八年级数学下册试题 18.1 勾股定理-沪科版（2课时、含答案）

18.1 勾股定理
第1课时
一、选择题．
1.一个直角三角形的两条直角边分别为5、12，则第三边长为（　　）
A．13 B．13或 C． D．7
2.长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，它的面积是（　　）
A．60cm2 B．64cm2 C．24cm2 D．48cm2
3.如图所示，点B，D在数轴上，OB＝3，OD＝BC＝1，∠OBC＝90°，以D为圆心，DC长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的实数是（　　）
A． B．+1 C．﹣1 D．不能确定
4.如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝10，直线l过点B，分别过点A、C作直线l的垂线，垂足分别为E、F，若AE＝8，则CF的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足是E，若线段AE＝4，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（　　）
A．1 B． C． D．2
二、填空题
7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若∠A＝32°，则∠BCD＝　　°．
8.若直角三角形的两边分别为1，2，则它的第三边长为　　．
9.如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为　　°．
10.如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为34和25，则正方形A的面积是　　．
11.一副三角板有一个含30°角的直角三角形和一个含45°角的直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是　　．
12.如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为　　．
13.如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为　　．
14.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为直线AB上一动点，连PC．
（1）线段PC的最小值是　　．
（2）当PC＝5时，AP长是　　．
三、解答题
15.如图△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠ADE＝155°，求∠B的度数．
16.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝8，BC＝6，则线段AD的长度是多少？
17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°．
（1）求∠BAC的度数．
（2）若AC＝4，求AD的长．
18.如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝．
（1）求AC、CE的长；
（2）求证：∠ACE＝90°．
19.已知△ABC的三边长为a，b，c，且a＝，b＝，c＝
（1）求证：∠C＝90°；
（2）当三角形的面积与正方形的面积相等时，求正方形的周长．
20.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6，点D为线段BC上的一个动点，以AD为直角边向右作等腰Rt△ADF，使AD＝AF，∠DAF＝90°．
（1）连结CF，找出图中的一对全等三角形，并说明理由；
（2）过A点作△ADF的对称轴交直线BC于点E，若CE＝1，求BD的长．
第2课时
一、选择题．
1.直角三角形两直角边长为a，b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是（　　）
A．ab＝h2 B．a2+b2＝2h2
C．+＝ D．+＝
2.若实数m、n满足|m﹣3|+＝0，且m、n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为（　　）
A．5 B． C．5或 D．以上都不对
3.如图，D、E分别是AC和AB上的点，AD＝DC＝4，DE＝3，DE∥BC，∠C＝90°，将△ADE沿着AB边向右平移，当点D落在BC上时，平移的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（　　）
A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm
5.如图，一次函数l：y＝﹣x+2的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以A为直角顶点在第一象限作等腰直角三角形ABC，则直线BC的解析式是（　　）
A． B． C． D．
6.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（　　）
①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE2+AD2＝2AC2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是边AC上的高，CD＝2，则BD＝　　．
8.如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上的数字﹣2上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是　　．
9.已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是　　．
10.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，点F是CB延长线上一点，且△ADE≌△ABF，四边形AECF的面积为8，DE＝1，则AE的长为　　．
11.如图△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝8cm，则△DEB周长为　　．
12.如图，在小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，D是AB与网格线的交点，则CD的长是　　．
13.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝，∠A＝30°，作△ABC关于直线l的轴对称图形△EBD，点F是BE的中点，若点A，C，F在同一直线上，则CD的长为　　．
14.如图所示，在正方形ABCD中，点E在AB边上，BE＝4，M是对角线BD上的一点（∠EMB是锐角），连接EM，EM＝5，过点M作MN⊥EM交BC边于点N．过点N作NH⊥BD于H，则△HMN的面积＝　　．
三、解答题
15.如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8．在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝2．求证：AB∥DC．
16.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．
17.如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求线段AB的长；
（2）求∠ABC的度数．
18.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．
