课件22张PPT。第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法2．1.1数列的概念及表示方法【学习目标】1．通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数，即数列是一种特殊的函数．1．数列的概念顺序项(1)按照一定______排列着的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的______．首(2)数列的第一项 a1 也称为______项，an 是数列的第 n 项．该数列的前 5 项．2．数列的分类有穷无穷 (1)按项数分类：项数有限的数列称为________数列，项数
无限的数列称为________数列．
(2)按项与项之间的大小分类：
①递增数列：对于任意的n≥1，n∈N，都有an＋1>an；
②递减数列：对于任意的n≥1，n∈N，都有an＋1
③常数列：对于任意的n≥1，n∈N，都有an＋1＝an.练习 2：分别写出以下几个常见数列的一个通项公式： 3．数列与函数的关系
数列{an}的第 n 项 an 与项数 n 之间的关系可以用一个公式
来 表 示，即an＝f(n)，那 么 这 个 式 子 就 叫 做 这 个 数 列 的
_________．数列的通项公式就是相应函数的解析式．(1)1,2,3,4,5，…，an＝________；
(2)1,3,5,7,9，…，an＝________；
(3)1,4,9,16,25，…，an＝________；
(4)1,2,4,8,16，…，an＝________；
(5)1，－1,1，－1，…，an＝________. 2n－1nn22n－1(－1)n＋1通项公式【问题探究】1．数列与函数的关系如何？ 答案：从函数的角度看数列：数列可以看作是一个定义域
为正整数集 N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的数与自变量从
小到大依次取值时对应的一列函数值，这里的函数是一种特殊
函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从 1 开始依次
增大．2．{an}与an是否相同？ 答案：{an}表示整个数列，而an只表示数列{an}中的第n项，二者是不同的概念．3．数列的通项公式是唯一的吗？题型 1由数列的前几项求通项公式 【例 1】 根据数列的前几项，写出下面数列的一个通项公
式：
(1)3,5,9,17,33，…；
思维突破：首先寻找项与序号、项与项之间的联系，然后
用 n 表示 an.
解：(1)3可看成21＋1,5可看成22＋1,9可看成23＋1,17可看成24＋1，…，所以an＝2n＋1(n∈N*)． 根据数列的前几项求通项公式时可参考如下思
路：①先统一项的结构，如都化成分数、根式等；②分析结构
中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号
间的函数解析式；③对于符号交替出现的情况，可先观察其绝
对值，再用(－1)n 处理符号；④对于周期数列，可考虑拆成几个
简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．【变式与拓展】
1．写出下列数列的一个通项公式：
题型 2数列中项的求解与判断 思维突破：已知数列的通项公式，代入具体的 n 值便可求
出数列相应项． 【变式与拓展】
2．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项 an 是关于项数 n
的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断 88 是否为数列{an}的项．
∴an＝4n－2.
(2)设an＝88，则4n－2＝88，n＝22.5.
∵n N*，∴88不是数列{an}中的项．题型 3数列的单调性及最值问题 【例 3】 已知数列{an}的通项公式为 an＝－n2＋6n.
(1)数列中有多少项是正数？
(2)当 n 为何值时，an 有最大值？最大值是多少？
解：(1)∵an＝－n(n－6)，n∈N*，
∴当 n＝1,2,3,4,5 时，an>0.
∴数列中有 5 项是正数．
(2)∵an＝－n2＋6n＝－(n－3)2＋9，
∴当 n＝3 时，an 最大，此时，an＝9.
当数列的通项 an 是 n 的函数时，利用函数求最
值的方法，可求 an 的最值．【变式与拓展】(1)写出它的一个通项公式；
(2)判断它的增减性． 【例 4】数列{an}的通项公式为 an＝－2n2＋29n＋3，求{an}
的最大项．
易错分析：容易忽略数列的定义域是正整数这个条件，要
知道 n 只能取正整数，且只能从 1 开始依次增大．[方法·规律·小结] 1．由数列的前几项写出一个通项公式应尽量避免盲目性，
要善于从数值 an 与序号 n 之间的对应关系中发现其规律．首先
要观察哪些因素与序号无关而保持不变，哪些因素随序号的变
化而变化；其次要分析变化的因素与序号 n 的联系；最后是写
出通项后进行验证或调整． 2．通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的
构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律．由数列前
几项写出其通项公式，没有通用的方法可循． 3．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，若数
列所对应的函数单调，则数列一定单调，反之，若数列单调，
则其所对应的函数不一定单调．因为数列是定义域为正整数集
的特殊函数，所以数列的单调性一般要通过比较 an＋1 与 an 的大
小来判断．若 an＋1>an，则数列为递增数列；若 an＋1为递减数列．课件20张PPT。2．1.2数列的递推公式【学习目标】1．了解数列的递推公式．2．能根据给出的递推公式求数列的前几项．递推公式前一项 an－1(或前几项) 如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项)，且任何一项 an 与
它的_____________________间的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．则 a2＝______，a3＝______.－1【问题探究】1．数列的递推公式是 n 的函数关系式吗？
答案：不是2．通项公式与递推公式有何异同？ 答案：相同：二者都可确定一个数列，都可求出数列的任
何一项．不同：通项公式是 n 的函数关系式，可直接求出任一
项；而递推公式可根据第一项(或前 n 项)的值，通过一次(或多
次)赋值逐项求出数列的值，直至求出所需的项 an.题型 1已知数列的递推公式，求前几项及其通项公式 【例 1】 已知数列{an}满足 an＋1＝2an＋1，n∈N*.
(1)若 a1＝－1，写出此数列的前 4 项，并推测该数列的通
项公式；
(2)若 a1＝1，写出此数列的前 4 项，并推测该数列的通项
公式．解：(1)a1＝a2＝a3＝a4＝－1，
可推测该数列{an}的通项公式为an＝－1.
(2)a1＝1，a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，
a4＝2×7＋1＝15，
可推测该数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (另解：由an＋1＝2an＋1?an＋1＋1＝2(an＋1)?an＋1＋1＝(a1＋1)2n－1?an＋1＝2n－1.)数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首项或前几项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样，
而首项不同就可得到两个不同的数列，适当配凑是本题进行归
纳的前提． 【变式与拓展】
1．根据递推公式，分别写出它的前 5 项，并归纳出通项公
式：
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；解：(1)a1＝0，a2＝a1＋1＝1，a3＝a2＋3＝4，
a4＝a3＋5＝9，a5＝a4＋7＝16.
由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42，
可归纳出an＝(n－1)2.题型 2已知递推公式，用累加法求通项公式 【例 2】 已知在数列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)，
求数列{an}的通项公式．
思维突破：先对an＝an－1＋3 从 2 到 n 进行取值，得到 n－
1 个式子，再把这 n－1 个式子相加，消去中间项．
解：由递推关系 an＝an－1＋3(n≥2)，得
a2＝a1＋3，
a3＝a2＋3，
…an－1＝an－2＋3，
an＝an－1＋3.
将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得
a2＋a3＋…＋an－1＋an
＝a1＋3＋a2＋3＋a3＋3＋…＋an－1＋3.
消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋3(n－1)．
∵a1＝5，∴an＝3n＋2. 若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式，且可求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，可用累加法求通项公式．【变式与拓展】 2．已知在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋cos(n－1)π(n≥2)，求an. 解：由递推关系，an＝an－1＋cos(n－1)π(n≥2)，得
a2＝a1＋cosπ，a3＝a2＋cos2π，…，an－1＝an－2＋cos(n－2)π，an＝an－1＋cos(n－1)π.
将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得
a2＋a3＋…＋an－1＋an ＝a1＋cosπ＋a2＋cos2π＋…＋an－2＋cos(n－2)π＋an－1＋cos(n－1)π.
消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋cosπ＋cos2π＋cos3π＋…＋cos(n－1)π.
∵a1＝1，∴an＝1＋cosπ＋cos2π＋cos3π＋…＋cos(n－
1)π＝题型 3已知递推公式，用累乘法求通项公式【例3】 已知a1＝2，an＋1＝2an，求an. 思维突破：对an＋1＝2an从1到n－1进行取值，得到n－1个式子，再把这n－1个式子相乘，消去中间项．公式，可用累乘法求通项公式．【变式与拓展】 【例 4】 根据图 2-1-1 中的框图，建立所打印数列的递推
公式，试写出这个数列的前 4 项，并归纳出递推公式．图 2-1-1 易错分析：没有准确把握相邻两项(即 an＋1 与 an)之间的联
系和区别．
[方法·规律·小结]1．数列的递推公式是数列的另一种给出方法，注意它与通项公式的区别及其用法． 2．递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也
非常灵活，解题时要仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰
当的方法，通过适当的策略将问题进行化归，是迅速求出通项
公式的关键．课件15张PPT。2．2等差数列2．2.1 等差数列的定义及通项公式【学习目标】1．通过实例，理解等差数列的概念．
2．探索并掌握等差数列的通项公式．
3．体会等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的定义第 2 项常数公差 一般地，如果一个数列从________起，每一项与它的前一
项的差等于同一个________，那么这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的________，通常用字母 d 表示．练习 1：在等差数列{an}中，a2＝－5，d＝3，则 a1＝()A．－9B．－8C．－7D．－4B2．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d 如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项
公式是________________．
练习 2：在等差数列{an}中，a1＝－5，d＝3，则 a10＝_____.
