数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.3点到直线的距离公式 说课（共25张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.3点到直线的距离公式 说课（共25张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1002.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-29 06:46:23 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
点到直线的距离公式
课堂教学部分
一、提出问题
如图所示，已知点，直线：,如何求点到直线的距离？
过点作的垂线，垂足为，则线段的长度，就是点到直线的距离.如何求线段长度呢？
二、探究问题
探究1 线段的长度，就是点与点之间的距离，可以利用两点的距离公式得到，你能求出来吗？
分析：可分为三步：
第一步：利用垂直关系求出直线的方程;
第二步：联立直线与的方程，求出点的坐标;
第三步：利用两点的距离公式，求出
当时，,
则,
故
当时，,
此时直线平行于轴，
则
故
此时直线平行于轴，
解：
当时，
由，以及直线的斜率为，
可知直线的斜率为,
因此直线的方程为,
即.
联立
得
即点的坐标为.
根据两点的距离公式，有
综上，点到直线：的距离为
思考：上述方法中，我们把点到直线的距离转化为点到点的距离来求解，思路自然但运算量大.反思解题过程，你能发现引起复杂运算的原因吗？由此能否给出简化计算的方法？
在上述方法中,若设垂足,则，
我们可以不求点坐标，根据直接得到吗？
观察结构，由得
将两式平方相加得
则
同学们，这种解法蕴含了什么思想？
设而不求，整体代入
探究2 在学习空间向量的时候，我们利用空间向量解决了空间中点到平面的距离问题.由此你能否利用平面向量方法解决平面中点到直线的距离问题吗
受求空间中点到平面的距离方法启发，又在平面中与直线垂直的向量易求，故可得以下解法：
如图所示,设点是直线上任意一点，
是与垂直的单位方向向量，
则在上的投影向量，
故,
由前面所学知道直线的一个方向向量为，
则与直线的垂直的一个方向向量为，
则可取=
从而
因为点在直线上，
所以，代入上式得
因此
探究3 除了上述两种方法，你还有其他方法吗？
请阅读下面数学史材料，探究其中解法.
材料1：19世纪英国数学家托德亨特对点线距离作了另一种方式的转化，用三角形方法解决.如图，过点作轴的平行线，交于点，则在中，由线段和可求线段的长.
材料2：20世纪，美国数学家泰勒在其《微积分与解析几何》中，抓住距离概念的本质，通过函数的最值来求点到直线的距离.如图，设为直线上任意一点，则点到的距离就是的最小值.
根据材料1，当时，由平行轴可知点的坐标为,
则.
设的倾斜角为,则或者,
由可得
故在中，有
根据材料2，时,设点为上任意一点，则
即点到的距离为.
三、应用举例
例1 求点到直线的距离.
分析：将直线的方程写成 再利用点到直线的距离公式求解.
解：点到直线的距离
例2 已知的三个顶点坐标分别是 求的面积.
分析：由三角形面积公式可知,只要利用距离公式求出一边上的高即可.
解：设边上的高为，则就是点到直线的距离.边所在的直线方程为
即.
根据点到直线的距离公式，有
又，
故
四、小结
回顾推导点到平面的距离的几种方法，总结其中的数学思想方法.
这几种解法蕴含了转化与化归的思想.
探究1的解法是把点到直线的距离转化为点到点的距离；
探究2解法是把点到直线的距离转化为投影向量的模；
探究3材料1的解法是把点到直线的距离转化为锐角三角函数问题;
探究3材料2的解法是把点到直线的距离转化为点到直线上任意一点距离的最值问题.
五、课后作业
教材练习1，2.
教学阐述部分
教学内容及解析
学情分析
教学目标
教学过程设计
重难点的突破
【教学内容及解析】
（一）教学内容
1.点到直线距离公式的推导；
2.点到直线距离公式及其应用.
