9.2.1 总体取值规律的估计 教案

教学目标：
1.掌握画样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤和方法, 并学会利用频率分布直方图对总体进行分布规律的估计
2.理解不同的统计图在表示数据上的不同特点
3.掌握作图、用图、识图读懂统计图的能力
4.理解统计的基本思想及其在实际问题中的应用价值.
5.发展数据分析能力、统计观念,发展直观想象、数学建模素养
教学过程：
引入 前言：同学们好！数学源于生活.所以同学们不单要在课堂上学习数学，还要从生活实践中理解和认识数学.今天我们学习的内容就和生活实际有很大的联系. 一、实际情境、引入主题 先给大家讲一个真实的故事.二战期间英国和德国的空军都非常发达，双方空战不断，为了提高空军的防护能力，英国的飞机设计师决定给飞机增加护甲，但设计师并不清楚应该在什么地方增加护甲，于是求助于统计学家.统计学家将每架中弹之后仍然能够安全返航的飞机的中弹部位描绘在一张图上，然后将所有飞机的中弹图叠放在一起，这样就形成浓密不同的弹孔分布.同学们哪个地方应该增加护甲？统计学家肯定地说，没有弹孔的地方就是应该增加护甲的地方，因为这个地方中弹的飞机都没能幸免于难.这里用到的就是统计的知识. 我们知道：统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门学科.面对一个统计问题，首先要根据实际需要收集样本，然后将样本数据进行整理分析，提取需要的信息，然后通过样本的情况推断总体的情况.前面我们学习的抽样方法就是如何收集数据.这节课我们就研究如何将数据进行整理，以便提取数据，更好地推断整体的情况.
新课 二、 问题导入、新知建构 环节一:引出问题,展现目的 问题一: 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度.即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费. 问题1：如果希望大多数居民的生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？ 说明：每户居民的月用水量标准太低，会影响居民的日常生活；标准太高，则不利于节水.所以必须确定一个合理的用水标准. 问题2：你认为为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作 说明：由于城市住户较多，全面普查,存在时间和经费问题,没有必要,所以通常采用抽样调查的方式.是为了从样本中获取信息，来估计总体的一些性质和特点.通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况. 假设通过抽样调查，获得100户居民某年的月均用水量如下表（单位：t）： 9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.622.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6
环节二:构建研究路径 追问1：通过这些数据，你能看出哪些信息？ 追问2：其实，面对多而杂乱的数据，我们往往又无法直接从原始数据中理解它们所包含的信息.怎么办？ 一副图胜过一千个字，看图、识图、用图是现代人必须具备的能力. 因此，必须对样本数据进行整理和分析，帮助我们找出数据中的规律，使数据所包含的信息转化成直观的、容易理解的形式，从而更好地对总体做出相应的估计.处理、分析数据常用方法，一种是用图形画出来，另一种是用紧凑的表格改变数据的排列方式. 如初中所学过的频数分布图、条形图、扇形图、折线图和频数分布表,就分别是这两种方法. 我们可以发现无论是表格还是图形都会，使数据所包含的信息更加的清晰、直观.这样更有利于从数据中提取信息、传递信息. 师：所以我们今天来学习频率分布表和频率分布直方图对样本数据进行整理. 如何画频率分布表和频率分布直方图？有没有以往的经验？ 学习的方法是类比.类比频数分布表来画频率分布表，类比频数分布图画频率分布直方图. 环节三:类比作图、感受方法 下面我们用类比的方法学习新知识： 下面将通过几个思考问题的探究呈现频率分布直方图的画法 ： 思考1：样本数据的变化范围是多少？ （一组数据中最大值和最小值的差称为极差. 28.0-1.3=26.7） 思考2：如果将上述100个数据共分多少组？组距为多少？ （28.0-1.3）÷3=8.9 说明：尝试以组距为2、3、4进行分组，组距3把上述100个数据共分为9组； 说明：组距可以等距,也可以不等距. 很多时候为了方便往往按等距分组，而且组距取整. 合适的组距和组数对发现数据分布规律有重要意义，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况.一般来说数据的个数越多,所分组数也越多.当样本容量不超过100时,常分成5—12组. 思考3：各组数据的取值范围可以如何设定？ 法一: [1.2，4.2），[4.2，7.2），[7.2，10.2），…，[25.2，28.2]. 法二：[1.1，4.1），[4.1，7.1），[7.1，10.1），…， [22.1，25.1），[25.1，28.1]. 说明:通常左闭右开.最后一组取闭区间.原则是使所有的数据都在这些小组范围之内. 思考4：如何统计上述100个数据在各组中的频数、频率？ 将这些数据用表格的形式体现出来： 分组频数频率[1.2，4.2）230.23[4.2，7.2）320.32[7.2，10.2）130.13[10.2，13.2）90.09[13.2，16.2）90.09[16.2，19.2）50.05[19.2，22.2）30.03[22.2，25.2）40.04[25.2，28.2]20.02合计1001
这个就是频率分布表. 我们还可以用更直观的方式体现出来. （5）画频率分布直方图 思考5：频率分布直方图的横轴、纵轴分布表示什么？ 就是横轴代表为月均用水量，纵轴是频率与组距的商. 小结：频率分布直方图的画法步骤。 环节四：合理发问、深化理解 探究1：频率分布直方图中各小长方形的面积表示什么？各小长方形的面积之和为多少？ 结论:每个小长方形的面积都代表该小组数据在样本数据中所频率.所有小长方形的面积和＝1 探究2：频率分布直方图和频数分布直方图有什么区别？ 结论：从纵轴上看，频率分布直方图和频数分布直方图的纵轴分别为和频数；从各个小长方形的面积和高的意义上，频率分布直方图各个小长方形的面积代表该小组数据在样本数据中的频率，频数分布直方图各个小长方形的高代表该小组数据的频数；比如在该问题中，组距是3，频数是9，样本容量为100，在频率直方图中小长方形的面积为0.09，高为0.03，在频数分布直方图中小长方形的高为9. 得出结论:有了样本观测数据的频率分布，我们可以用它估计总体的取值规律.推测全市居民的月均用水量也有类似的分布.即“大部分居民用户月均用水量集中在较低值区域”. 环节五：探究思考、理解建构 探究1：请同学们尝试分别以3和27为组数重新作图，你能发现不同组数对直方图呈现数据分布规律有什么影响 结论:（1）同样一组数据，如果组距不同，得到的图和形状也会不同. （2）组数少，组距大，容易看出数据的分布整体特点,但无法看到每组数据的分布，损失了很多原始数据. （3）组数多，组距小，保留较多原始信息，但由于小长方形较多，图形不规则，不容易看出总体的分布特点. 追问：这对我们画直方图时进行数据分组有什么启发？ 结论：对于同一组数据组数不同、组距不同得到的直方图也不同，会给人以不同的频率分布印象，这种印象会影响对总体的判断.因此我们要注意积累数据分组、合理使用图表的经验. 探究2：除了频率直方图分布图，我们之前还学习过哪些统计图？ 说明：引出频数分布直方图、条形图、扇形图、折线图 探究3：频率分布直方图、频数分布直方图、条形图、扇形图、折线图在表示数据上各有什么特点？分别适用在哪些方面 将前面某市的节约用数据进行不同的统计； 比较1：在同一组数的比较中再次认识频率分布直方图、频数分布直方图、频数分布折线图、扇形图。 比较2：在同一组数的比较中再次认识频率分布表、频数分布条形图、频率分布条形图和扇形图。 结论：扇形图：（1）特点：主要用于直观描述各类数据占总数的百分比. （2）优点：可以比较清楚地反映出部分与部分、部分与整体之间的数量关系. 直方图和条形图：（1）特点：直观描述不同类别或分组的频数或频率.（2）区别：条形图：描述离散型数据；直方图：描述连续性数据 折线图：（1）特点：主要用于描述数据的变化趋势和分布特点.（2）优点：不仅可以表示数量的多少，而且可以反应同一事物的变化情况. 即： 扇形图：比例； 直方图、条形图：不同类别或分组的频数或频率； 折线图：变化趋势 探究4：如何根据具体问题的需要画合适统计图 我们一起通过下面的例题感受一下方法。 例1:已知2015年全年的空气质量等级如表所示: 空气质量等级(空气质量指数(AQI))频数频率优(AQI≤50)8322.8%良(50300)143.8%合计365100%
