课件9张PPT。 2.1.1 合情推理（１）
高中数学 选修2-2
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理． 一、创设情境 推理案例：
案例1 前 提
11，11，13，17，23，31都是质数．
结 论 对于所有的自然数的值都是质数．案例2 前提 矩形的对角线的平方等于长、宽的平方和．
结论 长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和．案例3 前提 所有的金属都能导电，铜是金属．
结 论 铜能导电． 二、构建新知 看几个与案例1类似的推理实例：
1．蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的．
因为蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所以我们猜想所有的爬行动物都是用肺呼吸的．2．三角形的内角和是 ，凸四边形的内角和是 ，凸五边形的内角和是
由此我们猜想：凸边形的内角和是3．
由此我们猜想： （ 均为正实数）二、构建新知 这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事
物的全部对象都具有这些特征的推理，或者从个别事实中推
演出一般性的结论的推理，称为归纳推理 (简称：归纳) .
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想． 三、数学运用例1 已知数列 的每一项均为正数，
试归纳出数列 的一个通项公式．三、数学运用例2 已知数列 的通项公式
，
试通过计算 的值，推测出 的值．四、学生探究1．已知 ，经计算
推测当 时，有_________.2．已知： ；
观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之．3．观察（1）
（2）
由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．五、课堂总结1．归纳推理的特点：
（1）归纳是依据特殊现象推断一般现象．因而，由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围；
（2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性；
（3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上，提出带有规律性的结论；
（4）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理．通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
2．归纳推理的一般步骤：
（1）通过观察个别情况发现某些相同的性质；
（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）．六、课后作业教材第66页练习第2题，第3题，第4题，第5题. 课件9张PPT。 2.1.1 合情推理（２）
高中数学 选修2-2
一、复习引入 1．什么叫推理?推理由哪几部分组成?
2．合情推理的主要形式有 和 .
3．归纳推理是从 事实中概括出 结论的一种推理模式
4．归纳推理的特点:
5．
（a，b均为实数），请推测a＝ ，b＝ ．二、创设情境看几个与案例2类似的推理实例：
1．据传，春秋时代鲁国的公输班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，发明了
锯子．他的思维过程可能为：齿形草能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，
它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．2．试根据等式的性质猜想不等式的性质．
等式与不等式有不少相似的属性，例如：
问：这样猜想出的结论是否一定正确？（2）（1）（3）三、构建新知 上述几个例子均是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理（reasoning by analogy），简称类比法．
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想． 四、数学运用例1 （G．波利亚的类比）类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质．四、数学运用例2 试将平面上的圆与空间的球进行类比.五、学生探究1．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．2．若数列{an}为等差数列，且am＝x，an＝y(m≠n，m，n∈N＋)，则am＋n＝ ．现已知数列{bn}(bn＞0，n∈N＋)为等比数列，且bm＝x，bn＝y(m≠n，m，n∈N＋)，类比以上结论，可得到什么结论？你能说明结论的正确性吗？六、课堂总结1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质．类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠．
2．类比推理的一般步骤：
（1）找出两类事物之间的相似性或者一致性．
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．七、课后作业教材第68页练习第1题，第2题，第3题，第4题．课件9张PPT。 2.1.2 演绎推理
高中数学 选修2-2
一、创设情境 在数学学习中，除了合情推理，我们更多使用的是一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法．
在案例3中，“铜能导电”的结论就是通过如下推理得到的：
所有的金属都能导电，
铜是金属，
所以，铜能导电．
再看一个类似的推理案例,在学习整数时，有下面的推理：
个位数字是0或5的正整数必是5的倍数，
2 375的个位数字是5，
所以，2 375是5的倍数．二、构建新知
像这样的推理通常称为演绎推理（deductive inference）．
三段论式推理是演绎推理的主要形式：
三段论中包含了3个命题，
第一个命题称为大前提（major premise），它提供了一
个一般性的原理；
第二个命题叫小前提（minor premise）,它指出了一个特
殊对象．
这两个判断结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内
在联系，从而得到第三个命题——结论（conclusion）． 三、数学运用例1 △ABC中，D，E，F分别是 BC，CA，AB
上的点， ，
求证： DE＝AF．三、数学运用例2 已知a，b，m均为正实数，b＜a，
求证： ．三、数学运用例3 在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足，求证：AB的中点M到D，E的距离相等．四、学生探究1．下列表述正确的是 .
