三角形的内角和[下学期]
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课件19张PPT。3.3 三角形的内角和（一）主 讲： 伍 志 明西 南 七 中一、教材分析 “三角形的内角和定理”是中学数学重要的定理之一，它是在学习了三角形定义及有关概念和边与边之间关系的基础上展开的，既是知识的延续，又是进一步学习各种特殊三角形和其他图形的基础，它本身在实际中也有广泛应用，所以本节内容是这一章的重点。特别是其中所包含的化归思想、方程思想、分类思想，对发展学生的思维能力、培养学生解决问题的能力、形成用数学的意识有重要作用。二、教学目标 知识目标： 1.使学生初步掌握三角形内角和定理及推论1，并会应用。
2.使学生会对三角形按角分类。
3.能说出什么叫辅助线及为什么要添辅助线，并用什么线表示。
能力目标： 1.通过直观教学培养学生观察、分析、抽象的思维能力。
2.通过实验培养学生探索创新的能力和解决问题的能力。 情感目标：
通过学生探索、发现等一系列的思维活动，让学生体验成功的喜悦，进而提高学生的学习兴趣。
以上三方面目标的确定，基于以下几点考虑：
（1）根据教材分析，三角形内角和定理及其应用是本节课的重点，但由于学生初次接触应用，故确定为“初步掌握”和“会用”层次。三角形分类，只是为了使学生了解一般三角形与特殊三角形的关系，为进一步研究特殊三角形作准备，故只要求对三角形会按角分类。由于本大节仍是推理的准备阶段，且第一次遇到添辅助线，所以只要求了解辅助线及其作用。
（2）实验是学生进行探索创新一种途径，可培养多种能力，由此确定第二、三方面的目标。三、教学重点、难点、关键
针对本节课内容在教材中所处的地位作用，以及三角形内角和定理证明的难度、添加辅助线、学生对几何证明的生疏等因素，确定三角形内角和定理及其应用是本节课的重点，三角形内角和定理证明中辅助线的添置既是难点，又是关键。
四、教学方法和学法指导 1. 教法：本节课主要采取探究式教学法，同时辅以启发式教法 和尝试指导法。
2. 学法：培养学生观察、分析、思考、探索的学习方法。
五、教学用具 教具：电脑或投影仪，三角形纸片，三角板
学具：三角形纸片，三角板
六、教学过程
（一）实验探索，提出问题
由于前面学习了三角形三边的关系，于是我从复习三边关系引入。
问题：（1）三角形中三边满足什么关系？
（2）三角形的三个内角有什么关系？你有没有办法说明你的答案是否正确？
ABC[说明： 从问题（1）自然过渡到问题（2），让学生处于积极思维状态，激发学生的求知欲。当学生找到用度量法、折纸法、拼图法验证时，又提出疑问：度量法有误差，后两种方法没有改变内角的大小，只是通过移动角的位置，就能验证三内角和是180°，但我们不可能对所有三角形都进行拼图验证，这就需要我们用所学过的知识来证明这个猜想的成立。你能找到证明方法吗？当学生思维受阻时，引入课题，这就是今天我们要探究的三角形的内角和。板书课题。]
课题 3.3 三角形的内角和（一）
ABC 猜想：三角形三内角和等于180°. （二）证明猜想，形成定理1.拼图实验，探究证法2.观察、分析、抽象，作出图形3.证明猜想，形成定理4.定理的符号表示及作用［说明：我首先从学生发现拼图、折纸的验证方法出发，和学生一起用准备好的三角形纸片进行拼图验证，并让学生思考你的拼图能给你的证明思路提供什么启发？当学生拼出多种图形时，再用多媒体展出可能出现的拼图。]EF 当学生完成以上思考后，思路已经清晰，基本上能画出几何图形。这时再用多媒体展出各种图形。思考（1）拼图的实质是什么？（移角）（2）移角的目的是什么？
（构造角的和 是180°）
（3）何处能提供180°？ （平角或同旁内角）
（5）请你根 据拼图，尝试 画出几何图形。 （4）怎样实现移角？（画一个 角等于已 知角或作平行线）
什么是 辅 助线？辅助线的作用？作法和表示？EF（１）作BC的延长线CD，在△ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边画∠ACE=∠A，凑出平角。
（２）延长一边(如延长BC到D，作CE∥BA)，利用同位角、内错角平移两角，凑出平角180°.
