课件24张PPT。高中数学 选修２-２1.1.1 平均变化率问题情境法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场．这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快．赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95秒的奥运会纪录，但经过验证他是以12.91秒的成绩追平了世界纪录，他的平均速度达到了8.52m/s．t / s20 3034 2 10 20 30 A (1，3.5) B (32，18.6) OS/m2 10 某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：C(34，33.4)t /s20 30 34 2 10 20 30 A (1，3.5) B (32，18.6) O2 10 S/mC(34，33.4)问题1 从A到B的位移是多少？从B到C的位移是多少？问题2 从A到B这一段与从B到C这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？AB段位移增加得平缓，BC段位移则是陡然增加．（3）曲线上BC之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？学生活动（2）还必须考察什么量？ 案例中，从B到C位移“陡增”，这是我们从图像中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？t/s2030 342 10 20 30 A (1，3.5) B (32，18.6) OC (34，33.4) S/m 2 10联想到用斜率来量化直线的倾斜程度，我们用比值：来近似地量化B，C之间这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为位移在区间[32，34]上的平均变化率．2030 342 10 20 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) OC (34, 33.4)S/m 2 10位移在区间[1，32]上的平均变化率为：位移在区间[32，34]上的平均变化率为：虽然点A，B之间的位移差与点B，C之间的位移差几乎相同，但它们的平均变化率却相差很大．t/s一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为 建构数学注意：不能脱离区间而言则平均变化率即为一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2－x1＝△xf(x2)－f(x1)＝△y直线AB的斜率观察函数f(x)的图象，思考：一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．数学运用解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为如何解释从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1（kg/月）？不同的区间上平均变化率可能不同本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？(kg/月)(kg/月)例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积V(t)＝5×2－0.1t（单位：cm3），试计算第一个10s内V的平均变化率．问题1 例2中的平均变化率的实际意义是什么？解 在第一个10s内，体积V的平均变化率为平均变化率可正可负问题2 负号表示容器甲中的水在减少，但是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积减少的速度呢？ 甲乙问题3 乙容器中水的体积平均变化率为多少？甲乙解 在第一个10s内，体积V的平均变化率为例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积V(t)＝5×2－0.1t（单位：cm3），试计算第一个10s内V的平均变化率．例3 已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x, 分别计算在区间[－3，－1]，[0，5]上f(x)及g(x)的平均变化率． 你在解本题的过程中有没有发现什么？一次函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率等于斜率k．ABx1x2f(x1)f(x2)△x△y你能解释为什么会出现这一现象吗？（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001]；多算几次，找找规律你在解本题的过程中有没有发现什么？练习1 在寓言龟兔赛跑中，从比赛开始到结束的这一段时间(规定有一方到达终点则比赛结束)，是乌龟的位移平均变化率大还是兔子的位移平均变化率大？为什么？课堂练习练习2 下图中白线是一天内某个股票的走势图，试从平均变化率的角度分析这支股票在下列时间段的涨跌情况．09:30至11:00 11:00至11:30 14:00至14:07 14:07至15:0009:30至11:00价格的平均变化率为11:00至11:30价格的平均变化率为14:00至14:07价格的平均变化率为14:07至15:00价格的平均变化率为解 (元/小时)(元/小时)(元/小时)(元/小时)1.平均变化率． 回顾反思 平均变化率近似的刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，2.反思． 如何精确的刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？平均变化率不能脱离区间而言，不同区间上平均变化率可能不同．平均变化率可正可负可为零，正负号分别表示变化量的增加或减少,平均变化率的绝对值的大小反映变化量变化的快慢程度．平均变化率的几何意义：连接区间两端点直线的斜率．课外作业预习第1.1.2节瞬时变化率----导数．2. 课本P7 练习2；P16 习题1.1 第1题．3. 下图中记载着刘翔在雅典奥运会110米栏中的比赛数据，试计算各个阶段刘翔位移的平均变化率．50.28m59.72m6.362s6.548s32.00m4.379s45.70m4.962s32.30m 3.569s课件14张PPT。高中数学 选修２-２1.1.2 瞬时变化率——导数（１）问题情境 问题一 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 问题二 观察“点P附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？问题三 这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了 什么图形呢？探究结论 从上面的图形变化过程来看：
1）曲线在点P附近看上去几乎成了直线．
2）继续放大，曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l，这条直线是过点P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线．
3）点P附近可以用这条直线代替曲线（即在很小范围内以直代曲）．深入探究：
如图所示，直线l1，l2为经过曲线上一点P的两条直线．问题一：试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；问题二：在点P附近能作出一条比l1 ， l2更加逼近曲线
的直线l3吗？问题三：在点P附近还能作出比l1，l2 ，l3更加逼近曲线的
直线吗？PQoxy割线切线l建构数学y＝f(x) 如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线. P为已知曲线C上的一点，
如何求出点P处的切线方程？随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C，当直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼近切线.
