数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系 课件（共45张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系 课件（共45张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-29 18:15:20 | ||
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文档简介
(共45张PPT)
2.5.1 直线与圆的位置关系
课程标准 学习目标
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 1.能用几何方法和代数方法描述直线与圆的三种位置关系;
2.能根据给定直线、圆的方程,通过研究联立方程组解的情况或通过计算圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系;
3.知道直线与圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,会用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题
知识点一 直线与圆的位置关系
课 前 预 习
2
1
0
直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
图形关系
公共点个数 个 个 个
课 前 预 习
dd>r
Δ>0
Δ=0
位置关系 相交 相切 相离
几何法 计算圆心到直线的距离:d= d=r
代数法 由消元得到一元二次方程,计算方程的判别式Δ Δ<0
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交. ( )
(2)若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解. ( )
课 前 预 习
×
√
[解析] (1)直线与圆有公共点,也可能相切,故(1)不正确.
[解析] (2)直线与圆相交,则必有公共点,方程必有解,故(2)正确.
(3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. ( )
课 前 预 习
√
[解析] (3)圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆相离,方程一定无解,故(3)正确.
知识点二 解决实际问题的一般步骤
课 前 预 习
(1)阅读理解,认真审题,了解问题的实际情境,把握问题的数学本质.
(2)引进数学符号,具体分析问题中的数量关系,正确建立数学模型,将实际问题转化为数学问题.
(3)利用数学方法将得到的数学问题(数学模型)予以解答,求得结果.
(4)将数学问题的结果转化为实际问题的答案.
对直线与圆的位置关系及其判定的理解
(1)代数法是从方程角度考虑,运算量较大;几何法是从几何角度考虑,方法相对简单.这两种方法是判断直线与圆的位置关系的常用方法.
(2)应用几何法还可以求出圆上有4个或3个或2个或1个或0个点到直线的距离为某一定值时某些参数的值或取值范围.
(3)利用代数法判断位置关系时,不必求出方程组的实数解,只需将直线方程代入到圆的方程中,并消去一个未知数,得到一个关于x(或y)的一元二次方程,由Δ与0的大小关系判断方程解的个数,进一步判断两者的位置关系.
备 课 素 材
探究点一 直线与圆的位置关系的判定
课 中 探 究
解:方法一:由方程组消去y,得25x2+8ax+a2-900=0.
Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90 000.
①当直线和圆相交时,Δ>0,即-36a2+90 000>0,解得-50②当直线和圆相切时,Δ=0,即a=50或a=-50.
③当直线和圆相离时,Δ<0,即a<-50或a>50.
例1 若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100有如下位置关系:①相交,②相切,③相离,试分别求实数a的值或取值范围.
课 中 探 究
方法二:圆x2+y2=100的圆心坐标为(0,0),半径r=10,
则圆心到直线的距离d==.
①当直线和圆相交时,d②当直线和圆相切时,d=r,即=10,得a=50或a=-50.
③当直线和圆相离时,d>r,即>10,得a<-50或a>50.
例1 若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100有如下位置关系:①相交,②相切,③相离,试分别求实数a的值或取值范围.
变式 已知直线mx-y-m-1=0,圆x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值或何取值范围时,圆与直线分别满足下列条件:
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点.
课 中 探 究
解:将直线方程y=mx-m-1代入圆的方程,化简整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,
则Δ=4m(3m+4).
(1)当Δ>0,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点.
(2)当Δ=0,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点.
(3)当Δ<0,即-[素养小结]
直线与圆的位置关系的判断方法:
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系,来判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
课 中 探 究
探究点二 圆的切线
课 中 探 究
[解析] (1)圆C的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5,则圆心为C(1,2),PC所在直线的斜率为=,又点P在圆上,所以切线方程为y-3=-2(x-3),整理得2x+y-9=0.故选B.
例2 (1)过圆C:x2+y2-2x-4y=0上一点P(3,3)的切线方程为 ( )
A.2x-y+9=0 B.2x+y-9=0
C.2x+y+9=0 D.2x-y-9=0
B
(2)由直线y=x+1上任意一点P向圆(x-3)2+y2=1引切线,切点为Q,则|PQ|的最小值为 ( )
A.1 B.2
C. D.3
课 中 探 究
[解析] (2)由题意得,圆心(3,0)到直线y=x+1的距离d==2,圆的半径为1,故|PQ|的最小值为==.
C
(3)过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.
课 中 探 究
解:因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A在圆外.
①若所求直线的斜率存在,设切线斜率为k,
则切线方程为y+3=k(x-4), 即kx-y-4k-3=0.
因为圆心(3,1)到切线的距离等于半径1,
所以=1,即|k+4|=, 所以k2+8k+16=k2+1,解得k=-,
所以切线的方程为-x-y+-3=0,即15x+8y-36=0.
(3)过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.
课 中 探 究
②若所求直线的斜率不存在,则直线方程为x=4,可得圆心(3,1)到直线x=4的距离为1,这时直线x=4与圆相切,所以另一条切线的方程为x=4.
综上,所求切线的方程为15x+8y-36=0或x=4.
[素养小结]
过一点的圆的切线方程的求法:
(1)当点在圆上时,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的斜率,用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
课 中 探 究
(2)当点在圆外时,过该点的切线有两条,但在用设斜率的方法来解题时可能求出的切线只有一条,
这时另一条切线的斜率不存在.
设点M(x0,y0)为圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点,则过点M的
圆的切线长为|MP|=,如图2-5-1.
课 中 探 究
图2-5-1
探究点三 直线与圆的相交弦问题
课 中 探 究
例3 已知圆O:x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.
