2022—2023学年下学期高一（必修2）单元测试
第十章 概率
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （2023·全国·高一专题练习）下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①未来某年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签；
④任取，则.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】①未来某年8月18日，北京市不下雨，属于随机事件；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰，属于不可能事件；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，属于随机事件；
④任取，则，属于必然事件；
所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是.
故选：B
2. 某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：
体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加
人数 600 200 200
如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为（ ）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.5 D. 0.6
【答案】D
【详解】由表中数据得：
估计这个人体重减轻的概率约为
故选：D
3. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.15，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.35，则仅用非现金支付的概率为（ ）
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.8
【答案】C
【详解】某群体中的成员只用现金支付的概率为0.15，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.35，
∴不用现金支付的概率为：p=1-0.15-0.35=0.5．
故选：C
4. 从总数为N的一批零件中随机抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽中的可能性为25%，则N为( )
A. 200 B. 150 C. 120 D. 100
【答案】C
【详解】由,得.故选.
5.（2023·吉林·统考二模）对于事件A与事件B，下列说法错误的是（ ）
A．若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1
B．若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）
C．若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件
D．若P（AB）=P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立
【答案】C
【分析】根据对立事件和独立事件的定义和性质逐项分析.
【详解】对于A，事件A和事件B为对立事件，则A，B中必然有一个发生， ，正确；
对于B，根据独立事件的性质知 ，正确；
对于C，由 ，并不能得出A与B是对立事件，举例说有a，b，c，d4个小球，
选中每个小球的概率是相同的，事件A表示选中a，b两球，则 ，事件B表示选中b，c两球，则 ，
，但A，B不是对立事件，错误；、
对于D，由独立事件的性质知：正确；
故选：C.
6.（2023·广东深圳·统考二模）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为，10种情况，
若这三个数之积为偶数有，9种情况，
它们之和大于8共有 ，5种情况，
从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为.
故选:D.
7. 甲、乙两人比赛，每局甲获胜的概率为，各局的胜负之间是独立的，某天两人要进行一场三局两胜的比赛，先赢得两局者为胜，无平局．若第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据题意知只需考虑剩下两局的情况，
（1）甲要获胜，则甲第二局获胜，此时甲获得最终胜利的概率为；
（2）甲要获胜，则甲第二局负，第三局获胜，所以甲获得最终胜利的概率为．
故甲获得最终胜利的概率为.
故选：B
已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是（ ）
A 0.78 B 0.79 C 0.80 D 0.81
【答案】B
【详解】解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，
∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，
∴，
解得.
∴a的最大值是0.79.
故答案为B
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9. 下列命题中正确的有（ ）
A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此，出现正面的概率是
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现在胃溃疡的病人服用此药，则有明显疗效的可能性为
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是
【答案】CD
【详解】次品率为0.05，只是反映次品在这批产品中的占比情况，从中任取200件，不一定有10件是次品，A错误. 做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面,只能说正面的频率是，而概率是，B错误. 对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效,可以说有明显疗效的可能性为，C正确. 抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，出现1点的频率是，D正确.
故选：CD
10. 甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ）
A．事件A、B是相互独立事件
B．事件B、C是互斥事件
C．P（A）＝P（B）＝P（C）
D．P（ABC）＝
【答案】AC
【详解】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，
基本事件总数n＝6×6＝36，
记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，
则事件A包含的基本事件有18个，分别为：
（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），
（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5），
∴P（A）＝＝，
事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，
则事件B包含的基本事件有18个，分别为：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），
（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
∴P（B）＝＝，
事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，
则事件C包含的基本事件有18个，分别为：
（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），（1，4），（2，4），（3，4），
（4，4），（5，4），（6，4），（1，6），（2，6），（3，6），（4，6），（5，6），（6，6），
∴P（C）＝＝，
事件AB包含的基本事件有9个，分别为：
（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6），
P（AB）＝，
∵P（AB）＝P（A）P（B），∴事件A、B是相互独立事件，故A正确；
事件B与C能同时发生，故事件B与C不是互斥事件，故B错误；
P（A）＝P（B）＝P（C）＝，故C正确；
ABC包包含的基本事件有9个，分别为：
（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6），
∴P（ABC）＝＝．故D错误．
故选：AC．
11. 已知事件A，B，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 如果，那么，
B. 如果A与B互斥，那么，
C. 如果A与B相互独立，那么，
D. 如果A与B相互独立，那么，
【答案】BD
【详解】解：A选项：如果，那么，，故A选项错误；
B选项：如果与互斥，那么，，故B选项正确；
C选项：如果与相互独立，那么，，故C选项错误；
D选项：如果与相互独立，那么，，故D选项正确.
