绝密★启用前
龙港二高 2023届高考考前热身押题卷
数学参考答案及评分标准
命题：龙港二高高三数学备课组 审题：龙港二高高三数学备课组
一、选择题 ：本题共 8小题，每小题 5分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D C D B A A
二、多项选择题 ：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
题号 9 10 11 12
答案 AC BC BCD ABC
三、填空题 ：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
32 3π
13．60 14．2025 15． 3, 2 16．
27
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。
（1）解：由数列 a 满足 a a 4n 3，当 n 2时， a a 4n 1n n 1 n n n 1 ，
所以 a a an n n a a 1 n 1 n 2 a a a2 1 1
4n 1 4n 5 27 3 2n n，
当 n 1时， a 3满足上式，所以数列 a 的通项公式为 a 22n n1 n n ，
n 1
3
n
3
又由 S c 3 ，可得 S c 3 , n 2n n 1 ，
2 2
可得 b n 1c 3 c n3 2c n3n ，
3 3 3 1
当 n 21时， b S c 3 9c ，所以 9c 2c 3，解得 c 1 1 ，
2 2 2 2
n
此时 b 31 适合 b 3n ，所以数列
n
b
n 的通项公式为 b 3n .
2
a 2n n 2n 1
2 n
（2） n解：由 a 2n n， b 3 n n ，可得 ，n n
nb n 3 3
n
3 5 7 2n 1 2n 1
则T n 2 3 n ，1 n
3 3 3 3 3
1 3 5 7 2n 1 2n 1
可得 T n 2 3 4 n n ，1
3 3 3 3 3 3
1 1 n 1
[1 ( ) ]
2 2 2 2 2n 1 4 2n 4
两式相减，可得 T 1 3 31 2 n 2 3 n n 1 n 1
3 3 3 3 3 1 3 31
3
n 2
所以T 2 n ，n
3
n 2 n 2
因为 0，所以T 2 2
n n
.
n
3 3
1
18.（1）作 AN BC ，垂足为 N ，则 BN , AB 1,
2
由余弦定理， 2 2AC 1 2 2 1 2 cos 60 3 ,
2AC 2 2AB BC AB AC .
又 P A 底面 ABC D ， AB 面 ABC D
AB P A ,
因为 P A AC A， P A , AC 平面 PAC，
所以 AB 平面 PAC，
又 AB 平面 PAB，
所以平面 P AB 平面 P AC .
（2）由（1），可以点 A为坐标原点建系如图.
1 3
易知 BAD 120 , C AD 30 ，又 AD 1，所以 D , , 0 ,
2 2
P BA 60 , P A 3 P 0, 0, 3 , B 1, 0, 0 ， C 0, 3 , 0 ，
BP ( 1, 0, 3 ), C P (0, 3 , 3 ), AC (0, 3 , 0),
设 BM BP , 0, 3 , (0 1)，
AM 1 , 0, 3
设平面 M AC 的法向量m x , y , z1 1 1 .
m AM (1 ) x 3 z 01 1
则
m AC 3 y 01
可取m 3 , 0, 1 ,
3
则 3 2 1 是 BP 中点，cos m , AD , , M
4 2 23 ( 1) 2
3 1
m , 0,
2 2
设平面 P BC 的法向量为 n x , y , z2 2 2 ，即平面 M BC 的法向量，
n BP x 3 z 0
2 2则 ，取 x 3 得 n 2 3 ,1,1
n C P 3 y 3 z 02 2
m n 5
则 cos m , n ，即为所求平面夹角的余弦值.
m n 5
1
19.（1）若选① b ccosA a ，由正弦定理边化角，
2
1
得 sinB sin A C sinAcosC sinC cosA sinC cosA sinA，
2
1 π
锐角 ABC 中 sinA 0，则 cosC ，所以 C .
2 3
若选② 2 2 2 sin C sin 40 sin40 sin80 sin 80
余弦定理有 2c 2 2a b 2abcosC ，由正弦定理边化角，
得 2 2 2sin C sin A sin B 2sinA sinBcosC ，
可取 A 40 , B 80 , C 60 ，
则 2 2 2 2 2 sin 60 sin 40 2sin40 sin80 cos60 sin 80 sin 40 sin40 sin80 sin 80 ，
又 2 2 2 2 2 sin C sin 40 sin40 sin80 sin 80 ，则 sin C sin 60 ，
π故锐角 ABC 中 C 60 ，即 C .
