∠AOC＝∠QCO+∠APC，
∴∠APC＝64°﹣16°＝48°．
20.（1）证明：OM∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB，
∵AB是圆O的直径，
∴∠OEB＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠DBE＝∠DCE，
又∵OC＝OB，
∴∠OBE＝∠OCE，
即∠DBO＝∠OCD，
∵DB为圆O的切线，OB是半径，
∴∠DBO＝90°，
∴∠OCD＝∠DBO＝90°，
即OC⊥DC，
∵OC是圆O的半径，
∴DC是圆O的切线；
（2）当∠BAC＝60°时，四边形OBMC为菱形；
理由：∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OD垂直平分BC，OC＝OB，
∴∠COM＝∠BOM＝60°，
∴△COM和△BOM是等边三角形，
∴OC＝OB＝CM＝BM，
∴四边形OBMC为菱形．
故答案为：60°．