? （３）过一顶点作其对边的平行线(如过Ｃ作ＡＢ的平行线)，利用内错角平移两角凑出平角180°.
（４）只过顶点作射线，使其平行于对边(如作CD∥BA)，利用内错角平移一角，凑同旁内角互补出180°.
（５）过一边上任意一点作另两边的平行线(如过BC上一点D作DE∥AC交AB于E，作DF∥BA交AC于F)，利用同位角、内错角平移三个角凑出平角 180°.
ＡＡＡＡＢＢＢＢＣＣＣＣＤＤＤＤＥＥＥＦ⑴⑵⑶⑷ 接着动画展示并小结几种辅助线的作法，教师选择第一种方法完善证明，形成定理。 （其它方法留给学生课后研究，进一步培养发散思维。）3.3 三角形的内角和（一）
三角形内角和定理 三角形三内角和等于180°. 已知：△ABC(如右图)，
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．
证明： 作BC边的延长线CD，在△ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边作∠1=∠A，于是有
CE∥BA(内错角相等，两直线平行)，
∴∠B＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°(平角的定义)，
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换)．
ABCDE12[说明：让学生动手动脑，探索新知，更能提高学习兴趣，增强学习主动性。通过多媒体展示拼图，提供感性材料，有利于理性知识的升华，培养学生的抽象思维。动画效果直观、生动揭示辅助线的产生、作用，有利于突破难点。详细板书可培养学生的逻辑思维能力和严谨的学风。]
尝试写出定理的符号表示？分析定理的作用？(由已知角求未知角）………………………………
例1. 已知：在△ABC 中，∠B=∠C=2∠A
若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？
ABCD解： (1) 设∠A=x°，则∠C= ∠ABC=2x°。
∴ x + 2x + 2x =180 °（三角形内角和定理）
解这个方程，得 x = 36,
∴ ∠C= 72 °.
(2) 在△BDC中
∵ ∠ BDC = 90 °,
∴ ∠ DBC = 180 °－90 °－72 ° （三角形内角和定理）
∴ ∠ DBC = 18 °.（三）尝试反馈，巩固新知
1.范例[说明：例题涉及的知识点有三角形内角和、高、用代数的方法解几何计算题，渗透了方程的思想方法。对例题的处理体现了学生的主体作用和因材施教原则，目的是让学生学会应用，提高解决问题的能力，培养学生用数学的意识，。]
用代数的方法解 几何计算题（1） 求∠B= ？ ∠C= ？
（2）2.练习（（1）～（4）题抢答）（1）三角形的三个内角中，只能有 个直角或 个钝角。
（2）任何一个三角形中，至少有 个锐角，至多有 个锐角。
（3）△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则∠B=？
（4） △ABC 中，∠A=50°，∠B=∠C，则∠B=？
3.三角形按角的大小分类： 三角形
直角三角形（Rt △）斜三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形的两锐角互余。（5）阅读课本13页内容，完成以下作业：4.推论1[说明： （1）～（4）题比较简单,采取抢答可活跃气氛，既巩固应用知识，又为探索三角形分类和推论1埋下伏笔。（5）题培养学生读书的良好习惯，并渗透分类思想。]推论一的符号表示及作用？ABC如右图，∵Rt△ABC中， ∠C=90 ° ∴∠A+∠B=90 °（四）拓展训练，培养能力
1.??? 列方程求角度， 在△ABC中
(1) ∠A是∠B的2倍，∠C比∠A＋∠B大12°，判断△ABC的形状；
(2) ∠C＝90°，∠A与∠B差为20°，求∠B；
(3) ∠A：∠B：∠C＝1：2：3，判断△ABC的形状；
(4) ∠A＝∠B，有一角是50°，求另两角；若有一角是110°呢？
2. 已知：如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，问： B
（1）图中有多少个直角三角形？
（2）图中有多少对互余的角？ D （3）图中有哪些锐角相等？
（4）若图中又有DE⊥AC于E，以上问题又该如何回答？AC[说明：为进一步巩固知识，形成能力,设计了两个题,1题渗透方程思想和分类思想，2题进一步熟悉推论1和“同（等）角的余角相等”的作用以及这个基本图形中的基本结论. ，提高学生在复杂图形中分解基本图形解决问题的能力.]
