4.2.2指数函数的图象和性质 教学设计

§4.2.2指数函数的图象与性质
学情分析
学生已有一定的函数基本知识、可建立简单的函数关系，为以函数关系的建立作为本节知识的引入做了知识准备。此外，初中所学有理数范围内的指数相关知识，将已有知识推广至实数范围。在此基础上进入指数函数的学习，并将所学对函数的认识进一步推向系统化。
教材分析
本课时主要学习通过对指数函数图象的研究归纳其性质。“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数(指数函数的反函数)的准备知识。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数。
教学目标
知识维度：初中已经学习了正比例函数、反比例函数和一次函数，并对一次函数、二次函数作了更深入研究，学生已经初步掌握了研究函数的一般方法，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。
能力维度：学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握，能够为研究指数函数的性质做好准备。
素质维度：由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想。
知识与技能：
掌握指数函数的概念(能理解对a的限定以及自变量的取值可推广至实数范围)；会做指数函数的图象； 能归纳出指数函数的几个基本性质。
过程与方法：
通过由指数函数的图象归纳其性质的学习过程，培养学生探究，归纳分析问题的能力。
情感、态度、价值观：
在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题
通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力通过探究体会“数形结合”的思想：感受知识之间的关联性：体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程：体验研究函数的一般思维方法。
教学重点
指数函数的图象性质与底数的关系；利用指数函数的单调性解决一些简单的问题。
教学难点
数形结合具体到一般地探索、概括指数函数的性质。求指数函数的定义域和值域。
教学方法
讲授法、讨论法、启发探究法
教学手段
注重板书，用幻灯片放映讲述知识点，引导操作和实物展示来巩固知识。
教学过程
、复习引入
一般地，函数y=（a>0,且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R。
类比前面所学研究的幂函数性质的过程和方法，采用初中学过的五点法或者其他方法来绘制出图象，进而观察研究指数函数的性质。
师生活动：老师先带领同学们回顾一下上节课的知识点，同学们回答出指数函数的概念以及一般形式，老师在引导学生们回忆，研究幂函数性质时，是先作出具体函数的图象再推广到一般幂函数，类比研究幂函数性质的过程与方法进一步研究指数函数。
设计意图：巩固上节课所学内容，在此基础上，引导学生深入研究，并通过类比的方法加强学生逻辑思维能力，为指数函数的研究作铺垫，让研究更有方向和目标，体现了数学学习由易到难，由浅入深的特点。
、新知探究
问题1、试画出函数y=2x与y=，进行图象的比较，找一找之间有什么联系？
y=2x的x与y对应取值如下表：
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
y 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.41 2 2.83 4
y=的x与y对应取值如下表：
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
y 4 2.83 2 1.41 1 0.71 0.5 0.35 0.25
问题2、选取底数a（a>0,且a≠1）的若干个不同的值，在同一直角坐标内画出相应的指数函数的图象，从函数的位置、公共点和变化趋势等方面寻找有何共性，试着概括出指数函数y=ax（a>0,且a≠1）的值域和性质。这里取a=2，3，4，，，
设计意图：将多个具体的指数函数图象放在同一坐标系中，让学生自己探寻指数函数的变化规律，从而通过图象分析指数函数的性质。
师生活动：老师抛出问题并要求同学们用五点法或者其他方法动手画出和的图象，比较二者区别，再在同一坐标系上画出更多具体的指数函数的图象，学生绘图之后，以小组为单位进行讨论，得出一些简单特征，老师最后总结并且在课件上展示答案。
设计意图：鼓励学生动手画图，其复习了初中所学的五点法，又培养了学生的动手能力，增加数学的趣味性，让学生们通过观察，分析，讨论，探究等一系列活动，由几个具体特殊的例子，归纳推导出一般指数图象的特点。培养学生的观察能力，归纳总结能力，自然而然引发疑问，引起学生的学习兴趣，也将指数函数抽象化。
问题3、比较不同底数的指数函数图象的差别与联系。
（1）所有指数函数的图象都过点（0，1）。
（2）所有指数函数的定义域都是（-∞，+∞）。值域都是（0，+∞）。
（3）在图2中，当01时函数呈上升趋势，即函数为增函数。
一般地，指数函数的图象与性质如下表：
a的范围 01
函数图象
定义域 （-∞，+∞）
值域 （0，+∞）
过定点 （0，1）
各区间取值 x0时，0y<1 x<0时，y>1 x0时，y1 x<0时，0单调性 单调递减 单调递增
设计意图：运用表格把结论简洁明了的表示出来，达到很好的归纳作用，通过指数函数的“形”分析“数”（指数函数）的性质，再有性质帮助学生进一步理解指数函数的图象，真正做到数形结合。
、巩固练习
练习1：比较大小
（1） 1.72.5，1.73 （2） ,
（3）, （4），
【答案】（1）1.72.5＜1.73 （2） ＜
（3） , （4），
方法：①同底数 ②同指数 ③找中间值 ④数形结合
师生活动：老师请两个同学上台书写例题（1）（2）小题的解题过程，尽量详细，再请同学们以小组为单位短暂讨论两分钟，思考如何解（3）（4）小题，老师引出建立函数，并用函数的性质去解决问题。
设计意图：利用指数函数的单调性比较数的大小，进而让学生熟悉指数函数的性质，帮助他们形成用函数观点解决问题的意识。
练习2：已知实数a,b满足 ，则①0【答案】①②⑤
设计意图：考察指数函数的图象的运用，培养学生数形结合和分类讨论的能力，从题目中建立两个指数函数，并画出他们各自的图象，运用数形结合找到满足的三种情况，再分类讨论。
、课堂小结
师生活动：老师抛出三个问题，给学生少许思考时间，请几位同学回答问题
本节课学习了哪些知识？
本节课通过大量具体指数函数图象来研究一般的图象性质以及应用性质解决简单实际问题，了解了一个研究一个函数的思路与方法。
（2）通过本节课的学习，你认为该怎样去讨论一个函数？
从大量具体函数图象来发现一般规律，从而数形结合地去概括函数性质，找到变化规律的本质，再根据所得性质进一步分析函数图象，从“以形助教”两个方面体会数形结合。
（3）从本节课你体会到了哪些数学思想，培养了什么能力？
体会到了由特殊到一般、由易到难、由浅入深、数形结合、分类讨论、具体到抽象等数学思想，培养了学生逻辑推理和归纳概括的能力。
设计意图：由3个问题带领学生快速回顾本节内容。从数学知识、函数研究方法、数学思维核心素养三方面让学生自我思考，提炼，让学生领悟函数研究的本质。
、课后作业
练习1：求以下函数的定义域与值域。
、y= （2）、y= （3）、y= （4）y=
设计意图：巩固学生对于指数函数定义域与值域的概念，运用指数函数的性质去解决问题
练习2：一种产品原来的年产量是a件，今后m年内，计划使产量平均每年比上一年增加p％，写出年产量y（单位：件）关于经过的年数x的函数解析式。
设计意图：根据实际问题建立指数函数，利用指数函数的图象体现实际问题的变化规律，建立与指数函数概念、性质的联系。
板书设计
教学反思
1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。
2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生直观观察底数对指数函数单调性的影响。
3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题。