课件17张PPT。第一章解三角形1．1
1．1.1 正弦定理正弦定理和余弦定理
zxx k【学习目标】1．掌握正弦定理的内容．2．掌握正弦定理的证明方法．3．会运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题． zxx k1．正弦定理正弦在一个三角形中，各边和它所对角的________的比相等，即________＝________＝________.练习 1：(1)在△ABC中，A＝30°，B＝45°，b＝2，则a＝________.＝()B zxx k 2．解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，
c 叫做三角形的________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做__________．元素解三角形a＝______，c＝______.90°21 zxx k【问题探究】1．正弦定理对任意三角形都适用吗？
答案：都适用.2．由方程的思想，用正弦定理解三角形需要多少个已知条件？哪几个？答案：三个，任意两角及其一边或任意两边与其中一边的对角． zxx k3．在△ABC 中，为什么说 A>B 等价于 sinA>sinB?
zxx k题型 1已知两角及一边解三角形 【例 1】 在△ABC 中，已知 a＝10，B＝60°，C＝45°，
求 A，b，c.
思维突破：已知两角及一边，可直接使用正弦定理及三角
形内角和定理进行求解． zxx k解：A＝180°－(60°＋45°)＝75°， zxx k【变式与拓展】
B zxx k题型 2已知两边及一边的对角解三角形
C 和 c.
思维突破：已知两边及一边的对角，可运用正弦定理求解，
但要注意解的个数的判定． zxx k zxx k 已知三角形的两边及其中一边的对角，此类
问题可能出现一解、两解或无解的情况，具体判断方法是：可
用三角形中大边对大角定理，也可利用几何图形加以理解. zxx k 【变式与拓展】
2．已知 b＝6，c＝9，B＝45°，求 C，a，A. zxx k题型 3正弦定理的简单应用的值． 因所求的是角的关系式，题目给出的是边的
关系式，所以应利用正弦定理，将边的关系转化为角的关系． zxx k【变式与拓展】
A．直角三角形
C．等边三角形B．等腰直角三角形
D．等腰三角形4． △ABC 的三个内角 A，B，C 的对边边长分别是 a，b，BA3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为( ) zxx k 【例 4】 在△ABC 中，已知 acosA＝bcos ，试判断BABC
的形状．
易错分析：在解三角形时，要注意分类讨论，否则会漏解．ksinAcosA＝ksinBcosB，∴sin2A＝sin2B.
∴2A＝2B 或 2A＋2B＝180°，即 A＝B 或 A＋B＝90°.
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． zxx k [方法·规律·小结]
1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦越大所对的边就越
长．
2．应用正弦定理得出角的大小时特别要注意是一个解还是
两个解．在利用正弦定理解三角形时，要注意灵活选用． zxx k课件16张PPT。1．1.2余弦定理 zxx k【学习目标】1．掌握余弦定理的两种表示形式．
2．初步掌握余弦定理的应用．3．培养推理探索数学规律和归纳总结的思维能力． zxx k1．余弦定理平方夹角两倍b2＋c2－2bccosA 三角形中任何一边的______等于其他两边的______的和减
去这两边与它们的 _________的余弦的积的 ________． 即 a2 ＝
________________ ， b2 ＝ __________________ ， c2 ＝__________________.练习1 ：在△ABC 中，已知C＝60°，a＝3，b＝4，则边长c＝________.平方a2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC zxx k2．余弦定理的推论 cosA＝______________；cosB＝______________；cosC＝
______________.
练习 2 ： 在△ABC 中，已知a＝3，b＝4，c＝6，则 cosC＝_______. zxx k【问题探究】1．余弦定理对任意三角形都适用吗？
答案：都适用． 2．余弦定理的式子中有几个量？从方程的角度看已知其中
三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？答案：四个，能． zxx k定是最大边． 3．在△ABC中，若a2＝b2＋c2，a2>b2＋c2，a2
若a2>b2＋c2，则△ABC是钝角三角形；
若a2 思维突破：已知两边及其夹角，可直接使用余弦定理求解．
解题时应注意确定 A 的取值范围． zxx k zxx k【变式与拓展】
D zxx k题型 2已知三边解三角形
三角形的最大内角．
思维突破：已知三边，可直接使用余弦定理求解．
解：显然，角 C 最大．∴C＝120°. zxx k【变式与拓展】
2．在△ABC 中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则△ABC是( )
A．锐角三角形
C．直角三角形
B．钝角三角形
D．不能判断3．已知三角形三边之比为 5∶7∶8，则最大角与最小角的和为_______.120°B zxx k题型 3余弦定理的简单应用 a2＋c2－b2 与 ac 之间的关系式在解与三角形有
关的问题中经常遇到，应养成自觉使用余弦定理的习惯． zxx k【变式与拓展】
4．在△ABC 中，若 a＝9，b＝10，c＝12，则△ABC 的形状是_____________．锐角三角形5．(2013 年上海)已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 a2＋ab＋b2－c2＝0，则角 C 的大小是____. zxx k【例 4】 在不等边三角形 ABC 中，a为最大边，如果a2大边，而同学们很可能只把 a 看作是三角形的普通的一条边，
从而造成解题错误． zxx k解：∵a20.由于 cosA 在(0°，180°)上为减函数，
且 cos90°＝0，∴A<90°.