（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．
19.如图，点O为直线AB上一点，将一个等腰直角三角尺（三个内角分别是90°、45°、45°）的直角顶点和另一个含30°角的直角三角尺的60°角顶点都放在O处．
（1）如图①，∠AOM＝　　°；
（2）如图②，将等腰直角三角尺绕点O旋转一定角度到图②的位置，OM恰好平分∠EOB时，求出∠AOE和∠MOF的度数；
（3）如图③，将等腰直角三角尺绕点O旋转一定角度到图③的位置，若∠AOE是∠MOF的3倍，则等腰直角三角尺所旋转的角∠BOF＝　　°．
20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ACD＝90°，BC＝13，AC＝12，CD＝5．
（1）AD＝　　；
（2）求证：∠BAC＝90°；
（3）若点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BC﹣CA﹣AD运动至D点停止，设点P运动的时间为t（秒），在点P运动过程中，若线段BP的垂直平分线经过△ABC的顶点A时，请直接写出t的值．
第1课时答案
一、选择题
A．D．C．B．B．B．
二、填空题
7. 32． 8.或． 9.45． 10.9． 11.165°． 12.7．
3或． 14.（1）4.8（2）5或2.2
三、解答题
15.解：∵∠ADE＝155°，∠ADE+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝25°．
∵DE∥BC，
∴∠C＝∠CDE＝25°．
在△ABC中，∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°．
16.解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴由勾股定理得：AB＝＝10
又∵CD⊥AB
∴S△ABC＝AC×BC＝AB×CD
∴×8×6＝×10×CD
∴CD＝4.8
∴在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AD＝＝＝6.4
答：线段AD的长度是6.4．
17.解：（1）∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°；
（2）∵AD⊥BC，∠C＝45°，
∴∠CAD＝45°＝∠C，
∴AD＝CD，
设AD＝CD＝x，由勾股定理得AD2+CD2＝AC2，
即x2+x2＝42，解得x＝2．
即AD的长为．
18.（1）解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，
∴AC＝＝＝．
∵在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4，
∴CE＝＝＝＝2，
（2）证明：∵AC＝，CE＝，AE＝，
∴AE2＝AC2+CE2，
∴∠ACE＝90°．
19.证明：（1）∵，
∴∠C＝90°．
（2）解：设正方形的边长为x，则有，
∴．
∴正方形的周长是4x＝．
20.解：（1）△ABD≌△ACF，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS）；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
分两种情况：①连接EF，如图1所示：
DE＝BC﹣CE﹣BD＝6﹣1﹣BD＝5﹣BD，
由（1）知：△ABD≌△ACF，
∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝45°，
∴∠FCE＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，
∴CF2+CE2＝EF2，
∵AE是△ADF的对称轴，
∴AE垂直平分DF，
∴EF＝DE，
∴BD2+CE2＝DE2，
即：BD2+12＝（5﹣BD）2，
解得：BD＝；
②连接EF，如图2所示：
DE＝BC﹣BD+CE＝6﹣BD+1＝7﹣BD，
由（1）知：△ABD≌△ACF，
∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝45°，
∴∠FCD＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，
∴∠FCE＝90°，
∴CF2+CE2＝EF2，
∵AE是△ADF的对称轴，
∴AE垂直平分DF，
∴EF＝DE，
∴BD2+CE2＝DE2，
即：BD2+12＝（7﹣BD）2，
解得：BD＝；
综上所述，BD的长为或．
第2课时答案
一、选择题．
D．C．C．D．D．C．
二、填空题
7. 6． 8.． 9.或． 10. 3． 11.8cm． 12.．
13. 3．14.6．
三、解答题
15.证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8，
∴BD＝＝＝6，
∵BC＝8，CD＝2，
∴62+（2）2＝82，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥DC．
16.（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
解得：x1＝k，x2＝k+1．
当BC为直角边时，k2+52＝（k+1）2，
解得：k＝12；
当BC为斜边时，k2+（k+1）2＝52，
解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）．
答：k的值为12或3．
17.解：（1）AB＝＝2；
（2）∵AC2＝42+32＝25，AB2＝（2）2＝20，BC2＝22+12＝5，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°．
18.证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）如图，连接OP，
∵AD＝12，AB＝5，
∴BD＝＝＝13，
∴BO＝OD＝AO＝CO＝，
∵S△AOD＝S矩形ABCD＝×12×5＝15，
∴S△AOP+S△POD＝15，
∴××FP+××EP＝15，
∴PE+PF＝．
19.解：（1）∵∠MON＝60°，
∴∠AOM＝180°﹣60°＝120°，
故答案为120；
（2）由题意得∠BOM＝∠EOM＝∠BOE，
∵∠BOM＝60°，
∴∠EOM＝60°，∠BOE＝120°
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°，∠MOF＝90°﹣∠EOM＝30°；
（3）设等腰直角三角尺所旋转的角∠BOF＝α，
∴∠AOE＝90°﹣α，∠MOF＝60°﹣α，
∵∠AOE是∠MOF的3倍，
∴90°﹣α＝3（60°﹣α），解得α＝45°，
∴∠BOF＝45°，
故答案为45．
20.解：（1）在△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD＝＝＝13．
故答案为：13；
（2）证明：∵BC＝13，AD＝13，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝90°；
（3）过A点作AE⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝5，
∴AE＝AB AC÷÷BC＝5×12÷13＝，
∴BE＝＝，
①点P在BC边，
BP＝2BE＝，
则t＝÷2＝；
②点P在AC边，
AP＝AB＝5，
则t＝（13+12﹣5）÷2＝10；
③点P在AD边，
AP＝AB＝5，
则t＝（13+12+5）÷2＝15．
故t的值是或10或15．