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专题8 利用二元一次方程组解决实际问题 教学设计
教学目标及重难点：
1.掌握列二元一次方程组解决实际问题的步骤.（重点）
2.利用二元一次方程组解决和差倍分问题、配套和分配问题、几何问题、工程和行程问题、数字和年龄问题、销售中的方案等问题（难点）
教学过程
一、温故知新
1.列二元一次方程组解决实际问题的基本思路:
2.列方程组解应用题的步骤:
审:审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系;
设:设未知数(一般求什么,就设什么为x、y,注意单位)
找:找出能够表示应用题全部意义的两个相等关系;
列:根据这两个相等关系列出方程组;
解:解所列方程组,得未知数的值;
验:检验求得的值是否正确和符合实际情形;
答:写出答案(包括单位名称).
注意:列二元一次方程组解决实际问题的关键是找等量关系.
二、新知讲解
题型一：和差倍分问题
例1 甲、乙两人各有书若干本，如果甲送乙10本，那么两人所有的书相等；如果乙送给甲10本，那么甲所有的书就是乙剩的书的两倍．问原来甲、乙各有书多少本？
解：设甲有书x本，乙有书y本，根据题意得：
答：原来甲有书70本，乙有书50本．
题型二：配套及分配问题
例2(配套问题).（1）某厂共有120名生产工人,每个工人每天可生产螺栓30个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套,那么每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母,才能使每天生产出来的产品配成最多套？
解:设安排x人生产螺栓,y人生产螺母,依题意得：
解得：
答:安排30人生产螺栓,90人生产螺母．
（分配问题）（2）某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车．则装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？
解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，根据题意，得：
解得：
∴2x+3y=40+36=76
答：装满2辆大货车和3辆小货车能运输76吨蔬菜．
题型三：工程、行程问题
（工程问题）（1）某建筑公司有A、B两个工程队，先后接力完成河边道路300米的整治任务，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时25天．求A、B两工程队分别整治河道多少米？
解：设A工程队工作的天数为x天，B工程队工作的天数为y天，由题得：
解得：
∴15x=150,10y=150
答：A、B两工程队分别整治河道150米和150米．
（行程问题）（2）从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3千米,平路每小时走4千米,下坡每小时走5千米,那么从甲地到乙地需54分,从乙地到甲地需42分.甲地到乙地全程是多少？
解:设从甲地到乙地的上坡路为x千米,平路为y千米,依题意得
解得：
∴x+y=3.1(千米) 答:甲地到乙地全程是3.1千米.
题型四：年龄及数字问题
例4.（年龄问题）（1）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁
解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，由题意得：
解得：
答：大头儿子现在的年龄为10岁．
（数字问题）（2）有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数．
解：设百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y，由题意得：
解得：
答：这个三位数为439．
题型五：几何问题
例5.如图，用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的面积是多少平方厘米？
解：设小长方形的长为xcm,宽为ycm，由题意得：
解得：
答：小长方形的面积为:36×12=432cm2
题型六：销售及方案问题
例6.五一节前，某商店拟用1000元的总价购进两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用400元．
(1)求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
(2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，
由题意得：，
解得：， 答：A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元；
（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，
由题意得：，
其正整数解为：
或或
当时，利润（元），
当时，利润（元），
当时，利润（元），
∵，
∴当时，利润最大，
答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．
三、课堂总结
1、本节课你学到什么？ 2、你还有哪些疑惑呢？
四、板书设计
五、作业布置
《见精准作业单》
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共17张PPT)
专题8 利用二元一次方程组
解决实际问题
学习目标
2.利用二元一次方程组解决和差倍分问题、配套和分配问题、几何问题、工程和行程问题、数字和年龄问题、销售中的方案等问题
1.掌握列二元一次方程组解决实际问题的步骤.
问题答案
实际问题
检验
设未知数、列方程组
数学问题
(二元一次方程组)
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
解方
程组
加减法
代入法
(消元)
转化
1.列二元一次方程组解决实际问题的基本思路:
温故知新
2.列方程组解应用题的步骤:
温故知新
审:审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系;
设:设未知数(一般求什么,就设什么为x、y,注意单位)
找:找出能够表示应用题全部意义的两个相等关系;
列:根据这两个相等关系列出方程组;
解:解所列方程组,得未知数的值;
验:检验求得的值是否正确和符合实际情形;
答:写出答案(包括单位名称).