又∵A 为△ABC 的内角，∴0°又∵a 是最大边，且△ABC 为不等边三角形，∴A>60°.
因此得 A 的取值范围是(60°，90°)． zxx k[方法·规律·小结]1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例． 2．已知两边及一角解三角形的方法：①当已知两边及它们
的夹角时，用余弦定理求解出第三边，再用正弦定理和三角形
内角和定理求解另外两角； ②当已知两边及其一边的对角时，可用正弦定理求解，也
可用余弦定理求解，但都要注意对解的情况进行讨论．利用余
弦定理求解相对简捷． zxx k课件20张PPT。1．1.3 正弦、余弦定理的综合应用 zxx k【学习目标】1．熟练掌握正弦定理、余弦定理及其公式的变形公式，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够利用已知的数量关系判定三角形的形状． zxx k1．三角形中边与角之间的关系
(1)在△ABC 中，若最大角 C 为锐角，则 cosC____0，△ABC为________三角形．>锐角(2)若最大角 C 为直角，则 cosC______0，△ABC 为________三角形．＝直角(3)若最大角 C 为钝角，则 cosC______0，△ABC 为________三角形．<钝角练习 1 ：在△ABC 中，a2＋b2＜c2，则△ABC 为______三角形．钝角 zxx k 2．三角形中有______条边相等或______个角相等的三角形
为等腰三角形，有______条边相等或______个角相等的三角形为等边三角形．两两三三练习 2 ：在△ABC 中，已知cosA＝cosB，则△ABC为______三角形．等腰 zxx k【问题探究】1．在三角形 ABC 中，三个角 A，B，C 之间的关系是什么？
答案：A＋B＋C＝π.2．在三角形 ABC 中，任意一个角的正弦值都是正值吗？那余弦值呢？答案：在三角形 ABC 中，任意一个角的正弦值都是正值，余弦值可以为正，可以为负，可以为零． zxx k3．在三角形 ABC 中，已知三边 a，b，c，如何解这个三角形呢？有几组解呢？ 答案：已知三边 a，b，c，应用余弦定理求其中一角(如 A)，
再由余弦定理或正弦定理求另一角(如 B)，再由 A＋B＋C＝π，
求角 C，在有解时只有一解． zxx k题型 1正弦、余弦定理的综合应用 【例 1】 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
c，且 b2＋c2＝a2＋bc.
(1)求角 A 的大小；
zxx k zxx k【变式与拓展】
1．(2012 年重庆)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 zxx k题型 2三角函数公式的综合应用【例 2】 (2013 年辽宁)在△ABC，内角 A，B，C 所对的边
＝() zxx k
答案：A zxx k【变式与拓展】2．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知(1)A 的大小；(2)2sinBcosC－sin(B－C)的值． zxx k
(2)2sinBcosC－sin(B－C)
＝2sinBcosC－(sinBcosC－cosBsinC)
＝sinBcosC＋cosBsinC
zxx k题型 3判断三角形的形状 【例 3】 (2013 年陕西)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的
边分别为 a，b，c.若 bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC 的形状为( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不确定 zxx k
答案：A zxx k 已知条件中既有边，又有角，解决问题的一般
思路是两种：①利用余弦定理将所有的角转换成边后求解(如方
法一)；②利用正弦定理将所有的边转换成角后求解(如方法二)． zxx k【变式与拓展】CA．直角三角形
C．等腰三角形B．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形 zxx k zxx k zxx k[方法·规律·小结] 1．正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正
确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解
决问题时要及时考虑另外一个定理．2．三角函数中的公式在解三角形时是不可或缺的，应该养成应用三角公式列式化简的习惯． zxx k课件25张PPT。1．2应用举例1．2.1测量距离或高度问题 zxx k【学习目标】 1．能正确运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些
有关测量不能到达的一点或两点的距离的实际问题．
2．能正确运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量问题．3．巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯． zxx k 1．仰角和俯角
仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线
与 目 标 视线 的 ______ ， 目标 视线 在水 平视 线 上 方 时 叫做
________，目标视线在水平视线下方时叫做______．如图 1-2-1，仰角为______，俯角为______．仰角俯角∠1∠2 图 1-2-1
练习 1：山上点 B 望山下点 A 俯角为 30°，则山下点 A 望山上点 B 仰角为________．30° 夹角 zxx k2．方位角与方向角正北方向顺时针水平角 (1)方位角：从______________________旋转到目标方向线
所成的__________，如图 1-2-2 所示的θ1，θ2.
(2)方向角：从指定方向到目标方向线所成的小于 90°的水
平角叫做方向角．如图 1-2-3 ，方向角分别为北偏东 30° ，____________.图 1-2-2
图 1-2-3南偏东 45° zxx k练习 2：如图 1-2-4，点 A 的方位角为__________，点 B 的方位角为__________．270°图 1-2-430° zxx k【问题探究】1．测量一已知目标与另一无法到达的目标距离时，利用正弦定理求解需要哪些条件？答案：选取一个目标，并给目标与可到达目标的距离，再分别测量该两点与不可到达目标的夹角．2．测量某一物体高度时，利用余弦定理求解需要哪些条件？ 答案：选取地面两点与物体底部在同一直线上，测量选取
的两点的距离，再分别测量该两点与物体顶点的夹角． zxx k题型 1测量宽度 【例 1】 如图 1-2-5 所示的某河段的两岸可视为平行，为
了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点 A，B，观察对
岸的点 C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且 AB＝100 m.