点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的yOxPQ试求f (x)=x2在点(2,4)处的切线斜率．Qx数学运用： 分析：设P(2，4)，Q(xQ，f(xQ))
则割线PQ的斜率为 当Q沿曲线逼近点P时，割线PQ逼近点P处的切线，从而割线斜率逼近切线斜率； 当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时，
即xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4． 从而曲线f(x)＝x2在点(2，4)处的
切线斜率为4．练习：试求f (x)＝x2＋1在x＝1处的切线斜率．解：设P(2，4)，Q(xQ，xQ2)，则割线PQ的斜率为： 当xQ无限趋近于2时，
kPQ无限趋近于常数4，
从而曲线f(x)＝x2
在点(2，4)处的切线
斜率为4．解：设P(2，4)，Q(2＋Δx，(2＋Δx)2)，
则割线PQ的斜率为： 当Δx无限趋近于0时，
kPQ无限趋近于常数4，
从而曲线f(x)＝x2
在点(2，4)处的切线
斜率为4． 练习：试求f (x)＝x2＋1在x=1处的切线斜率． 当△x无限趋近于0时，割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜率．找到定点P的坐标设出动点Q的坐标求出割线斜率解：由题意，设P(1，2)，
Q(1＋Δx，(1＋Δx)2＋1)，则割线PQ斜率为 当Δx无限趋近于0时，
kPQ无限趋近于常数2，
从而曲线f(x)＝x2＋1
在点x＝1处的切线斜率为2．yxOy = f(x)?xx0X0＋?xPQf (x0+?x) ? f (x0)切线割线P（x0,f(x0))Q(x0+△x,f(x0+ △x))△x>0时,点Q位于点P的右侧y=f(x)△x<0时,点Q位于点P的左侧
2.求出割线PQ的斜率 ，并化简. 求曲线y=f (x)上一点P(x0,f(x0))处切线斜率的一般步骤：3. 令Δx 趋向于0，若上式中的割线斜率“逼近”一个常数，
则其即为所求切线斜率．1.设曲线上另一点Q(x0+Δx,f(x0 + Δx))M（即 ?y)变式训练： 课堂练习：练习：1．曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映 (局部以直代曲)．
2．根据定义，利用割线逼近切线的方法，可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程．即区间长度趋向于0令横坐标无限接近函数在区间[xP ， xQ] (或[xQ，xP]）上的平均变化率P点处的瞬时变化率(导数)小 结：课件14张PPT。高中数学 选修２-２1.1.2 瞬时变化率——导数（２）复习回顾曲线上一点P处的切线斜率： 问题情境 平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度. 平均速度反映物体在某一段时间段内运动的快慢程度.那么如何刻画物体在某一时刻运动的快慢程度？问题一问题二：问题情境： 跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设t 秒后运动员相对于水面的高度为H(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋ 10，试确定t＝2s时运动员的速度.探究活动： （1）计算运动员在2s到2.1s（t∈[2，2.1]）内的平均速度.（2）计算运动员在2s到2＋Δts（t∈[2，2＋Δt]）内的平均速度.（3）如何计算运动员在更短时间内的平均速度.当△t→0时，该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度.即t＝2s时，高度对于时间的瞬时变化率.探究结论： 建构数学： 设物体作直线运动所经过的路程为s＝f(t)．
以t0为起始时刻，物体在△t时间内的平均速度为 `v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值，△ t 越小，近似的程度就越好.
