热点10 图形相似 （浙江专版） 中考三轮热点问题专题（含解析）

浙江专版 中考三轮热点问题专题
热点10 图形相似
一．选择题
1．（2023 婺城区模拟）下列各组数中，成比例的是（　　）
A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8 C．5，6，2，3 D．，，1，
2．（2023 瓯海区二模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，若AB＝2DE，则△ABC与△DEF周长比是（　　）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．2：3
3．（2023 平阳县一模）如图，小李身高AB＝1.6m，在路灯O的照射下，影子不全落在地面上．小李离路灯的距离AP＝6.6m，落在地面上影长AC＝0.9m，留在墙上的影高CD＝1m，则路灯OP高为（　　）
A．5m B．6m C．7.5m D．8m
4．（2023 仙居县一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DA，AB上，且DE＝AF，作AG⊥EF于点H，交BC于点G．若AB＝6，EF：AG＝2：3，则BG的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2023 绍兴模拟）小明在星期天上午8：30测得某树的影长为9m，下午13：00他又测得该树的影长为4m（如图所示），若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（　　）
A．8m B．6m C．4.5m D．4m
6．（2023 乐清市模拟）如图，在正方形ABCD中，E为AD中点，连结BE，延长EA至点F，使得EF＝EB，以AF为边作正方形AFGH，《几何原本》中按此方法找到线段AB的黄金分割点H．现连结FH并延长，分别交BE，BC于点P，Q，若△EFP的面积与△BPQ的面积之差为，则线段AE的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023 临安区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝108°，点P在BC边上，若AP是∠BAC的三等分线，则BP的长度为（　　）
A．或5 B． C．﹣1或2 D．或2
8．（2023 金华模拟）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．作EM∥NG∥AD．若GF＝2FM，则MN：GE的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2023 宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，点M为线段AB的中点，连结CM，过点D作DE⊥CM于点E．设DA＝a，DB＝b，则图中可以表示的线段是（　　）
A．MC B．CE C．DE D．ME
10．（2023 吴兴区一模）等腰直角三角形ABC中，已知AC＝4，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，BO为半径画圆交AC边于点P，交AB边于点Q，则AQ的最大值为（　　）
A．4 B． C． D．
二．填空题
11．（2023 黄岩区一模）如图，五线谱是五条等距离的平行线．一条直线交其中的三条平行线于点A，B，C，则＝　 　．
12．（2023 衢州一模）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE⊥BD，若AB＝3，AD＝4，则BE的长为 　 　．
13．（2023 桐庐县一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，则＝　 　．
14．（2023 北仑区一模）如图，一张矩形纸片ABCD中，（m为常数）．将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且，则m＝　 　．
15．（2023 宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB，BC边上的点（E、F不与端点重合），且EF∥AC．将△BEF沿直线EF折叠，点B的对应点为点M，延长EM交AC于点G，若以M、G、F为顶点的三角形与△BEF相似，则BF的长 　 　．
16．（2023 宁波模拟）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 　 　；
（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 　 　．
三．解答题
17．（2023 西湖区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），点D，F分别在边AB和AC上，且满足∠DEF＝∠B．
（1）求证：△BDE∽△CEF．
（2）若BE＝CE，且BD＝6，CF＝4，求的值．
18．（2023 瑞安市模拟）如图，AB是半圆O的直径，，在AB的延长线上取点D，连结DC并延长交半圆O的切线AE于点E．过点A作AF∥ED，交CO的延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若DC：DE＝3：5，，求AE的长．
19．（2023 椒江区一模）正方形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，连接BE，在线段BE上取一点P，连接CP．
（1）如图1，当CP⊥BE时，求证：△ABE∽△PCB；
（2）如图2，当AE＝1且∠BPC＝60°时，求PC的值；
（3）如图3，当∠BPC＝2∠ABE且AE＝CP时，求证：BE＝PC2．
20．（2023 杭州一模）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC＝2∠ACB，点D平分，连接AD，BD，CD．
（1）求证：AB＝CD．
（2）过点D作DG∥AB，分别交AC，BC于点E，F，交⊙O于点G．