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
2．把下列演绎推理写成“三段论”的形式．
（1）三角函数都是周期函数，y＝tanx 是三角函数，所以
y＝tanx是周期函数.
（2）一切奇数都不能被2整除，（2100＋1）是奇数，所以（2 100 ＋1）不能被 2 整除.五、课堂总结1．演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前
提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．
2．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要
前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正
确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．
3．演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但
却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论
化和系统化．六、课后作业 教材第72页练习3，5.课件7张PPT。 2.1.3 推理案例赏析 高中数学 选修2-2
一、知识回顾 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．
合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异？
合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的？
三个推理案例的共同点是它们都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是在推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可以分为合情推理与演绎推理．二、数学运用例1 正整数平方和公式的推导． 提出问题：
数学活动：
思路1（归纳的方案）．
思路2（演绎的方案）． 思考 上面的数学活动是由哪些环节构成的？
在这个过程中提出了哪些猜想？
提出猜想时使用了哪些推理方法？
合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？
二、数学运用例2 棱台体积公式的推导． 提出问题：能通过类比推测出棱台的体积公式吗？思考： 数学活动是由哪些环节构成的？
在这个过程中提出了哪些猜想？
提出猜想时使用了哪些推理方法？
合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？思路： 试图以四棱台为例，通过和梯形的类比推测公式．
（1）确定类比对象
（2）对类比对象的进一步分析
（3）通过类比推理，建立猜想
（4）验证猜想．
三、学生探究上面的案例说明：
1．数学发现活动是一个探索创造的过程．这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．
2．合理推理是富于创造性的或然推理．在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．
3．演绎推理是形式化程度较高的必然推理．在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．四、课堂总结 对于归纳推理和类比推理这两种推理在数学活动中的作用，著名的数学教育家G.波利亚作了精辟的论述：“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样，在证明一个数学定理之前，先得猜测这个定理的内容；在完成详细的证明之前，先得到推测证明的思路．创造过程是一个艰苦曲折的过程．数学家创造性的工作是论证推理，即证明．但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的．”五、课后作业 教材第81页习题2.1第1题，第2题，第3题，第5题，
第6题，第7题.课件15张PPT。 2. 2.1 直接证明 高中数学 选修2-2
问题情境已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，
证明：AB＝CD，BC＝DA证：连结AC，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，BC∥DA故 ∠1＝ ∠2， ∠3＝ ∠4因为 AC＝CA所以，△ABC≌△CDA，故，AB＝CD，BC＝DA．直接证明1 ．概念．