(1)求 sin75°的值；
(2)求该河段的宽度．
图 1-2-5 zxx k zxx k zxx k 【变式与拓展】
1．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥
位桩 A，B(如图 1-2-6)，要测算 A，B 两点的距离，测量人员在
岸边定出基线 BC，测得 BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝)图 1-2-645°，就可以计算出 A，B 两点的距离为(
A zxx k题型 2求不可到达两点之间的距离问题 【例 2】 如图 1-2-7，A，B 两点都在河的对岸(不可到达)，
在河岸边选定两点 C，D，测得 CD＝1000 m，∠ACB＝30°，
∠BCD＝30°，∠BDA＝30°，∠ADC＝60°，求 AB 的长．
图 1-2-7 zxx k zxx k 测量不能到达的两点间的距离，利用解斜三
角形是一个重要的方法．解决这类问题的关键是构造一个或几
个三角形，测出有关边长和角，用正弦、余弦定理进行计算． zxx k【变式与拓展】 2．如图 1-2-8，现要计算北江岸边两景点 B 与 C 的距离．
由于地形的限制，需要在岸上选取 A 和 D 两个测量点，现测得
AD⊥CD，AD＝10 km，AB＝14 km，∠BDA＝60°，∠BCD＝
135°，求两景点 B与C的距离．(假设 A，B，C，D 在同一平面
内，测量结果保留整数；参考数据： ≈1.414)图 1-2-8 zxx k解：在ABD 中，设 BD＝x，
则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
即142＝x2＋102－20xcos60°.
整理，得x2－10x－96＝0.
解得x1＝16，x2＝－6(舍去)． zxx k题型 3测量高度问题 【例 3】 河对岸有一个建筑物，建筑物的底部不可到达，
请你利用量角器和米尺设计出一套方案测出建筑物的高度．
解：方法一：如图1-2-9，在河的一边取两点C，D，使C，
D 与建筑物底部的中心在同一直线上．测得CD＝a，∠BCA＝α，
∠BDA＝β.设 AB＝x，则AC 与AD 都能用 x 表示，由AD－AC
＝a，可求得 x. zxx k图 1-2-9图 1-2-10 zxx k 方法二：如图 1-2-10，在河的一边取两点 C 和 D，A，C，
D 不在同一直线上．测得CD＝a，∠ACD＝α，∠ADC＝β，
∠ACB＝γ，先求出 AC，再求 AB. zxx k 解决这类设计测量方案问题时，应先进行发
散思维——联想数学模型，寻求解决问题的各种方案，然后进
行收敛思维——比较各种方案的优劣，考虑计算量的大小，是
否具备可操作性以及实施测量的工作量的大小等等． zxx k【变式与拓展】 3．如图 1-2-11，山脚下有一小塔 AB，在塔底 B 测得山顶
C 的仰角为 60°，在山顶C测得塔顶 A 的俯角为45°，已知塔高
AB＝20 m，求山高 CD.图 1-2-11 zxx k图 D2 zxx k【例 4】 在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°，60°，求该塔的高度．易错分析：题意理解不清，不能正确画出图形．
解：如图 D1.图 D1 zxx k B 为山顶，AB＝200 m，CD 为塔高，EB 为水平线，DC 延
长线交 BE 于点 E，∠EBC＝30°，∠EBD＝60°.
在 Rt△BDE 中，DE＝AB＝200， zxx k[方法·规律·小结] 1．解决实际测量问题一般要充分认真理解题意，正确作出
图形，从中抽象出一个或几个三角形，把实际问题里的条件和
所求转换成三角形的已知和未知的边、角，然后解三角形，得
到实际问题的解． 2．测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点，
分别测量仰角或俯角，同时测量出两个观测点的距离，再利用
解三角形的方法来计算． zxx k3．解斜三角形应用题的一般步骤． (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽
量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． zxx k课件25张PPT。1．2.2测量角度问题 zxx k【学习目标】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题． zxx k1．复习仰角、俯角、方位角与方向角的含义(见前面章节)．
2．坡角是指斜坡所在平面与________的夹角．坡度(坡比)是指__________________________________．坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比练习：沿坡角为 45°的斜坡直线向上行走 80 m，实际升高了________m.水平面 zxx k【问题探究】1．仰角、俯角、坡角都是锐角吗？
答案：是．2．方位角与方向角的范围一样吗？答案：不一样，方位角的取值范围为0°～360°，方向角一般指锐角． zxx k题型 1 船的航向问题 【例 1】 如图 1-2-12，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75°
的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B，然后从 B 出发，沿北偏
东 32°的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接
从 A 出发到达 C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少
距离？(角度精确到 0.1°，距离精确到 0.01 n mile)图 1-2-12 zxx k 思维突破：首先求出 AC 边所对的角∠ABC，进而用余弦
定理算出 AC 边，再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角∠CAB. zxx k ≈0.325 5，
所以∠CAB≈19°，
75°－∠CAB≈56°.