①若AD＝a，BC＝b，求线段EF的长（用含a，b的代数式表示）．
②若∠ABC＝72°，求证：FG2＝EF DF．
21．（2023 慈溪市一模）【证明体验】（1）如图1，在△ABC中，D为AB边上一点，连结CD，若∠ACD＝∠ABC，求证：AC2＝AD AB．
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，D为AB边上一动点，连结CD，E为CD中点，连结BE．
【思考探究】①如图2，当∠ACD＝∠DBE时，求AD的长．
【拓展延伸】②如图3，当∠DEB＝30°时，求AD的长．
22．（2023 舟山一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，以A为圆心，AE为半径作⊙A交BE于点F，直线AB交⊙A于G、H两点，AF的延长线交BC于点D，作EK⊥BC，垂足为点K．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求证：；
（3）当BF BE＝BG BH且AH＝BD时，求证：．
23．（2023 宁波模拟）【基础巩固】
（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（不与A，B重合），F是BC边上一点，∠CDF＝45°．求证：△ACD∽△BDF．
（2）如图②，在（1）的条件下，已知，当△CDF为等腰三角形时，求CF的长．
【拓展提高】
（3）如图③，在△ABC中，，∠B＝45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE，点D在BC上，点E在AC上．若CE＝，求sinC的值．
24．（2023 余姚市一模）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为BC上一点，连结AD，E为AD上一点，连结CE，若∠BAD＝∠ACE，CD＝CE，求证：△ABD∽△CAE．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上一点，连结BE，∠CBE＝∠DCO，BE＝DO，若BD＝12，OE＝5，求AC的长．
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BC中点，F为DC上一点，连结OE、AF，∠AEO＝∠CAF，若，AC＝6，求菱形ABCD的边长．
答案与解析
一．选择题
1．（2023 婺城区模拟）下列各组数中，成比例的是（　　）
A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8 C．5，6，2，3 D．，，1，
【点拨】根据比例的性质解决此题．
【解析】解：A．由﹣2×（﹣3）≠1×（﹣6），得1，﹣2，﹣3，﹣6不成比例，故A不符合题意．
B．由4×2≠1×（﹣8），得1，4，2，﹣8不成比例，故B不符合题意．
C．由6×2≠5×3，得5，6，2，3不成比例，故C不符合题意．
D．由，得，，1，成比例，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．
2．（2023 瓯海区二模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，若AB＝2DE，则△ABC与△DEF周长比是（　　）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．2：3
【点拨】根据位似图形的概念得到AB∥DE，得到△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质求出AB：DE，根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∵AB＝2DE，
∴＝2，
∴△ABC与△DEF的周长之比是2：1，
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键．
3．（2023 平阳县一模）如图，小李身高AB＝1.6m，在路灯O的照射下，影子不全落在地面上．小李离路灯的距离AP＝6.6m，落在地面上影长AC＝0.9m，留在墙上的影高CD＝1m，则路灯OP高为（　　）
A．5m B．6m C．7.5m D．8m
【点拨】过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长DE交OP于点F，由题意得：DF⊥OP，OP⊥PC，DC＝AE＝FP＝1米，DE＝AC＝0.9米，AP＝FE＝6.6米，根据垂直定义可得∠OFD＝∠BED＝90°，然后证明A字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解析】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长DE交OP于点F，
由题意得：DF⊥OP，OP⊥PC，DC＝AE＝FP＝1米，DE＝AC＝0.9米，AP＝FE＝6.6米，
∴∠OFD＝∠BED＝90°，
∵∠BDE＝∠ODF，
∴△DBE∽△DOF，
∴＝，
∴＝，
∴OF＝5米，
∴OP＝PF+FP＝6（米），
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．（2023 仙居县一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DA，AB上，且DE＝AF，作AG⊥EF于点H，交BC于点G．若AB＝6，EF：AG＝2：3，则BG的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【点拨】根据有两个角相等的三角形相似可得Rt△EAF∽Rt△ABG，因为EF：AG＝2：3，所以△EAF与△ABG的相似比为2：3，由相似三角形对应线段成比例，列比例式即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝6，∠DAB＝∠ABG＝90°，
∴∠EAH+∠GAB＝90°，
∵AG⊥EF，
∴∠AHE＝90°，
∴∠EAH+∠AEH＝90°，