所以当△t?0时， 极限就是物体在t0时刻的瞬时速度，即 数学运用： 分析:例1 物体作自由落体运动，运动方程为 ，其中位移单位是m，时间单位是s，g＝10m/s2，求
（1）物体在时间区间[2，2.1] s上的平均速度；
（2）物体在时间区间[2，2.01] s上的平均速度；
（3）物体在t＝2s时的瞬时速度.
（3）当Δ t→0，2＋ Δt→2，
从而平均速度 的极限为：解:（1）将 Δ t＝0.1代入上式，得: （2）将 Δt＝0.01代入上式，得: Δss(2)s(2＋Δt)建构数学： 设物体作直线运动的速度为v＝f(t)，以t0为起始时刻，物体在?t时间内的平均加速度为可作为物体在t0时刻的加速度的近似值，? t 越小，近似的程度就越好．所以当?t?0时，极限就是物体在t0时刻的瞬时加速度，即 数学运用： 分析:例2 设一辆轿车在公路上作直线运动，假设t(s)时的速度为v(t)＝t2＋3，求当t＝t0(s)时轿车的瞬时加速度 .
解:∴当Δt无限趋于0时， 无限趋于2t0，即 ＝2t0．当堂训练课本P12-1，2. 回顾反思实际应用问题中瞬时速度和瞬时加速度的求解．理解瞬时速度和瞬时加速度的定义；课件12张PPT。高中数学 选修２-２1.1.2 瞬时变化率——导数（３）PQoxyy＝f(x)割线切线T1.曲线在某一点切线的斜率复习回顾： （当Δx无限趋向0时，kPQ无限趋近点P处切线斜率） 设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)．以t0为起始时刻，物体在?t时间内的平均速度为就是物体在t0时刻的瞬时速度，即 `v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值，? t 越小，近似的程度就越好． 所以当?t?0时，比值2．瞬时速度v在t0的瞬时速度,当Δt→0时 以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限， 从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值．3．物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度．（即t＝t0时速度相对时间的瞬时变化率） 其实函数在某一点处的瞬时变化率——导数．v在t0的瞬时加速度当Δt→0时建构数学： 例1．求y＝x2＋2在点x＝1处的导数．数学运用： 解：变式训练：求y＝x2＋2在点x＝a处的导数由定义求导数（三步法）步骤: 如果函数 f(x)在开区间 (a，b) 内每一点都可导，就说f(x)在开区间 (a，b)内可导．这时，对于开区间 (a，b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f ?(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a，b)内的导函数，简称为导数，记作f ′(x)或y′（需指明自变量时记作y′x) ，即
建构数学： ，当Δx →0时的值．f ?(x0)与f ?(x)之间的关系： 当x0∈(a，b)时,函数y＝f(x)在点x0处的导数f ?(x0)等于函数f(x)在开区间(a，b)内的导数f ?(x)在点x0处的函数值． 如果函数y＝f(x)在点x0处可导,那么函数y＝f(x)在点
x0处连续.f ?(x0)与f ?(x)之间的关系： 当x0∈(a，b)时,函数y＝f(x)在点x0处的导数f ?(x0)等于函数f(x)在开区间(a，b)内的导数f ?(x)在点x0处的函数值． 如果函数y＝f(x)在点x0处可导,那么函数y＝f(x)在点
x0处连续.当堂训练课本P14第 1，2，3． 回顾反思： （1）了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵； （3）通过函数图象直观地了解导数的几何意义．（2）会求简单函数在某一点的导数；会求简单函数在某个区间上的导函数 ；课件14张PPT。高中数学 选修２-２1. 2. 1 常见函数的导数 根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标；
②利用切线斜率的定义求出切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程．
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．函数导函数f(x)在x＝x0处的导数f(x)的导函数x＝x0时的函数值关系 当函数f(x)在x＝x0处的导数的求解过程可以
看到，当x＝x0时，f ?(x0)是一个确定的数，那么
当x变化时，f ?(x0)便是x的一个函数，我们叫它
为f(x)的导函数，即Δx →0时，用导数的定义求下列各函数的导数：
知识探究解析：（1）∴当Δx→0时， ，即f ?(x)＝k（1）f(x)＝kx＋b（k，b为常数）（2）f(x)＝C（C为常数） （3）f(x)＝x
（4）f(x)＝x2 （5）f(x)＝x3