故选：BD.
12. 一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是
A. 任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B. 每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16
C. 每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D. 每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16
【答案】ACD
【详解】记4件产品分别为1,2,3, ,其中表示次品.
A选项,样本空间,
“恰有一件次品”的样本点为,,,
因此其概率，A正确；
B选项,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间,
因此,B错误；
C选项,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,C正确;
D选项,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间,因此,D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. （2023·河南安阳·统考二模）已知某中学老年教师的“亚健康”率为50％，中年教师的“亚健康”率为30％，青年教师的“亚健康”率为15％．若该中学共有60名老年教师，100名中年教师，200名青年教师，则该校教师的“亚健康"率为______．
【答案】
【分析】根据题意直接求出该校教师的“亚健康"率即可.
【详解】根据题意，该校教师的“亚健康”率为：
％．
故答案为：.
14. （2023秋·江西吉安·高一统考期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在30%和40%，则口袋中白色球的个数可能是__________个．
【答案】15
【详解】∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在30%和40%，
∴摸到白球的频率为，
故口袋中白色球的个数可能是个．
故答案为：15
15. 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从_____箱中取出的.
【答案】甲.
【详解】解：甲箱有99个白球1个黑球，
随机地取出一球，得白球的可能性是，
乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得白球的可能性是，
由此看到，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．
既然在一次抽样中抽得白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的．
我们作出推断是从甲箱中抽出的．
故答案为：甲
16. 算盘是中国传统的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位……，上面1粒珠（简称上珠）代表5，下面1粒珠（简称下珠）代表1，即5粒下珠的大小等于同组1粒上珠的大小．现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（约定每档的上珠中最上面的1粒和下珠中最下面的1粒不使用，上珠只能往下拨，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被5整除的概率为______．
【答案】
【详解】从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，
得到的整数的所有可能结果共有32个，
分别为11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，
510，550，1 001，1 005，5 001，5 005，1 010，1 050，5 010，5 050，
1 100，1 500，5 100，5 500，2，6，20，60，200，600，2 000，6 000，
其中能够被5整除的整数有24个，
分别为15，55，105，505，110，150，510，550，1 005，5 005，1 010，1 050，
5 010，5 050，1 100，1 500，5 100，5 500，20，200，2 000，60，600，6 000，
故所求概率为．
故答案为：
解答题（共6小题，满分70分）
17. （2023·广西柳州·二模）第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京举办，为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了10名学生，得到他们的分数统计如下表：
分数段
人数 1 1 1 2 2 2 1
规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀，将频率视为概率．
(1)此次比赛中该校学生成绩的优秀率是多少？
(2)在全校学生成绩为良好和优秀的学生中利用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行冬奥知识演讲，求良好和优秀各1人的概率．
【答案】(1)0.3
(2)0.6
【分析】（1）由80分及以上的学生人数与抽取的总人数的比值进行求解；
（2）列举法求解古典概率求概率公式.