22【问题探究】1．利用通项公式求第 n 项需要哪些条件？
答案：首项、项数和公差．2．如何理解等差数列通项公式和一次函数之间的关系？
答案：通项公式 an＝nd＋(a1－d)是关于 n 的一次函数，n是正整数．题型 1等差数列中的基本运算【例1】 在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求a10；
(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；
(3)已知a5＝11，a8＝5，求a1，d，an； 思维突破：由通项公式an＝a1＋(n－1)d，在a1，d，n，an四个量中，可由其中任意三个量求第四个量．【变式与拓展】)1．数列{an}的通项公式 an＝3n＋5，则此数列(
A．是公差为 3 的等差数列
B．是公差为 5 的等差数列
C．是首项为 5 的等差数列
D．是公差为 n 的等差数列A2．－401 是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？解：等差数列的通项公式为 an＝－4n－1.
∵－4n－1＝－401，∴n＝100.∴－401 是等差数列－5，－9，－13，…的第 100 项．题型 2求等差数列的通项公式 【例 2】 在等差数列{an}中，已知 a5＝10，a12＝31，求它
的通项公式．
思维突破：给出等差数列的任意两项，可转化为关于 a1 与
d 的方程组，求得 a1 与 d，从而求得通项公式．
求等差数列的通项公式：①确定首项 a1 和公差
d，需建立两个关于 a1 和 d 的方程，通过解含 a1 与 d 的方程求
得 a1 与 d 的值；②直接应用公式 an＝am＋(n－m)d 求解．方法二：由an＝am＋(n－m)d，得
a12＝a5＋(12－5)d＝a5＋7d，即31＝10＋7d.∴d＝3.
∴an＝a5＋(n－5)d＝10＋(n－5)×3＝3n－5.
∴等差数列的通项公式为an＝3n－5.【变式与拓展】
3．已知数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝an－1(n∈N)，则数列)D的通项 an＝(
A．n2＋1
C．1－nB．n＋1
D．3－n 4．已知数列{an}为等差数列，且 a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.
求数列{an}的通项公式．
解：由 a1＋a2＋a3＝12，得 3a2＝12，即 a2＝4.
∴d＝a2－a1＝2.∴an＝2n.【例 3】 判断下列数列是否是等差数列．
(1)an＝4n－3；
(2)an＝n2＋n. 易错分析：易用特殊代替一般，验证前几项后就得出结论，
等差数列在定义中的要求是“任意的后一项与前一项的差是常
数”，不是“确定的后一项与前一项的差是常数”．解：(1)∵an＋1－an＝[4(n＋1)－3]－(4n－3)＝4，
∴{an}为等差数列．
(2)由an＝n2＋n知：a1＝2，a2＝6，a3＝12，a2－a1≠a3－a2.
∴{an}不是等差数列．[方法·规律·小结] 1．用好等差数列的定义与掌握好等差数列的通项公式是关
键，在写等差数列通项公式时，要注意 n 的取值范围．2．等差数列常见的判定方法．
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)． (2)通项公式为 n 的一次函数：an＝kn＋b(k，b 为常数)．
3．题设中有 3 个数成等差数列时，一般设这 3 个数为 a－
d，a，a＋d.若 5 个数成等差数列，一般设为 a－2d，a－d，a，
a＋d，a＋2d.有时也可直接设为等差数列的通项形式，具体问
题具体分析，设的目的是便于计算，要灵活选择设的方法．4．等差中项有广泛应用，要准确理解其含义．课件16张PPT。2．2.2等差数列的性质【学习目标】1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式．
2．掌握等差数列的等差中项的概念，并能灵活运用．1．等差中项等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，A叫做a与b的_________，即 2A＝__________或 A＝_________.a＋b 练习1：在等差数列{an}中，若 a3＝50，a5＝30，则a7＝____.
102．等差数列的性质(1)an＝am＋()d.n－m(2)若{an}是等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________________．ak＋al＝am＋an(3) 若{an} 是等差数列，且 m ＋n ＝2k(k ，m ，n ∈N*) ，则________________．am＋an＝2akB练习 3：(2014 年广东清远一模)如果在等差数列{an}中，有a1＋a3＝6，那么 a2＝()BA．2B．3C．4D．6练习2：如果数列{an}是等差数列，则( )
A．a1＋a8C．a1＋a8>a4＋a5 D．a1a8＝a4a5 【问题探究】
若等差数列{an}的第 n 项与第 m 项分别为 an，am，请写出
公差 d 与这两项的关系式．题型 1 等差中项的应用【例 1】 已知 a，b，c 成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a ＋b 也成等差数列． 三项成等差数列的问题往往借助等差中项
去证明，即 a，A，b 成等差数列?2A＝a＋b.【变式与拓展】
1．已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a－1，a＋1，2a＋3，)则此数列的通项 an 为(
A．2n－5
C．2n－1
B．2n－3
D．2n＋12．数列{an}为等差数列，a2 与 a6 的等差中项为 5，a3 与 a7的等差中项为 7，则数列的通项 an 为__________.2n－3B题型 2等差数列性质的基本应用 【例 2】 已知在等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，a5·a6·a7
＝45，求数列{an}的通项公式．
思维突破：可以考虑先利用等差数列的性质消元，再求解
方程组．解：∵a5＋a6＋a7＝15，
∴3a6＝15，a6＝5.当a5＝1，a7＝9时，d＝4.
通项公式an＝a5＋(n－5)d＝1＋(n－5)×4＝4n－19；
当a5＝9，a7＝1时，d＝－4.
通项公式an＝9＋(n－5)×(－4)＝－4n＋29.
【变式与拓展】
3．(2013 年重庆)若 2，a，b，c，9 成等差数列，则 c－a＝______. 4．已知单调递增的等差数列{an}的前3项之和为21，前3项之积为231，求数列{an}的通项公式．题型 3 等差数列性质的综合应用【例3】 在等差数列{an}中，
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.解：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，
得4a13＝48.∴a13＝12.
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，【变式与拓展】
5．(2014 年河北邯郸二模改编)在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则 a3＋a11＝()BA．6B．4C．8D．12 6．已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求a3＋a15的值．解：∵a1＋a17＝a5＋a13，
∴a1－a5＋a9－a13＋a17
＝(a1＋a17)－(a5＋a13)＋a9＝a9＝117.
∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234. 【例 4】 一梯子上窄下宽，最高一级宽 40 cm，最低一级
宽 80 cm，中间还有 9 级，各级的宽度构成等差数列，求中间
各级的宽度．易错分析：易将梯子的级数弄错，要注意梯子共有 11 级，40 cm 是第 1 级，80 cm 的是第 11 级． 解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知，得a1＝40，a11＝80，n＝11.由通项公式，得a11＝a1＋10d，即80＝40＋10d.解得d＝4. 因此a2＝44，a3＝48，a4＝52，a5＝56，a6＝60，a7＝64，a8＝68，a9＝72，a10＝76.[方法·规律·小结] 1．在做等差数列题时，注意利用结论：若 m＋n＝p＋q，
则 am＋an＝ap＋aq，提高解题速度．因这个结论源于通项公式，
故直接用通项公式也可做出来，但所用时间相差甚远．
2．解题中注意充分利用等差数列的性质，结合已知条件，观察已知与求解间的联系，寻找适当的方法． 3．注意一个数列的变式为等差数列的应用，如一个数列的
倒数、一个数列加一个数组成一个等差数列、一个数列开方等．课件20张PPT。
2．3.1
等差数列的前 n 项和2．3 等差数列的前 n 项和【学习目标】1．掌握等差数列前 n 项和公式及其推导过程．
2．体会等差数列的和与二次函数的联系．1．等差数列{ an}的前 n 项和
等 差 数 列 { an} 的 前 n 项 和 公 式 为 Sn ＝ __________ ＝________________.练习 1：(2014 年广东汕头一模)等差数列{an}的前 n 项和为Sn，若 a2＋a5＋a8＝15，则 S9＝()BA．54B．45C．36D．272．等差数列前 n 项和公式 Sn 与通项公式 an 之间的关系(2)已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，则__________________．注意：数列的前 n 项和与通项公式之间的关系：练习 2：已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2，则 an＝______(n∈N*)．2n－1【问题探究】1．等差数列{ an}的前 n 项和的两个公式涉及几个量？至少要知道几个量才能求解．答案：等差数列{ an}的前 n 项和的 2 个公式涉及 a1，an，Sn，n，d 5 个量，至少要知道其中 3 个量才能求解．题型 1求等差数列的前 n 项和 【例1】 已知数列{an}是等差数列，a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，求该数列前10项和S10. 思维突破：只需求出条件a1和a10或求出条件a1和d，利用解方程组的知识求得a1和d.【变式与拓展】
1．在等差数列{an}中，已知 a11＝10，则 S21＝_____. 2102．(2013 年上海)若等差数列的前 6 项和为 23，前 9 项和为 57，则数列的前 n 项和 Sn＝__________.
