八年级数学下册试题 17.4 一元二次方程根与系数的关系-沪科版（2课时、含答案）

17.4 一元二次方程根与系数的关系
第1课时
一、选择题．
1.方程x2﹣5x﹣6＝0的两根之和为（　　）
A．﹣6 B．5 C．﹣5 D．1
2.关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣2 B．k＞2 C．﹣2＜k≤0 D．0≤k＜2
3.已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1 x2等于（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
4.关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0中有一根是1，另一根为n，则m与n的值分别是（　　）
A．m＝2，n＝3 B．m＝2，n＝2 C．m＝2，n＝﹣3 D．m＝2，n＝﹣2
5.设关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，记S1＝x1+2011x2，S2＝x12+2011x22，…，Sn＝x1n+2011x2n，则aS2012+bS2011+cS2010的值为（　　）
A．0 B．2010 C．2011 D．2012
6.如图，BD为矩形ABCD的对角线，将△BCD沿BD翻折得到△BC′D，BC′与边AD交于点E．若AB＝x1，BC＝2x2，DE＝3，其中x1、x2是A关于x的方程x2﹣4x+m＝0的两个实根，则m的值是（　　）
A．3 B． C． D．2
二、填空题
7.设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则+的值为　　．
8.若a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两个不同的实数根，则a3﹣a2+5b﹣2＝　　．
9.方程x2+x﹣2＝0的两个根分别为m，n，则+的值为　　．
10.已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子3m2+6m﹣mn的值为　　．
11.已知：3a2﹣6a﹣11＝0，3b2﹣6b﹣11＝0，且a≠b，则a4﹣b4＝　　　　　　．
12.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC＝3，这个二次方程的二次项系数是1，则常数项是　　　．
13.已知实数m、n（m≠n）满足m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，则＝　　．
14.若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m2﹣m＝0（m＞0），当m＝1、2、3、…2020时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2020、β2020，则++++…++的值为　　．
三、解答题
15.已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22＝2，求m的值．
16.已知关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0．
（1）对于任意的实数m，判断该方程根的情况，并说明理由．
（2）若x＝﹣1是这个方程的一个根，求m的值及方程的另一根．
17.已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：对任意实数k，方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是3，求k的值及方程的另一个根．
18.关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1 x2，求k的值．
19.已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，不解方程求下列各式的值．
（1）x12+x22；
（2）+．
20.已知关于x，y的方程组与的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
第2课时
一、选择题．
1.在下列方程中，满足两个实数根的和等于2的方程是（　　）
A．x2﹣2x+4＝0 B．x2+2x﹣4＝0 C．x2+2x+4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0
2.对于一元二次方程x2+6x﹣11＝0，下列说法正确的是（　　）
A．这个方程有两个相等的实数根
B．这个方程有两个不相等的实数根x1，x2；且x1+x2＝﹣6
C．这个方程有两个不相等的实数根x1，x2；且x1+x2＝11
D．这个方程没有实数根
3.若α、β是方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　）
A．2018 B．2020 C．﹣2020 D．4040
4.已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2019α+α2）（1+2019β+β2）的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.已知m，n是关于x的方程x2+（2b+3）x+b2＝0的两个实数根，且满足+1＝，则b的值为（　　）
A．3 B．3或﹣1 C．2 D．0或2
6.已知a，b，c是实数常数，关于x的二次方程ax2+bx+c＝0的两个非零实根为x1，x2，则下列关于x的二次方程中，以，为实根的是（　　）
A．c2x2﹣（b2﹣2ac）x+a2＝0 B．c2x2+（b2﹣2ac）x+a2＝0
C．c2x2﹣（b2﹣2ac）x﹣a2＝0 D．c2x2+（b2﹣2ac）x﹣a2＝0
二、填空题
7.关于x的方程x2+nx﹣6＝0有一个根为2，则方程的另一个根为　　．
8.已知实数满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则+的值是　　　．
9.已知方程x2+5x﹣6＝0的解是x1＝1，x2＝﹣6，则方程（2x+3）2+5（2x+3）﹣6＝0的解是　　．
10.已知a、b是方程2x2+5x+1＝0的两实数根，则式子的值为　　．
11.已知方程x2+3x﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，则x13x2+x1x23＝　　．
12.设m，n分别为一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个实数根，则m2﹣m+n＝　　．
13.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是　　．
14.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有　　．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x+＝0是关于2的等距方程．
三、解答题
15.已知关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0．
（1）求证：无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程两根的平方和为21，求a的值．
16.先化简，再求值：，其中a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根．
17.已知关于x的一元二次方程x2+2（k+1）x+k2﹣1＝0．
（1）用含k的代数式表示该方程根的判别式；
（2）若该方程有两个实数根x1，x2，且满足x1x2＝2x1+2x2，求k的值．