答：此船应该沿北偏东 56°的方向航行，需要航行
113.15 n mile. zxx k 解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用
余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正
弦函数在(0，π)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角． zxx k【变式与拓展】 1．如图 1-2-13，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B
处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里/时的速度从岛
屿 A 出发沿正北方向航行．若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东
α的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上．(1)求渔船甲的速度；
(2)求 sinα的值．图 1-2-13 zxx k 解：(1)依题意，得∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝
20，∠BCA＝α.
在△ABC 中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.答：渔船甲的速度为 14 海里/时． zxx k (2)在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA
＝α， zxx k题型 2解三角形与函数的综合【例 2】 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前km 的海面 P 处，并以 20 km/h 的速度向西偏北 45°方向移动，
台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60 km，并以 10 km/h
的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受
到台风的侵袭时间有多少小时？ zxx k图 1-2-14 zxx k 解：设经过 t 小时台风中心移动到点 Q 时，台风边沿恰经
过 O 城，
由题意，可得 OP＝300，PQ＝20t，OQ＝r(t)＝60＋10t.由余弦定理，
得OQ2＝OP2＋PQ2－2·OP·PQ·cos∠OPQ， zxx k答：12 小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风侵袭的时间有 12 小时．即t2－36t＋288＝0.
解得t1＝12，t2＝24，t2－t1＝12. zxx k 【变式与拓展】
2．如图 1-2-15，甲船在 A 处发现乙船在北偏东 45°与 A 的
距离为 10 海里的 C 处，正以 20 海里/时的速度向南偏东 75°的方向，用多少时间才能与乙船相遇？
图 1-2-15 zxx k zxx k ∴∠BAC＝30°.∴甲船应沿北偏东 75°方向航行．
答：甲船应沿北偏东 75°方向航行半小时后才能与乙船相
遇． zxx k zxx k∴∠ABC＝45°.∴BC 与正北方向垂直．
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
在△BCD 中，由正弦定理，得 ∴∠BCD＝30°.即缉私船沿东偏北 30°方向能最快追上走
私船． zxx k 【例 3】 某观测站C在 A 城的南偏西 20°的方向，由 A 城
出发的一条公路，走向是南偏东40°，由C处测得距 C 为 31 km
的公路上 B 处，有一人正沿公路向 A 城走去，走了 20 km 后到
达 D 处，此时 CD 的间距为 21 km，问：这个人还走多少千米
到达 A 城？ 易错分析：本题在解△ACD 时，利用余弦定理求 AD，会
得出两个根，产生了增根，应对其进行验证，若应用正弦定理
来求解可避免这种情况． zxx k 解：在△ACD 中，已知 CD＝21 km，∠CAD＝60°，只需
再求出一个量即可．
如图 D3，设∠ACD＝α，∠CDB＝β.
图 D3
在CBD 中，由余弦定理，得 zxx k zxx k[方法·规律·小结] 1．测量角度问题是指无法直接用量角器测量角度的求解问
题．在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小，
求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题均可结
合正弦定理及余弦定理，通过解三角形求解．在解决与测量问
题有关的题目时，要搞清楚仰角、俯角、方位角与方向角的含
义，合理地构造三角形求解，即把实际问题数学化． zxx k2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况，如下：
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之． (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择
条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问
题的解． zxx k课件19张PPT。1．2.3三角形中的几何计算 zxx k【学习目标】1．运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解有关三角形的问题．2．掌握三角形的面积公式的推导和简单应用． zxx k 1．三角形的高的计算
在△ABC 中，边 BC，CA，AB 上的高分别记为 ha，hb，hc，
则 ha ＝ bsinC ＝ csinB ， hb ＝ __________ ＝ __________ ， hc ＝__________＝__________.bsinA练习 1：边长为 a 等边三角形的高为__________．csinAasinCasinB zxx k2．三角形的面积
(1)△ABC 中用 a 和 BC 边上的高 h 表示三角形面积的公式为__________．(2)在△ABC 中，用 a，b 和角 C 表示三角形面积的公式为___________．练习 2：ABC 中，已知 A＝30°，b＝4，c＝3，则△ABC的面积为________．3 zxx k【问题探究】答案：都适用．个？3．上面的三角形的面积公式中涉及的边与角有何关系？
答案：两边与它们的夹角． zxx k题型 1求三角形的面积【例 1】 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，
(1)求角 A； zxx k∴B＋C＝60°.
从而A＝120°.
(2)由余弦定理，得b2＋c2＋bc＝a2＝12，①
又b＋c＝4，∴b2＋c2＋2bc＝16.②
由①②，得bc＝4， zxx k zxx k【变式与拓展】1．(2013 年重庆)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别(1)求 A；值，并指出此时 B 的值． zxx k zxx k题型 2巧作辅助线求多边形面积 【例 2】 如图 1-2-16，圆内接四边形 ABCD 的边长分别为
AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4.求四边形 ABCD 的面积．
图 1-2-16 zxx k 思维突破：由 CD＝DA 及等弧所对圆周角相等可知：连接
BD 后有∠ABD＝∠DBC，由此求出 BD 的长，然后借助余弦定
理和三角形面积公式求S△ABD，S△BCD.解：连接BD.
