沪科版八年级数学下册 17.3 一元二次方程根的判别式 试题 （含答案）

17.3 一元二次方程根的判别式
第1课时
一、选择题．
1.定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
2.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＜ B．k≤ C．k＞4 D．k≤且k≠0
3.已知关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＝1 B．m≥1 C．m＜1 D．m＜1且m≠0
4.若从1，2，3，4四个数中选取一个数，记为a，再从这四个数中选取一个数，记为c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0没有实数根的概率为（　　）
A． B． C． D．
5.一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6.使方程2x2﹣5mx+2m2＝5的一根为整数的整数m的值共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7.一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为　　．
8.已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　　　　　．
9.已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围为　　　　　　　．
10.已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　　．
11.已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　　．
12.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2的值是　　．
13.若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝　　　　　　　
14.若，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个实数根，则k的取值范围是　　　　　　；若x1，x2是一元二次方程kx2+ax+b＝0的两个实数根且满足，则k＝　　　　．
三、解答题
15.关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为0，求此时m的值．
16.已知关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
17.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，求此时k的值．
18.关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1 x2，求k的值．
19.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程2x2﹣2x+1＝0是否是“邻根方程”？
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值．
20.已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
第2课时
一、选择题．
1.一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，那么实数c的取值为（　　）
A．c＞1 B．c≥1 C．c＝1 D．c＜1
2.已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0没有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2 B．k＜2且k≠1 C．k＞2 D．k≥2
3.关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k≤1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＞1
4.已知关于x的方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5.针对关于x的方程x2+mx﹣2＝0，下列说法错误的（　　）
A．可以有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．一个根大于0，一个根小于0
D．m＝±1时才有整数根
6.已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，则下面说法正确的是（　　）
A．1一定不是方程x2+bx+a＝0的根
B．0一定不是方程x2+bx+a＝0的根
C．﹣1可能是方程x2+bx+a＝0的根
D．1和﹣1都是方程x2+bx+a＝0的根
二、填空题
7.关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，其中k为非正整数，则满足条件的k的代数和为　　．
8.若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是　　．
9.关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，其中m为正整数；多项式x2+nx+6可在整数范围内进行因式分解，其中n为整数，从中任选一组m、n，使得m+n＞0成立的概率为　　．
10.若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+＝0有两个不相等的实数根，则a满足　　．
11.如果关于x的方程x2+4x++2＝0有两个有理根，那么所有满足条件的正整数a的值是　　．
12.若关于x的一元二次方程x2+（2+a）x＝0有两个相等的实数根，则a的值是　　．
13.若关于x的方程|x2﹣x﹣2|＝k有四个不相等的实数根，则整数k的值为　　　　．
14.已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：
①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为　　．
三、解答题
15.已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0．
（1）求证：当m＞0时，方程一定有两个不相等的实数根；
（2）已知x＝n是它的一个实数根，若mn2﹣4n+m＝3+m2，求m的值．
16.已知关于x的一元二次方程x2+x＝k．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；
（2）当k＝6时，求方程的实数根．
17.某商店将进价为10元的某种商品以14元售出，平均每天能售出220件．调查发现，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少20件．该商店计划通过提高商品售价减少销售量的办法增加利润．
（1）若物价部门规定此种商品的每件利润不能超过进价的80%，且商店想要获得平均每天1080元的利润，则这种商品的售价应定为多少？
（2）该商店平均每天盈利能否为1200元？
已知实数a、b满足a2+ab+b2＝1，且t＝ab﹣a2﹣b2，求t的取值范围．