（6）f(x)＝ （7）f(x)＝（7）解：由上面的结果，你能发现什么规律？∴当Δx→0时， ，即f ?(x)＝思考：由（3）～（7），你能发现什么规律？几个常用函数的导数建构数学（1）(kx＋b) ? ＝k（k，b为常数）
（2）C ? ＝0（C为常数）
（3）(x)?＝1 （4）(x2)?＝x
（5）(x3)?＝x2 （6）( )?＝－
（7）( )?＝基本初等函数求导公式:（1）(xα)?＝ αxα－1（α为常数）（2）(ax)?＝axlna（a＞0，且a≠1）（3）(logax)?＝ logae＝ （a＞0，且a≠1）（4）(ex)?＝ex（5）(lnx)?＝（6）(sinx)?＝cosx（7）(cosx)?＝－sinx 数学运用例1 利用求导公式求下列函数导数.点评: 求切线问题的基本步骤：
找切点—求导数—得斜率．点评：求曲线“在某点”与“过某点”的切线是不一样的．变式1：求曲线y＝x2在点（1，1）处的切线方程．变式2：求曲线y＝x2过点（0，－1）处的切线方程．
1.见课本P20练习第3，5题．
2.见课本P26第4题 ．
3.见课本P27第14题（2）．练习回顾小结（1）求函数导数的方法．
（2）掌握几个常见函数的导数和基本初等函数的导数公式．课外作业1．课本P26第2题．
2．补充：
课件20张PPT。高中数学 选修２-２1.2.2 函数的和、差、积、商的导数1.基本求导公式:（1）C ? ＝0（C为常数）（2）(xa)?＝axa－1（a为常数）（3）(ax)?＝αxlna（a＞0，且a≠1）（4）(logax)?＝ logae＝ （a＞0，且a≠1）（5）(ex)?＝ex（6）(lnx)?＝（7）(sinx)?＝cosx（8）(cosx)?＝－sinx2．求下列函数的导数．
（1）y＝3x2；
（2）y＝2x；
（3）y＝log2x．3.由定义求导数（三步法）．探究活动思考猜想证明猜想法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：法则2建构数学数学应用法则3 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数．法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即： 小结：函数的四则运算的求导法则．练习课本P22练习1～5．
拓展研究问题1 求下列函数的导数：小结 求导数前的变形，目的在于
简化运算；如遇求多个积的导数，
可以逐层分组进行；求导数后应对
结果进行整理化简．回顾小结函数的和差积商的导数求导法则．课外作业1.课本P26习题1.2第1，2，5～7题．课件20张PPT。高中数学 选修２-２1.2. 3 简单复合函数的导数1.基本求导公式:（1）C ? ＝0（C为常数）（2）(xa)?＝axa－1（a为常数）（3）(ax)?＝αxlna（a＞0，且a≠1）（4）(logax)?＝ logae＝ （a＞0，且a≠1）（5）(ex)?＝ex（6）(lnx)?＝（7）(sinx)?＝cosx（8）(cosx)?＝－sinx 法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：法则2 2.函数的和差积商的导数法则3 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数．法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即： 复合函数 目前我们所研究的简单复合函数的导数仅限于形如f(ax＋b)的复合函数．问题探究问题探究另一方面：复合函数，并分别求对应变量的导数如下：两个导数相乘，得 从而有 将函数分解求导相乘回代建构数学说明：对于一般的复合函数，结论也成立 .推广：一般复合函数的求导法则
建构数学复合函数求导的基本步骤是：（1）分解．
（2）求导．
（3）相乘．
（4）回代 ．建构数学试说明下列函数是怎样复合而成的:数学运用例1 求下列函数的导数：数学运用点评 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．点评 本题练习商的导数和复合函数的导数,
求导数后要予以化简整理．数学运用点评 可先化简变形，简化求导数运算，
要注意变形准确；也可利用复合函数求导数，
应注意不漏步．数学运用课堂练习课本第24页第2，3，4题． ⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；
⑵复合函数求导的基本步骤是：
分解——求导——相乘——回代 回顾小结课外作业1.课本P26习题1.2第8～10题．课件9张PPT。高中数学 选修２-２1.3.1 单调性复习引入：
问题1：怎样利用函数单调性的定义
来讨论其在定义域的单调性1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，
(1)若f(x1)＜f (x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.