题型 2等差数列的性质与前 n 项和
(3)一个等差数列的前 4 项之和是 40，最后 4 项之和为 80，
所有项之和是 210，求项数 n.
【例2】 在等差数列{an}中，
(1)已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16；
(2)已知a6＝20，求S11； 思维突破：(1)由等差数列的性质，可以直接利用条件求出a1＋a16的和．(2)要求S11只需知道a1＋a11即可，而a1与a11的等差中项恰好是a6.【变式与拓展】
3．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S12＝21，则 a2＋a5＋a8＋a11＝____.7 4．已知在等差数列{an}中，a10＝10，其前10项和S10＝70，求其公差d的值．题型 3等差数列的通项与前 n 项和 【例 3】 两个等差数列的前 n 项和之比是(7n＋1)∶(4n＋
27)，试求它们的第 11 项之比．
思维突破：利用性质m＋n＝p＋q?am＋an＝ap＋aq解题．【变式与拓展】
求数列{an}的通项公式．
易错分析：容易漏掉当n＝1 时的情形，得到的结果不完全．[方法·规律·小结]
1．记清等差数列的前 n 项和公式的两种形式并能正确地选 2．基本量原则：注意在 5 个基本量 n，a1，d，an，Sn 中知
道 3 个量时，可利用等差数列的通项公式与前 n 项和公式求其
他 2 个量．
3．注意把实际问题转化为等差数列的问题进行研究．课件25张PPT。2．3.2 等差数列前 n 项和的性质【学习目标】1．掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路．2．会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题． 1．等差数列的最值
在等差数列{an}中，若 a1>0，d<0，则 Sn 存在最大值；若
a1<0，d>0，则 Sn 存在最小值．2．等差数列的单调性d＝0 当 等 差 数 列 的 公 差 _____ 时，数 列 为 递 增 数 列；当
________时，数列为递减数列；当__________ 时，数列为常数列．n(7－n) 练习：已知等差数列{an}的通项公式为an＝－2n＋8，则{an}
的前 n 项和 Sn＝________，Sn 的最大值为_______．d >0d <012 【问题探究】
已知数列{an}前 n 项和公式为 Sn，首项为 a1，则该数列的
通项公式 an 与前 n 项和有什么样的关系式？题型 1等差数列的前 n 项和的性质及应用【例 1】等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为()A．30B．170C．210D．260解析：方法一：取m＝1，则a1＝S1＝30，a2＝S2－S1＝70.
∴d＝a2－a1＝40，a3＝a2＋d＝70＋40＝110.
S3＝a1＋a2＋a3＝210.由③－②及②－①，结合④，得S3m＝210.
方法四：根据上述性质知：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
故Sm＋(S3m－S2m)＝2(S2m－Sm)．
∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.方法五：∵{an}为等差数列，
∴设Sn＝an2＋bn.
∴Sm＝am2＋bm＝30，S2m＝4m2a＋2mb＝100.答案：C【变式与拓展】
1．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7＋a8＋a9＝()BA．63B．45C．36D．272．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝2，S4＝10，则S6＝()CA．12B．18C．24D．42题型 2等差数列前 n 项和的最值问题 【例 2】 在等差数列{an}中，若 a1＝25，S17＝S9，则 Sn 的
最大值为________．
思维突破：利用前 n 项和公式和二次函数性质求解．
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法三：由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0.
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.
∵d＝－2<0，a1>0，∴a13>0，a14<0.
故当n＝13时，Sn有最大值． 方法四：由 d＝－2，得 Sn 的图象如图 D4(图象上一些孤立
点)，
图 D4∴当 n＝13 时，Sn 取得最大值 169.
答案：169 求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法：
①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求
出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前 n 项
和 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的
性质求最值．【变式与拓展】3．数列{an}是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第 6项为正，第 7 项为负．(1)求数列的公差；(2)求前 n 项和 Sn 的最大值；(3)当 Sn＞0 时，求 n 的最大值．解：(1)由已知，得a6＝a1＋5d＝23＋5d＞0，
a7＝a1＋6d＝23＋6d＜0.又∵d∈Z，∴d＝－4.(2)∵d＜0，∴数列{an}是递减数列．又∵a6＞0，a7＜0，
∴当n＝6时，Sn取得最大值为：题型 3等差数列前 n 项和的实际应用 【例 3】 已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，Sn＝12n－n2.
(1)求|a1|＋|a2|＋|a3|;
(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|；
(3)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.思维突破：先求出数列的通项公式an. 解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－n2－12(n－1)＋(n－1)2＝－2n＋13；
当n＝1时，a1＝S1＝11，符合an＝－2n＋13.
∴an＝－2n＋13(n∈N*)．(1)当－2n＋13≥0时，n≤6.5.
又∵n∈N*，∴n≤6.
∴|a1|＋|a2|＋|a3|＝a1＋a2＋a3＝S3＝27.
(2)由(1)可知：|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|
＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－a9－a10
＝S6－(a7＋…＋a10)
＝S6－(S10－S6)＝2S6－S10＝72－20＝52.(3)由(1)(2)可知：
当n≤6时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝12n－n2；
当n≥7时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a6－(a7＋a8＋…＋an)
＝S6－(Sn－S6)
＝2S6－Sn＝72－(12n－n2)＝n2－12n＋72.
综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| 【变式与拓展】
4．等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，前 n 项和为 Sn，
满足 S5S6＋15＝0.
(1)若 S5＝5，求 S6 及 a1；
(2)求 d 的取值范围．(2)∵S5S6＋15＝0，
∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.
故(4a1＋9d)2＝d2－8.
∴d2≥8. 【例 4】 已知一个等差数列{an}的通项公式 an＝25－5n，
求数列{|an|}的前 n 项和 Sn.
易错分析：解本题易出现的错误就是：(1)由an≥0，得n≤5
理解为 n＝5，得出结论：Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝50(n≤5)，和．事实上，本题要对 n 进行分类讨论．解：由an＝25－5n≥0，得 n≤5.
∴当 n≤5 时，当n≥6时，
Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an) [方法·规律·小结]
求等差数列前 n 项和的最值问题有两种方法如下：
(1)利用 an：当 an>0，d<0 时，Sn 有最大值可由 an≥0，且
an＋1≤0，求得 n 的值；
当 an<0，d>0 时，Sn 有最小值可由 an≤0，且 an＋1≥0，求
得 n 的值．最值时 n(n∈N*)的值．课件19张PPT。2．4等比数列2．4.1等比数列的定义及通项公式【学习目标】1．掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念．
2．掌握等比数列的通项公式及推导过程．3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．1．等比数列的定义公比 如果一个数列从第______ 项起，每一项与它的前一项的
______等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列；这个常数
叫做等比数列的______，通常用字母 q(q≠0)表示．
2．等比数列的递推公式和通项公式通项公式：an＝________(n≥2)．列的通项 an＝________.2比q练习1：已知在等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数 a1qn－1 3·2n－33．等比中项的定义等比ab 如果 a，G，b 成______数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中
项，有 G2＝______或者表示成____________．
练习 2：2，x，y，z,18 成等比数列，则 y＝________.