∵CD＝DA，
∴∠ABD＝∠DBC.
∴cos∠ABD＝cos∠DBC. zxx k 在多边形中构造三角形是解此类题型的常见
思路． zxx k＝60°，且 cos(B＋C)＝－【变式与拓展】
2．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B11
14.(1)求 cosC 的值；
(2)若 a＝5，求△ABC 的面积． zxx k zxx k zxx k 【例3】 在△ABC中，AB＝2，BC＝4，C＝30°，求△ABC
的面积．
易错分析：忽略三角形面积公式的应用条件：已知两边长
及其夹角或夹角的正弦值．此题已知的角 C 不是 AB 和 BC 的
夹角． zxx k[方法·规律·小结] 1．求三角形的面积问题，先观察已知什么，尚缺什么，用
正弦定理和余弦定理算出需要的元素，就可以求出三角形的面
积． 2．利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转化为
方程组是解复杂问题的常见思路，将方程化为只含边的式子或
只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系．
3．许多问题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可
以两者兼用，当一个公式求解受阻时，要及时考虑其他公式列
式．4．若问题有单位，回答时要注意书写． zxx k1．3实习作业(略) zxx k课件20张PPT。章末整合提升 zxx k zxx k专题一：正弦、余弦定理的应用 1．正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任
意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的
第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三
角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算
出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边
和角． zxx k 2．余弦定理主要有两方面的应用：(1)已知三角形的两边
和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；
(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其
他两角． zxx k zxx k zxx k【互动与探究】
1．若△ABC 的三个内角满足 sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC()CA．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 zxx k 2．(2013 年浙江)在锐角三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的
对边分别为 a，b，c，且 2asinB＝ b.
(1)求角 A 的大小；
(2)若 a＝6，b＋c＝8，求△ABC 的面积．
zxx k zxx k专题二：正弦、余弦定理、三角函数与向量的综合应用 zxx k即 sinAcosB－sinBcosA＝0，
∴sin(A－B)＝0.
∵－π∴A＝B.
∴△ABC 为等腰三角形．
(2)由(1)知：a＝b； zxx k【互动与探究】
)＝3，|b|＝5，则∠BAC＝(
A．30°
C．150°
B．－150°
D．30°或 150°C zxx k4．△ABC的面积是 30，内角 A，B，C 所对边长分别为 a，(2)若 c－b＝1，求 a 的值． zxx k专题三：解三角形的实际应用 正弦定理、余弦定理在实际生产生活中有着非常广泛的
应用．常见题有距离问题、高度问题、角度问题以及求平面图
形的面积问题等．解决这类问题时，首先要认真分析题意，找
出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象
为三角形模型，然后利用正弦、余弦定理求解，最后将结果还
原为实际问题． zxx k 【例 3】 如图 1-1，A，B，C，D都在同一个与水平面垂
直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面
A 处测得 B点和 D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得
B 点和 D 点的仰角均为 60°，AC＝0.1 km.试探究图中 B，D 间
距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离(计算结果图 1-1 zxx k 解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝
30°，
所以 CD＝AC＝0.1 km.
又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD＝BA.故 B，D 的距离约为 0.33 km. zxx k【互动与探究】 5．如图 1-2，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相
距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心
立即把消息告知在其南偏西 30°、相距 20 海里的 C 处的乙船，
现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往 B 处救援，求cosθ的值．图 1-2 zxx k zxx k6．如图 1-3，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD 交 AC 于点 E，AB＝2.(1)求 cos∠CBE 的值；
(2)求 AE 的长．图 1-3 zxx k zxx k第一章自主检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．在△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么A＝( )
A．120°或60° B．45°
C．135°或45° D．60°
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为( )
A.或 B.
C.或 D.
3．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )
A．9 B．18
C．9 D．18
4．在△ABC中，周长为7.5 cm，且sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，下列结论：
①a∶b∶c＝4∶5∶6；
②a∶b∶c＝2∶∶；
③a＝2 cm，b＝2.5 cm，c＝3 cm；
④A∶B∶C＝4∶5∶6.
其中成立的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
5．三边长分别为1,1, 的三角形的最大内角的度数是( )
A．60° B．90° C．120° D．135°
6．若＝＝，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．有一个内角为30°的直角三角形
D．有一个内角为30°的等腰三角形
7．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则三角形的另一边长为( )
A．52 B．2
C．16 D．4
8．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝( )
A．－ B.
C．－ D.
9．已知两座灯塔A和B与观察站C的距离都等于10 km，A在C的北偏东40°，B在C的南偏东20°，则灯塔A与B的距离为( )
A．10 km B．10 km
C．10 km D．15 km
10．在△ABC中，已知||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·＝( )
A．±2 B．±4 C．2 D．4
二、填空题(每小题5分，共20分)
11．在△ABC中，若b＝1，c＝，∠C＝，则a＝__________.
12．等边三角形ABC的边长为1，＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝________.