(2)若f(x1)＞f (x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数. 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性
虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数
图象时.例如y＝x3＋2x2－x是否有更为简捷的
方法呢？下面我们通过函数的y＝x2－4x＋3
图象来考察单调性与导数有什么关系：2.......观察函数y＝x2－4x＋3的图象：总结：该函数在区间
（－∞，2）上单减,
切线斜率小于0，即其
导数为负，在区间（2，＋∞）上单增，切线斜率大于0，即其导数为正.而当x＝2时其切线斜率为0，即导数为0.
函数在该点单调性发生改变.结论:一般地,设函数y＝f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f ?(x)＞0, 注意:如果在某个区间内恒有f ?(x)＝0,则f(x)为常数函数.如果f ?(x)＜0, 则f(x)为增函数;则f(x)为减函数.例1：求函数f(x)＝2x3－6x2＋7的单调区间.解:函数的定义域为R，f ?(x)＝6x2－12x，
令6x2－12x＞0，解得x＜0或x＞2，
则f(x)的单增区间为（－∞，0）和（2，＋∞）．
再令6x2－12x＜0,解得0＜x＜2,
则f(x)的单减区间(0，2).注:当x＝0或2时， f ?(x)＝0，即函数在该点单
调性发生改变.
单增区间：(-∞，－1)和（1，＋∞）.单减区间：(－1，0）和（0，1）.
总结：根据导数确定函数的单调性1.确定函数f (x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f ?(x)＞0,得函数单增区间;
解不等式f ?(x)＜0,得函数单减区间.练习：P29练习第1，2，3题．课件16张PPT。高中数学 选修２-２1.3.2 极大值与极小值1)如果在某区间上f ?(x)＞0 ，那么f (x)为该区间上的增函数，2)如果在某区间上f ?(x)＜0 ，那么f (x)为该区间上的减函数．一般地， 设函数y＝f(x) ，导数与函数的单调性的关系知识回顾：（2）求导数f ?(x)（1）求y＝f(x)的定义域D（4）与定义域求交集利用导数讨论函数单调的步骤:（5）写出单调区间（3）解不等式f ?(x)＞0；或解不等式f ?(x)＜0.基本求导公式：忆一忆（1）(kx＋b)?＝k（ k，b为常数），
特殊地： C ?＝0（C为常数）（2）(xα)?＝ αxα－1（α为常数）（3）(ax)?＝axlna（a＞0，且a≠1）（4）(logax)?＝ logae＝ （a＞0，且a≠1）（5）(ex)?＝ex（6）(lnx)?＝（7）(sinx)?＝cosx（8）(cosx)?＝－sinx（问题情境） 观察下图中P点附近图象从左到右的变化趋势、 P点的函数值以及点P位置的特点． 函数图象在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点附近，P点的位置最高，函数值最大函数极值的定义 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹤f (x0),我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极大值,记作
y极大值= f (x0)；如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹥f (x0)，我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f (x0).