6【问题探究】1．常数列一定为等比数列吗？答案：不一定，当常数列为非零数列时，才是等比数列，否则不是．2．若 G2＝ab，则 a，G，b 一定成等比数列吗？答案：不一定，若a＝G＝b＝0，则G2＝ab 成立，但a，G，b 不成等比数列．题型 1等比数列的基本概念
a4 的值．
思维突破：要求a4 可以先求an，这样求基本量a1 和q 的值
就成了关键，结合条件考虑运用方程思想解决．【变式与拓展】15A1．在等比数列{an}中，a2014＝8a2011 ，则公比q的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．8
2．(2013年广东)设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝____. 题型 2等比数列的通项公式 【例2】 在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.求等比数列的通项公式关键是确定等比数列的首项和公比．【变式与拓展】
3．在等比数列{an}中，若公比为 q＝4，且前 3 项的和等于21，则该数列的通项公式 an＝______.4n－1题型 3等比数列的判定【例 3】 在各项为负数的数列{an}中，已知：2an＝3an＋1，(1)求证：{an}是等比数列，并求出通项；第几项；如果不是，说明理由．【变式与拓展】
4．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
(1)证明：方法一：∵an＋1＝2an＋1，∴{an＋1}是首项为 a1＋1＝2，公比为 2 的等比数列．【例 4】 在等比数列{an}中，a2，a10 是方程 x2＋8x＋4＝0的两根，则 a6 为()A．－2B．±2C．2D．4 易错分析：在等比数列的计算中没有充分考虑项的符号规
律．
答案：A[方法·规律·小结]1．要注意利用等比数列的定义解题，在很多时候紧扣定义是解决问题的关键． 2．注意基本量法：在用等比数列通项公式时，以首项 a1，
公比 q 为基本量，其他量用这两个量表示出来，再寻求条件与
结论的联系，往往使很多问题更容易解决．3．等比中项在题目中会经常出现，因此要掌握好．课件16张PPT。2．4.2等比数列的性质【学习目标】1．掌握等比数列的定义和通项公式．2．探索发现等比数列的性质，并能应用性质灵活的解决一些实际问题．等比数列的性质
(1) 若 三 个 数 成 等 比 数 列，一 般 设 这 三 个 数 分 别 为____________；(2)①若{an} 为等比数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)则__________；②若{an} 是等比数列，且 m ＋n ＝2k(k ，m ，n ∈N*) ，则____________；ak·al＝am·an③若{an}为等比数列，公比为 q，则{a2n}也是等比数列，公比为________；q2比数列．{anbn}④若{an}，{bn}是等比数列，则________和________也是等
【问题探究】
答案：必须满足是等比数列且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)．2．数列{an}是等比数列，那么 λan 也为等比数列吗？
答案：不一定，只有当λ≠0 时该结论才成立．1．应用等比数列的性质ak·al＝am·an时应注意什么条件？题型 1等比数列性质【例 1】 在等比数列{an}中，若 a2＝2，a6＝162，求 a10.
思维突破：可利用通项公式或等比数列的性质来求．
解：方法一：∵a6＝a2q4，a2＝2，a6＝162，
∴q4＝81.∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122.
方法二：∵2,6,10三数成等差数列，
∴a2，a6，a10成等比数列．任何一项，但不一定简单．如果避开求 a1 与 q，直接利用等比
数列的性质求解，那么问题将更加简单明了．【变式与拓展】求 a3＋a5 的值．1．在等比数列{an}中，若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，∴(a3＋a5)2＝25.
又an>0，∴a3＋a5＝5.题型 2等比数列性质的应用【例2】 在等比数列{an}中，若a5·a11＝3，a3＋a13＝4，则答案：C思维突破：利用等比数列性质：在等比数列中，若m＋n＝k＋l(k，l，m，n∈N*)，则有am·an＝ak·al.解析：∵a5·a11＝a3·a13＝3，a3＋a13＝4，
∴a3＝1，a13＝3或a3＝3，a13＝1.【变式与拓展】
2．在等比数列{an}中，若 a2·a8＝36，a3＋a7＝15，则公比)Dq 值的可能个数为(
A．1 个
C．3 个B．2 个
D．4 个题型 3等差、等比数列性质的综合应用 【例 3】 已知：数列{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和，
且 a2＝3,4S2＝S4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{ }是等比数列；
(3)求使得 Sn＋2>2Sn 成立的 n 的集合．(3)解：由a1＝1，d＝2，an＝2n－1，得Sn＝n2.
∴Sn＋2>2Sn?(n＋2)2>2n2?(n－2)2<8.
∴n＝1,2,3,4.故n的集合为{1,2,3,4}． 【变式与拓展】
3．三个正数成等差数列，它们的和等于 15，如果它们分
别加上 1,3,9，就成为等比数列，求这三个数．因为三个数为正数，所以 a＝5，d＝2.
所以所求三个数分别为 3,5,7. 【例 4】 在等比数列{an}中，a5，a9 是方程 7x2－18x＋7＝
0 的两个根，试求 a7.
易错分析：审题不细心．根据 a7 是 a5 与 a9 的等比中项求
出 a7 后，易忽视对 a7 符号进行讨论．[方法·规律·小结] 1．准确掌握等比数列的通项公式与定义，由此得出的一些
等比数列的性质，掌握推导性质的方法比记忆性质更重要．
2．适当记忆一些性质，利用性质提高解题速度与解题的正
确率．如用等比数列的性质：若 k＋l＝m＋n，则 ak·al＝am·an 可
以解决很多相关的问题．3．等比数列的一些项组成的新的等比数列也经常遇到，要准确判断用好定义与通项公式．课件19张PPT。2．5等比数列的前 n 项和2．5.1 等比数列的前 n 项和【学习目标】1．掌握等比数列{ an}前 n 项和公式．2．通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法．等比数列{ an}的前 n 项和等比数列前 n 项和公式为________________ (q≠1)，当 q＝1 时，__________.练习：设{an}是公比为正数的等比数列，若 a1＝1，a5＝16，)C则数列{an}前 7 项的和为(
A．63
C．127B．64
D．128 Sn＝na1【问题探究】么？
答案：公比 q≠1.当 q＝1 时，Sn＝na1 ，使用等比数列前 n
项和公式应注意公式成立的前提条件．
2．等比数列{ an}的前 n 项和的两个公式涉及几个量？至少
知道几个量才能求解其他的几个量？
答案：涉及五个量．已知 a1，an，q，n，Sn 中任意三个，
可求其余两个，称为“知三求二”．
思维突破：求等比数列前 n 项和或已知前 n 项和求数列的
通项的思路都是根据已知条件建立方程组求出 a1 与 q.题型1 利用方程思想求a1，n，q，an，Sn中有关的量
【例1】 已知在等比数列{an}中，公比q＜1.(2)若a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式． (1)a1，n，q，an，Sn 中知道三个可求另外两个，
需建立方程组求解，此法为“基本量法”． (2)运用等比数列的前 n 项和公式要注意公比 q＝1 和 q≠1
两种情形，在解有关的方程组时，通常用约分或两式相除的方
法进行消元．【变式与拓展】
)的前 n 项和为 Sn，则(
D
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an题型 2等比数列前 n 项和公式的应用 【例 2】 等比数列{an}的各项均为正数，其前 n 项中，数
值最大的一项是 54，若该数列的前 n 项之和为 Sn，且 Sn＝80，
S2n＝6560，求：
(1)前 100 项之和 S100；
(2)通项公式 an. 【变式与拓展】
2．在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2＋a4＝60，Sn>400，求
n 的取值范围．
又∵a2＋a4＝a1q(1＋q2)＝60，且1＋q2>0，
∴a1q>0，得a1q＝6,1＋q2＝10.题型 3等差数列和等比数列的综合应用 【例 3】(2012 年山东)已知等差数列{an}的前 5 项和为 105，
且 a10＝2a5.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意 m∈N*，将数列{an}中不大于 72m 的项的个数记
为 bm.求数列{bm}的前 m 项和 Sm. 在解决等差、等比数列的综合题时，重点在
于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及
前 n 项和公式是解决问题的关键．【变式与拓展】
式．(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公 【例 4】已知在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求 a3 和q.解：由题意，得
若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．此时，a3＝2.解得q＝1(舍去)或q＝－2.此时a3＝8.
综上所述，a3＝2，q＝1或a3＝8，q＝－2.[方法·规律·小结]1．用等比数列前 n 项和公式，应注意公比 q 是否等于 1.
2．用错位相减法不仅能推导等比数列求和公式，还可以在其他特定类型的数列求和中应用．课件23张PPT。2．5.2 等比数列前 n 项和的性质【学习目标】掌握等比数列{ an}前 n 项和公式的一些基本性质．1．数列{an}是等比数列，Sn 是其前n项和，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 也成__________．等比数列练习 1：在正项等比数列{an}中，若 S2＝7，S6＝91，则 S4)A的值为(
A．28
C．35B．32
D．492．在等比数列中，若项数为 2n(n∈N*)，S 偶与 S 奇分别为q1236 练习2：已知等比数列{an}中，公比q＝3，a1＋a3＋a5＋a7＝4，则a2＋a4＋a6＋a8＝_______，a3＋a5＋a7＋a9＝_______.【问题探究】写成 Sn＝A(qn－1)(Aq≠0，且 q≠1)的形式？若可以，A 等于什
么？题型 1等比数列前 n 项和性质的应用 【例 1】 已知等比数列前 n 项和为 10，前 2n 项和为 30.
求前 3n 项和．
解：方法一：设数列为{an}，
依题意，可得 Sn＝10，S2n＝30.
又∵在等比数列{an}中，
Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等比数列，∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，
即(30－10)2＝10·(S3n－30)，
即S3n＝70.
方法二：∵S2n≠2Sn，∴q≠1.由已知，得 与 Sn 有关的性质主要是 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n
的关系．在与 Sn 有关的运算中，经常用到两种技巧：①两式相
除法；②整体代入法．但都不要忽略对 q 的讨论．【变式与拓展】
1．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝18，a2＋a3＋a4＝－9，Sn＝a1＋a2＋…＋an，则Sn＝_____________. 题型 2等比数列前 n 项和的综合运算 例2：在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，且前n项和Sn＝126，求n及公比q. 思维突破：解本题的关键是利用a1·an＝a2·an－1，进而求出a1，an，要注意a1，an有两组解．解：∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，
∴a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．
解方程，得x1＝2，x2＝64.