注意分类喔！（五）师生共同小结三角形内角和定理推论1
三角形按角分类辅助线化归思想应用方程思想分类思想应用[说明：通过师生共同小结，发挥学生的主体作用，有利于巩固所学知识，使知识系统化，同时培养归纳、概括能力，进一步完成教学目标。]
（六）布置作业
A组
教材P.18中10、11、12、13、14。
B组
已知：如图，△ABC中，∠A=70°，
BD、CE分别是∠ABC、 ∠BCA的平分
线，求∠BOC的度数。
ABCDEO[说明：A组题比较简单，要求全做，B组题较难，向学生渗透求三角形两角平分线的夹角的方法，为以后学习作铺垫，要求学有余力的学生完成。作业体现分层教学，因材施教原则。目的是进一步提高学生解决问题能力，培养学数学、用数学的意识。]七、板书设计 3.3 三角形的内角和（一）
1.三角形的内角和定理 例 变式训练
内容、图形、表达式：
证明 ： 练习 小结
2.三角形按角的大小分类 3.推论1 作业
[说明：板书设计条理清楚，层层展开，利于形成完整、系统的知识。]八、教学过程时间分配创提
设出
情问
境题
?
?2′
证形
明成
猜定
想理
?
18′ 尝巩
试固
反新
馈知
?
变培
式养
训能
练力
师共
生同小
结
?
布
置
作
业
12′9′2′2′教案说明
三角形内角和定理，不易直观觉察，测量也往往有误差，必须添置必要的辅助线，方可进行证明.如果直接复习平行线的有关性质，引出辅助线，给出证明，固然能腾出时间，加强由三角形已知角求未知角的机械性的练习.但总的说来，降低了学生思维训练上的要求.本堂课为了避免上述教学上的缺陷，遵循从生动的直观到抽象的思维的认识规律，精心巧设了有关实验，环环紧扣，步步深入，力图最大限度地调动学生学习的积极性,让学生亲自观察、猜测、论证，亲自探索、发现知识.这样既使学生在获得知识的过程中，得到了锻炼，培养了能力，提高了兴趣，增强了信心，而且也使课堂教学显得分外生动而严谨，有趣而深刻.
利用多媒体辅助教学，直观、生动，能突破难点，突出重点，提高教学效率。谢谢指导
2.使学生会对三角形按角分类。
3.能说出什么叫辅助线及为什么要添辅助线，并用什么线表示。
能力目标： 1.通过直观教学培养学生观察、分析、抽象的思维能力。
2.通过实验培养学生探索创新的能力和解决问题的能力。 情感目标：
通过学生探索、发现等一系列的思维活动，让学生体验成功的喜悦，进而提高学生的学习兴趣。
以上三方面目标的确定，基于以下几点考虑：
（1）根据教材分析，三角形内角和定理及其应用是本节课的重点，但由于学生初次接触应用，故确定为“初步掌握”和“会用”层次。三角形分类，只是为了使学生了解一般三角形与特殊三角形的关系，为进一步研究特殊三角形作准备，故只要求对三角形会按角分类。由于本大节仍是推理的准备阶段，且第一次遇到添辅助线，所以只要求了解辅助线及其作用。
（2）实验是学生进行探索创新一种途径，可培养多种能力，由此确定第二、三方面的目标。三、教学重点、难点、关键
针对本节课内容在教材中所处的地位作用，以及三角形内角和定理证明的难度、添加辅助线、学生对几何证明的生疏等因素，确定三角形内角和定理及其应用是本节课的重点，三角形内角和定理证明中辅助线的添置既是难点，又是关键。
四、教学方法和学法指导 1. 教法：本节课主要采取探究式教学法，同时辅以启发式教法 和尝试指导法。
2. 学法：培养学生观察、分析、思考、探索的学习方法。
五、教学用具 教具：电脑或投影仪，三角形纸片，三角板
学具：三角形纸片，三角板
六、教学过程
（一）实验探索，提出问题
由于前面学习了三角形三边的关系，于是我从复习三边关系引入。
问题：（1）三角形中三边满足什么关系？
（2）三角形的三个内角有什么关系？你有没有办法说明你的答案是否正确？
