高一数学2.2.4 对数函数及其性质(2)
文档属性
| 名称 | 高一数学2.2.4 对数函数及其性质(2) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 321.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-08-26 17:17:13 | ||
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文档简介
课件28张PPT。2.2.4 对数函数及其性质(2)【学习目标】 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，
探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研
究函数性质的方法.1.对数函数的单调性增函数减函数 当 a＞1 时，y＝logax 为____________；
当 0＜a＜1 时，y＝logax 为____________.
2.对于 y＝logax，若 a＞1，当 x＞1 时，y_______0，当 0＜
x＜1 时，y______0；若 0＜a＜1，当 0＜x＜1 时，y_______0，当 x＞1 时，y______0.>＜＞＜函数(填“增”或“减”).减3.反函数y＝axy＝x 函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)与________(a＞0，且 a≠1)
互为反函数，其图象关于直线________对称.
练习2：函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝3x 的图象关于直线 y
＝x 对称，则 f(x)＝__________.
练习3：若函数 f(x)的反函数为 y＝log2x，则 f(x)＝
_________________.f(x)＝2x(x∈R)log3x【问题探究】 若函数 y＝lg(ax2＋ax＋1)的定义域是 R，求实数 a 的取值
范围；若函数 y＝lg(ax2＋ax＋1)的值域为 R，求实数 a 的取值
范围.题型 1 反函数问题
【例 1】 写出下列函数的反函数： 思维突破：根据指数函数与对数函数互为反函数且底数相
同求解.
解：(1)y＝lgx 的底数为 10，
它的反函数为指数函数 y＝10x.
【变式与拓展】B题型 2 对数函数的基本性质
(1)求 f(x)的定义域；
(2)判断 f(x)的奇偶性并证明；
(3)判断 f(x)的单调性(不证明)；
(4)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.∴f(x)是奇函数．而从(1)知1＋x>0，故可等价于1－x>1＋x，又等价于x<0.
故对当x∈(－1,0)时，有f(x)>0.【变式与拓展】②y＝lg(2－x)－lg(2＋x)；
③y＝lg[(x＋2)(x－2)]；
④y＝lg(x＋2)＋lg(x－2).
其中奇函数是________，偶函数是________ .解析：①②的定义域相同，均为(－2,2)，且均有 f(－x)＝－ f(x)，所以都是奇函数；③的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，且有 f(－x)＝f(x)，所以为偶函数；而④的定义域为(2，＋∞)不对称，因此是非奇非偶函数．
答案：①② ③题型 3 综合问题原点对称，且定义域不是单元素集.
(1)求 m 的值；
(2)判断 g(x)在(0,2)上的单调性，并证明.
思维突破：根据奇函数及单调性定义，以及对数运算解决
问题.解：(1)由题意，设 x，－x 是定义域内的任意值，则又 g(x)＋g(－x)＝0，
即4－m2x2＝4－x2.
∴(m2－1)x2＝0.由题意知：x可取到非零值，
∴m2－1＝0.∴m＝±1.由①②知：m＝－1. 在 a 与 1 的大小不明确时，要对a 与1 的大小
进行讨论，从而利用对数函数的单调性求解.【变式与拓展】3.已知函数 f(x)＝loga(3－ax). (1)当 x∈[0,2]时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围；
(2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减
函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值，如果不存
在，请说明理由.解：(1)由题意，得 3－ax>0 对一切 x∈[0,2]恒成立．
∵a>0，且 a≠1，
∴g(x)＝3－ax 在[0,2]上为减函数．(2)假设存在这样的实数 a，
由题意知：f(1)＝1，即loga(3－a)＝1.当 x＝2 时，f(x)无意义．
故这样的函数不存在．【例 4】 已知 y＝loga(2－ax)在[0,1]上是 x 的减函数，求实数 a 的取值范围. 易错分析：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数的复合
关系，却忽视了对数函数定义域的限制，单调区间应是定义域
的某个子区间，即函数应在[0,1]上有意义. 解：∵y＝loga(2－ax)是由y＝logau，u＝2－ax复合而成，又a＞0，
∴u＝2－ax在[0,1]上是x的减函数，由复合函数关系知
y＝logau应为增函数，∴a＞1.
又由于x在[0,1]上时，y＝loga(2－ax)有意义，u＝2－ax又是减函数，
∴当x＝1时，u＝2－ax取最小值为umin＝2－a＞0即可．
∴a＜2.
综上所述，所求的取值范围是1＜a＜2.[方法·规律·小结] 1.指数函数与对数函数的关系.
对数函数y＝logax与指数函数y＝ax的图象关于直线y＝x对称，它们互为反函数.
2.y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型的函数.