∴a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2，显然q≠1.【变式与拓展】
2．已知数列{an}为等比数列，Sn 是它的前 n 项和，若 a2·a3A．35
C．31B．33
D．29
答案：C3．各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn＝2，S3n＝14，则 S4n＝()BA．80B．30C．26D．16S4n＝S3n＋q3nSn＝14＋23×2＝30.
解析二：设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列
?x2－2x－24＝0?x＝6.
∴Sn＝2，S2n－Sn＝4，S3n－S2n＝8，S4n－S3n＝16，
∴S4n＝2＋4＋8＋16＝30.
解析三：令n＝1?a1＝2.
a1(1＋q＋q2)＝14?q2＋q－6＝0?q＝2，
∴S4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝30.题型 3等比数列前 n 项和的实际应用 【例 3】 小君有人民币若干，拟作股票投资或长期储蓄，
若存入银行年利率为 6%，若购某种股票年红利为 24%，不考
虑物价变化因素，且银行年利率及该种股票年红利不变，股份
公司不再发行新股票，但每年的利息和红利可存入银行．
(1)求小君购股票或储蓄 x 年后所拥有人民币总额 y 与 x 的
函数关系式；
(2)问：经过几年，购买股票与储蓄所拥有的人民币相等(lg2
＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg1.06＝0.025 3)?0.06)x-1]a，解：(1)设小君有人民币 a 元，若长期储蓄，则 x 年后人民币总额为 y＝a(1＋0.06)x，即 y＝1.06x·a.
若购买股票，则 x 年后利息和红利总额为y ＝[0.24 ＋0.24(1 ＋0.06) ＋0.24(1 ＋0.06)2 ＋…＋0.24(1 ＋即 y＝4(1.06x－1)a. 即大约经过 5 年，股票与储蓄拥有的人民币相等．
此题是复利问题，问题的关键是每满一年将前
面的本息和作为整体自动转存． 【变式与拓展】
4．一房地产开发商将他新建的 20 层商品房的房价按下列
方法定价，先定一个基价 a 元/m2，再据楼层的不同上下浮动，
一层价格为(a－d)元/m2，二层价格 a 元/m2，三层价格为(a＋d)
该商品房的各层房价的平均值为( )答案： B 【例 4】 已知数列{an}是等比数列，试判断该数列从第一
项起依次 k 项的和组成的数列{bn}是否仍为等比数列．
解：设bn＝a(n－1)k＋1＋a(n－1)k＋2＋…＋ank，…，且数列{an}的公比为q.
则当q＝1时，b1＝b2＝…＝bn＝ka1.
∴{bn}是公比为1的等比数列．∴{bn}是公比为qk的等比数列．
当q＝－1时，若k为偶数，则bn＝0，此时{bn}不能为等比数列；若k为奇数，则{bn}是公比为－1的等比数列．[方法·规律·小结] 等比数列的定义、通项公式、求和公式是等比数列的基本
知识点，适当了解等比数列的一些基本性质，会给解题带来一
定的帮助．课件27张PPT。2．6数列求和【学习目标】1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式．2．会用错位相减法、裂项相消法求一些简单数列的前 n 项和．1．等差、等比数列的求和(1)等差数列{an}的求和公式为_________________________________________．(2)等比数列{an}的求和公式为__________________________________．2．一般数列求和的常用方法
(1)裂项相消法：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和．(2)错位相减法： 给 Sn＝a1＋a2＋…＋an 两边同乘一个适当的数或式子，然
后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前
n 项和 Sn.一般适应于数列{anbn}的前 n 项求和，其中{an}成等差
数列，{bn}成等比数列．(3)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(4)倒序相加法：如等差数列前 n 项和公式的推导．B【问题探究】1．当数列{an}是一个等差数列或等比数列时，用什么方法求和？答案：公式法2．等差数列的求和公式是用什么方法推导出来的？等比数列呢？答案：等差数列的求和公式是用倒序相加法推导出来的，等比数列的求和公式是用错位相减法推导出来的．题型 1公式法求和【例 1】 已知在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值．解：(1)设等差数列{an}的公差d，则an＝a1＋(n－1)d，
由题设，得a3＝－3＝a1＋2d＝1＋2d.所以d＝－2.
an＝1＋(n－1)(－2)＝3－2n.所以k2－2k－35＝0.解得k＝7或k＝－5.
因为k∈N*，所以k＝7.【变式与拓展】
1．求和：22＋23＋24＋…＋2n＋3＝__________.2n＋4－4题型 2分组法求和 【例 2】 设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2
＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列{an＋
bn}的前 n 项和 Sn. 若一个数列是由等比数列和等差数列组成，则
求和时，可先分别求和，再将各部分合并，这就是我们说的分
组求和． 解：(1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4，得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0.
解得q＝2或q＝－1(舍去)．所以q＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)． 【变式与拓展】
2．(2012年广东韶关二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且S1，2S2，3S3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设数列{an}的公比为q，
若q＝1，则S1＝a1＝1,2S2＝4a1＝4,3S3＝9a1＝9.
但S1＋3S3＝10≠2×2S2，与已知矛盾，故q≠1.且S1，2S2，3S3成等差数列，得S1＋3S3＝2×2S2，题型 3裂项相消法求和 在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具
有对称性，即前面剩多少项则后面也剩多少项．常见的拆项公【变式与拓展】
3．(2013年大纲)在等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9，
(1)求{an}的通项公式；题型 4 错位相减法求和 【例4】 求和：Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)·
xn－1(x≠0)．解：当x＝1时，Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；
当x≠1时，
∵Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1，
∴xSn＝x＋3x2＋5x3＋7x4＋…＋(2n－3)xn－1＋(2n－1)xn.【变式与拓展】4．设数列{an}的前 n 项和为 Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2.
故数列{an}的通项公式为an＝4n－2，
即数列{an}是首项a1＝2，公差d＝4的等差数列．易错分析：本题的处理易忽略已知条件 an>0 而导致解答错误，因而在审题的时候要仔细认真．项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0.(1)求{an}的通项公式；
(2)求{nSn}的前n项和Tn.解：(1)由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，得
210(S30－S20)＝S20－S10，
即210(a21＋a22＋…＋a30)＝a11＋a12＋…＋a20.
可得210·q10(a11＋a12＋…＋a20)＝a11＋a12＋…＋a20.[方法·规律·小结]对于数列的求和问题，常用的方法有三种，如下：(1)公式法：对于等差数列和等比数列的求和，可运用其前n 项和公式． (2)裂项相消法：把通项分裂成两项之差，达到项相互抵消．
(3)错位相减法：有的数列既不是等差数列，也不是等比数
列，但通过适当的变换，可以化成等差数列或等比数列的求和
问题来解决．课件27张PPT。章末整合提升专题一：等差、等比数列的概念与性质 【例 1】 已知数列{an}的首项 a1＝2a＋1(a 是常数，且 a≠
－1)，an＝2an－1＋n2－4n＋2(n≥2)，数列{bn}的首项 b1＝a，bn
＝an＋n2(n≥2).(1)证明：{bn}从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列；
(2)设 Sn 为数列{bn}的前 n 项和，且{Sn}是等比数列，求实数 a 的值；(3)当 a>0 时，求数列{an}的最小项．思维突破：第(1)问用定义证明，进一步第(2)问也可以求出，第(3)问由 a 的不同而要分类讨论．(1)证明：∵bn＝an＋n2，
∴bn＋1＝an＋1＋(n＋1)2＝2an＋(n＋1)2－4(n＋1)＋2＋(n
＋1)2＝2an＋2n2＝2bn(n≥2)．
由a1＝2a＋1，得a2＝4a，b2＝a2＋4＝4a＋4.
∵a≠－1，∴ b2≠0，
即{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列． 点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学
思想，有一定的综合性．【互动与探究】线 y＝x 上．(1)计算a2，a3，a4的值；
(2)令bn＝an＋1－an－1，求证：数列{bn}是等比数列；
(3)求数列{an}的通项公式． 专题二：求和问题
【例2】 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由． (2)方法一：由d＜0可知：a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.
因此，若在1≤n≤12中，存在自然数n，使得an＞0，
an＋1＜0，则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．
由于S12＝6(a6＋a7)＞0，S13＝13a7＜0，
即a6＋a7＞0，a7＜0.由此，得a6＞－a7＞0.
故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．
方法二：由d＜0可知：a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.