ABC[说明： 从问题（1）自然过渡到问题（2），让学生处于积极思维状态，激发学生的求知欲。当学生找到用度量法、折纸法、拼图法验证时，又提出疑问：度量法有误差，后两种方法没有改变内角的大小，只是通过移动角的位置，就能验证三内角和是180°，但我们不可能对所有三角形都进行拼图验证，这就需要我们用所学过的知识来证明这个猜想的成立。你能找到证明方法吗？当学生思维受阻时，引入课题，这就是今天我们要探究的三角形的内角和。板书课题。]
课题 3.3 三角形的内角和（一）
ABC 猜想：三角形三内角和等于180°. （二）证明猜想，形成定理1.拼图实验，探究证法2.观察、分析、抽象，作出图形3.证明猜想，形成定理4.定理的符号表示及作用［说明：我首先从学生发现拼图、折纸的验证方法出发，和学生一起用准备好的三角形纸片进行拼图验证，并让学生思考你的拼图能给你的证明思路提供什么启发？当学生拼出多种图形时，再用多媒体展出可能出现的拼图。]EF 当学生完成以上思考后，思路已经清晰，基本上能画出几何图形。这时再用多媒体展出各种图形。思考（1）拼图的实质是什么？（移角）（2）移角的目的是什么？
（构造角的和 是180°）
（3）何处能提供180°？ （平角或同旁内角）
（5）请你根 据拼图，尝试 画出几何图形。 （4）怎样实现移角？（画一个 角等于已 知角或作平行线）
什么是 辅 助线？辅助线的作用？作法和表示？EF（１）作BC的延长线CD，在△ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边画∠ACE=∠A，凑出平角。
（２）延长一边(如延长BC到D，作CE∥BA)，利用同位角、内错角平移两角，凑出平角180°.
? （３）过一顶点作其对边的平行线(如过Ｃ作ＡＢ的平行线)，利用内错角平移两角凑出平角180°.
（４）只过顶点作射线，使其平行于对边(如作CD∥BA)，利用内错角平移一角，凑同旁内角互补出180°.
（５）过一边上任意一点作另两边的平行线(如过BC上一点D作DE∥AC交AB于E，作DF∥BA交AC于F)，利用同位角、内错角平移三个角凑出平角 180°.
ＡＡＡＡＢＢＢＢＣＣＣＣＤＤＤＤＥＥＥＦ⑴⑵⑶⑷ 接着动画展示并小结几种辅助线的作法，教师选择第一种方法完善证明，形成定理。 （其它方法留给学生课后研究，进一步培养发散思维。）3.3 三角形的内角和（一）
三角形内角和定理 三角形三内角和等于180°. 已知：△ABC(如右图)，
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．
证明： 作BC边的延长线CD，在△ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边作∠1=∠A，于是有
CE∥BA(内错角相等，两直线平行)，
∴∠B＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°(平角的定义)，
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换)．
ABCDE12[说明：让学生动手动脑，探索新知，更能提高学习兴趣，增强学习主动性。通过多媒体展示拼图，提供感性材料，有利于理性知识的升华，培养学生的抽象思维。动画效果直观、生动揭示辅助线的产生、作用，有利于突破难点。详细板书可培养学生的逻辑思维能力和严谨的学风。]
尝试写出定理的符号表示？分析定理的作用？(由已知角求未知角）………………………………
例1. 已知：在△ABC 中，∠B=∠C=2∠A
若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？
ABCD解： (1) 设∠A=x°，则∠C= ∠ABC=2x°。
∴ x + 2x + 2x =180 °（三角形内角和定理）
解这个方程，得 x = 36,
∴ ∠C= 72 °.