∴∠AEF＝∠GAB，
∴Rt△EAF∽Rt△ABG（HL），
∴，
∵AB＝6，
∴，
解得：AE＝4，
∴AF＝DE＝AD﹣AE＝2，
∵，
∴BG＝3，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（2023 绍兴模拟）小明在星期天上午8：30测得某树的影长为9m，下午13：00他又测得该树的影长为4m（如图所示），若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（　　）
A．8m B．6m C．4.5m D．4m
【点拨】根据题意，画出示意图，易得Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得；即DC2＝ED FD，代入数据可得答案．
【解析】解：根据题意，作△EFC；
树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝4，FD＝9，
∵∠ECD+∠FCD＝90°，∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠CED＝∠FCD，
又∵∠EDC＝∠FDC＝90°，
∴Rt△EDC∽Rt△FDC，
∴；
即DC2＝ED FD，
代入数据可得DC2＝36，
解得DC＝6．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
6．（2023 乐清市模拟）如图，在正方形ABCD中，E为AD中点，连结BE，延长EA至点F，使得EF＝EB，以AF为边作正方形AFGH，《几何原本》中按此方法找到线段AB的黄金分割点H．现连结FH并延长，分别交BE，BC于点P，Q，若△EFP的面积与△BPQ的面积之差为，则线段AE的长为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】设正方形ABCD的边长为x，则AE＝x，由勾股定理得BE＝x＝EF，则AF＝x，再证△BHQ是等腰直角三角形，得BH＝BQ＝x，然后证△EFP∽△BQP，得＝，求出S△BPQ＝14﹣6，设△EFP在EF边上的高为h1，△BPQ在BQ边上的高为h2，则＝，得h1+h2＝（+1）h2，进而由三角形面积求出x＝2，即可得出结论．
【解析】解：设正方形ABCD的边长为x，则AE＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝x＝EF，
∴AF＝EF﹣AE＝x﹣x＝x，
∴正方形AFGH的边长为x，
∴BH＝AB﹣AH＝x﹣x＝x，
∵FH为正方形AFGH的对角线，
∴∠FHA＝∠BHQ＝45°，
∴△BHQ是等腰直角三角形，
∴BH＝BQ＝x，
∵EF∥BQ，
∴△EFP∽△BQP，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△EFP﹣S△BPQ＝（﹣1）S△BPQ＝6﹣9，
解得：S△BPQ＝14﹣6，
设△EFP在EF边上的高为h1，△BPQ在BQ边上的高为h2，
则＝＝＝，
∴h1+h2＝（+1）h2，
∵h1+h2＝AB＝x，
∴（+1）h2＝x，
∴h2＝x，
∴S△BPQ＝BQ h2＝×x×x＝14﹣6，
解得：x＝2，
∴AE＝x＝×2＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、黄金分割、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握正方形的性质和黄金分割，证明三角形相似是解题的关键．
7．（2023 临安区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝108°，点P在BC边上，若AP是∠BAC的三等分线，则BP的长度为（　　）
A．或5 B． C．﹣1或2 D．或2
【点拨】根据已知条件得出∠B＝∠C＝36°，再根据AP是∠BAC的三等分线，求出∠BAP的度数与AC＝PC＝2，再根据AA证出△BAP∽△BCA，＝，从而得出＝，最后代值计算即可得出答案．
【解析】解：∵AB＝AC＝2，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵AP是∠BAC的三等分线，
∴∠BAP＝36°，∠CAP＝72°，
∴∠CPA＝72°，
∴AC＝PC＝2，
在△BAP与△BCA中，
，
∴△BAP∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴BP2+2BP﹣4＝0，
∴BP＝﹣1或2．
故选C．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及黄金分割，掌握相似三角形的判断以及等腰三角形的性质是解题的关键．
8．（2023 金华模拟）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．作EM∥NG∥AD．若GF＝2FM，则MN：GE的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD，可得AF＝BG＝CI＝DE，DF＝AG＝BI＝CE，DF⊥AF，FG＝EF，证明△FME∽△FAD，可得DF＝2AF，连接CF，证明四边形CNMF为平行四边形，所以CF＝MN，可得MN＝CD＝AD，设EF＝DE＝FG＝EI＝IG＝m，则EC＝2m，求出EG，MN，可得结论．
【解析】解：∵四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD，
∴AF＝BG＝CI＝DE，DF＝AG＝BI＝CE，DF⊥AF，FG＝EF，
∵ME∥AD，
∴△FME∽△FAD，
∴＝，
∴＝，
∵GF＝EF＝2FM，
∴DF＝2AF，
∴DF＝2DE，
∴E为DF中点，
∴M为AF中点，
∴MF＝AF，
同理IN＝CN＝CI，
∴IN＝MF，
如图，连接CF，
∴四边形CNMF为平行四边形，
∴CF＝MN，
∵E为DF中点，CE⊥DF，
∴CF＝CD，
∴MN＝CD＝AD，
设EF＝DE＝FG＝EI＝IG＝m，则EC＝2m，
∴MN＝CF＝CD＝＝m，
∵EG＝EF＝m，