直接从原命题的条件逐步推得命题成立．2 ．直接证明的一般形式：证法1 对于正数a，b，有思考：在《数学5（必修）》中，我们如何证明基本不等式 ？证法2 要证只要证只要证只要证因为最后一个不等式成立，故结论成立．思考：在《数学5（必修）》中，我们如何证明基本不等式 ？直接证明（数学理论）上述两种证法有什么异同？都是直接证明证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止 综合法相同不同 证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止 分析法分析与对比综合法和分析法的推证过程如下：综合法已知条件结论分析法结论 已知条件 例题探究：例1 如图，已知AB，CD交于点O， △ACO≌△BDO，AE＝BF，求证：CE＝DF．例题探究：证 （综合法） 因为因为所以又因为所以所以所以△ACO≌△BDOCO＝DO， AO＝BOAE＝BF（已知）EO＝FO∠EOC＝∠FOD（对顶角相等）△EOC≌△FODEC＝FD例题探究证 （分析法）要证明CE＝DF，只需证明△EOC≌△FOD
为此只需证明为了证明 只需 为了证明 只需证明AO＝BO（因为已知AE＝BF ） 也只需△ACO≌△BDO（已知） 因为∠EOC与∠FOD是对顶角，所以它们相等，从而△EOC≌△FOD成立，因此命题成立. △ACO≌△BDO分析法 解题方向比较明确，
利于寻找解题思路；
综合法 条理清晰，易于表述．通常以分析法寻求
思路，再用综合法有条理地
表述解题过程变式训练：1．若a＞0，b＞0，求证： ．证要证只需证明只需证明只需证明所以原命题成立．变式训练2．若│a│＜1，│b│＜1，求证： ．3. △ABC三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：
∠B＝90°．. 证明：因为a，b，c为△ABC三边 所以 a＋c＞b 所以 cosB＞0， 因此 ∠B＝90°．变式训练小结分析法 解题方向比较明确，
利于寻找解题思路；
综合法 条理清晰，易于表述．通常以分析法寻求
思路，再用综合法有条理地
表述解题过程分析法
综合法概念课件11张PPT。 2. 2. 2 间接证明 高中数学 选修2-2
问题情境基本概念间接证明是不同于直接证明的又一类
证明方法.反证法是一种常用的间接证明方法. 否定结论 导致矛盾 否定命题不成立 原结论成立 反设 归谬 存真 基本概念反证法的过程包括以下三个步骤：（1） 反设——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；（2） 归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；（3） 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.先求出周期 思路 用反证法证明2π是最小正周期. 例1 求证：正弦函数没有比2π小的正周期.例1 假设T是正弦函数的周期则对任意实数x都有:解令x＝0，得即从而对任意实数x都应有这与矛盾.因此,原命题成立.求证：正弦函数没有比2π小的正周期.假设最小正周期0＜T＜ 2π故T＝π习题1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.假设这个整数是奇数,可以设为2k＋1,证 则有而不是偶数这与原命题条件矛盾.假设 是有理数，可设 （1）
其中p，q为互素的整数，q＞0．
将（1）两边平方，变形的2p2＝q2 （2）
（2）式表明，q2是2的倍数，从而q也是2的倍数．
设q＝2l(l∈N＋)，代入（2）式得
p2＝2l2 （3）
（3）式表明，p2是2的倍数，从而p也是2的倍数．
则p与q都是2的倍数，它们至少有公约数2，
这与p，q互素矛盾，因此 不是有理数． 例题2 求证： 不是有理数.例3 设a3＋b3＝2，求证a＋b≤2．证明：假设a＋b＞2，则有a＞2－b ．从而a3＞8－12b＋6b2－b3，
a3＋b3 ＞6b2－12b＋8＝6(b－1)2＋2， 因为 6(b－1)2＋2 ≥2，所以 a3＋b3＞2，这与题设条件矛盾，所以，原不等式a＋b≤2成立．a3＋b3＝2小结 间接证明 反证法 同一法 枚举法 注意一：“否定所证结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法．注意三：在反证法证题的过程中，经常画出某些不正确的图形,
甚至是不可能存在的图形，这样做的目的，是为了能清楚地说
明问题．在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，应完
全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观性，这与
用直接证法借助图形的直观性找到证题的途径是不完全一样的．否定结论的步骤是：①弄清结论本身的情况；②找出结论的全部相反情况；③正确地否定上述结论．注意二：反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，
而是由于开始假定“结论的反面是正确的”是错误的．注意四：用反证法证明命题时，若原命题结论的反面不惟一，
这时要把每种可能一一否定，不要遗漏．注意事项课件16张PPT。 2.3 数学归纳法（１）高中数学 选修２-2
问题情境结论是错误的．12＋1＋41＝43
22＋2＋41＝47
32＋3＋41＝53
42＋4＋41＝61
52＋5＋41＝71都是质数，
于是可以用归纳推理提出猜想
任何形如n2＋n＋41(n∈N*)的数都是质数因为n＝41时，
n2＋n＋41＝412＋41＋41
＝41×43是一个合数思考 从一个袋子里第一次摸出的是一个白球，接着，如果我们有这样一个保证：“当你这一次摸出的是白球，则下一次摸出的一定也是白球.”