2016年5月和6月的空气质量指数如下： 5月 240 80 56 53 92 126 45 87 56 60 191 62 55 58 56 53 89 90 125 124 103 81 89 44 34 53 79 81 62 116 88 6月 63 92 110 122 102 116 81 163 158 76 33 102 65 53 38 55 52 76 99 127 120 80 108 33 35 73 82 90 146 95 选择合适的统计图描述数据，回答下列问题： 思考1：分析该市2016年6月的空气质量情况. 说明:分别用频数和频率分布表、频数分布条形图、扇形图、折线图描述2016年6月的空气质量情况； 思考2：比较2016年5月和6月的空气质量,哪个月的空气质量好 说明：既然是比较,我们就选择利于比较的表格或图形方法. 法一：分别画2016年5月和6月的空气质量频数分布表和频率分布表； 法二：画2016年5月和6月空气质量频数、频率的复合条形图 思考3： 比较2016年6月和该市2015年全年的空气质量, 2016年6月空气质量是否好于去年？ 法一：分别画2016年6月和2015全年空气质量频率分布表； 说明：因为是2016年6月一个月的与2015年全年的比较,所以不能用频数分布表,只能是频率分布表的比较. 法二：画2016年6月和2015全年空气质量频率分布 复合条形图； 总结：因此解决问题的过程中,要根据实际问题的特点,选择恰当的统计图对数据进行可视化描述,以便能使我们通过图形直观地发现样本数据的分布情况,进而估计总体的分布规律.
例题 四 、例题训练、巩固新知 例1 一个容量为35的样本，分组后，组距与频数如下： [5，10) 5，[10，15) 12，[15，20) 7， [20，25) 5，[25，30) 4，[30，35) 2， 则样本在区间 [20，+∞)上的频率为( ) A.20% B.69% C.31% D.27% 例2 下图是容量为100的样本的频率分布直方图： （1）样本数据落在范围[6，10)内的频率为多少？ （2）样本数据落在范围[10，14)内的频数为多少？ （3）直方图中[2，6)小组对应频率为多少？ （4）直方图中[2，6)小组对应长方形高为a，则a对应的数值是多少？ 例3 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新 农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下扇形图： 则下面结论中不正确的是 （1）新农村建设后，种植收入减少 （2）新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 （3）新农村建设后，养殖收入增加了一倍 （4）新农村建设后，若其他收入为200万，则养殖收入为1200万. 例4下面的统计图反映了我国邮电业务(含邮政业务与电信业务)总量的情况。 (以上数据来源于国家统计局) 根据统计图提供的信息，下列有关我国邮电业务总量推断不合理的是(　　) A．2018年，电信业务总量比邮政业务总量的5倍还多 B．2011—2018年，邮政业务总量与电信业务总量都是逐年增长的 C．与2017年相比，2018年邮政业务总量的增长率超过20% D．2011—2018年，电信业务总量年平均值大于邮政业务总量年平均值
总结 五 、回顾收获、反思升华 知识内容: 1、画频率分布表和频率分布直方图的步骤和方法； 2、小组的频率=小长方形的面积，所有小长方形面积的和=1 3、不同统计图的特点和适用条件 思想方法：统计思想、类比的方法、数形结合