∴MN：EG＝m：m＝：2．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是得到△FME∽△FAD．
9．（2023 宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，点M为线段AB的中点，连结CM，过点D作DE⊥CM于点E．设DA＝a，DB＝b，则图中可以表示的线段是（　　）
A．MC B．CE C．DE D．ME
【点拨】证明△ACD∽△CBD，根据相似三角形的性质得，则CD2＝ab，再证明△MCD∽△DCE，可得出，则CD2＝CM CE＝ab，由点M为线段AB的中点得CM＝AB＝，即可得出CE＝．
【解析】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝∠BCD+∠B＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD BD＝ab，
同理得△MCD∽△DCE，
∴，
∴CD2＝CM CE＝ab，
∵点M为线段AB的中点，
∴CM＝AB＝，
∴CE＝＝．
故选：B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，直角三角形性质等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
10．（2023 吴兴区一模）等腰直角三角形ABC中，已知AC＝4，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，BO为半径画圆交AC边于点P，交AB边于点Q，则AQ的最大值为（　　）
A．4 B． C． D．
【点拨】根据圆的基本性质，分析得出若要AQ最大，则BQ最小，即半径最小，此时OP⊥AC，设AQ＝x，证明△OAP∽△BAC，得到，设AQ＝x，解之可得结果．
【解析】解：∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，
∴AC＝BC＝4，，
在圆O中，OB＝OQ＝OP，
∴若要AQ最大，则BQ最小，即半径最小，
此时OP⊥AC，则OP⊥BC，
∴△OAP∽△BAC，
∴，
设AQ＝x，则半径，
∴，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质与圆周角定理，解题的关键是找到AQ最小时的位置设AQ＝x．
二．填空题
11．（2023 黄岩区一模）如图，五线谱是五条等距离的平行线．一条直线交其中的三条平行线于点A，B，C，则＝　2　．
【点拨】根据平行线分线段成比例即可求解．
【解析】解：如图所示：
∵a∥b∥c
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
12．（2023 衢州一模）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE⊥BD，若AB＝3，AD＝4，则BE的长为 　　．
【点拨】证明△ABE∽∠DAB即可作答．
【解析】解：在矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠BAE，
∵∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴△ABE∽∠DAB，
∴，
∵AB＝3，AD＝4，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明△ABE∽∠DAB是解答本题的关键．
13．（2023 桐庐县一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，则＝　　．
【点拨】作∠BAD＝∠B，AD交BC于点D，则∠BAD＝∠B＝36°，BD＝AD，根据三角形外角性质得出∠ADC＝72°，进而得到∠DAC＝∠ADC＝72°，于是AC＝CD，设AB＝AC＝1，AD＝x（x＞0），则CD＝1，BD＝x，BC＝1+x，易证△ABC∽△DBA，根据相似三角形的性质得，即，求出x即可求解．
【解析】解：如图，在AB右侧作∠BAD＝∠B，AD交BC于点D，
∴BD＝AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝36°，
∴∠BAD＝∠B＝36°，
∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝72°，∠ADC＝∠BAD+∠B＝72°，
∴∠DAC＝∠ADC＝72°，
∴AC＝CD，
设AB＝AC＝1，AD＝x（x＞0），
则CD＝1，BD＝x，BC＝1+x，
∵∠ABC＝∠DBA，∠ACB＝∠DAB，
∴△ABC∽△DBA，
∴，即，
∴x2+x﹣1＝0，
解得：x＝或，
∵x＞0，
∴x＝，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，理解题意正确作出辅助线，构造相似三角形解决问题是解题关键．本题可直接利用黄金三角形知识解答，黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°；这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
14．（2023 北仑区一模）如图，一张矩形纸片ABCD中，（m为常数）．将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且，则m＝　　．
【点拨】根据＝，设CP＝t，则CD＝AB＝3t，根据△CHP∽△BEH，得到BC2＝4BE t①，在Rt△BEH中，利用勾股定理得到（3t﹣BE）2＝BE2+（BC）2②，解①②即可求解．
【解析】解：∵＝，
设CP＝t，则CD＝AB＝3t，
∵点H是BC的中点，
∴CH＝BH＝BC，
∵△CHP∽△BEH，
∴＝，
即＝，
∴BC2＝4BE t①，
∵AE＝AB﹣BE，AE＝EH，CD＝AB＝3t，
∴AE＝EH＝3t﹣BE，
在Rt△BEH中，EH2＝BE2+BH2，
∴（3t﹣BE）2＝BE2+（BC）2②，
解①②得BE＝t，
∴BC2＝4BE t＝4×t＝t2，
∴BC＝t，