3
π 1 π 1 π 1 π 3ab
（2）由 C ，令 C D m，则 S absin amsin bmsin ，得m ，
3 2 3 2 6 2 6 a b
2
由余弦定理 c 2 24 a b ab 2 ， 2(a b) 3ab 得 3ab (a b) 4，
1 4
所以m a
b ，
3 a b
c 4 2π
t a b sinA
sinB sinA sin A
sinC 3 3
3 1 π
4 sin A cos A 4sin A ，
2 2 6
π π π 3
锐角 ABC 中 A , ，则 sin A ,1 ， t 2 3 , 4
，
6 2 6 2
4 4
4 3
函数 y t 在 2 3 , 4 上单调递增，则 t , 3 ，t t 3
4
C D , 3
3
20.（1）不低于 70 分的学生人数为 0.35 0.1 0.05 100 50 .
设从中选出 1人是男生为事件 A ，成绩在 80分以上为事件 B ，
n AB 0.09 0.03 100 3
则 P B | A .
n A 0.28 0.09 0.03 100 10
（2）依题意 X 的可能取值为 45， 55， 65，
0.007 0.003
则 P X 45 0.2，
0.007 0.003 0.009 0.006 0.018 0.007
0.009 0.006
P X 55 0.3，
0.007 0.003 0.009 0.006 0.018 0.007
0.018 0.007
P X 65 0.5
0.007 0.003 0.009 0.006 0.018 0.007
所以 X 的分布列为：
X 45 55 65
P 0.2 0.3 0.5
期望 E X 45 0.2 55 0.3 65 0.5 58 .
（3）由题意知 P N | M P N | M ，
P NM P N M P N P NM
即 ，
P M P M 1 P M
即 P MN P M P N ，
即 P MN P N P MN P M P N P N P MN ，
P MN P NM
即 P MN P N P N P NM ，即 ，
P N P N
即 P M | N P M | N .
21.（1）由题知，在双曲线 C 中， a 2， b ， 22 3 c 4 12 16，
所以 c 4，因此 F 4, 0 .因为过 F的直线 l交双曲线右支于 P，Q两点，
故可设 PQ的方程为 x ty 4，设 P x , y ，Q x , y M1 1 2 2 ， x , y0 0
x ty 4
2 2
由 得 3t 1 y 24ty 36 02 2 3x y 12
24t 36
y y 2 2， y y ， 24t 144 3t 11 2 2 1 2 2 0
3t 1 3t 1
1 12t 4 4 12t
y y
y x
0 1 2 ， 0 ，得 M2 2
,
2 3t 1 3t 1 23t 21 3t 1
∴ k 3t，得直线 OM的方程为 y 3t x ，从而得 N 1, 3tOM
4 12t
由 M , ， N 1, 3t ， F 4, 0 得
2 23t 1 3t 1
4 12t
F M 4, , F N 3, 3t ，
2 23t 1 3t 1
24 12t 12 36t
所以 F M F N 4, 3, 3t 12 0
2 2 2 23t 1 3t 1 3t 1 3t 1
即 F M F N 0，故 P Q NF
PQ 2
1
（2）因直线 与双曲线右支交于两点，得 t
3
2
12 t t 1
由 M F ， NF
2
3 t 1，得
1 23t
2
1 18 t t 1
S MN F M
♀ F M N
2 1 23t
又因 P F F Q ，得 4 x , y x 4, y1 1 2 2 ， y y1 2
24t 36
y y 21 y y y y
1 2 2 2， 1 2 2 2
3t 1 3t 1
1 216t
得 2 ，又因 2 4，
23t 1
9 1 1 2
得
9 16t 1 1 2
9
2 ， ， t ，
4 2 24 3t 1 2 35 91
2
1 18 t t 1 1 2 9由 S MN F M ， t ，F M N 22 1 3t 35 91
1 3
不妨设 t ，
35 91
2
9
218t t 1 1 34 2
令 g t ， 1 3t 6t
2 g
t 18
91 ，
18 0
1 3t 2 22
1 3t 1 23t
g t 在该区间内单调递增，
1 81 81 35
故 S g t g min m in .
35 4 35 140
22.（1）由题意得 f x 的定义域为 0,
2
1 k ( x 1) kxf x .
2 2
x ( x 1) x ( x 1)
若 f x 在定义域上单调递增，则 f x
1
2
0恒成立，得 ( x 1) kx 0，即 k x 2在
x
1 1
0, 上恒成立，又 x 2 2 x 2 4，当且仅当 x 1时等号成立， k 4；
x x
1
若 f x 在定义域上单调递减，则 f x 0恒成立，即 k x 2在 0, 上恒成立，而
x
这样的 k 不存在.
综上所述： f x 在定义域上单调递增，且 k 4 .
1
2 x
（2）方法一：要证 2 x 2x e 2 x x 0成立，
1
2
2 x
2
x 2 x x 1 2 x x只需证 e ，只需证 2 x ln ，
2 x x 2 x
1 2 x 1
2 x ln 2 2只需证 x 2 ，只需证 ln 1 2 x ln 2 x 1 ，1 x x
x
4 2
当 k 4时， f x lnx , 原不等式即证 f 2 x 1 f 1 ，
x 1 x
由（1）知 f x 在 0, 上单调递增，
2
x 1, 2 , 2 x 1 0, 1 0，
x
2 2
又 2 x 1
1，则 f 2 x 1 f 1 ，
x x
原不等式成立.
