高一春考数学周末检测试题（PDF版含答案）

2023 年高一春考数学周末检测试题（5 月 28 号使用）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．“直线 l与平面 没有公共点”是“直线 l与平面 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
π
2．在 ABC中， A , AC 4,BC 2 3，则 ABC的面积为（ ）
3 ① E， F，G，H四点共面；
A． 2 B．2 3 C．4 D．4 3 ② EF与GH异面；
③ EF与GH的交点M 可能在直线 AC上，也可能不在直线 AC上；
3．已知向量 a m, 2 ，b 3, 6 ，若 a b a b ，则实数m的值是（ ）
④ EF与GH的交点M 一定在直线 AC上．
A． 4 B． 1 C．1 D．4
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
4．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰 3 uuur
7．在平行四边形 ABCD中，AE AC，设 AB a，BC b，则向量DE （ ）
好是一个边长为 1的正方形，则原平面图形的周长为（ ） 4
1 a 3
3 1
A． b B． a b
2 a 1 b 1 2C． D． a b
4 4 4 4 3 3 3 3
8． ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若c 2bcos A，则 ABC一
A． 2 2 2 B．8 C．4 D．8 2
定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

5．设向量 AB ( 3,2)， AC (1, 2)，则 BC （ ） 9．等边三角形 ABC 的边长为 1， AB a,BC b,则a b （ ）
A． (1,1) B． (4, 4) C． (2,0) D． ( 4, 4) 1 1 3 3A． 2 B． 2 C． D．2 2
6．如图所示，在空间四边形 ABCD中，点 E，H分别是边 AB， AD的中点， 3
10．在 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且cosB ,b 4 2,c 5，
5
点 F，G分别是边BC
CF CG 2
，CD上的点，且 ，则下列说法正确的是
CB CD 3 则a （ ）
（ ）
A．6 B．7 C．8 D．4 2
11．已知三棱锥P ABC的所有顶点都在球O的表面上， ABC是边长为 4 3
的等边三角形，若三棱锥P ABC体积的最大值是32 3，则球O的表面积是
（ ）
A．100π B．160π C．200π D．320π
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12．已知两条不同直线m,n及平面 ，则下列说法中正确的是（ ） 个数为
A．若m// ,n// ，则m//n B．若m//n,n// ，则m / / A．1 B．2 C．3 D．0
C．若m ,n ，则m//n D．若m ,n m，则n 20．在三棱锥P ABC中，PA 平面 ABC，AC BC，D为侧棱PC上的一点，
13．在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E为 AD1的中点， F为 BD的中点，则 它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A． EF / /C1D1 B． EF AD1C． EF / /平面 BCC1B1 D． EF 平面 AB1C1D
8
14．母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ，则该圆锥的体积为
5
16 8
A．16 B．8 C． D．
3 3
15．已知平面 ，直线m，n满足m ，n ，则“m / / ”是“m//n”的
（ ） 8A． AD 平面PBC且三棱锥D ABC的体积为 3
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 8
B． BD 平面PAC且三棱锥D ABC 的体积为
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3
16
C． AD 平面PBC且三棱锥D ABC的体积为
16．在 ABC中， A 30 ,B 45 ,a 2，则b （ ） 3
16
6 D． BD 平面PAC且三棱锥D ABC 的体积为
A．2 B．1 C． D． 6 3
3
17．已知 m，n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题 二、填空题

为真命题的是（ ） 21．已知向量a x, 2 ，b 2,1 ，若 a b，则 x __________．
A．若m ，m n，则 n// B．若 // ，m ，n// ，则m n
22．在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c．已知 a 1，b 2 ，
C．若m / / ，m n，则n D．若m / / ，n// ，m//n，则 //
c 3，则角C的大小为______．
18．如图，矩形O A B C 是一个水平放置的平面图形的直观图，其中O A 3，

O C 1，则原图形是（ ） 23．已知单位向量 e1，e2 的夹角为 120°，向量a e1 2e2 ，b 2e1 e2 ，则

a b ______．

A．面积为 6 2的菱形 B．面积为 6 2的矩形 24．若 O为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点，AB =4 e1 , BC =6e2 ,

则OA=____.
3 2 3 2
C．面积为 的菱形 D．面积为 的矩形 25．已知 P为△ABC 所在平面内一点， AB PB PC 0， AB PB PC 2，
4 4
19．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的 则△ABC 的面积为________．
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三、解答题
P ABCD ABCD PC
26．如图，四棱锥 A BCDE中，侧面 ABC 底面BCDE
27．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，E为棱 的中
， ABC是等边三角形，
ABE PD
BE//CD，BC CD BC CD
点，平面 与棱 交于点 F．
， 2BE 2， F是棱 AD的中点.
（1）证明： EF 平面 ACD；
(1)求证： PA / /平面BDE；
（2）求三棱锥D ACE的体积
(2)求证：F为 PD的中点

28．已知向量 a,b,c是同一平面内的三个向量，其中 a 1, 2 .