（二）内容解析
点到直线的距离公式是高中解析几何课程中基础公式,它是解决点线、线线距离问题的基础,也是研究直线与圆、圆与圆位置关系的重要工具,同时为后面学习圆锥曲线作准备.本节内容是选择性必修第一册中直线的交点坐标与距离公式单元教学中的第三课，是点与点的距离和线与线的距离的中间环节，教材引导学生把点到直线的距离转为点到点距离和投影向量的模长来处理, 培养学生的解析几何思维，提升学生逻辑推理和数学运算素养，提高学生分析问题解决问题的能力。
点到直线的距离公式是选择性必修第一册第二章2.3.3的内容，学生已经具备了函数、向量（平面向量和空间向量）模块的知识储备和相应的思想方法，也学习了直线的基础内容和点与点之间的距离公式，初步具备了用代数方法研究几何问题的解析几何思想.
【学情分析】
【教学目标】
1.通过探究，会推导点到直线的距离公式，发展学生的直观想像、逻辑推导和数学运算素养；
2.通过多种方法证明，学生能从不同角度思考问题，发展学生分析问题，解决问题的能力；
3.通过应用举例，学生能利用点到直线的距离公式解决简单的距离问题，发展学生知识应用能力和数学运算素养.
【教学重难点】
重点：点到直线的距离公式推导；点到直线距离公式及其应用.
难点：点到直线的距离公式推导.
【教学过程设计】
提出问题
探究问题
公式应用举例
探究1
探究2
探究3
转化为点到点的距离
转化为投影向量的模
阅读数学史材料自主探究
点到直线的距离公式
【重难点的突破】
探究1 线段的长度，就是点与点之间的距离，可以利用两点的距离公式得到，你能求出来吗？
探究2 我们知道向量是一个强有力的工具，而且我们已经利用了空间向量解决了空间中点到平面的距离问题.由此你能否利用平面向量方法解决平面中点到直线的距离问题呢
探究3 除了上述两种方法，你还有其他方法吗？请阅读下面数学史材料，探究其中解法.
设计意图
学生上一节课学习了点与点的距离公式，通过作图分析，自然想到用两点距离公式去求.
探究1的解法自然但计算量大，第一章已经利用空间向量解决了空间中点到平面的距离问题，现在应用到平面上来.
提供数学史材料，让学生自主探究其他解法，提升学生的求知欲和探索欲.
谢谢
点到直线的距离公式
课堂教学部分
一、提出问题
如图所示，已知点，直线：,如何求点到直线的距离？
过点作的垂线，垂足为，则线段的长度，就是点到直线的距离.如何求线段长度呢？
二、探究问题
探究1 线段的长度，就是点与点之间的距离，可以利用两点的距离公式得到，你能求出来吗？
分析：可分为三步：
第一步：利用垂直关系求出直线的方程;
第二步：联立直线与的方程，求出点的坐标;
第三步：利用两点的距离公式，求出
当时，,
则,
故
当时，,
此时直线平行于轴，
则
故
此时直线平行于轴，
解：
当时，
由，以及直线的斜率为，
可知直线的斜率为,
因此直线的方程为,
即.
联立
得
即点的坐标为.
根据两点的距离公式，有
综上，点到直线：的距离为
思考：上述方法中，我们把点到直线的距离转化为点到点的距离来求解，思路自然但运算量大.反思解题过程，你能发现引起复杂运算的原因吗？由此能否给出简化计算的方法？
在上述方法中,若设垂足,则，
我们可以不求点坐标，根据直接得到吗？
观察结构，由得
将两式平方相加得
则
同学们，这种解法蕴含了什么思想？
设而不求，整体代入
探究2 在学习空间向量的时候，我们利用空间向量解决了空间中点到平面的距离问题.由此你能否利用平面向量方法解决平面中点到直线的距离问题吗
受求空间中点到平面的距离方法启发，又在平面中与直线垂直的向量易求，故可得以下解法：
如图所示,设点是直线上任意一点，
是与垂直的单位方向向量，
则在上的投影向量，
故,
由前面所学知道直线的一个方向向量为，
则与直线的垂直的一个方向向量为，
则可取=
从而
因为点在直线上，
所以，代入上式得
因此
探究3 除了上述两种方法，你还有其他方法吗？
请阅读下面数学史材料，探究其中解法.