13．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船行的速度为________海里/时．
14．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝－，则角A的大小为________．
三．解答题(共80分)
15．(12分)在△ABC中，已知AB＝10 ，A＝45°，在BC边的长分别为20， ，5的情况下，求相应角C.
16．(12分)已知在△ABC中，A＝45°，a＝2 cm，c＝ cm，求角B，C及边b.
17．(14分)在△ABC中，B＝，求tan＋tan＋tantan的值．
18．(14分)在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连接本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球(如图1-1所示)?
图1-1
19．(14分) 在△ABC中，且·＝S△ABC(其中S△ABC为△ABC的面积)．
(1)求sin2 ＋cos2A的值；
(2) 若b＝2，S△ABC＝3，求a的值．
20．(14分)如图1-2，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.
问：当点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？
图1-2
检测部分
第一章自主检测
1．B 2.B
3．C 解析：∵∠A＝30°，∠B＝120°，∴∠C＝30°.∴BA＝BC＝6.∴S△ABC＝×BA×BC×sinB＝×6×6×＝9 .
4．C 5.C 6.B
7．B 解析：∵三角形两边a，b的夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，∴cosC＝－.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝25＋9＋2×5×3×＝52，∴c＝＝2 .
8．D 解析：根据正弦定理＝，可得＝.解得sinB＝，又因为b＜a，则B＜A，故B为锐角，所以cosB＝＝.故选D.
9．C
10．A 解析：∵||＝4，||＝1，△ABC的面积为，
∴S△ABC＝·||·||·sinA＝×4×1×sinA＝.
∴sinA＝.∴cosA＝±＝±.
∴·＝||·||·cosA＝4×1×＝±2.
11．1
12．－ 解析：∵在等边三角形ABC中，A＝B＝C＝60°，
∴a·b ＝b·c ＝ c·a＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝－.
∴a·b ＋b·c ＋ c·a＝－.
13. 解析：利用正弦定理可得＝，即MN＝34 .∴速度为＝(海里/时)．
14. 解析：∵＝－，∴根据正弦定理，得＝－，即sinBcosA＋2sinCcosA＝－cosBsinA，
整理，得－2sinCcosA＝sinBcosA＋cosBsinA＝sin(A＋B)．
∵在△ABC中，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC>0，
∴－2sinCcosA＝sinC，约去sinC得cosA＝－.
又∵A∈(0，π)，∴A＝.
15．解：由正弦定理，得sinC＝＝.
(1)当BC＝20时，sinC＝.
∵BC>AB，∴A>C.∴C＝30°.
(2)当BC＝ 时，sinC＝.
∵AB·sin45°∴C有两解．
∴C＝60°或120°.
(3)当BC＝5时，sinC＝2>1.
∴C不存在．
16．解：由正弦定理，得
sinC＝sinA＝×＝，
∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝180°－(A＋C)＝75°，
b＝·sinB＝×sin75°＝＋1(cm)；
当C＝120°时，B＝180°－(A＋C)＝15°，
b＝·sinB＝×sin15°＝－1(cm)．
∴b＝＋1 cm，C＝60°，B＝75°，
或b＝－1 cm，C＝120°，B＝15°.
17．解：∵A＋C＝180°－B＝120°，
从而＝60°，故tan＝.
由两角和的正切公式，得tan＝＝，
∴tan＋tan＝－tan·tan.
∴tan＋tan＋tantan＝.
18．解： 设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点(如图D41)．设从击出球到接着球的时间为t，球速为v，则∠AOB＝15°，OB＝vt，AB≤·t.
在△AOB中，由正弦定理，得＝，
∴sin∠OAB＝sin15°≥·＝－.
而(－)2＝8－4 >8－4×1.74>1，即sin∠OAB>1，
∴∠OAB不存在．因此，游击手不能接着球．
图D41
19．解：(1)∵·＝S△ABC，
∴||·||·cosA＝×||·||sinA.
∴cosA＝sinA.∴cosA＝，sinA＝.
∴sin2＋cos2A＝＋2cos2A－1＝＋2cos2A－1＝.
(2)∵sinA＝，由S△ABC＝bcsinA，
得3＝×2c×，解得c＝5.
∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋25－2×2×5×＝13.
∴a＝.
20．解：设∠AOB＝α.
在△AOB中，由余弦定理，得
AB2＝12＋22－2×1×2cosα＝5－4cosα.
所以四边形OACB的面积为
S＝S△AOB＋S△ABC＝OA·OBsinα＋AB2
＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)
＝sinα－cosα＋
＝2sin＋ .
所以当sin＝1时，S有最大值．
因为0<α<π，
所以α－＝，α＝π.
故当∠AOB＝π时，四边形OACB的面积最大．
第一章 解三角形
1．1 正弦定理和余弦定理
1．1.1 正弦定理
1．在△ABC中，若sinA>sinB，则有( )
A．aB．a≥b
C．a>b
D．a，b的大小关系无法确定
2．在△ABC中，AB＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝( )
A．3－ B.
C．2 D．3＋
3．在△ABC中，若sinA＝sinB，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
4．在△ABC中，下列关系中一定成立的是( )
A．a>bsinA B．a＝bsinA
C．a5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a＝( )
A. B．2 C. D.
6．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2 ，则c＝________.