【详解】（1）∵80分及以上为优秀，
∴，
∴此次比赛中该校学生成绩的优秀率是0.3．
（2）∵成绩良好的学生人数与成绩优秀的学生人数之比为，
∴在成绩良好的学生中抽取2人，记为a，b；在成绩优秀的学生中抽取3人，记为C，D，E．
从a，b，C，D，E中随组抽取2人的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共10种，
其中良好和优秀各1人的有：，，，，，，共6种．
∴良好和优秀各1人的概率为．
18. 某课外活动小组有三项不同的任务需要完成，已知每项任务均只分配给组员甲和组员乙中的一人，且每项任务的分配相互独立，根据两人的学习经历和个人能力知，这三项任务分配给组员甲的概率分别为，，．
（1）求组员甲至少分配到一项任务的概率；
（2）设甲、乙两人分配到的任务数分别为x项和y项，求P（x＞y）．
【答案】（1）记事件A为甲一项任务都没有被分配，＝，
∴组员甲至少分配到一项任务的概率为；
（2）满足x＞y即x＝3，y＝0或x＝2，y＝1，三项任务的具体分配对象依次为：甲甲甲，甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，
故所求概＝．
19. 某市为了解社区新冠疫菌接种的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个行政区抽出6个社区进行调查．已知A、B、C三个行政区中分别有18,27,9个社区．
（1）求从A、B、C三个行政区中分别抽取的社区个数；
（2）若从抽得的6个社区中随机抽取2个进行调查．
①试列出所有可能的抽取结果；
②设事件M为“抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区”，求事件M发生的概率．
【答案】（1）社区总数为，样本容量与总体中的个体数比为
所以从A、B、C三个行政区中应分别抽取的社区个数为2,3,1
（2）①设为在A行政区中抽得的2个社区，为在B行政区中抽得的3个社区，为在C行政区中抽得的社区，在这6个社区中随机抽取2个，全部可能的结果有
，共有15种．
②设事件“抽取的2个社区至少有1个来自A行政区”为事件M，则事件M所包含的所有可能的结果有：，共有9种．所以这2个社区中至少有1个来自A行政区的概率为
20. 现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
投资股市：
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率
购买基金：
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率
(1)当时，求的值；
(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求的取值范围．
【答案】解∵“购买基金”的投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴．又，∴．
（2）记事件为“甲投资股市且获利”，事件为“乙购买基金且获利”，事件为“一年后甲、乙两人中至少有一人获利”，则，且，相互独立．由题意可知，．∴．∵，∴．又，，∴．∴．
21. 某工厂有，，三条生产线各自独立地生产同一种汽车配件，已知生产线生产的汽车配件是合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，生产线生产的汽车配件是非合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，生产线生产的汽车配件是合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，记事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是合格品．
(1)求事件，，的概率；
(2)随机从，，三条生产线上各取1个汽车配件进行检验，求恰有2个合格品的概率．
【答案】（1）因为事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是合格品，则事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是非合格品，且，，相互独立，，，也相互独立．
由得
解得，，，
（2）由（1）知，，，
记事件为抽取的三个汽车配件中合格品为2个，则
22. 某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在[70，80）中的市民有200人．
心理测评评价标准
调查评分 [0，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
心理等级 E D C B A
（Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中t的值；
（Ⅱ）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50）的市民的心理等级转为B的概率为，调查评分在[50，60）的市民的心理等级转为B的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；
（Ⅲ）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数＝调查评分÷100）
【答案】（Ⅰ）由已知条件可得，又因为每组的小矩形的面积之和为1．
所以（0.035+0.025+0.02+0.004+8t）×10＝1，解得t＝0.002；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：t＝0.002，
所以调查评分在[40，50）中的人数是调查评分在[50，60）中人数的，
若按分层抽样抽取3人，则调查评分在[40，50）中有1人，在[50，60）中有2人，
设事件M＝“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”．
因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，
所以，
所以，
故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为；
（Ⅲ）由频率分布直方图可得，
45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25＝80.7．
估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，
所以市民心理健康指数平均值为．
所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动．2022—2023学年下学期高一（必修2）单元测试
第十章 概率
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （2023·全国·高一专题练习）下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①未来某年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签；
④任取，则.