(1)若a c 10，且 c//a，求向量 c的坐标；

(2)若b是单位向量，且a a 3b ，求 a与b的夹角 的余弦值.
A B
29．在 ABC中，内角A，B，C的对边依次为 a，b，c，sin 2 cos2 C
1
．
2 2
（1）求角C；

（2）若 c 2， A ，求 ABC4 的面积．
30．在 ABC中，内角 A B C所对边分别为 a b c，已知
csinC bsinB a sinA sinB .
(1)求角C的值；
(2)若 c 3，求 ABC周长的最大值
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2022 级高一春考数学周末检测试题 又∵ BC BE B ，
使用时间：5月 28 号晚自习
∴ AN 平面 BCDE，
1．C2．B3．D4．B5．B6．B7．B8．B9．A10．B11．A12．C13．D14．A15．B
∴ AN是三棱锥 A DCE的高，
16．A17．B18．A19．C20．C
3 ∴三棱锥D ACE的体积为：
21．122．90 23． / 1.52 24．-2
e1 -3e2 25．2 3
V 1 AN 1 CD BC 1 3 1 2 2 2 3 .
26【详解】解：（1）证明：取 AC的中点M ，连结 FM ， BM， 3 2 3 2 3
1
∵ F是 AD的中点，∴MF / /CD，且MF CD 1，∵BE / /CD，∴MF / /BE2 ，又∵
EB = 1，
∴FM EB，
∴四边形FMBE是平行四边形，
∴ EF / /BM ，
∵ ABC是等边三角形， 27.【详解】（1）证明：如图所示：
∴BM AC，
∵侧面 ABC 底面BCDE，平面 ABC 平面 BCDE BC ，BC CD，
∴CD 平面 ABC，
∴CD BM ，
∵BC BM B，
∴ BM 平面 ACD，
连接 AC交 BD于点 G，连接 GE，
∴ EF 平面 ACD.
因为 ABCD为平行四边形，
（2）解：三棱锥D ACE即 A DCE，取BC的中点 N，连结 AN，
所以 G为 AC的中点，又 E为 PC的中点，
∵ ABC是正三角形，
所以GE / /PA，又 PA 平面 BDE，GE 平面 BDE，
∴ AN BC AN 3， BC 3，
2 所以 PA / / 平面 BDE；
∵CD 平面 ABC，CD / /EB （2）因为底面 ABCD为平行四边形，
∴ EB 平面 ABC，∴EB AN， 所以 AB / /CD，
答案第 1页，共 2页

又 AB 平面 ABEF， CD 平面 ABEF， （2）由（1）得C 或C 2 ，当C 时，3 3
所以 CD / /平面 ABEF，又平面 ABEF 平面 PDC EF， a b c a c由正弦定理 sin A 2 6sin A sin B sinC得， sinC ，3
所以CD / /EF，
b c sin B 4 sin 2
又因为 E 为 PC的中点， sinC 3 3 4


4 sin 2 2 所以 F为 PD的中点. cos cos sin

3 3 4 3 4

c 2, 4 528．(1) (2) 4 3 2 1 2 3 2 63 2 2

2 2

3 ，
3
【详解】（1）因为 c//a，故存在实数 ，使得 c , 2 ，
S 1 ab sinC 1 2 6 3 2 6 3 3 3 故 △ABC ；
因为a c 10，故 4 10，故 2， 2 2 3 3 2 3
当C


c 2, 4 2 时，由 c 2，
A
4 ，得
B
故 . 4
， a b 2，
1 1
（2）因为a S ab 2 2 1a 3b ，故 a a 3b 0 即 2 5 因此 △ABC ．a 3a b 0即 a b ， 2 23
5 综上， ABC
3 3
的面积是 或 1．
而 a 1 4 5
3
，故 cos a,b 5 3 .
1 5 3 30．(1) 3 (2)9
3 3
29．（1）C 2 或
C ；（2） 或 1．
3 3 【详解】（1）因为 csinC bsinB a sinA sinB .
2 A B 2 1 2 A B 2
【详解】（1）由 sin cos C 2 2 ，得
2sin 2cos C 1
2 ， 由正弦定理可得 c2 b2 a2 ab，即 c2 a2 b2 ab,
2cos2 C 1 2sin 2 A B化简得 ， 1 2 又因为 c2 a2 b2 2ab cosC ，所以 cosC ，因为0 C ，所以C ；
2 3
2
即 2cos C cos A B ，即 2cos2C cosC，
（2）由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcosC (a b) 2 3ab，
即 cosC 2cosC 1 0，解得 cosC 0或 2cosC 1 0． a b (a b)2
所以 c2 (a b)2 3( )2 ，即a b 6，当且仅当 a b时，等号成立，
2 4
1
即cosC 0或 cosC ．
2 所以 ABC周长的最大值为 9.

又0 C ，所以C 或C


2 ．3
答案第 2页，共 2页