(1)要注意变量的取值范围，例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则f[g(x)]＝log2(x2＋x)中需有g(x)＞0；g[f(x)]＝(log2x)2＋log2x中需有x＞0.
(2)判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性时，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断.
探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研
究函数性质的方法.1.对数函数的单调性增函数减函数 当 a＞1 时，y＝logax 为____________；
当 0＜a＜1 时，y＝logax 为____________.
2.对于 y＝logax，若 a＞1，当 x＞1 时，y_______0，当 0＜
x＜1 时，y______0；若 0＜a＜1，当 0＜x＜1 时，y_______0，当 x＞1 时，y______0.>＜＞＜函数(填“增”或“减”).减3.反函数y＝axy＝x 函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)与________(a＞0，且 a≠1)
互为反函数，其图象关于直线________对称.
练习2：函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝3x 的图象关于直线 y
＝x 对称，则 f(x)＝__________.
练习3：若函数 f(x)的反函数为 y＝log2x，则 f(x)＝
_________________.f(x)＝2x(x∈R)log3x【问题探究】 若函数 y＝lg(ax2＋ax＋1)的定义域是 R，求实数 a 的取值
范围；若函数 y＝lg(ax2＋ax＋1)的值域为 R，求实数 a 的取值
范围.题型 1 反函数问题
【例 1】 写出下列函数的反函数： 思维突破：根据指数函数与对数函数互为反函数且底数相
同求解.
解：(1)y＝lgx 的底数为 10，
它的反函数为指数函数 y＝10x.
【变式与拓展】B题型 2 对数函数的基本性质
(1)求 f(x)的定义域；
(2)判断 f(x)的奇偶性并证明；
(3)判断 f(x)的单调性(不证明)；
(4)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.∴f(x)是奇函数．而从(1)知1＋x>0，故可等价于1－x>1＋x，又等价于x<0.
故对当x∈(－1,0)时，有f(x)>0.【变式与拓展】②y＝lg(2－x)－lg(2＋x)；
③y＝lg[(x＋2)(x－2)]；
④y＝lg(x＋2)＋lg(x－2).
其中奇函数是________，偶函数是________ .解析：①②的定义域相同，均为(－2,2)，且均有 f(－x)＝－ f(x)，所以都是奇函数；③的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，且有 f(－x)＝f(x)，所以为偶函数；而④的定义域为(2，＋∞)不对称，因此是非奇非偶函数．
答案：①② ③题型 3 综合问题原点对称，且定义域不是单元素集.
(1)求 m 的值；
(2)判断 g(x)在(0,2)上的单调性，并证明.
思维突破：根据奇函数及单调性定义，以及对数运算解决
问题.解：(1)由题意，设 x，－x 是定义域内的任意值，则又 g(x)＋g(－x)＝0，
即4－m2x2＝4－x2.
∴(m2－1)x2＝0.由题意知：x可取到非零值，
∴m2－1＝0.∴m＝±1.由①②知：m＝－1. 在 a 与 1 的大小不明确时，要对a 与1 的大小
进行讨论，从而利用对数函数的单调性求解.【变式与拓展】3.已知函数 f(x)＝loga(3－ax). (1)当 x∈[0,2]时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围；
(2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减
函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值，如果不存
在，请说明理由.解：(1)由题意，得 3－ax>0 对一切 x∈[0,2]恒成立．
∵a>0，且 a≠1，
∴g(x)＝3－ax 在[0,2]上为减函数．(2)假设存在这样的实数 a，
由题意知：f(1)＝1，即loga(3－a)＝1.当 x＝2 时，f(x)无意义．
故这样的函数不存在．【例 4】 已知 y＝loga(2－ax)在[0,1]上是 x 的减函数，求实数 a 的取值范围. 易错分析：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数的复合
关系，却忽视了对数函数定义域的限制，单调区间应是定义域
的某个子区间，即函数应在[0,1]上有意义. 解：∵y＝loga(2－ax)是由y＝logau，u＝2－ax复合而成，又a＞0，
∴u＝2－ax在[0,1]上是x的减函数，由复合函数关系知
y＝logau应为增函数，∴a＞1.
又由于x在[0,1]上时，y＝loga(2－ax)有意义，u＝2－ax又是减函数，
∴当x＝1时，u＝2－ax取最小值为umin＝2－a＞0即可．
∴a＜2.
综上所述，所求的取值范围是1＜a＜2.[方法·规律·小结] 1.指数函数与对数函数的关系.
对数函数y＝logax与指数函数y＝ax的图象关于直线y＝x对称，它们互为反函数.
2.y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型的函数.
(1)要注意变量的取值范围，例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则f[g(x)]＝log2(x2＋x)中需有g(x)＞0；g[f(x)]＝(log2x)2＋log2x中需有x＞0.
(2)判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性时，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断.