注意:列二元一次方程组解决实际问题的关键是找等量关系.
例1.甲、乙两人各有书若干本，如果甲送乙10本，那么两人所有的书相等；如果乙送给甲10本，那么甲所有的书就是乙剩的书的两倍．问原来甲、乙各有书多少本？
题型一：和差倍分问题
知识应用
解：设甲有书x本，乙有书y本，根据题意得：
解得
答：原来甲有书70本，乙有书50本．
例2(配套问题).某厂共有120名生产工人,每个工人每天可生产螺栓30个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套,那么每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母,才能使每天生产出来的产品配成最多套？
题型二：配套及分配问题
知识应用
解:设安排x人生产螺栓,y人生产螺母,依题意得
答:安排30人生产螺栓,90人生产螺母．
例2（分配问题）.某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车．则装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？
题型二：配套及分配问题
知识应用
解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，
根据题意，得：
解得：
∴2x+3y=40+36=76
答：装满2辆大货车和3辆小货车能运输76吨蔬菜．
例3（工程问题）某建筑公司有A、B两个工程队，先后接力完成河边道路300米的整治任务，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时25天．求A、B两工程队分别整治河道多少米？
知识应用
题型三：工程、行程问题
解：设A工程队工作的天数为x天，B工程队工作的天数为y天，由题得：
答：A、B两工程队分别整治河道150米和150米．
解得：
例3.（行程问题）从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3千米,平路每小时走4千米,下坡每小时走5千米,那么从甲地到乙地需54分,从乙地到甲地需42分.甲地到乙地全程是多少？
知识应用
题型三：工程、行程问题
解:设从甲地到乙地的上坡路为x千米,平路为y千米,依题意得
解之,得
∴x+y=3.1(千米)
答:甲地到乙地全程是3.1千米.
例4.（年龄问题）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
知识应用
题型四：年龄及数字问题
解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，
由题意得：
解得：
答：大头儿子现在的年龄为10岁．
例4.（数字问题）有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数．
知识应用
题型四：年龄及数字问题
解：设百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y，
由题意得：
解得：
答：这个三位数为439．
例5.如图，用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的面积是多少平方厘米？
知识应用
题型五：几何问题
解：设小长方形的长为xcm,宽为ycm
根据题意得
答：小长方形的面积为:36×12=432cm2
解得
例6.五一节前，某商店拟用1000元的总价购进两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用400元．
(1)求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
(2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
知识应用
题型六：销售及方案问题
知识应用
（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，
由题意得：
解得：
答：A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元；
知识应用
（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，由题得：
100a+150b=1000
其正整数解为：
或
或
当a=1,b=6时，利润=（180-100）×1+（250-150）×6=680（元）
当a=4,b=4时，利润=（180-100）×4+（250-150）×4=720（元）
当a=7,b=2时，利润=（180-100）×7+（250-150）×2=760（元）
∵680<720<760
∴当a=7,b-2时，利润最大
答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．
1、本节课你学到什么？
课堂总结
2、你还有哪些疑惑呢？
见精准作业单.