因此，若在1≤n≤12中，存在自然数n，使得an＞0，an＋1＜0，则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．点评：数列的最值问题．
(1)前 n 项和为Sn，有最大值．确定使Sn 取最大值时的 n 值．
①是求使 an≥0，an＋1<0，成立的 n 值；质求得 n 值． 【互动与探究】
专题三：数列的综合问题(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：对于一切正整数n,2an≤bn＋1＋1.【互动与探究】＝1，且 f(x)＝x 有唯一解．
(1)求 f(x)的表达式；
(2)记 xn＝f(xn－1)(n∈N 且 n>1)，且 x1＝f(1)，求数列{xn}的
通项公式；
第二章 数列
2．1 数列的概念与简单表示法
2．1.1 数列的概念及表示方法
1．下列说法不正确的是( )
A．数列可以用图象来表示
B．数列的通项公式不唯一
C．数列的项不能相等
D．数列可以用一群孤立的点表示
2．关于以下4个数列：
(1)－1,1，－1,1，…；
(2)1,3,5,7，…；
(3)，，，，…；
(4)－27,9，－3,1.
正确的叙述是( )
A．(1)(2)是无穷数列，(3)(4)是有穷数列
B．(2)(3)是无穷数列，(1)(4)是有穷数列
C．(1)(2)(3)是无穷数列，(4)是有穷数列
D．(2)是无穷数列，(1)(3)(4)是有穷数列
3．已知数列{n2＋n}，那么( )
A．0是数列中的一项
B．21是数列中的一项
C．702是数列中的一项
D．以上答案都不对
4．已知数列{an}的前4项为1，，，，则数列{an}的通项公式可能为( )
A．an＝ B．an＝2n－1
C．an＝ D．an＝2n＋1
5．已知数列1，，，，…，，…，那么是该数列的第几项( )
A．4 B．5 C．6 D．7
6．在数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中，x的值是( )
A．19 B．20 C．21 D．22
7．图K2-1-1是关于星星的图案构成的一个数列，请写出这个数列的一个通项公式．
图K2-1-1
8．已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋1)，另一个数列{bn}可用bn＝表示，则{bn}的通项公式为__________．
9．已知数列{an}的前4项分别为1,0,1,0，则下列各式可作为数列{an}的通项公式的个数有( )
①an＝[1＋(－1)n＋1]；
②an＝sin2；
③an＝[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)；
④an＝，(n∈N*)；
⑤an＝
⑥an＝.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知数列的通项公式为an＝，试问：和是不是它的项？如果是，是第几项？
2．1.2 数列的递推公式
1．在数列{an}中，an＋1＝an＋2，且a1＝1，则a4＝( )
A．8 B．6 C．9 D．7
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A.
B.
C.
D.
3．已知数列{an}满足a1＞0，且an＋1＝an，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
4．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10＝( )
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
5．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝tan，则a2＝( )
A. B．－
C．2 D．－2
6．(2014年浙江宁波模拟)设a∈R，数列{(n－a)2}(n∈N*)是递增数列，则a的取值范围是( )
A．a≤0 B．a<1
C．a≤1 D．a<
7．已知数列{an}，an＝(n∈N*)，求是这个数列的第几项．
8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝( )
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
9．在图K2-1-2中，(1)(2)(3)，…是由花盆摆成的图案．
图K2-1-2
根据图中花盆摆放的规律，猜想第4个图形中花盆数为__________，记第n个图形中的花盆数为an，当n>1时，an与an－1的递推关系为__________．
10．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，Sn＝n2·an，求数列{an}的通项公式．
2.2 等差数列
2．2.1 等差数列的定义及通项公式
1．设数列{an}的通项公式an＝f(n)是一个函数，则它的定义域是( )
A．非负整数
B．N*的子集
C．N*
D．N*或{1,2,3，…，n}
2．在等差数列{an}中，a1＝21，a7＝18，则公差d＝( )
A. B.
C．－ D．－
3．已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为( )
A．公差为2的等差数列
B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列
D．非等差数列
4．在等差数列{an}中，a1＝1，公差d＝3，若an＝2014，则n＝( )
A．669 B．665
C．671 D．672
5．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是( )
A．－2 B．－3
C．－4 D．－5
6．在等差数列{an}中，已知a1＝3，an＝21，d＝2，则n＝________.
7．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，求a6.
8．一个三角形的三个内角A，B，C成等差数列，则sin(A＋C)＝( )
A．－ B.
C．－ D.
9．在1和2之间插入2个数，使它们与1,2组成等差数列，则该数列的公差为______．
10．在公差不为零的等差数列{an}中，a1，a2为方程x2－a3x＋a4＝0的根，求数列{an}的通项公式．
2.2.2 等差数列的性质
1．(2013年上海)在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，则a2＋a3＝________.
2．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝( )
A．－2 B．－
C. D．2
3．若{an}是等差数列，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两根，则a5＋a8＝( )
A．3 B．－5
C．－2 D．－3
4．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝( )
A．120 B．105
C．90 D．75
5．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝( )
A．－1 B．1
C．3 D．7
6．在等差数列{an}中，若a7＝m, a14＝n，则a21＝________.
7．四个数a，x，b,2x成等差数列，求的值．
8．等差数列{an}的各项均为正数，若a3a5＋a3a8＋a5a10＋a8a10＝64，则a1＋a12＝________.
9．(2014年上海模拟)函数f(x)＝Asin(ω>0)的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g(x)＝Asinωx的图象，只要将f(x)的图象向右平移________个单位．
10．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算．
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
(2)如图K2-2-1,2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
图K2-2-1
2.3 等差数列的前n项和
2．3.1 等差数列的前n项和
1．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝( )
A．2 B．3
C．6 D．7
2．(2013年安徽)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( )
A．－6 B．－4 C．－2 D．2
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝( )
A．13 B．35
C．49 D．63
4．等差数列{an}各项都是负数，且a＋a＋2a3a8＝9，则它的前10项和S10＝( )
A．－15 B．－13 C．－11 D．－9
5．设数列{an}是公差为d的等差数列，前n项和为Sn.当首项a1与公差d变化时，若a4＋a8＋a9是一个定值，则下列各数中也是定值的是( )
A．S9 B．S11
C．S13 D．S15
6．在等差数列{an}中，公差d＝2, S20＝60，则S21＝( )
A．100 B．84
C．66 D．62
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，求a2＋a4＋a9的值．
8．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝( )
A．38 B．20
C．10 D．9
9．在等差数列{an}，{bn}中，若a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项之和为____________．
10．已知一个等差数列的前4项之和为21，末4项之和为67，前n项和为286，求该数列的项数n.
2.3.2 等差数列前n项和的性质
1．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝( )
A．12 B．24 C．36 D．48
2．已知等差数列{an}，an＝2n－19，那么这个数列的前n项和Sn( )
A．有最小值且是整数
B．有最小值且是分数
C．有最大值且是整数
D．有最大值且是分数
3．在等差数列{an}中，a1＋a7＝42，a10－a3＝21，则前10项的和S10＝( )
A．720 B．257
C．255 D．不确定
4．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＋a7＋a13是一确定的常数，下列各式：
①a21；②a7；③S13；④S14；⑤S8－S5，其中结果为确定常数的是( )
A．②③⑤ B．①②⑤
C．②③④ D．③④⑤
5．等差数列{an}前n项和为Sn，满足S20＝S40，则下列结论中正确的是( )
A．S30是Sn中的最大值
B．S30是Sn中的最小值
C．S30＝0
D．S60＝0
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S12＞0，S13＜0，则S1，S2，S3，…，S12中值最大的是( )
A．S5 B．S6
C．S7 D．S8
7．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝－13，a2＝3，求Sn的最大值．
8．等差数列{an}的首项a1＝－5，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽去的是( )
A．a6 B．a8
C．a10 D．a11
9．若在等差数列{an}中，S10＝100，S20＝110，则S40＝( )
A．130 B．30
C．－140 D．－170
10．已知数列{an}的前n项和是Sn＝32n－n2，求数列{|an|}的前n项和Sn′.
2.4 等比数列
2．4.1 等比数列的定义及通项公式
1．已知等比数列的通项公式为an＝2n，则a1，q分别为( )
A．2,2 B．2,1
C．1,2 D．1,1
2．在等比数列{an}中，若a2＝3，a5＝24，则数列{an}的通项公式为( )
A.·2n B.·2n－2
C．3·2n－2 D．3·2n－1
3．2与4的等比中项是( )
A．2 B．－2
C．±2 D．不存在
4．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝( )
A. B.
C. D．2
5．(2013年江西)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于( )
A．－24 B．0 C．12 D．24
6．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
7．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求这四个数．
8．在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝( )
A．±4 B．4
C．－4 D．8
9．(2014年广东肇庆一模)已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a5＝________.