∴m＝＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，从复杂的图形中找出相似三角形是解题的关键．
15．（2023 宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB，BC边上的点（E、F不与端点重合），且EF∥AC．将△BEF沿直线EF折叠，点B的对应点为点M，延长EM交AC于点G，若以M、G、F为顶点的三角形与△BEF相似，则BF的长 　或　．
【点拨】连接并延长BM，BM交EF于点I，BM的延长线交AC于点H，根据轴对称的性质得EF垂直平分BM，∠GMF＝∠EMF＝∠EBF＝90°，MF＝BF，由EF∥AC得∠BIF＝∠MIF＝∠BHC＝90°，所以BH⊥AC，由∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，得AC＝＝10，则×10BH＝×6×8＝S△ABC，求得BH＝，再分两种情况讨论，一是△MGF∽△BEF，且∠MFG＝∠BFE，可推导出MH＝BF，MI＝BI＝BF，则3×BF＝，得BF＝；二是△GMF∽△BEF，且∠MGF＝∠BFE，可推导出MH＝BF，则2×BF+BF＝，得BF＝．
另一种解法是，证明∠A＝∠EGA，则EA＝EG，当△MGF∽△BEF，且∠MFG＝∠BFE时，可推导出EA＝EG＝2EB，则EB＝2，BF＝；当△GMF∽△BEF，且∠MGF＝∠BFE时，可推导出GM＝MF＝BF，EM＝EB＝BF，则EA＝EG＝BF，所以BF+BF＝6，则BF＝．
【解析】解法一：连接并延长BM，BM交EF于点I，BM的延长线交AC于点H，
∵将△BEF沿直线EF折叠，点B的对应点为点M，
∴EF垂直平分BM，∠GMF＝∠EMF＝∠EBF＝90°，MF＝BF，
∵EF∥AC，
∴∠BIF＝∠MIF＝∠BHC＝90°，
∴BH⊥AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∴×10BH＝×6×8＝S△ABC，
∴BH＝，
当△MGF∽△BEF，且∠MFG＝∠BFE时，如图1，
∵△BEF≌△MEF，
∴△MGF∽△MEF，
∴＝＝1，
∴GM＝EM＝EB，
∵∠BFE＝∠C，
∴GM＝EB＝BF tan∠BFE＝BF tanC＝BF×＝BF，
∵∠GMH＝90°﹣∠FMI＝∠MFE＝∠BFE＝∠C，
∴MH＝GM cos∠GMH＝GM cosC＝BF×＝BF×＝BF，
∵MI＝BI＝BF sin∠BFE＝BF sinC＝BF×＝BF，
∴3×BF＝，
∴BF＝；
当△GMF∽△BEF，且∠MGF＝∠BFE时，如图2，
∵＝tan∠MGF＝tan∠BFE＝tanC＝，
∴GM＝MF＝BF，
∴MH＝GM cos∠GMH＝GM cosC＝BF×＝BF，
∴2×BF+BF＝，
∴BF＝，
综上所述，BF的长为或，
故答案为：或．
解法二：当△MGF∽△BEF，且∠MFG＝∠BFE时，如图1，
由折叠得△BEF≌△MEF，EB＝EM，∠BEF＝∠MEF，
∴△MGF∽△MEF，
∴＝＝1，
∴GM＝EM＝EB，
∴EG＝2EM＝2EB，
∵EF∥AC，
∴∠BEF＝∠A，∠MEF＝∠EGA，∠BFE＝∠C，
∴∠A＝∠EGA，
∴EA＝EG＝2EB，
∴EB+2EB＝6，
∴EB＝2，
∴BF＝EB tan∠BEF＝EB tanA＝2×＝；
当△GMF∽△BEF，且∠MGF＝∠BFE时，如图2，
∵＝tan∠MGF＝tan∠BFE＝＝tanC＝＝＝，MF＝BF，
∴GM＝MF＝BF，EM＝EB＝BF，
∴EA＝EG＝BF+BF＝BF，
∴BF+BF＝6，
∴BF＝，
综上所述，BF的长为或，
故答案为：或．
【点睛】此题重点考查勾股定理、根据面积等式求线段的长度、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16．（2023 宁波模拟）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 　﹣1　；
（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 　　．
【点拨】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；
（2）然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FGC，△EGC∽△GFC，根据全等三角形的性质、相似三角形的性质可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵＝λ＝1，
∴点E为BC的中点，
∵AB＝2，∠B＝90°，
∴BE＝EC＝1，
∴AE＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝EF﹣EC＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝180°﹣90°＝90°，
在△ADG和△FCG中，
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，CF＝DA，
设CD＝2a，则CG＝a，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴＝，
∵GC＝a，CF＝2a，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，
∴λ＝＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三．解答题
17．（2023 西湖区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），点D，F分别在边AB和AC上，且满足∠DEF＝∠B．
（1）求证：△BDE∽△CEF．
（2）若BE＝CE，且BD＝6，CF＝4，求的值．
【点拨】（1）由AB＝AC得到∠B＝∠C，由三角形外角的性质得到∠CEF+∠DEF＝∠B+∠BDE，已知∠DEF＝∠B，得到∠CEF＝∠BDE，即可得到结论；