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：
体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加
人数 600 200 200
如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为（ ）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.5 D. 0.6
3. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.15，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.35，则仅用非现金支付的概率为（ ）
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.8
4. 从总数为N的一批零件中随机抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽中的可能性为25%，则N为( )
A. 200 B. 150 C. 120 D. 100
5.（2023·吉林·统考二模）对于事件A与事件B，下列说法错误的是（ ）
A．若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1
B．若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）
C．若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件
D．若P（AB）=P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立
6.（2023·广东深圳·统考二模）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ）
A． B． C． D．
7. 甲、乙两人比赛，每局甲获胜的概率为，各局的胜负之间是独立的，某天两人要进行一场三局两胜的比赛，先赢得两局者为胜，无平局．若第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是（ ）
A 0.78 B 0.79 C 0.80 D 0.81
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9. 下列命题中正确的有（ ）
A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此，出现正面的概率是
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现在胃溃疡的病人服用此药，则有明显疗效的可能性为
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是
10. 甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ）
A．事件A、B是相互独立事件
B．事件B、C是互斥事件
C．P（A）＝P（B）＝P（C）
D．P（ABC）＝
11. 已知事件A，B，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 如果，那么，
B. 如果A与B互斥，那么，
C. 如果A与B相互独立，那么，
D. 如果A与B相互独立，那么，
12. 一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是
A. 任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B. 每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16
C. 每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D. 每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. （2023·河南安阳·统考二模）已知某中学老年教师的“亚健康”率为50％，中年教师的“亚健康”率为30％，青年教师的“亚健康”率为15％．若该中学共有60名老年教师，100名中年教师，200名青年教师，则该校教师的“亚健康"率为______．
14. （2023秋·江西吉安·高一统考期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在30%和40%，则口袋中白色球的个数可能是__________个．
15. 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从_____箱中取出的.
16. 算盘是中国传统的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位……，上面1粒珠（简称上珠）代表5，下面1粒珠（简称下珠）代表1，即5粒下珠的大小等于同组1粒上珠的大小．现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（约定每档的上珠中最上面的1粒和下珠中最下面的1粒不使用，上珠只能往下拨，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被5整除的概率为______．
解答题（共6小题，满分70分）
17. （2023·广西柳州·二模）第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京举办，为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了10名学生，得到他们的分数统计如下表：
分数段
人数 1 1 1 2 2 2 1
规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀，将频率视为概率．
(1)此次比赛中该校学生成绩的优秀率是多少？
(2)在全校学生成绩为良好和优秀的学生中利用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行冬奥知识演讲，求良好和优秀各1人的概率．
18. 某课外活动小组有三项不同的任务需要完成，已知每项任务均只分配给组员甲和组员乙中的一人，且每项任务的分配相互独立，根据两人的学习经历和个人能力知，这三项任务分配给组员甲的概率分别为，，．
（1）求组员甲至少分配到一项任务的概率；
（2）设甲、乙两人分配到的任务数分别为x项和y项，求P（x＞y）．
19. 某市为了解社区新冠疫菌接种的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个行政区抽出6个社区进行调查．已知A、B、C三个行政区中分别有18,27,9个社区．
（1）求从A、B、C三个行政区中分别抽取的社区个数；
（2）若从抽得的6个社区中随机抽取2个进行调查．
①试列出所有可能的抽取结果；
②设事件M为“抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区”，求事件M发生的概率．
20. 现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
投资股市：
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率
购买基金：
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率
(1)当时，求的值；
(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求的取值范围．
21. 某工厂有，，三条生产线各自独立地生产同一种汽车配件，已知生产线生产的汽车配件是合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，生产线生产的汽车配件是非合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，生产线生产的汽车配件是合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，记事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是合格品．
(1)求事件，，的概率；
(2)随机从，，三条生产线上各取1个汽车配件进行检验，求恰有2个合格品的概率．
22. 某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在[70，80）中的市民有200人．
心理测评评价标准
调查评分 [0，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
心理等级 E D C B A
（Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中t的值；
（Ⅱ）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50）的市民的心理等级转为B的概率为，调查评分在[50，60）的市民的心理等级转为B的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；
（Ⅲ）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数＝调查评分÷100）