1
2 x
方法二：要证 x 2 2 x e 2 x x 0成立，
1
2
2 2 x 1 2 x x
只需证 e x
2 x x
，只需证 2 x ln ，
2 x x 2 x
2 2
只需证 ln 2 x x ln 2 x 2 x ，
x
2 2
令 g x ln 2 x x ln 2 x 2 x ，
x
4 x 1 1 2则 g x 2
2 2
2 x x 2 x x
4 3 2 4 3 2 3 2
4 x 12 x 16 x 12 x 4 4[( x 2 x x ) ( x 3x 3x 1)]
2 2
x 2 x 1 2 x x 2 x 1 2 x
2 22 2 34[ x ( x 1) ( x 1) ] 4( x 1) x x 1
0 .
2
x 2 x 1 2 2x x 2 x 1 2 x
g x 在 x 1, 2 上单调递增， g x g 1 0，
2 2
ln 2 x x ln 2 x 2 x 0, 原不等式成立.
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龙港二高2023年高考考前热身押题卷
数学
第I卷（选择题）
一、单选题：
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知空间的三个不共面的单位向量，，，对于空间的任意一个向量，（ ）
A．将向量，，平移到同一起点，则它们的终点在同一个单位圆上
B．总存在实数x，y，使得
C．总存在实数x，y，z，使得
D．总存在实数x，y，z，使得
4．已知椭圆的焦点为，，且c是a，b的等比中项，则在椭圆上使的点P共有（ ）
A．0个 B．2个 C．4个 D．8个
5．设圆柱的体积为，当其表面积最小时，圆柱的母线长为（ ）
A． B． C． D．
6．为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲 乙 丙 丁 戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（ ）种．
A．40 B．24 C．20 D．12
7．已知函数的最小正周期为T，且，若的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数，，，且，则必有（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在平行六面体中，已知，，则（ ）
A．直线与所成的角为
B．线段的长度为
C．直线与所成的角为
D．直线与平面所成角的正弦值为
10．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．导函数的单调递减区间为
B．的图象关于点中心对称
C．过原点只能作一条直线与的图象相切
D．恰有两个零点
11．已知椭圆的左右焦点分别为，圆内切于椭圆.过椭圆上不与顶点重合的点引圆的两条切线，切点分别为，点关于原点对称，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．存在点，使得
C．若直线交椭圆于两点，线段的中点为，则的值为常数
D．若在轴上的射影是，直线交椭圆于另一点，则直线与不垂直
12．已知函数和及其导函数和的定义域均为，若，，且为偶函数，则（ ）
A． B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于直线对称 D．
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．的展开式中，常数项为__________（用数字作答）.
14．11世纪，阿拉伯数学家阿尔 卡克希利用几何方法推出了自然数的三次方的求和公式（如图所示），据此可知：______．
15．已知点在抛物线上，B，C是抛物线上的动点且，若直线AC的斜率，则点B纵坐标的取值范围是______．
16．四面体ABCD中，，二面角的大小为，则四面体ABCD外接球体积的最小值为______．
四、解答题
17．数列满足：，等比数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，试证明.
18．如图，四棱锥中，底面.底面为等腰梯形，.
(1)求证：平面平面；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
19．在锐角中，角的对边分别是，且__________.在下列两个条件中选择一个补充在横线上：①；②
(1)求出角的大小；
(2)若角的平分线交边于点，且，求的取值范围.
20．杭州亚运会最终确定延期至2023年9月23日至10月8日举行，某校就此热点举办了一场迎亚运知识竞赛，将100人的成绩整理成下表：
分数
男 女 男 女 男 女 男 女 男 女 男 女
频率/组距 0.007 0.003 0.009 0.006 0.018 0.007 0.028 0.007 0.009 0.001 0.003 0.002
(1)从不低于70分的学生中选出1人，如果他是男生，求该学生成绩在80分以上（含80分）的概率；
(2)已知某生成绩低于70分，设该生成绩为，求他的成绩的分布列与期望；
(3)假设表示事件“学校举办亚运知识培训”，表示事件“某学生对亚运知识产生兴趣”，，一般来说在学校举办亚运知识培训的情况下学生对亚运知识产生兴趣的概率会超过不举办培训的概率.证明：.
21．已知F是双曲线C：的右焦点，过F的直线l交双曲线右支于P，Q两点，PQ中点为M，O为坐标原点，连接OM交直线于点N．
(1)求证：；
(2)设，当时，求三角形面积S的最小值．
22．已知函数.
(1)若在定义域上具有唯一单调性，求的取值范围；
(2)当时，证明：.