（2）由△BDE∽△CEF得到，则BE CE＝BD CF，由BE＝CE，且BD＝6，CF＝4，得到BE2＝BD CF＝24，求出，即可得到的值．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠CED＝∠CEF+∠DEF＝∠B+∠BDE，∠DEF＝∠B，
∴∠CEF＝∠BDE，
∴△BDE∽△CEF；
（2）解：∵△BDE∽△CEF，
∴，
∴BE CE＝BD CF，
∵BE＝CE，且BD＝6，CF＝4，
∴BE2＝BD CF＝24，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
18．（2023 瑞安市模拟）如图，AB是半圆O的直径，，在AB的延长线上取点D，连结DC并延长交半圆O的切线AE于点E．过点A作AF∥ED，交CO的延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若DC：DE＝3：5，，求AE的长．
【点拨】（1）先利用垂径定理得到OC⊥AB，然后利用切线的性质得到AE⊥AB，则AE∥OC，加上AF∥ED，于是根据平行四边形的判定方法得到结论；
（2）先证明△DOC∽△DAE，利用相似三角形的性质得到＝，则设OC＝3x，则AE＝5x，再根据平行四边形的性质得到CF＝AE＝5x，所以OF＝2x，在Rt△OAF中利用勾股定理得到AF＝x，则x＝，然后解方程求出x，从而得到AE的长．
【解析】（1）证明：∵，
∴OC⊥AB，
∵AE为半圆O的切线，
∴AE⊥AB，
∴AE∥OC，
∵AE∥CF，AF∥ED，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）解：∵OC∥AE，
∴△DOC∽△DAE，
∴＝＝，
设OC＝3x，则AE＝5x，
∵四边形AECF为平行四边形，
∴CF＝AE＝5x，
∴OF＝CF﹣OC＝5x﹣3x＝2x，
在Rt△OAF中，∵OF＝2x，OA＝OC＝3x，
∴AF＝＝x，
即x＝，
解得x＝1，
∴AE＝5x＝5．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定与性质、切线的性质．
19．（2023 椒江区一模）正方形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，连接BE，在线段BE上取一点P，连接CP．
（1）如图1，当CP⊥BE时，求证：△ABE∽△PCB；
（2）如图2，当AE＝1且∠BPC＝60°时，求PC的值；
（3）如图3，当∠BPC＝2∠ABE且AE＝CP时，求证：BE＝PC2．
【点拨】（1）根据∠PBC＝90°﹣∠ABE＝∠AEB，∠A＝∠ABC＝90°，即可求证；
（2）过点C作CF⊥BE于点F，先求出tan∠AEB＝2，根据△ABE∽△FCB，得出CF＝2BF，根据勾股定理得出，最后根据即可求解；
（3）过点C作CF⊥BE于点F，先证明△ABE∽△GPC，得出则BE＝，再证明CG＝BG＝1，根据AE＝CP，即可得出BE＝＝PC ．
【解析】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠PBC＝90°﹣∠ABE＝∠AEB，
又CP⊥BE，
∴∠BPC＝∠A＝90°，
∴△ABE∽△PCB．
（2）解：过点C作CF⊥BE于点F，
∵AE＝1，AB＝2，
∴tan∠AEB＝2，
又CF⊥BE，
∴同理（1）得△ABE∽△FCB，
∴CF＝2BF，
∵CF⊥BE，
∴CF2+BF2＝BC2，
∴，
∴，
∵∠CPB＝60°，
∴，
∴．
（3）证明：过点P作PG⊥BC于点G，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠ABC＝90°＝∠PGC，
∴PG∥AB，
∴∠GPB＝∠ABE，
∵∠BPC＝2∠ABE，
∴∠GPB＝∠GPC，
∵∠PGC＝∠A＝90°，
∴△ABE∽△GPC，
∴，则BE＝，
∵∠GPB＝∠GPC，PG⊥BC，
∴∠PGC＝∠PGB，
∴PC＝PB，
∴CG＝BG＝1，
∵AE＝CP，
∴BE＝＝PC ，
∴BE＝PC2．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边成比例．
20．（2023 杭州一模）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC＝2∠ACB，点D平分，连接AD，BD，CD．
（1）求证：AB＝CD．
（2）过点D作DG∥AB，分别交AC，BC于点E，F，交⊙O于点G．
①若AD＝a，BC＝b，求线段EF的长（用含a，b的代数式表示）．
②若∠ABC＝72°，求证：FG2＝EF DF．
【点拨】（1）由点D平分，可得，则∠ABD＝∠CBD，由∠ABD+∠CBD＝∠ABC，可得2∠CBD＝∠ABC，则∠ACB＝∠CBD，进而结论得证；
（2）证明四边形ABFD是菱形，则BF＝AD＝a，CF＝b﹣a，证明△CEF∽△CAB，则，即，求解即可；
②由∠ABC＝72°，可得∠ACB＝36°，∠CAB＝72°，由DG∥AB，可得∠CEF＝∠CFE＝72°，证明△CEF∽△DCF，则，即EF DF＝CF2，如图，连接CG，∠DGC＝∠DBC＝36°，说明∠DGC＝∠FCG，则FG＝CF，进而结论得证．
【解析】（1）证明：∵点D平分，
∴，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC，
∴2∠CBD＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD，
∴AB＝CD；
（2）①解：由（1）可知，AB＝AD＝CD＝a，则，
∴，
∴∠BCD＝∠ABC，
∵DG∥AB，
∴∠DFC＝∠ABC，
∴∠BCD＝∠DFC，
∴DF＝CD，
∴DF＝AB，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABFD是菱形，
∴BF＝AD＝a，CF＝b﹣a，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，
解得：，
∴线段EF的长为；
②证明：∵∠ABC＝72°，
∴∠ACB＝36°，
∴∠CAB＝72°，
∵DG∥AB，
∴∠CEF＝∠CFE＝72°，
