宿羊山高级中学2022-2023学年高一下学期5月第二次月考
数学试题
一 单选题（8小题，每题5分）
1.设（其中为虚数单位），若为纯虚数，则实数（ ）
A. B. C. D.
2.如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，下列结论正确的是( )
A．AC与BD1是两条相交直线 B．AA1∥平面BB1D1
C．B1C∥BD1 D．A，C，B1，D1四点共面
3.已知向量满足，若，则实数的值为（ ）
A.2 B. C.4 D.
4．已知m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A．m ⊥l，n⊥l，则m∥n B．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β
C．m∥α，n∥α，则m∥n D．α∥γ，β∥γ，则α∥β
5.在中，角的对边分别为，且，则形状为（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
6. 已知某圆锥的的底面半径为2，侧面积是底面积的3倍.将该圆锥切割成一个正四棱锥，且四棱锥的顶点和圆锥的顶点重合，四棱锥的底面是圆锥底面的内接正方形，则该四棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知长方体中，一只小虫从长方体顶点出发沿表面爬行到顶点,则小虫爬行的最短路程为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与所在直线分别交于点，，满足，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（4小题，全对5分，部分对2分，有错和不选0分）
9.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形，下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.在上的投影向量为
10．下列命题中正确的是（ ）
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B．过空间中任意三点有且仅有一个平面
C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D．若直线平面，直线平面，则
11．若向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，则下列说法正确的是( )
A．当λ∈(－2，＋∞)时a，b的夹角为锐角 B．若a∥b，则λ＝
C．若a⊥b，则λ＝－2， D．当λ＝1时，a在b上的投影向量为b
12.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个侧面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，，则下列结论正确的有（ ）
A.四面体是鳖臑 B.阳马的体积为
C.阳马的外接球表面积为
D. 直线与平面PCD所成角的正切值为
三 填空题（4小题，每题5分）
13.若，则__________.
14.如图，为测量山高，选择和另一座的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高__________.
15.如图，在中，.延长到点，使得，则的面积为__________.
16.在正三棱台中，上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该正三棱台的体积为__________，其外接球表面积为__________.
四 解答题（6大题，第17题10分，其余的12分）
17.已知的夹角为，
（1）求的值；
（2）当为何值时，.
18. 如图，在正方体中，是的中点，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
19. 已知复数均为锐角，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
20．如图，正方形ABCD和平面四边形ACEF所在的平面互相垂直，
(1)求证：.
(2)求证：.
21.如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，平面平面ABCD，，，.O，E分别是AD，BC中点.
（1）证明：平面POE；
（2），，求点A到平面PBD的距离.
.
22.在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；
（3）若，且外接圆半径为2，圆心为为上的一动点，试求的取值范围.宿羊山高级中学2022-2023学年高一下学期5月第二次月考
数学试题参考答案
一 单选题（8小题，每题5分）
1.设（其中为虚数单位），若为纯虚数，则实数（ ）
A. B. C. D.
2.如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，下列结论正确的是( )
A．AC与BD1是两条相交直线 B．AA1∥平面BB1D1
C．B1C∥BD1 D．A，C，B1，D1四点共面
3.已知向量满足，若，则实数的值为（ ）
A.2 B. C.4 D.
4．已知m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A．m ⊥l，n⊥l，则m∥n B．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β
C．m∥α，n∥α，则m∥n D．α∥γ，β∥γ，则α∥β
5.在中，角的对边分别为，且，则形状为（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
6. 已知某圆锥的的底面半径为2，侧面积是底面积的3倍.将该圆锥切割成一个正四棱锥，且四棱锥的顶点和圆锥的顶点重合，四棱锥的底面是圆锥底面的内接正方形，则该四棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知长方体中，一只小虫从长方体顶点出发沿表面爬行到顶点,则小虫爬行的最短路程为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与所在直线分别交于点，，满足，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
1-8 D，B ， C, D ，C，D, A, B
二 多选题（4小题，全对5分，部分对2分，有错和不选0分）
9.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形，下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.在上的投影向量为
10．下列命题中正确的是（ ）
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B．过空间中任意三点有且仅有一个平面
C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D．若直线平面，直线平面，则
11．若向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，则下列说法正确的是( )
A．当λ∈(－2，＋∞)时，a，b的夹角为锐角 B．若a∥b，则λ＝
C．若a⊥b，则λ＝－2 D．当λ＝1时，a在b上的投影向量为b
12.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，，则下列结论正确的有（ ）
A.四面体是鳖臑
B.阳马的体积为
C.阳马的外接球表面积为
D. 直线与平面PCD所成角的正切值为
9.CD 10.AD 11. BCD 11.AD
三 填空题（4小题，每题5分）
13.若，则__________.
14.如图，为测量山高，选择和另一座的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高__________.
15.如图，在中，.延长到点，使得，则的面积为__________.
16. 在正三棱台中，上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该正三棱台的体积为__________，外接球表面积为__________.
13. 14.1500 15. 15
四 解答题（6大题，第17题10分，其余的12分）
17.已知的夹角为，
（1）求的值；
（2）当为何值时，.
17.（1）因为的夹角为，
所以.
所以.
（2）由（1）知，，，
因为，
所以，即，
所以，解得.
所以当时，.
18. 如图，在正方体中，是的中点，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
18．【解析】
【分析】（1）连接，易得，根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）根据正方体的结构特征可得，平面，则有，再根据线面垂直的判定定理可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证.
19. 已知复数均为锐角，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
19.解（1）因为复数，
所以.
所以
因为，所以，解得：.
（2）因为均为锐角，所以，
所以.
因为为锐角，，所以.
所以
.
20．如图，正方形ABCD和平面四边形ACEF所在的平面互相垂直，
(1)求证：.
(2)求证：.
（题目有修改）
【详解】（1）如图，设正方形的对角线与交于，连.
，，得.，，为平行四边形，
.又，.
（2），，，平面，.连接，由（1）易知是边长为1的正方形，故，得，
，，，
，同理，在中，，，平面，平面，.
21.如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，平面平面ABCD，，，.O，E分别是AD，BC中点.
（1）证明：平面POE；
（2），，求点A到平面PBD的距离.
（题目第二问有修改）
21.（1）∵，O是AD的中点，∴.
∵平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，
∴平面ABCD.
∵平面ABCD，∴.
设，则，，
在中，由余弦定理得，
∴，∴.
∵E是BC中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴，∴.
∵PO，OE是平面POE内的两条相交直线，∴平面POE.
（2）连接OC.
∵O，E分别是AD，BC中点，底面ABCD是平行四边形，∴.
∵平面PDC，平面PDC，∴平面PDC.
∴点E到平面PCD的距离等于点O到平面PCD的距离.
∵，，∴，
∴，
∴.
在中，由余弦定理得，
∴，∴的面积.
设O到平面PCD的距离为d，
因三棱锥O—PCD与三棱锥C—POD是同一三棱锥，
所以，即，
∴，
解得.所以点E到平面PCD的距离为.
22.在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；
（3）若，且外接圆半径为2，圆心为为上的一动点，试求的取值范围.
22.（1）依题意，
由正弦定理，，
由
可得，
由余弦定理，
则，则，
因为，所以；
（2）由为锐角三角形，，可得，
由正弦定理，则，
则，
则的周长为，
由，则，
因为，整理得：
，
解得或（舍去），
所以，则周长范围是；
（3）由正弦定理，则，则，
由，可得，则，
则三角形为等边三角形，取中点，如图所示：
则
，
由，则，则.