能判断这个袋子里装的全是白球吗?能判断．什么是数学归纳法？ 对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：1．先证明当n取第一个值n0时命题成立；2．然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
这种证明方法就叫做 ．数学归纳法 验证n＝n0时命题成立若n＝k(k≥n0)时命题成立，
证明n＝k＋1时命题也成立.归纳奠基归纳推理命题对从n0开始所有的正整数n都成立（1） 第一步，是否可省略？ 不可以省略．（2）第二步，从n＝k（k≥n0）时命题成立的假设出发，推证 n＝k＋1 时命题也成立．既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性．反例想一想例：已知数列{an}为等差数列，公差为d，
求证：通项公式为an＝a1＋(n－1)d．（2）当n＝k时，结论成立，ak＝a1＋(k－1)d，
那么∵ak＋1＝ak＋d
∴ak＋1＝a1＋(k－1)d＋d
＝a1＋kd＝a1＋[(k＋1)－1]d
所以n＝k＋1时，结论也成立．
综合（1）、（2）知an＝a1＋(n－1)d．证明：
（1）当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d＝a1，结论成立．证明：
（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1
等式成立．
（2）假设当n＝k时，等式成立，就是
1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2那么例2 用数学归纳法证明：当n∈N*1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立．1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]例2 用数学归纳法证明n∈N*
12＋22＋32＋…＋n2＝ （1）第一步应做什么？此时n0＝ ，左＝ ，（2）假设n＝k时命题成立，即 当n＝k时，等式左边共有 项，
第k项是 ． k k2思考？11212＋22＋32＋…＋k2＝ （3）当n＝k＋1时，命题的形式是（4）此时，左边增加的项是（5）从左到右如何变形？(k＋1)2．12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
＝ 例3 用数学归纳法证明．证明
（1）当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝ ，等式成立．
（2）假设当n＝k时，等式成立，就是那么这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立．如下证明对吗？证明 ①当n＝1时，左边＝1右边＝1 等式成立．
②设n＝k时，有 即n＝k＋1时，命题成立．
根据①②问可知，对n∈N*，等式成立．第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明．三、巩固练习：
1．用数学归纳法证明：“ ” 在验证n＝1成立时，左边计算所得的结果是 ．
2．已知：，则 等于
3．用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋……＋n(n＋1)
＝4．用数学归纳法证明：小结：
重点：两个步骤、一个结论；
注意：奠基基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉．课件16张PPT。 2.3 数学归纳法（２）高中数学 选修2-2
一、复习回顾：什么是数学归纳法？ 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）证明当n取第一个值n0（例如n0＝1） 时命题成立；【归纳奠基】
（2）假设当n＝k（k∈N* ，k≥ n0）时命题成立
证明当n＝k＋1时命题也成立.
这种证明方法叫做 数学归纳法．数学归纳法【归纳递推】框图表示验证n＝n0时命题成立若n＝k(k≥n0)时命题成立，
证明n＝k＋1时命题也成立.归纳奠基归纳推理命题对从n0开始所有的正整数n都成立（1） 第一步，是否可省略？ 不可以省略．（2）第二步，从n＝k（k≥n0）时命题成立的假设出发，推证 n＝k＋1 时命题也成立．既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性．想一想（1）当n＝1，2，3，4时，计算f(n)的值．（2）你对f(n)的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想．解：当n＝1时， f(1) ＝51＋2×31－1＋1＝8×1． 当n＝2时， f(2) ＝52＋2×32－1＋1＝8×4． 当n＝3时， f(3) ＝53＋2×33－1＋1＝8×18． 当n＝4时， f(4) ＝54＋2×34－1＋1＝8×35．例1 设n∈N*，5n＋2×3n－1＋1．证明 ①当n＝1时，有f(1) ＝51＋2×31－1＋1＝8能被8整除，命题成立．猜想：当n∈N*时， f(n) ＝5n＋2×3n－1＋1．能被8整除．②假设当n＝k时命题成立，即f(k)能被8整除，那么当n＝k＋1时，有
f(k＋1) ＝5k＋1＋2×3k＋1－1＋1
＝5×5k＋6×3k－1＋1
＝5×5k＋2×3k－1＋1＋ 4(5k＋3k－1)
＝ f(k)＋4(5k＋3k－1) 这里，5k和3k－1均为奇数，它们和(5k＋3k－1)必为偶数，从而4(5k＋3k－1)能被8整除．
由归纳假设，f(k)能被8整除，所以f(k＋1)能被8整除，这就是说当n＝k＋1时命题也成立．
根据（1）（2），可知命题对于任意自然数都成立． 特别提示:
数学归纳法证题的关键是“一凑假设，二凑结论”，在证题的过程中，归纳推理一定要起到条件的作用，即证明n＝k＋1成立时必须用到归纳递推这一条件.（2）假设当n＝k(k∈N＋)时，命题成立，即有 ，当n＝k＋1时，当k＋1条直线与前面k条直线有k个不同交点，即它被前面k条直线截成k＋1段，其中每一段都把它所在的原区域一分为二，也即使原区域数目增加k＋1．例2：平面上有n条直线，其中任意两条都相交，任意三条不共点，这些直线把平面分成多少个区域？
证明你的结论．解：这样的n条直线把平面分成的区域数目为 ，下面用数学归纳法证明： （1）当n＝1时，一条直线将平面分成两部分，f(1)＝2，∴n＝1时，命题成立． 故当n＝k＋1时，命题成立．
由（1）（2）可知，对任意正整数n，命题成立．补充练习 有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每
三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分
成f(n)＝n2－n＋2个部分．证明：（1）当n＝1时，即一个圆把平面分成二个部分， f(1)＝2，又n＝1时， n2－n＋2＝2，
∴命题成立．（2）假设当n＝k时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分，那么由题意知第 k＋1个圆与前k个圆中，每个圆交于两点，有无三圆交于同一点，于是它与其它k交于2k个点，把它分成2k条弧而每条弧把原区域分成2块，因此这个平面的总区域增加2k块，即f(k＋1)＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，即当n＝k＋1时，命题成立．
由（1）（2）可知，对任意的n∈N＋，命题成立．1．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1 （n∈N*）．证明:（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式是成立的．
（2）假设当n＝k时等式成立，就是
1＋2＋22＋…＋2k－1 ＝2k－1
那么， 1＋2＋22＋…＋2k－1 ＋2k＝2k－1 ＋ 2k
＝2×2k－1
＝2k＋1－1
这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立． 因此，根据（1）和（2）可断定，等式对于任何n∈N*都成立．练习练习2 下面是某同学用数学归纳法证明命题．
的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?