7．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝1∶3∶5，求的值．
8．(2013年湖南)在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于( )
A. B. C. D.
9．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinA＝________.
10．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝，b＝，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．
1.1.2 余弦定理
1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝( )
A. B．3 C. D．5
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠A的大小为( )
A. B. C. D.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2－(b－c)2＝bc，则A＝( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．(2012年北京模拟)在△ABC中，已知a＝2bcosC，那么这个三角形一定是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝a，则( )
A．a＞b
B．a＜b
C．a＝b
D．a与b的大小关系不能确定
6．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为__________．
7．在△ABC中，a＝1，b＝2，c＝，试判断这个三角形的形状．
8．在△ABC中，三边之比a∶b∶c＝2∶3∶4，则最大角的余弦值等于( )
A. B. C．－ D．－
9．△ABC为锐角三角形，三边分别为1,3，a，则a的取值范围是____________．
10．在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求A，C和c.
1．1.3 正弦、余弦定理的综合应用
1．△ABC中，AB＝2，AC＝1，A＝120°， 则BC＝( )
A. B．1
C. D．1.5
2．在△ABC中，已知cosAcosB>sinAsinB，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
3．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是( )
A．135° B．90°
C．120° D．150°
4．若三角形三边长如下：①3,5,7；②10,24,26；③21,25,28.其中锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的顺序依次为( )
A．①②③
B．③②①
C．③①②
D．②③①
5．(2013年安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝( )
A. B. C. D.
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，a＝25，b＝50，则B＝________.
7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a＝，b＝3，C＝30°，则A＝______.
8．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的长等于( )
A. B.
C. D.
9．在△ABC中，若a2sinC＝bcsinA，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
10．在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
1.2 应用举例
1．2.1 测量距离或高度问题
1．若水平面上点B在点A南偏东30°方向上，则点A处测得点B的方位角是( )
A．60° B．120° C．150° D．210°
2．如图K1-2-1，为测一河两岸相对两电线杆A，B之间的距离，在距点A处15 m的C处(AC⊥AB)测得∠ACB＝50°，则AB之间的距离应为( )
图K1-2-1
A．15sin50° m
B．15cos50° m
C．15tan50° m
D．15 m
3．某人在山外一点测得山顶的仰角为45°，然后退后30 m，测得山顶的仰角为30°，则山高为( )
A．30 m B．15 m
C．15(＋1) m D．(30 ＋30) m
4．A，B是海平面上两点，相距800 m，在点A测得山顶C的仰角为45°，其中D是点C在水平面的垂足，∠BAD＝120°，又在点B测得∠ABD＝45°，山高CD为( )
A．800(＋1) m B．800(－1) m
C．800 m D．800(－) m
5．如图K1-2-2，一艘海轮从A处出发，以40海里/时的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
图K1-2-2
A．10 海里
B．10 海里
C．20 海里
D．20 海里
6．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船航行的速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile.
7．一树干被台风吹断，打断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5 m，则树干原来的高度为________m.
8．如图K1-2-3，在山脚A处测得山顶S的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走100 m到B，又测得S的仰角为75°，则山高为( )
图K1-2-3
A．50 m
B．50 m
C．50 m
D．50 m
9．如图K1-2-4，隔河看两目标A，B但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D四点在同一平面内)，求A，B之间的距离．
图K1-2-4
10．如图K1-2-5，设定地平面上一旗杆为OP，为测它的高度h，在地平面上取一基线AB，AB＝20 m，在A处测得点P的仰角为∠OAP＝30°，在B处测得点P的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高h.
图K1-2-5
1.2.2 测量角度问题
1．某人沿着倾斜角为α的斜坡前进c m，那么他上升的高度是( )
A．csinα B．ctanα
C．ccosα D.
2．在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m．如果船从岸边A出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流上游并与河岸垂直方向所成的角为( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底为6 m，下底长为10 m，高为2 m，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别为( )
A.，60° B.，60°
C.，30° D.，30°
4．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10 m至点D，测得顶端A的仰角为4θ，则θ＝( )
A．15° B．10° C．5° D．20°
5．E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝( )
A. B.
C. D.
6．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶了4小时后到达C处，看到灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔距离是________km.
7．如图K1-2-6，在两面竖直墙壁AB和CD之间的一点P处放一架梯子，梯子靠上AB时，与地面成60°角，靠上CD时，与地面成45°角，已知AB＝6 m，那么两墙之间的距离是______m.
图K1-2-6
8．有甲、乙两辆汽车，甲在A处知乙在北偏东45°距A处10 km的C处，正沿南偏东75°方向以9 km/h的速度开往B处，甲欲以21 km/h的速度与乙会合，甲乙会合的最短时间是________ h.
9．甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9 n mile的B处，并以20 n mile/h的速度沿西偏南15°方向行驶，若甲船以28 n mile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少小时才能尽快追上乙船？
10．如图K1-2-7，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．
图K1-2-7
1．2.3 三角形中的几何计算
1．3 实习作业(略)
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝6，b＝4，C＝120°，则△ABC的面积是( )
A．12 B．6 C．12 D．6
2．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，其面积为220 ，那么AB的长度为( )
A．55 B．51
C．55 D．110
3．在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是( )
A．无解 B．一解
C．二解 D．不能确定
4．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
5．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
6．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，b＝sinB，则a＝( )
A．3 B.