18.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x＝x﹣2m（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根为3，求m的值和方程的另一个根．
19.已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值．
20.若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．
（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为　　　　　　；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝　﹣　；
（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．
第1课时答案
一、选择题
B．C．C．B．A．C．
二、填空题
7.． 8. 3． 9.． 10.4． 11.±
12.6． 13.．14.．
三、解答题
15.解：（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4（m+2）
＝（m+1）2，
∵无论m取何值，（m+1）2≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2＝﹣（m+3），x1x2＝m+2，
∵x12+x22＝2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2，
∴代入化简可得：m2+4m+3＝0，
解得：m＝﹣3或m＝﹣1
16.解：（1）方程有两个不相等的实数根，理由如下：
根据题意得△＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣1）＝m2+8，
∵m2≥0，
∴m2+8＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）把x＝﹣1代入方程，得：2+m﹣1＝0，
解得：m＝﹣1．
设方程的另一根为x，则﹣x＝﹣，
解得：x＝．
则方程的另一根为．
17.（1）证明：∵△＝[﹣（k+1）]2﹣4（2k﹣3）＝k2﹣6k+13＝（k﹣3）2+4，
而（k﹣3）2≥0，
∴△＞0．
∴对任意实数k，方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根是3，
∴32﹣3（k+1）+2k﹣3＝0，
解得：k＝3，
∴原方程为：x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
即k的值为3，方程的另一个根是1．
18.解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0，
解得：k＞；
（2）∵k＞，
∴x1+x2＝﹣（2k+1）＜0，
又∵x1 x2＝k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∴|x1|+|x2|＝﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）＝2k+1，
∵|x1|+|x2|＝x1 x2，
∴2k+1＝k2+1，
∴k1＝0，k2＝2，
又∵k＞，
∴k＝2．
19.解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1．
∴（1）x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣1）＝11；
（2）+＝＝＝﹣3．
20.解：（1）由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是方程组的解，
解得，，代入原方程组得，a＝﹣4，b＝12；
（2）当a＝﹣4，b＝12时，关于x的方程x2+ax+b＝0就变为x2﹣4x+12＝0，
解得，x1＝x2＝2，
又∵（2）2+（2）2＝（2）2，
∴以2、2、2为边的三角形是等腰直角三角形．
第2课时答案
一、选择题
D．B．A．D．A．A．
二、填空题
7.x＝﹣3． 8. 7． 9.x1＝﹣1，x2＝﹣．
10.﹣． 11.﹣11． 12.2022． 13.﹣7． 14.①④．
三、解答题
15.（1）证明：∵△＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣a）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，
∴无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根分别为m、n，
∴m+n＝a﹣3，mn＝﹣a，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（a﹣3）2+2a，
由题意可得（a﹣3）2+2a＝6，
解得a＝1或a＝3．
16.解：原式＝÷
＝﹣
＝﹣，
∵a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，
∴ab＝﹣1，
∴原式＝1．
17.解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（k+1）x+k2﹣1＝0，
∴△＝[2（k+1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＝8k+8．
（2）∵方程有两个实数根x1，x2，
∴△＝8k+8≥0，
∴k≥﹣1，
由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2（k+1），x1x2＝k2﹣1，
∵x1x2＝2x1+2x2，
∴k2﹣1＝﹣4（k+1）
∴k2+4k+3＝0，解得k＝﹣3或k＝﹣1，
∵k≥﹣1，
∴k＝﹣1．
18.（1）证明：方程整理为x2﹣（m+2）x+2m＝0，
∵△＝（m+2）2﹣8m
＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值，这个方程总有实数根；
（2）解：设方程的另一个根为t，
根据题意得3+t＝m+2，3t＝2m，
解得t＝2，m＝3，
∴m的值为3，方程的另一个根为2．
19.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k+9＞0，
解得：k＞﹣，
即k的取值范围是k＞﹣；
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1 x2＝k2﹣2，
∵方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2＝11，
[﹣（2k+!）]2﹣2（k2﹣2）＝11，
解得：k＝﹣3或1，
∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根，
必须k≥﹣，
∴k＝﹣3舍去，
所以k＝1．
20.解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，
所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），
由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，
所以0＝a+2，
解得a＝﹣2
故答案为：（1，0）a＝﹣2；
（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”
∴，∴a+b＝0．
∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根
∴a+b＝k＝0，
∴x2﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为；
②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（，0 ）
∴综上所述，“x牵手点”为或（，0）