∵∠DFC＝∠DCF＝72°，
∴△CEF∽△DCF，
∴，即EF DF＝CF2，
如图，连接CG，
∴∠DGC＝∠DBC＝36°，
∵∠FCG＝∠DFC﹣∠DGC＝36°，
∴∠DGC＝∠FCG，
∴FG＝CF，
∴FG2＝EF DF．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、圆周角定理以及三角形的外接圆与外心，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21．（2023 慈溪市一模）【证明体验】（1）如图1，在△ABC中，D为AB边上一点，连结CD，若∠ACD＝∠ABC，求证：AC2＝AD AB．
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，D为AB边上一动点，连结CD，E为CD中点，连结BE．
【思考探究】①如图2，当∠ACD＝∠DBE时，求AD的长．
【拓展延伸】②如图3，当∠DEB＝30°时，求AD的长．
【点拨】（1）由已知可证得△ACD∽△ABC，得出＝，化为等积式即可；
（2）①延长AB至F，使BF＝BD，连接CF，由三角形中位线定理可得：BE∥CF，BE＝CF，进而证得△ACD∽△AFC，得出AC2＝AD AF，设AD＝x，则BF＝BD＝4﹣x，AF＝AB+BF＝8﹣x，建立方程求解即可得出答案；
②延长AB至F，使BF＝BD，连接CF，过点C作CG⊥AB于点G，同理可得FC2＝FA FD，设AD＝x，则BF＝BD＝4﹣x，FA＝8﹣x，FD＝2BD＝8﹣2x，即FC2＝（8﹣x）（8﹣2x），再利用解直角三角形可得CG＝，AG＝3，BG＝1，FG＝5﹣x，根据勾股定理建立方程求解即可得出答案．
【解析】（1）证明：∵∠ACD＝∠ABC，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AD AB．
（2）解：①如图，延长AB至F，使BF＝BD，连接CF，
则B为DF的中点，
∵E为CD中点，
∴BE是△CDF的中位线，
∴BE∥CF，BE＝CF，
∴∠F＝∠DBE，
∵∠ACD＝∠DBE，
∴∠ACD＝∠F，
∵∠CAD＝∠FAC，
∴△ACD∽△AFC，
∴＝，
∴AC2＝AD AF，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，
则∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4，AC＝AB cosA＝4 cos30°＝2，
设AD＝x，则BF＝BD＝4﹣x，
∴AF＝AB+BF＝4+4﹣x＝8﹣x，
∴（2）2＝x（8﹣x），
解得：x1＝2，x2＝6，
∵AB＝4＜6，
∴x＝6不符合题意，舍去，
∴AD的长为2．
②如图，延长AB至F，使BF＝BD，连接CF，过点C作CG⊥AB于点G，
则B为DF的中点，
∵E为CD中点，
∴BE是△CDF的中位线，
∴BE∥CF，BE＝CF，
∵∠DEB＝30°，
∴∠FCD＝∠DEB＝30°，
由①知∠A＝30°，AB＝4，AC＝2，
∴∠A＝∠FCD，
∵∠CFD＝∠AFC，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝，
∴FC2＝FA FD，
设AD＝x，则BF＝BD＝4﹣x，
∴FA＝AB+BF＝4+4﹣x＝8﹣x，FD＝2BD＝8﹣2x，
∴FC2＝（8﹣x）（8﹣2x），
在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∠A＝30°，AC＝2，
∴CG＝AC＝，AG＝AC cosA＝2cos30°＝3，
∴BG＝AB﹣AG＝4﹣3＝1，
∴FG＝FB+BG＝4﹣x+1＝5﹣x，
在Rt△CFG中，FC2＝CG2+FG2，
即（8﹣x）（8﹣2x）＝（）2+（5﹣x）2，
解得：x1＝7﹣，x2＝7+，
∵AD＜AB＝4，
∴x＝7+不符合题意，舍去，
∴AD的长为7﹣．
【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，三角形中位线定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
22．（2023 舟山一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，以A为圆心，AE为半径作⊙A交BE于点F，直线AB交⊙A于G、H两点，AF的延长线交BC于点D，作EK⊥BC，垂足为点K．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求证：；
（3）当BF BE＝BG BH且AH＝BD时，求证：．
【点拨】（1）证明△BAE≌△BKE（AAS），由全等三角形的性质得出∠AEB＝∠BEK，由等腰三角形的性质得出∠AEF＝∠AFE，得出∠AFE＝∠BEK，证明AD∥EK，则可得出结论；
（2）证明△ADB∽△CDA，由相似三角形的性质得出，由（1）知EK∥AD，则，由全等三角形的性质得出AB＝BK，则可得出结论；
（3）证明△ABD≌△CEK（AAS），由全等三角形的性质得出AB＝CE，证出BH＝AC，则可得出结论．
【解析】（1）证明：∵EK⊥BC，
∴∠BKE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠BKE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠KBE，
在△BAE和△BKE中，
，
∴△BAE≌△BKE（AAS），
∴∠AEB＝∠BEK，
∵以A为圆心，AE为半径作⊙A交BE于点F，
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠BEK，
∴AD∥EK，
又∵EK⊥BC，
∴AD⊥BC；
（2）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠CDA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠BAD＝∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