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专题8 利用二元一次方程组解决实际问题 学案设计
一、温故知新
1.列二元一次方程组解决实际问题的基本思路:
2.列方程组解应用题的步骤:
二、新知讲解
题型一：和差倍分问题
例1 甲、乙两人各有书若干本，如果甲送乙10本，那么两人所有的书相等；如果乙送给甲10本，那么甲所有的书就是乙剩的书的两倍．问原来甲、乙各有书多少本？
题型二：配套及分配问题
例2(配套问题).（1）某厂共有120名生产工人,每个工人每天可生产螺栓30个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套,那么每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母,才能使每天生产出来的产品配成最多套？
（分配问题）（2）某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车．则装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？
题型三：工程、行程问题
（工程问题）（1）某建筑公司有A、B两个工程队，先后接力完成河边道路300米的整治任务，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时25天．求A、B两工程队分别整治河道多少米？
（行程问题）（2）从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3千米,平路每小时走4千米,下坡每小时走5千米,那么从甲地到乙地需54分,从乙地到甲地需42
题型四：年龄及数字问题
例4.（年龄问题）（1）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁
（数字问题）（2）有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数．
题型五：几何问题
例5.如图，用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的面积是多少平方厘米？
题型六：销售及方案问题
例6.五一节前，某商店拟用1000元的总价购进两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用400元．
(1)求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
(2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
三、课堂总结
1、本节课你学到什么？ 2、你还有哪些疑惑呢？
四、作业布置
《见精准作业单》
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题8 利用二元一次方程组解决实际问题 精准作业设计
一、温故知新
1.列二元一次方程组解决实际问题的基本思路:
2.列方程组解应用题的步骤:
二、新知讲解
题型一：和差倍分问题
1、 若甲、乙两库共存粮95吨，现从甲库运出存粮的，从乙库运出存粮的，那么乙库所余粮食是甲库的2倍，问甲、乙两库原来各有多少吨粮食？
题型二：配套及分配问题
2、(配套问题).（1）某工厂车间采用智能数字机床生产纸杯和杯盖，已知一台机床每小时平均可以生产纸杯600个或者生产杯盖800个，车间共有14台机床，应怎样分配机床，才能使每小时生产的杯身和杯盖正好配套？
（分配问题）（2）学校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．求大、小两种垃圾桶的单价．
题型三：工程、行程问题
（工程问题）（1）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定从节约时间的角度考虑从甲、乙中选一个公司装修，请问他们最后选择得那哪家装修公司？
（行程问题）（2）．A、B两地相距4千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发骑自行车到A地，两人同时出发，30分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲剩余路程为乙剩余路程的3倍．
(1)求甲、乙每小时各行多少千米？
(2)在他们出发后多长时间两人相距1千米？
题型四：年龄及数字问题
4.（年龄问题）（1）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？
（数字问题）（2）有一个两位数，个位上的数比十位上的数的3倍多2，若把个位数与十位数对调，所得新的两位数比原来的两位数的3倍少2，求原来的两位数．
题型五：几何问题
5.在长为10m，宽为8m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其示意图如图所示．则小长方形花圃的长和宽分别是多少？
题型六：销售及方案问题
6.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元
（1）求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
答案解析部分
题型一：和差倍分问题
1、解：设甲、乙两库原来各有吨粮食，
由题意得，，
解得，，
∴甲、乙两库原来各有45，50吨粮食．
题型二：配套及分配问题
2、(配套问题).（1）解：设车间有x台机床生产杯身，y台机床生产杯盖，
根据题意，得，
解得，
答：分配8台机床生产杯身，6台机床生产杯盖．
（分配问题）(2)解：设大、小两种垃圾桶的单价分别为元，元，由题意，得：
，解得：；
答：大、小两种垃圾桶的单价分别为元和元．
题型三：工程、行程问题
3、（工程问题）（1）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为x，乙公司每周的工作效率为y，根据题意得，
解得：
∵
答：甲公司的效率高，所以从时间上考虑选择甲公司．
（行程问题）（2）．①解：设甲每小时行千米，乙每小时行千米．
依题意：
解方程组得
答：甲每小时行3千米，乙每小时行5千米．
②相遇前：（小时），
相遇后：（小时）．
故在他们出发后小时或小时两人相距1千米．
题型四：年龄及数字问题
4.（年龄问题）（1）设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意，
得
解得
答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁．
（数字问题）（2）解：设原来的两位数中，个位上的数为x，十位上的数为y．
依题意有，
解得．
答：原来的两位数是28．
题型五：几何问题
5. 解：设小长方形花圃的长为，宽为，
由题意得，
解得．
答：小长方形花圃的长为，宽为.
题型六：销售及方案问题
6.（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：
解得：
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意，得：25m+10n=200
解得：n
∵m,n均为正整数，
∴ 或或
∴共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；
方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；
方案三：购进A型车2辆，B型车15辆．
（3）方案一获得利润：8000×6+5000×5=73000(元)．
方案二获得利润：8000×4+5000×10=82000(元)．
方案三获得利润：8000×2+5000×15=91000(元)．
∵73000<82000<91000
∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
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