极大值与极小值同称为极值.数学建构 （1）极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值;
（2）函数的极值不一定惟一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；
（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. 学生活动 （1）极值是函数的最值吗？
（2）函数的极值只有一个吗？
（3）极大值一定比极小值还大吗？ 观察图象并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?f?(x) >0f?(x) =0f?(x) <0极大值f?(x) <0f?(x) =0极小值f?(x) >0数学建构请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？左正右负为极大，右正左负为极小函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( )
A 导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值
B 导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值
C 导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D 导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值D学生活动例1：求f(x)＝x2－x－2的极值.解：因此，当x＝ 时，f(x)有极小值f( )＝－ ．f ?(x)＝2x－1，令f ?(x)＝0，解得x＝ ．列表：小试牛刀篇(数学运用)解: ∵ f?(x)＝x2－4，由f?(x)＝0解得 x1＝2，x2＝－2.当x变化时， f?(x) 、 f(x)的变化情况如下表：小吃篇求下列函数的极值． 探索：x ＝0是否为函数f(x)＝x3的极值点?渐入佳境篇 若寻找可导函数极值点,可否只由f?(x)=0求得即可? f?(x)=3x2，当f?(x)=0时，x＝0，而x＝0不是该函数的极值点.f?(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点． x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f?(x0) ＝0注意：f /(x0)＝0是函数取得极值的必要不充分条件．请思考求可导函数的极值的步骤:一览众山小 强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f?(x0)＝0左右侧导数的符号.一吐为快篇（小结）本节课主要学习了哪些内容？请想一想？1．极值的判定方法．
2．极值的求法．注意点：1．f /(x0)＝0是函数取得极值的必要不充分条件2．数形结合以及函数与方程思想的应用3．要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f?(x0)＝0左右侧导数的符号.回味无穷篇（作业）1．课本Ｐ31第1，3题．2．思考题极值和最值的区别与联系．课件16张PPT。高中数学 选修２-２1.3.3 最大值与最小值 一般地，设函数y＝f(x)在x＝x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值＝ f(x0) ，x0是极大值点．如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值．记作
y极小值＝ f(x0) ，x0是极小值点．极大值与极小值统称为极值．一、函数极值的定义知 识 回 顾1．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)．注 意2．极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．3．函数的极值不是惟一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ?(x0)在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值．二、 求函数f(x)的极值的步骤：（1）求导数f ?(x0)；（2）求方程f ?(x0) ＝0的根；（x为极值点）注意:如果函数f(x)在x0处取得极值,意味着一、最值的概念(最大值与最小值)新 课 讲 授 如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≤ f(x0),
则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的
最大值.最值是相对函数定义域整体而言的.1.在定义域内, 最值惟一;极值不惟一;注意:2.最大值一定比最小值大. x1 x2 x3 b x y a O [a，b]二、如何求函数的最值?（1）利用函数的单调性;（2）利用函数的图象；（3）利用函数的导数．如:求y＝2x＋1在区间[1，3]上的最值．如：求y＝(x－2)2＋3在区间[1，3]上的最值. （2）将y＝f(x)的各极值与f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． （1）求f(x)在区间[a，b]内极值（极大值或极小值）． 利用导数求函数f(x)在区间[a，b]
上最值的步骤:例1 求函数f(x)＝x2－4x＋3在区间
[－1，4]内的最大值和最小值． 解: f ?(x0) ＝2x－4令f ?(x0) ＝0，即2x－4＝0，得x＝2－＋83－1 故函数f(x)在区间[－1，4]内的最大值为8，最小值为－1. 例2．求f(x)＝ x＋sinx在区间
[0，2 π]上的最值．解：函数f(x)的最大值是π，