10．在数列{an}中，a1＝1,2an＋1＝2·an(n∈N*)．证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式．
2.4.2 等比数列的性质
1．在等比数列{an}中，已知a1＝1, a4＝8，则a5＝( )
A．16 B．16或－16
C．32 D．32或－32
2．已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )
A．5 B．7
C．6 D．4
3．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为( )
A．x2－6x＋25＝0
B．x2＋12x＋25＝0
C．x2＋6x－25＝0
D．x2－12x＋25＝0
4．(2012年广东茂名一模)在等比数列{an}中，若a3，a9是方程3x2－11x＋9＝0的两根，则a6的值是( )
A．3 B．±3
C．± D．以上答案都不对
5．已知{an}是等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝( )
A．1 B．64
C．64或1 D．±1
6．等比数列{an}满足a1a5＝，则a2aa4＝________.
7．在等比数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，求的值．
8．设数列{an}是等比数列，且a5a6＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝__________.
9．2，x，y，z,162是成等比数列的5个正整数，则y＝( )
A．54 B．27
C．18 D．±18
10．已知数列{an}与等比数列{bn}满足bn＝2an，n∈N*.
(1)判断{an}是什么数列，并证明；
(2)若a8＋a13＝，求b1·b2·…·b20的值．
2.5 等比数列的前n项和
2．5.1 等比数列的前n项和
1．(2014年广东清远一模)在等比数列{an}(n∈N*)中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前5项和为( )
A．2－3 B．2－4
C．2－5 D．2－6
2．在等比数列{an}中，a1＝1, 前3项和S3＝3，则公比q＝( )
A．1 B．－2
C．1或－2 D．－1或2
3．在1和16之间插入3个正数a，b，c，使1，a，b，c,16成等比数列，则这个等比数列所有项的和为( )
A．28 B．29 C．30 D．31
4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知数列{an}的通项公式为an＝22n－1，则数列{an}的前5项和S5＝( )
A. B．62
C. D．682
6．(2013年北京)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝__________.
7．在等比数列中{an}中，已知a1＝1，a4＝8，求：
(1)数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和Sn.
8．等比数列{an}的公比q＞0, 已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝______.
9．已知a≠0，则S＝1＋a＋a2＋a3＋…＋a10＝____________________.
10．等比数列{an}的前n 项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
2.5.2 等比数列前n项和的性质
1．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为( )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或
2．在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18, a2＋a3＝12，则这个数列的前8项之和S8＝( )
A．513 B．512
C. D．510
3．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝( )
A．80 B．30 C．26 D．16
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )
A．2 B.
C. D．3
5．某工厂去年产值为a，计划5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内这个工厂的总产值是( )
A．1.14a B．1.15a
C．10(1.15－1)a D．11(1.15－1)a
6．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )
A．12 B．10
C．8 D．2＋log35
7．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，求.
8．在等比数列{an}中，Sn是其前n项和，若S6＝48，S12＝60，则S18＝________.
9．一个等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1＝________.
10．项数为偶数的等比数列的所有项之和等于它的偶数项之和的4倍，第2项与第4项之积为第3 项与第4项之和的9倍，求该数列的通项公式．
2.6 数列求和
1．在等差数列{an}中，公差d≠0，a1≠d，S20＝10m，那么下列各式中与m相等的是( )
A．a3＋a5 B．a2＋2a10
C．a20＋d D．a9＋a12
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q＝( )
A. B．－ C. D．－
3．数列{an}的通项公式为an＝，若Sn＝9，则n＝( )
A．9 B．10 C．99 D．100
4．在等比数列{an}中，an>an＋1，且a7·a14＝6，a4＋a17＝5，则＝( )
A. B. C. D．6
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为( )
A. B. C. D.
6．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10＝( )
A．18 B．24 C．60 D．90
7．求数列，，，…，，…的前n项和Sn.
8．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和为( )
A．13 B．13
C．14 D．14
9．数列{an}是等差数列，公差d>0，Sn是{an}的前n项和．已知a2a3＝40，S4＝26.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝，求数列{bn}前n项和Tn.
10．(2013年湖南)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.
(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和．
第二章 数列
2．1 数列的概念与简单表示法
2．1.1 数列的概念及表示方法
1．C 2.C 3.C 4.A 5.C 6.C 7.an＝
8．bn＝ 9.C
10．解：设是数列{an}中的项，∴an＝＝，即n2＋3n－40＝0，(n＋8)(n－5)＝0.∴n＝－8(舍去)，n＝5.
∴是数列{an}中的第5项．
同理设是数列{an}中的项，∴an＝＝，
即4n2＋12n－27＝0，(2n－3)(2n＋9)＝0.
∴n＝(舍去)或n＝－(舍去)．
∴不是数列{an}中的项．
2．1.2 数列的递推公式
1．D 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D
7．解：依题意，得120＝n(n＋2)．
∴n2＋2n－120＝0，即(n＋12)(n－10)＝0.
∴n＝－12(舍去)，或n＝10.
∴是数列{an}的第10项．
8．A 解析：a2＝a1＋ln2，a3＝a2＋ln，a4＝a3＋ln，…，an－1＝an－2＋ln，an＝＋ln，故an＝a1＋ln2＋ln＋ln＋…＋ln＋ln＝a1＋ln＝a1＋lnn＝2＋lnn.
9．37 an－an－1＝6(n－1)
10．解：∵a1＝1，Sn＝n2·an，
∴当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2·an－1.
∴an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1?＝.
∴an＝· ··…· ··a1
＝· ··…· ··1＝.
显然当n＝1时，＝1，∴an＝，n∈N*.
2．2 等差数列
2．2.1 等差数列的定义及通项公式
1．D 2.A 3.A 4.D 5.C 6.10 7.13 8.D
9.
10．解：根据韦达定理，得
即解得
故an＝a1＋d＝2n.
2．2.2 等差数列的性质
1．15 2.B 3.A 4.B 5.B
6．2n－m 7. 8.8 9.
10．解：(1)由题意知：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列．
数列的通项公式为an＝1896＋4(n－1)＝1892＋4n(n∈N*)．
(2)假设an＝2008，由2008＝1892＋4n，得n＝29.
假设an＝2050,2050＝1892＋4n无正整数解．
∴所求通项公式为an＝1892＋4n(n∈N*)，2008年北京奥运会是第29届奥运会，2050年不举行奥运会．
2．3 等差数列的前n项和
2．3.1 等差数列的前n项和
1．B 2.A 3.C 4.A 5.C 6.B
7．解：数列{an}是等差数列，
由S9＝72，又S9＝9a5，∴a5＝8.
∴a2＋a4＋a9＝(a2＋a9)＋a4＝(a5＋a6)＋a4＝3a5＝24.
8．C 解析：∵数列{an}是等差数列，∴am－1＋am＋1＝2am.由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0，∴am＝2或am＝0(舍去)．又S2m－1＝38，即＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10.
9．10 000 解析：S100＝＝50×(25＋75＋100)＝10 000.
10．解：设这个数列为{an}，则
∴a1＋an＝22.
∵Sn＝＝286，∴n＝26.
2．3.2 等差数列前n项和的性质
1．B 2.A 3.C 4.A
5．D 解析：∵{an}为等差数列，S20＝S40，
∴a21＋a22＋…＋a40＝0.S60＝(a1＋a2＋…＋a20)＋(a21＋a22＋…＋a40)＋(a41＋a42＋…＋a60)＝3(a21＋a22＋…＋a40)＝0.
6．B
7．解：∵a2＝3，a3＝－13，∴d＝a3－a2＝－16.
∴a1＝a2－d＝19.
∵a2>0，a3>0，且d<0，
∴Sn的最大值为S2＝a1＋a2＝19＋3＝22.
8．B 9.C
10．解：∵a1＝S1＝32×1－12＝31，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝33－2n.
又由an＞0，得n＜16.5，即{an}前16项为正，以后皆负．
∴当n≤16时，Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝32n－n2；
当n＞16时，Sn′＝a1＋…＋a16－a17－a18－…－an
＝S16－(Sn－S16)＝2S16－Sn＝512－32n＋n2.
∴Sn′＝
2．4 等比数列
2．4.1 等比数列的定义及通项公式
1．A 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B
7．解：设所求的四个数分别为a，x－d，x，x＋d，
则
解得x＝4.代入①②，得
解得或
故所求四个数为25，－10,4,18或9,6,4,2.
8．B 9.16
10．证明：∵2an＋1＝2·an，
∴an＋1＝·2·an.
∴＝··an＝·.
因此数列是以首项为＝1，公比为的等比数列．
∴＝1·n－1＝，即an＝.
2．4.2 等比数列的性质
1．A 2.A 3.D 4.C 5.C
6. 解析：a1a5＝?a＝，a2aa4＝a＝.
7．解：因为a7a11＝a4a14＝6，又a4＋a14＝5，
所以或
所以＝q10＝.所以＝或＝.
8．20 解析：log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·…·a10)＝log3(a5a6)5＝5log381＝5×4＝20.
9．C 解析：由已知，得y＝＝18.
10．解：(1)数列{an}是等差数列．证明如下：
∵bn＝2an，∴log2bn＝an.∴an－1＝log2bn－1(n≥2)．
∴an－an－1＝log2.