（1）当n＝1时，左边＝ ， 右边＝
（2）假设n＝k时命题成立 即
那么n＝k＋1时，
左边
＝右边，即n＝k＋1时，命题也成立.
由（1）（2）知，对一切自然数，命题均正确. 3．求证：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n? 1? 3?… ?(2n－1)．证明：① n＝1时：左边＝1＋1＝2，右边＝21?1＝2，左边＝右边，等式成立．
② 假设当n＝k（（k∈N*）时有：
(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k? 1? 3?…? (2n－1)，
当n＝k＋1时：
左边＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)
＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)?
＝ 2k? 1? 3?…?(2k－1)(2k＋1)?2
＝ 2k＋1?1? 3?…? (2k－1) ?[2(k＋1)－1]＝右边，
∴当n＝k＋1时等式也成立．
由 ①, ②可知，对一切n∈N*，原等式均成立． 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：① 明确首取值n0并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k＋1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④ 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的
方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，
并用上假设．（1）证明当n取第一个值n0（如 n0＝1或2等）时结论正确 数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: 【归纳奠基】．（2）假设n＝k时结论正确，证明n＝k＋1时结论也正确（3）由（1）,（2）得出结论．【归纳递推】．课件9张PPT。高中数学 选修2-2第2章 复习与小结一、知识回顾本章知识结构：基础知识过关（1）合情推理包括 推理、 推理．
（2） 称为归纳推理；
它是一种由 到 ，由 到 的推理．
（3） 称为类比推理；
它是一种由 到 的推理．
（4）归纳推理的一般步骤是：① ，② ．
（5）类比推理的一般步骤是：① ，② ．
（6）从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，
我们称这种推理为 ，它是一种 到 的推理．
（7） 和 是直接证明的两种基本方法．
（8）反证法证明问题的一般步骤：① ，② ，
③ ；④ ．
（9）数学归纳法的基本思想 ；
数学归纳法证明命题的步骤：① ，② ，
③ ．二、数学运用例1 （1）考察下列一组不等式：23＋53＞22·5＋2·52， 24＋54＞23·5＋2·53，25＋55＞23·52＋22·53，将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 .
（2）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为 ．
（3）若数列{an}是等差数列，对于bn＝ (a1＋a2 ＋…＋an)，则数列{bn}也是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，对于dn＞0，则dn＝ 时，数列{dn}也是等比数列． 例2 若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，分别用综合法和分析法证明： ． 分析法和综合法是两种常用的直接证明方法．
分析法的特点是执果索因，综合法的特点是由因导果.
分析法常用来探寻解题思路，综合法常用来书写解题过程．二、数学运用例3 已知A，B，C∈(0，1)，
求证：(1－a)b， (1－b)c， (1－c)a不能同时大于 ．用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种情况：
（1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾；
（2）导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾；
（3）导出一个恒假命题． 当遇到否定性、惟一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法．二、数学运用二、数学运用三、课堂总结 从知识、方法、收获三个方面进行小结，明确推理、归纳推理的概念及彼此间关系．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力． 四、课后作业 教材第102-103页复习题 第3题，第4题，第5题，
第9题，第12题，第13题.
