数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.1.2全概率公式（共25张ppt）

(共25张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.2 全概率公式
一
二
三
学习目标
利用概率的加法公式和乘法公式归纳得到全概率公式
掌握全概率公式
能用全概率公式计算较复杂的概率问题
复习回顾
1. 条件概率：
在事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为条件概率，即
由条件概率公式可得
2. 概率的乘法公式：
3. 条件概率的性质：
条设P(A)>0, 则
(1)P(Ω|A)=1;
(2)如果B和C是两个互斥事件, 则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
(3)设和B是两个对立事件, 则P(|A)=1-P(B|A).
设A和B是两个独立事件, 则P(B|A)=P(B)或P(A|B)=P(A).
求复杂事件的概率常分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和的概率。
注意顺序！先发生的事件，写在前面
新课导入
在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法和乘法公式求其概率。
本节，我们再根据一个求复杂事件概率问题出发学习。
新知探究
问题1 从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 ，那么第2次摸到红球的概率是多大 如何计算这个概率呢
下面我们给出严格的推导.
因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是 .
但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.
事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即
P(R2|R1)
P(B2|R1)
P(R2|B1)
P(B2|B1)
利用概率的加法公式和乘法公式，得
用 Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1,2.
新知探究
R2=R1R2UB1R2.
说明抽签是具有公平性的
按照某种标准, 将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并, 再由概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率.
R2
新知探究
上述过程采用的方法是:
新知探究
问题2 按照某种标准,将一个复杂事件表示为多个互斥事件的并, 根据概率的加法公式和乘法公式，如何求这个复杂事件的概率？
设是一组两两互斥的事件， ，
且，则对任意的事件，有
加法公式
乘法公式
求和符号
·····
·····
概念生成
全概率公式
　　一般地，设A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1, 2, …, n，则对任意的事件 ，有
·····
·····
我们称上面的公式为全概率公式．
全概率公式是概率论中最基本的公式之一.
全概率公式使用条件:
①A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件；②A1∪A2∪…∪An=Ω；　
③P(Ai)>0, 且 .
对公式的理解：
某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2，,…,n)
(Ai 互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是BAi(i=1,2，,…,n)发生概率的总和。
可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”.
概念生成
每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因Ai引起，BAi(i=1,2,…,n)发生概率的总和，即全概率公式.
例4 某学校有 A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
典例解析
分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去餐厅”和“第1天去餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.
设A1＝“第1天去A餐厅”,
B1＝“第1天取B餐厅”,
A2＝“第2天去A餐厅”, 则
解：
=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7
设事件
写概率
代公式
方法归纳
全概率公式求复杂事件概率的步骤：
1.设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果, 把A1, A2, …, An 看作导致结果的若干个原因；
2.写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai )),且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai ))；
3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ).
P(A1)，P(A2)…… P(An )
P(B|A1 ) ,P(B| A2)….. P(B|An )
由因求果
巩固练习
课本52页
1. 现有12道四选一 的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路. 有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25. 张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率.
解：
设＝“选到有思路的题”, ＝“选到没有思路的题”，B＝“选到的题做对”,
则有：，P()=，P()=
所以：
=
设事件
写概率
代公式
典例解析
例5 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
(1) 任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率.
分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能.
设“零件为第i台车床加工”，“任取一零件为次品”，
如图所示，可将事件表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件的概率.
典例解析
例5 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
(1) 任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率.
A1
A2
A3
A3B
A1B
A2B
设B＝“任取一个零件为次品”, Ai＝“零件为第i台车床加工” (i＝1, 2, 3), 则
解：
典例解析
例5 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
(1) 任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率.
（2）“如果取到得零件是次品,计算它是第i(i =1,2,3)台车床加工的概率”,就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率.
问题3：例5中的实际意义是什么？
是试验之前就已知的概率，它是第台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率.
当已知抽到的零件是次品（发生）是这件次品来自第台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率.
新知探究
已知原因求结果
已知结果求原因
如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么 就分别是第1, 2, 3台车床操作员应承担的份额.
概念生成
将例5中的问题(2)一般化，可以得到贝叶斯公式.
*贝叶斯公式：
设A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai )>0，i=1, 2, …, n，则对任意的事件 　，P(B)>0，有
对分子用乘法公式
对分母用全概率公式
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.
贝叶斯公式的应用步骤：
1.辨别问题中的事件与事件;
2.确定先验概率与有关条件概率；
3.代入公式计算.
如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式
概念生成
①我们把事件B看作某一过程的结果，
②根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
③而且每一原因对结果的影响程度已知，
④如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式
*贝叶斯公式的使用：
执果寻因
解：
2. 两批同种规格的产品，第一批占 40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%. 将两批产品混合，从混合产品中任取1件.
(1) 求这件产品是合格品的概率；
(2) 已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.
设A＝“取到合格品”, Bi＝“取到的产品来自第i批”(i＝1, 2), 则
巩固练习
课本52页
典例解析
例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的.
(1) 分别求接收的信号为0和1的概率；
(2) 已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
分析：设“发送的信号为0”,
“接受到的信号为0”.
为便于求解，我们可将题目中所包含的各种信息用下图直观表示.
发送0(A)
发送1()
接收0(B)
接收1()
典例解析
例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的.
(1) 分别求接收的信号为0和1的概率；
(2) 已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
解:
典例解析
例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的.
(1) 分别求接收的信号为0和1的概率；
(2) 已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
解：
P( A|B)
=
P( A)P(B| A)
P(B)
0.475
=
0.5×0.05
=
1
19
25
由因求果
执果寻因
1.设事件
2.写概率
3.代公式
全概率公式　
P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋…＋P(BAn)
=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)
条件概率P(B|A)＝ →
*贝叶斯公式
课堂小结
乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)