∵数列{bn}为等比数列，
∴为常数，log2也为常数．
∴数列{an}为等差数列．
(2)∵bn＝2an，
∴b1·b2·b3·…·b20＝2a1＋a2＋a3＋…＋a20.
由(1)知：{an}为等差数列，且a8＋a13＝，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a20＝10(a8＋a13)＝5.
∴b1·b2·b3·…·b20＝25＝32.
2．5 等比数列的前n项和
2．5.1 等比数列的前n项和
1．B 2.C 3.D 4.B 5.D 6.2 2n＋1－2
7．解：(1)由已知a1＝1，a4＝8，
∴a1q3＝8，易得q＝2.
∴a2＝2n－1.
(2)∵Sn＝＝＝2n－1.
8. 9.11或
10．解：(1)依题意，得a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知，可得a1－a12＝3，故a1＝4.
从而Sn＝＝.
2．5.2 等比数列前n项和的性质
1．C 2.D 3.B 4.B 5.D
6．B 解析：由a5a6＋a4a7＝18，得a5a6＝9.所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·…·a10)＝log3(a5·a6)5＝log395＝log3310＝10.
7．解：∵q＝2，
∴S4＝＝15a1.
∴＝＝.
8．63 解析：在等比数列{an}中，(S12－S6)2＝S6·(S18－S12)，
∴S18＝＋S12＝＋60＝63.
9.
10．解：设数列{an}共有2n项，则
(a1＋a2＋a3＋…＋a2n)＝4(a2＋a4＋…＋a2n)．
显然q≠1，且a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1
＝3(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)．
∴＝，即q＝.
又a2·a4＝9(a3＋a4)，∴aq4＝9a1q2(1＋q)，∴a1＝108.
∴an＝108·n－1＝.
2．6 数列求和
1．D 2.D 3.C 4.B
5．A 解析：由a5＝5，S5＝15，得a1＝1，d＝1，∴an＝1＋(n－1)＝n.故＝＝－.又＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝.故选A.
6．C 解析：由a＝a3a7，得
(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)．
则2a1＋3d＝0.
再由S8＝8a1＋d＝32，得2a1＋7d＝8.
则d＝2，a1＝－3.
所以S10＝10a1＋d＝60.
7．解：∵＝，
∴Sn＝
＝＝－－.
8．A 解析：由1＋2＋…＋n＜100，即n(n＋1)＜200，得n≤13.当n＝13时，＝91，∴＋＋＋…＋＝13＋.
9．解：(1)S4＝(a1＋a4)＝2(a2＋a3)＝26，
又∵a2a3＝40，d>0，∴a2＝5，a3＝8，d＝3.
∴an＝a2＋(n－2)d＝3n－1.
(2)∵bn＝＝
＝，
∴Tn＝
＝＝.
10．解：(1)∵S1＝a1，
∴当n＝1时，2a1－a1＝S1·S1.又∵a1≠0，∴a1＝1.
当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝－＝2an－2an－1?an＝2an－1?{an}是首项为a1＝1，公比为q＝2的等比数列，即an＝2n－1，n∈N*.
(2)令Tn＝1·a1＋2·a2＋3·a3＋…＋n·an
?qTn＝1·qa1＋2·qa2＋3·qa3＋…＋n·qan
?qTn＝1·a2＋2·a3＋3·a4＋…＋n·an＋1.
上式左右错位相减，得
(1－q)Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－nan＋1
＝a1－nan＋1＝2n－1－n·2n
?Tn＝(n－1)·2n＋1，n∈N*.
第二章自主检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )
A．12 B．16 C．20 D．24
2．已知在等比数列{an}中，a1＝2，a5＝8，则a3＝( )
A．4 B．－4
C．±4 D．5
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＋a11＝12，则S13＝( )
A．52 B．54 C．56 D．58
4．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为( )
A．－110 B．－90
C．90 D．110
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S3＝( )
A．7 B．8
C．15 D．16
6．在正项等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4为( )
A．28 B．32
C．35 D．49
7．在等比数列{an}中，a1＝1，a10＝3，则a2a3a4a5a6a7a8a9＝( )
A．81 B．27
C. D．243
8．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝( )
A．3×44 B．3×44＋1
C．44 D．44＋1
9．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝( )
A．1 B．12
C．13 D．14
10．在等差数列{an}中，d＝1，S98＝137，则a2＋a4＋a6＋…＋a98＝( )
A．91 B．92
C．93 D．94
二、填空题(每小题5分，共20分)
11．等差数列的第5项是8，第8项是5，则公差d＝________，a13＝________.
12．在等差数列中，a3＋a4＝9，a2a5＝18，则a3a4＝________.
13．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.
14．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是________．
三、解答题(共80分)
15．(12分)已知在等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}前n项和Sn.
16．(12分)设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*.
(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)已知{bn}是等差数列，Tn为前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20的值．
17．(14分)已知数列{log2(an－1)}(n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<1.
18．(14分)已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2,3，….
(1)证明：数列是等比数列；
(2)数列的前n项和Sn.
19．(14分)已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝10，a5＝9，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＋1＝bn＋an.
(1)求数列{an}的通项公式，写出它的前n项和Sn；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)若cn＝，求数列{cn}的前项和Tn.
20．(14分)若数列{An}满足An＋1＝A，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知在数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图象上，其中n为正整数．
(1)证明数列{2an＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2an＋1)}为等比数列；
(2)设在(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn＝(2a1＋1)·(2a2＋1)·…·(2an＋1)，求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式；
(3)记bn＝Tn，求数列{bn}的前n项和Sn.
第二章自主检测
1．B 2.A 3.A 4.D 5.A
6．A 解析：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7,91－S4成等比数列，即(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或－21(舍去)．
7．A 解析：因为{an}是等比数列，所以a2a3a4a5·…·a9＝(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)＝(a1a10)4＝81.
8．A
9．A 解析：＝＝×＝1.
10．C 解析：∵S98＝137，∴(a1＋a3＋…＋a97)＋(a2＋a4＋…＋a98)＝137,2(a2＋a4＋…＋a98)－49d＝137，∴a2＋a4＋…＋a98＝93.
11．－1 0 解析：d＝＝－1，a13＝a5＋(13－5)d＝8－8＝0.
12．20 13.64
14．211 解析：a5＝a1q4?81q4＝16?q4＝.∵数列的各项都是正数，∴q＝.∴S5＝＝＝35·＝35－25＝211.
15．解：设{an}的公差为d，则
即解得或
因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，
或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．
16．解：(1)由题设知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴an＝3n－1.
∴Sn＝＝(3n－1)．
(2)b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，
∴公差d＝5.
故T20＝20×3＋×5＝1010.
17．(1)解：设等差数列{log2(an－1)}的公差为d.
由a1＝3，a3＝9，得2(log22＋d)＝log22＋log28，即d＝1.
∴log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝2n＋1.
(2)证明：∵＝＝，
∴＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＝1－<1.
18．解：(1)∵an＋1＝，∴＝＝＋·.
∴－1＝.又∵a1＝，∴－1＝.
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)知：－1＝·＝，即＝＋1.
∴＝＋n.
设Tn＝＋＋＋…＋， ①
则Tn＝＋＋…＋＋. ②
由①－②，得Tn＝＋＋…＋－
＝－＝1－－.
∴Tn＝2－－.
又∵1＋2＋3＋…＋n＝，
∴数列的前n项和
Sn＝2－＋＝－.
19．解：(1)设an＝a1＋(n－1)d，由题意，易得a1＝1，d＝2.
所以an＝2n－1，Sn＝na1＋d＝n2.
(2)b1＝a1＝1，bn＋1＝bn＋an＝bn＋2n－1，
所以b2＝b1＋1，b3＝b2＋3＝b1＋1＋3，…
bn＝b1＋1＋3＋…＋(2n－3)
＝1＋(n－1)2＝n2－2n＋2(n≥2)．
又当n＝1时，n2－2n＋2＝1＝a1，
所以数列{bn}的通项bn＝n2－2n＋2.
(3)cn＝＝＝－，
Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝＋＋…＋
＝1－＝.
20．解：(1)因为an＋1＝2a＋2an，
2an＋1＋1＝2(2a＋2an)＋1＝(2an＋1)2，
所以数列{2an＋1}是“平方递推数列”．
由以上结论，得lg(2an＋1＋1)＝lg(2an＋1)2＝2lg(2an＋1),
所以数列{lg(2an＋1)}是首项为lg5公比为2的等比数列．
(2)lg(2an＋1)＝[lg(2a1＋1)]×2n－1＝2n－1lg5＝lg，
2an＋1＝，an＝(－1)．
lgTn＝lg(2a1＋1)＋…＋lg(2an＋1)＝(2n－1)lg5，
Tn＝.
(3)因为bn＝＝＝2－，
所以Sn＝2n－2＋.