(2) 在△BDC中
∵ ∠ BDC = 90 °,
∴ ∠ DBC = 180 °－90 °－72 ° （三角形内角和定理）
∴ ∠ DBC = 18 °.（三）尝试反馈，巩固新知
1.范例[说明：例题涉及的知识点有三角形内角和、高、用代数的方法解几何计算题，渗透了方程的思想方法。对例题的处理体现了学生的主体作用和因材施教原则，目的是让学生学会应用，提高解决问题的能力，培养学生用数学的意识，。]
用代数的方法解 几何计算题（1） 求∠B= ？ ∠C= ？
（2）2.练习（（1）～（4）题抢答）（1）三角形的三个内角中，只能有 个直角或 个钝角。
（2）任何一个三角形中，至少有 个锐角，至多有 个锐角。
（3）△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则∠B=？
（4） △ABC 中，∠A=50°，∠B=∠C，则∠B=？
3.三角形按角的大小分类： 三角形
直角三角形（Rt △）斜三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形的两锐角互余。（5）阅读课本13页内容，完成以下作业：4.推论1[说明： （1）～（4）题比较简单,采取抢答可活跃气氛，既巩固应用知识，又为探索三角形分类和推论1埋下伏笔。（5）题培养学生读书的良好习惯，并渗透分类思想。]推论一的符号表示及作用？ABC如右图，∵Rt△ABC中， ∠C=90 ° ∴∠A+∠B=90 °（四）拓展训练，培养能力
1.??? 列方程求角度， 在△ABC中
(1) ∠A是∠B的2倍，∠C比∠A＋∠B大12°，判断△ABC的形状；
(2) ∠C＝90°，∠A与∠B差为20°，求∠B；
(3) ∠A：∠B：∠C＝1：2：3，判断△ABC的形状；
(4) ∠A＝∠B，有一角是50°，求另两角；若有一角是110°呢？
2. 已知：如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，问： B
（1）图中有多少个直角三角形？
（2）图中有多少对互余的角？ D （3）图中有哪些锐角相等？
（4）若图中又有DE⊥AC于E，以上问题又该如何回答？AC[说明：为进一步巩固知识，形成能力,设计了两个题,1题渗透方程思想和分类思想，2题进一步熟悉推论1和“同（等）角的余角相等”的作用以及这个基本图形中的基本结论. ，提高学生在复杂图形中分解基本图形解决问题的能力.]
注意分类喔！（五）师生共同小结三角形内角和定理推论1
三角形按角分类辅助线化归思想应用方程思想分类思想应用[说明：通过师生共同小结，发挥学生的主体作用，有利于巩固所学知识，使知识系统化，同时培养归纳、概括能力，进一步完成教学目标。]
（六）布置作业
A组
教材P.18中10、11、12、13、14。
B组
已知：如图，△ABC中，∠A=70°，
BD、CE分别是∠ABC、 ∠BCA的平分
线，求∠BOC的度数。
ABCDEO[说明：A组题比较简单，要求全做，B组题较难，向学生渗透求三角形两角平分线的夹角的方法，为以后学习作铺垫，要求学有余力的学生完成。作业体现分层教学，因材施教原则。目的是进一步提高学生解决问题能力，培养学数学、用数学的意识。]七、板书设计 3.3 三角形的内角和（一）
1.三角形的内角和定理 例 变式训练
内容、图形、表达式：
证明 ： 练习 小结
2.三角形按角的大小分类 3.推论1 作业
[说明：板书设计条理清楚，层层展开，利于形成完整、系统的知识。]八、教学过程时间分配创提
设出
情问
境题
?
?2′
证形
明成
猜定
想理
?
18′ 尝巩
试固
反新
馈知
?
变培
式养
训能
练力
师共
生同小
结
?
布
置
作
业
12′9′2′2′教案说明
三角形内角和定理，不易直观觉察，测量也往往有误差，必须添置必要的辅助线，方可进行证明.如果直接复习平行线的有关性质，引出辅助线，给出证明，固然能腾出时间，加强由三角形已知角求未知角的机械性的练习.但总的说来，降低了学生思维训练上的要求.本堂课为了避免上述教学上的缺陷，遵循从生动的直观到抽象的思维的认识规律，精心巧设了有关实验，环环紧扣，步步深入，力图最大限度地调动学生学习的积极性,让学生亲自观察、猜测、论证，亲自探索、发现知识.这样既使学生在获得知识的过程中，得到了锻炼，培养了能力，提高了兴趣，增强了信心，而且也使课堂教学显得分外生动而严谨，有趣而深刻.
利用多媒体辅助教学，直观、生动，能突破难点，突出重点，提高教学效率。谢谢指导
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