∴△ADB∽△CDA，
∴，
由（1）知EK∥AD，
∴，
∵△BAE≌△BKE，
∴AB＝BK，
∴，
∴；
（3）证明：∵△ABE≌△BKE，
∴AE＝EK，
∵AE＝AH，BD＝AH，
∴BD＝EK，
∵△ABD∽△CAD，
∴∠BAD＝∠C，
又∵∠ADB＝∠EKC，
∴△ABD≌△CEK（AAS），
∴AB＝CE，
∴BH＝AB+BH＝CE+AE＝AC，
∵BF BE＝BG BH，
∴，
∴．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（2023 宁波模拟）【基础巩固】
（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（不与A，B重合），F是BC边上一点，∠CDF＝45°．求证：△ACD∽△BDF．
（2）如图②，在（1）的条件下，已知，当△CDF为等腰三角形时，求CF的长．
【拓展提高】
（3）如图③，在△ABC中，，∠B＝45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE，点D在BC上，点E在AC上．若CE＝，求sinC的值．
【点拨】（1）由∠ACD+∠ADC＝135°，∠ADC+∠BDF＝135°得出∠ACD＝∠BDF，进一步得出结论；
（2）当CF＝DF时，可推出CF＝BF＝BC＝AC＝；当CD＝DF时，可得AD＝BF，BD＝BC＝AC＝2，从而BF＝AD＝AB﹣BD＝4﹣2，进一步得出结果；
（3）作∠DEF＝∠ADB，交BC于F，可推出△ABD∽△DFE，∠EFD＝∠B＝45°，从而，求得DE的长，可证得△CEF∽△CDE，从而，从而求得CF＝1，设AD＝AE＝x，在Rt△ADC中列出AD＝x，AC＝AE+CE＝x+，从而解得x的值，进一步得出结果．
【解析】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴∠ACD+∠ADC＝135°，
∵∠CDF＝45°，
∴∠ADC+∠BDF＝135°，
∴∠ACD＝∠BDF，
∴△ACD∽△BDF；
（2）解：如图1，
当CF＝DF时，
∴∠DCF＝∠CDF＝45°，∠DFC＝90°，
∵AC＝CB，
∴CD⊥AB，
∴CF＝BF＝BC＝AC＝，
如图2，
当CD＝DF时，∠BCD＝∠DFC，
∵△ACD∽△BDF，
∴△ACD≌△BDF，
∴AD＝BF，
∵∠CDF＝∠B＝45°，
∴∠BDC＝∠DFC，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴BD＝BC＝AC＝2，
∵AB＝AC＝4，
∴BF＝AD＝AB﹣BD＝4﹣2，
∴CF＝CB﹣BF＝2﹣（4﹣2）＝4﹣4；
（3）解：如图3，
作∠DEF＝∠ADB，交BC于F，
由（1）可知：∠BAD＝∠EDF，
∴△ABD∽△DFE，∠EFD＝∠B＝45°，
∴，
∴DF＝AB＝4，
∵∠EDC＝∠AED﹣∠C＝45°﹣∠C，∠CEF＝∠EFD﹣∠C＝45°﹣∠C，
∴∠CEF＝∠EDC，
∵∠C＝∠C，
∴△CEF∽△CDE，
∴，
∴，
∴CF＝1，
设AD＝AE＝x，
在Rt△ADC中，AD＝x，AC＝AE+CE＝x+，CD＝5，
∴x2+（x+）2＝52，
∴x1＝2，x2＝﹣（舍去），
∴AD＝，
∴sinC＝．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
24．（2023 余姚市一模）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为BC上一点，连结AD，E为AD上一点，连结CE，若∠BAD＝∠ACE，CD＝CE，求证：△ABD∽△CAE．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上一点，连结BE，∠CBE＝∠DCO，BE＝DO，若BD＝12，OE＝5，求AC的长．
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BC中点，F为DC上一点，连结OE、AF，∠AEO＝∠CAF，若，AC＝6，求菱形ABCD的边长．
【点拨】（1）可证得∠CDE＝∠CED，从而∠ADB＝∠CEA，进一步得出结论；
（2）可证得∠BEO＝∠BOE，从而得出∠BEC＝∠COD，进而得出△BEC∽△COD，从而，设OC＝x，则CE＝OC﹣OE＝x﹣5，从而得出，从而求得x的值，进一步得出结果；
（3）延长AG，BC，交于点G，可得出△CGF∽△DAF，从而，进而表示出CG，可证得△AOE∽△GCA，从而，进而求得t的值，进一步得出结果．
【解析】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴180°﹣∠CDE＝180°﹣∠CED，
∴∠ADB＝∠CEA，
∵∠BAD＝∠ACE，
∴△ABD∽△CAE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴BE＝DO＝BO＝6．
∴∠BEO＝∠BOE，
∴180°﹣∠BEO＝180°﹣∠BOE，
∴∠BEC＝∠COD．
∵∠CBE＝∠DCO，
∴△BEC∽△COD，
∴，
设OC＝x，则CE＝OC﹣OE＝x﹣5，
∴，
∴x1＝9，x2＝﹣4（舍去），
∴OC＝9，
∴AC＝2OC＝18；
（3）解：如图，
延长AG，BC，交于点G．
∵，
∴设DF＝5t，FC＝3t，则CD＝8t，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝8t，AD∥BC，，AC⊥BD，
∴△CGF∽△DAF，
∴，
即，
∴．
在Rt△BOC中，
∵E为BC的中点，
∴OE＝CE＝BC＝4t．
∴∠COE＝∠ACE，
∴∠AOE＝∠ACG，
∵∠AEO＝∠CAF，
∴△AOE∽△GCA，
∴，
即，
∴t1＝，t2＝﹣（舍去），
∴，
即菱形ABCD的边长为．
【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的性质，直角三角形和等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．