材料1：19世纪英国数学家托德亨特对点线距离作了另一种方式的转化，用三角形方法解决.如图，过点作轴的平行线，交于点，则在中，由线段和可求线段的长.
材料2：20世纪，美国数学家泰勒在其《微积分与解析几何》中，抓住距离概念的本质，通过函数的最值来求点到直线的距离.如图，设为直线上任意一点，则点到的距离就是的最小值.
根据材料1，当时，由平行轴可知点的坐标为,
则.
设的倾斜角为,则或者,
由可得
故在中，有
根据材料2，时,设点为上任意一点，则
即点到的距离为.
三、应用举例
例1 求点到直线的距离.
分析：将直线的方程写成 再利用点到直线的距离公式求解.
解：点到直线的距离
例2 已知的三个顶点坐标分别是 求的面积.
分析：由三角形面积公式可知,只要利用距离公式求出一边上的高即可.
解：设边上的高为，则就是点到直线的距离.边所在的直线方程为
即.
根据点到直线的距离公式，有
又，
故
四、小结
回顾推导点到平面的距离的几种方法，总结其中的数学思想方法.
这几种解法蕴含了转化与化归的思想.
探究1的解法是把点到直线的距离转化为点到点的距离；
探究2解法是把点到直线的距离转化为投影向量的模；
探究3材料1的解法是把点到直线的距离转化为锐角三角函数问题;
探究3材料2的解法是把点到直线的距离转化为点到直线上任意一点距离的最值问题.
五、课后作业
教材练习1，2.
教学阐述部分
教学内容及解析
学情分析
教学目标
教学过程设计
重难点的突破
【教学内容及解析】
（一）教学内容
1.点到直线距离公式的推导；
2.点到直线距离公式及其应用.
（二）内容解析
点到直线的距离公式是高中解析几何课程中基础公式,它是解决点线、线线距离问题的基础,也是研究直线与圆、圆与圆位置关系的重要工具,同时为后面学习圆锥曲线作准备.本节内容是选择性必修第一册中直线的交点坐标与距离公式单元教学中的第三课，是点与点的距离和线与线的距离的中间环节，教材引导学生把点到直线的距离转为点到点距离和投影向量的模长来处理, 培养学生的解析几何思维，提升学生逻辑推理和数学运算素养，提高学生分析问题解决问题的能力。
点到直线的距离公式是选择性必修第一册第二章2.3.3的内容，学生已经具备了函数、向量（平面向量和空间向量）模块的知识储备和相应的思想方法，也学习了直线的基础内容和点与点之间的距离公式，初步具备了用代数方法研究几何问题的解析几何思想.
【学情分析】
【教学目标】
1.通过探究，会推导点到直线的距离公式，发展学生的直观想像、逻辑推导和数学运算素养；
2.通过多种方法证明，学生能从不同角度思考问题，发展学生分析问题，解决问题的能力；
3.通过应用举例，学生能利用点到直线的距离公式解决简单的距离问题，发展学生知识应用能力和数学运算素养.
【教学重难点】
重点：点到直线的距离公式推导；点到直线距离公式及其应用.
难点：点到直线的距离公式推导.
【教学过程设计】
提出问题
探究问题
公式应用举例
探究1
探究2
探究3
转化为点到点的距离
转化为投影向量的模
阅读数学史材料自主探究
点到直线的距离公式
【重难点的突破】
探究1 线段的长度，就是点与点之间的距离，可以利用两点的距离公式得到，你能求出来吗？
探究2 我们知道向量是一个强有力的工具，而且我们已经利用了空间向量解决了空间中点到平面的距离问题.由此你能否利用平面向量方法解决平面中点到直线的距离问题呢
探究3 除了上述两种方法，你还有其他方法吗？请阅读下面数学史材料，探究其中解法.
设计意图
学生上一节课学习了点与点的距离公式，通过作图分析，自然想到用两点距离公式去求.
探究1的解法自然但计算量大，第一章已经利用空间向量解决了空间中点到平面的距离问题，现在应用到平面上来.
提供数学史材料，让学生自主探究其他解法，提升学生的求知欲和探索欲.
谢谢