19.已知一元二次方程x2﹣2x+m＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围．
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2＝3，求m的值．
20.阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）
（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组 ，消去y化简得：2x2﹣7x+6＝0，
∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝　　　　　　，x2＝　　，
∴满足要求的矩形B存在．
（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？
第1课时答案
一、选择题．
A．B．C．C．D．D．
二、填空题
7. 13．
8. m＜1且m≠0．
9.k≥
10.a＜3且a≠2．
11.m≤5且m≠4．
12.0．
13.﹣．
14.k≤4，且k≠0，；k＝﹣2或k＝1．
三、解答题
15.解：（1）根据题意得△＝（﹣2）2﹣4（2m﹣1）≥0，
解得m≤1；
（2）把x＝0代入x2﹣2x+2m﹣1＝0得2m﹣1＝0，
解得m＝．
16.解：（1）由题意可知：△＝9﹣4（m+1）＝5﹣4m＞0，
∴m＜．
（2）由（1）可知：m＝1，
∴x2+3x+2＝0，
∴（x+1）（x+2）＝0，
∴x＝﹣1或x＝﹣2．
17.解：（1）化为一般式：（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0，
∴，
解得：m≥且m≠1
（2）由（1）可知：m是最小整数，
∴m＝2，
∴（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2化为x2﹣4x＝0，
解得：x＝0或x＝4，
∵（k+1）x2+x+k﹣3＝0与（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，
∴当x＝0时，此时k﹣3＝0，
k＝3，
当x＝4时，16（k+1）+4+k＝0，
∴k＝﹣1，
∵k+1≠0，
∴k＝﹣1舍去，
综上所述，k＝3．
18.解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0，
解得：k＞；
（2）∵k＞，
∴x1+x2＝﹣（2k+1）＜0，
又∵x1 x2＝k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∴|x1|+|x2|＝﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）＝2k+1，
∵|x1|+|x2|＝x1 x2，
∴2k+1＝k2+1，
∴k1＝0，k2＝2，
又∵k＞，
∴k＝2．
19.解：（1）2x2﹣2x+1＝0，
解得x＝＝，
∵＝+1，
∴2x2﹣2x+1＝0是“邻根方程”；
（2）解方程得：（x﹣m）（x+1）＝0，
∴x＝m或x＝﹣1，
∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1，
∴m＝0或﹣2；
（3）解方程得x＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，
∴﹣＝1，
∴b2＝a2+4a，
∵t＝12a﹣b2，
∴t＝8a﹣a2＝﹣（a﹣4）2+16，
∵a＞0，
∴a＝4时，t的最大值为16．
20.解：（1）△＝（2k﹣3）2﹣4×（k﹣1）（k+1）
＝4k2﹣12k+9﹣4k2+4
＝﹣12k+13，
∵方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根，
∴﹣12k+13＞0，
解得，k＜，又k﹣1≠0，
∴k＜且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；
（2）∵k是符合条件的最大整数，
∴k＝0，
x2﹣4x＝0，
x＝0或4，
当x＝0时，x2+mx﹣1＝0无意义；
当x＝4时，42+4m﹣1＝0
m＝．
第2课时答案
一、选择题．
C．C．A．B．A．C．
二、填空题
7.﹣1．
8.k＞1．
9.．
10.a＞﹣且a≠2．
11.6，9．
12.﹣2．
13. 1或2
14. 3．
三、解答题
15.（1）证明：∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m （﹣5）
＝16+20m，
∵m＞0，16+20m一定大于0，
∴当m＞0时，方程一定有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x＝n是它的一个实数根，
∴mn2﹣4n﹣5＝0．
∴mn2﹣4n＝5，
∵mn2﹣4n+m＝3+m2，
∴5+m＝3+m2
整理得：m2﹣m﹣2＝0，
解得：m＝2或﹣1．
16.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝12﹣4×1（﹣k）＝1+4k＞0，
解得：k＞﹣；
（2）把k＝6代入原方程得：x2+x＝6，
整理得：x2+x﹣6＝0，
分解因式得：（x+3）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝2．
17.解：（1）设这种商品的售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣10）元，日销售量为220﹣20（x﹣14）＝（500﹣20x）件，
依题意得：（x﹣10）（500﹣20x）＝1080，
整理得：x2﹣35x+304＝0，
解得：x1＝16，x2＝19．
∵10×（1+80%）＝18（元），16＜18＜19，
∴x＝16．
答：这种商品的售价应定为16元．
（2）设这种商品的售价应定为y元，则每件的销售利润为（y﹣10）元，日销售量为220﹣20（y﹣14）＝（500﹣20y）件，
依题意得：（y﹣10）（500﹣20y）＝1200，
整理得：y2﹣35y+310＝0．
∵△＝（﹣35）2﹣4×1×310＝﹣15＜0，
∴该方程无实数根，
∴该商店平均每天盈利不能为1200元．
18.解：由已知得，（a+b）2﹣ab＝1，t＝﹣（a+b）2+3ab，
由此可得：ab＝，a+b＝（t≥﹣3），
∴a，b是关于方程x2x+＝0的两个实根，
由△＝﹣2（t+1）≥0，解得t≤﹣，
故t的取值范围是﹣3≤t≤﹣．
故答案为：﹣3≤t≤﹣．
19.解：（1）∵方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，
解得m≤1；
（2）由两根关系可知，x1+x2＝2，x1 x2＝m，
解方程组，
解得，
∴m＝x1 x2＝．
20.解：（1）利用求根公式可知：x1＝＝，x2＝＝2．
故答案为：；2．
（2）设所求矩形的两边分别是x和y，
根据题意得：，
消去y化简得：2x2﹣3x+2＝0．
∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，
∴该方程无解，
∴不存在满足要求的矩形B．
（3）设所求矩形的两边分别是x和y，
根据题意得：，
消去y化简得：2x2﹣（m+n）x+mn＝0．
∵矩形B存在，
∴b2﹣4ac＝[﹣（m+n）]2﹣4×2mn≥0，
∴（m﹣n）2≥4mn．
故当m、n满足（m﹣n）2≥4mn时，矩形B存在．