最小值是0．课后作业：P33练习第2，3，4题． 函数 ，在［－1，1］上的最小值为_____．课后作业课件16张PPT。高中数学 选修２-２1.4 导数在实际生活中的应用新课引入 导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题.1.几何方面的应用.2.物理方面的应用.3.经济学方面的应用.（面积和体积等的最值）（利润方面最值）（功和功率等最值）例1 在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解:设箱底边长为x cm， 箱子容积为V＝x2 h则箱高V ′=60x－3x2/2令V ′＝0，得x＝40，x＝0(舍去)得V (40)＝16000答：当箱底边长为x＝40时，箱子容积最大，最大值为16000cm3．当x∈(0，40)时V ′(x)＞0；当x∈(40，60)时V ′(x)＜0；∴V (40)为极大值，且为最大值．例2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解:设桶底面半径为R，因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值．答：当罐高与底的直径相等时，所用材料最省．3变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值
S 时,它的高与底面半径应怎样选取，
才能使所用材料最省？提示：S＝2πRh＋2πR2 h＝V(R)＝ πR2＝ (S－2πR2)R＝ SR－πR3V ′(R)＝0 S＝6πR2 6πR2＝ 2πRh＋2πR2 h＝2R．例3 在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为ε，外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？解：电功率P＝I2R，其中I＝ 为电流强度，则 P＝[E/(R＋r)]2R＝
由P′＝0，解得：R＝r．
列表分析，
当R＝r时，P取得极大值，且是最大值．最大值为
P＝ ．
答：当外电阻R等于内电阻r时，电功率最大，最大
电功率是 ．
例4 强度分别为a，b的两个点光源A，B，它们间的距离为d，试问在连接这两个光源的线段AB上，何处照度最小？试就a＝8，b＝1，d＝3时回答上述问题（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比．解：如图，设点P在线段AB上，且P距光源A为x，
则P距光源B为3－x(0＜x＜3).P点受A光源的照度为（其中，k为比例常数）P点受B光源的照度为从而，P点的总照度为：解得x＝2，故当0＜x＜2时，I′(x)＜0；当2＜x＜3时， I′(x)＞0．因此，x＝2时，I取得极小值，且是最小值．答：在连结两光源的线段AB上，距光源A为2处的照度最小．例5 在经济学中，生产x单位产品的成本称为成
本函数，记为C(x)；出售x单位产品的收益称为收
益函数，记为R(x)； R(x)－C(x)称为利润函数，
记为P(x).
（1）设C(x)＝10－6x3－0.003x2＋5x＋1000，生产多
少单位产品时，边际成本C′(x)最低?
（2）设C(x)＝50x＋10000，产品的单价p＝100－0.01x，怎样定价可使利润最大？解：（1）c′(x)＝3×10－6x2－0.006x＋5＝g(x)，
g′(x) ＝6×10－6x－0.006＝0，
解得：x＝1000，而g(x)在x＞0上仅有一个极小值，故x＝1000时边际成本最低．（2）P(x)＝ R(x) － C(x) ＝x(100－0.01x)－(50x＋10000)
＝ －0.01x2＋50x－ 10000 ，
x＝2500，而P(x)最大，此时P＝100－25＝75．答：生产1000个单位产品时，边际成本最低；当生产的单价为75时，利润最大．四、课堂练习
1．将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成________和________．
2．在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为____时，它的面积最大．
3．有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形边长应为多少？
4．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l＝AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.
?
?
?
五、回顾反思
（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．
（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．
（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单 ．课件15张PPT。第1章 复习与小结高中数学 选修2-2主要题型1．以填空、选择考查导数的概念，求函数的导数，求函数的极、最值．
2．与导数的几何意义相结合的函数综合问题，利用导数证明函数的单调性或求函数的单调区间，多为中档题．
3．利用导数求实际问题中的最值问题，为中档偏难题． 知识结构一、导数的概念数学应用二、关于切线变式：求过点A的切线方程？二、关于切线 1.用公式法求下列导数：三、导数的计算三、导数的计算导数的应用2. 函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是（ ）
A． a>0 B． a ≥ 0 C． a<0 D． a ≤ 03. 已知函数f(x)＝x3-3ax2+2bx在点x＝1处有极小值－1，试确定a，b的值，并求出f(x)的单调区间. 分析： f(x)在x＝1处有极小值－1，意味着f(1)＝－1且f ’(1)＝0，故取点可求a，b的值，然后根据求函数单调区间的方法，求出单调区间 .课本P56复习题． 回顾小结课外作业导数的概念、几何意义、运算及其在函数研究中的作用．