C. D.
7．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·的值为( )
A．79 B．69 C．5 D．－5
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosB＝5，bsinA＝12，则a＝________.
9．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．
10．如图K1-2-8，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．
图K1-2-8
参考答案
课时作业部分
第一章 解三角形
1．1 正弦定理和余弦定理
1．1.1 正弦定理
1．C 2.A 3.A 4.D 5.D
6．2 7.－
8．D 提示：由正弦定理可将2asinB＝b化成2sinAsinB＝sinB.
9.
10．解：∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－A.
又1＋2cos(B＋C)＝0，∴1＋2cos(180°－A)＝0.
即1－2cosA＝0，cosA＝.
又0°在△ABC中，由正弦定理＝，
得sinB＝＝＝，
又∵b∴BC边上的高AD＝AC·sinC＝sin75°＝sin(45°＋30°)＝(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)
＝×＝.
1．1.2 余弦定理
1．A 2.A 3.B 4.C 5.A 6.
7．解：∵c>b>a，由cosC＝＝<0，可得c>90°.∴此三角形为钝角三角形．
8．D 提示：可设a＝2k，b＝3k，c＝4k.
9．2 10．解：方法一：∵B＝45°＜90°，且b＜a，∴此题有两解．
由正弦定理，得sinA＝＝＝，
∴A＝60°或120°.
①当A＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝75°，
c＝＝＝.
②当A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°，
c＝＝＝.
故A＝60°，C＝75°，c＝，
或A＝120°，C＝15°，c＝.
方法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，
即()2＝()2＋c2－2 c·cos45°.
整理，得c2－c＋1＝0.
解得c＝或c＝.
又∵cosA＝，
∴当a＝，b＝，c＝时，得cosA＝.故A＝60°；
当a＝，b＝，c＝时，得cosA＝－.故A＝120°.
∴A＝60°，C＝75°，c＝，
或A＝120°，C＝15°，c＝.
1．1.3 正弦、余弦定理的综合应用
1．A
2．C 解析：∵cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＝－cosC>0，∴cosC<0.
3．C 4.B 5.B
6. 7.30° 8.A 9.A
10．解：∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]．
∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，
即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.
方法一：由正弦定理，得
sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB.
又∵sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B.
在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
方法二：由正弦定理、余弦定理，得
a2b·＝b2a·，
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)．
∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.
∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.
即a＝b或a2＋b2＝c2.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
1．2 应用举例
1．2.1 测量距离或高度问题
1．C 2.C 3.C 4.A
5．A 6.70 7.10＋5
8．D
9．解：在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°.∴AC＝CD＝.
在△BCD中，∵∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.
由正弦定理，得BC＝＝.
由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA.
∴AB2＝()2＋2－2 ××cos75°＝5.
∴AB＝ km.故A，B之间的距离为 km.
10．解：在Rt△POA中，OA＝＝h.同理OB＝h.
在△AOB中，根据余弦定理，得
AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos∠AOB，
即202＝3h2＋h2－2 h·hcos60°，
∴h＝ m.
1．2.2 测量角度问题
1．A 2.B 3.B
4．A 解析：BC＝CA，CD＝DA，
设AE＝h，则
∴2cos2θ＝.∴cos2θ＝.
∴2θ＝30°，∴θ＝15°.
5．D 解析：如图D25，设AB＝6，AC＝BC＝3 ，由余弦定理，得CE＝CF＝，再由余弦定理，得cos∠ECF＝，解得tan∠ECF＝.另也可以建立坐标用向量法解．
图D25
6．30 7.2 ＋2 8.
9．解：如图D26.设甲用t h在C处追上乙船．则∠ABC＝60°，AB＝9，BC＝20t，AC＝28t.
图D26
∴cos∠ABC＝cos60°＝
＝＝.
解得t＝.∴BC＝，AC＝.
∴cos∠CAB＝
＝≈0.785 7.
∴∠CAB≈38°，∴∠CAD＝45°－38°＝7°.
∴甲沿南偏东7°的方向，用小时追上乙船．
10．解：如图D27，作DM∥AC交BE于点N，交CF于点M.
∴MF＝110－80＝30，DM＝AB＋BC＝170，DN＝AB＝50，EN＝BE－AD＝120.
∴DF＝＝＝10 ，
DE＝＝＝130，
EF＝＝＝150.
在△DEF中，由余弦定理，得
cos∠DEF＝
＝＝.
图D27
1．2.3 三角形中的几何计算
1．3 实习作业(略)
1．D 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.D
8．13 解析：由bsinA＝12及正弦定理，得asinB＝12，又acosB＝5，两式平方相加，得a＝13.
9．解：(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，
又因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4.
联立方程组解得a＝2，b＝2.
(2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，
即sinBcosA＝2sinAcosA，
当cosA＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝；
当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理，得b＝2a，
联立方程组解得a＝，b＝.
所以△ABC的面积S＝absinC＝.
10．解：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，
由余弦定理，得cos∠ADC＝＝＝－，
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.
在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理，得＝，
∴AB＝＝＝＝5 .