(1)当α=时,求弦AB的长;
(2)当弦AB的长最短时,求直线AB的方程.
解:(1)方法一(几何法):当α=时,直线AB的斜率k=tan =-1,所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1,
可得弦心距d=,又半径r=2,所以弦长|AB|=2=2×=.
课 中 探 究
例3 已知圆O:x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.
(1)当α=时,求弦AB的长;
(2)当弦AB的长最短时,求直线AB的方程.
方法二(代数法):当α=π时,直线AB的斜率k=-1,所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),
即y=-x+1,代入x2+y2=8,得2x2-2x-7=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
所以x1+x2=1,x1x2=-,所以|AB|=|x1-x2|==.
课 中 探 究
例3 已知圆O:x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.
(1)当α=时,求弦AB的长;
(2)当弦AB的长最短时,求直线AB的方程.
(2)当弦AB的长最短时,OP0⊥AB,因为=-2,所以kAB=,所以直线AB的方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0.
变式 (1)已知直线l:2x-y-1=0和圆C:x2+y2-2y-1=0相交于A,B两点,则弦长
|AB|= .
课 中 探 究
[解析] (1)已知圆的方程可化为x2+(y-1)2=2,其圆心坐标为(0,1),半径r=,设圆心到直线l的距离为d,则d==,故弦长|AB|=2=2×=.
变式 (2)已知直线l经过点P(5,5),且和圆O:x2+y2=25相交于A,B两点,截得的弦长为4,则直线l的方程是
.
课 中 探 究
[解析] (2)若直线l的斜率不存在,则l:x=5与圆O相切,不合题意,所以直线l的斜率存在,设其方程为y-5=k(x-5),即kx-y+5(1-k)=0.设H是弦AB的中点,则|OH|是圆心到直线l的距离,|OA|是圆的半径,|AH|是弦长|AB|的一半,在Rt△AHO中,|OA|=5,|AH|=|AB|=×4=2,所以|OH|==,所以=,解得k=或k=2.所以直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.
x-2y+5=0或2x-y-5=0
[素养小结]
求圆截直线所得的弦长的方法:
(1)几何法:用弦心距、半径及弦长的一半构成直角三角形的三边长,利用勾股定理进行求解.
(2)代数法:设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线斜率为k,用弦长公式|AB|=|x1-x2|=进行求解.
课 中 探 究
拓展 已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0.问是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB满足:以AB为直径的圆经过原点
课 中 探 究
解:假设存在满足题意的直线l.
设l:y=x+m,圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心C(1,-2).
解方程组得AB的中点N的坐标为 -, ,
因为以AB为直径的圆过原点,所以|AN|=|ON|.
拓展 已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0.问是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB满足:以AB为直径的圆经过原点
课 中 探 究
又|AN|==,
|ON|=,
所以9-=+,
解得m=1或m=-4.
所以存在满足题意的直线l,l的方程为x-y+1=0或x-y-4=0,
检验可知,这时l与圆是相交于两点的.
探究点四 利用直线与圆的方程解决实际问题与几何问题
课 中 探 究
例4 已知台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,求城市B处于危险区内的时间.
解:如图所示,以A为原点,正北方向为y轴正方向,正东方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系.
依题意,作出以B(40,0)为圆心,半径为30的圆及直线y=x.
当台风中心处于弦CD(包括端点)上时,
城市B处于危险区.
圆心B到直线CD的距离
d==20,
课 中 探 究
例4 已知台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,求城市B处于危险区内的时间.
所以弦长|CD|=2×=20.
又台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,所以城市B处于危险区内的时间为1 h.
变式 如图2-5-2所示,一座圆弧形拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2米,水面宽12米,则水面下降1米后,水面的宽度为 ( )
A.14米 B.15米
C. 米 D.2 米
课 中 探 究
D
图2-5-2
课 中 探 究
[解析] 以圆弧形拱桥的顶点为原点,以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴,以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知可得A(6,-2),设圆的半径为r,则C(0,-r),则圆的方程为x2+(y+r)2=r2.将点A的坐标代入上述方程,可得r=10,所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降1米后,设水面所在弦的
端点为A',B',A'(x0,-3)(x0>0),将点A'坐标代
入x2+(y+10)2=100,得x0=,所以水面
的宽度|A'B'|=2 米.
[素养小结]
解决直线与圆的实际问题的一般方法:
(1)建立适当的直角坐标系(一般以中点作为原点),用坐标和方程表示实际问题中的点、直线与圆.
(2)利用直线与圆的有关知识,结合问题的结论,求解直线与圆的相关问题.
(3)根据运算结果解释实际含义,进而解决实际问题.
课 中 探 究
1.直线与圆的位置关系的判定方法:(1)代数法,将圆的方程和直线的方程组成方程组,并消去一个未知数得到一个一元二次方程,利用该一元二次方程根的判别式判断;(2)几何法,依据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系进行判断.
备 课 素 材
例1 已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=4外,则直线ax+by=4与圆O的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.不确定
备 课 素 材
[解析] 因为点M(a,b)在圆O:x2+y2=4外,所以a2+b2>4,所以圆心到直线ax+by=4的距离d=<2,所以该直线与圆相交.
C
2.求圆的切线方程的常用方法:(1)待定系数法,设出切点坐标或切线的斜率,由题意列出方程(组),解得切点坐标或切线斜率,写出切线的点斜式方程,最后将点斜式化为一般式;(2)定义法,根据切线方程的定义求出切线方程;(3)直接法,应用常见结论,直接写出切线方程.
备 课 素 材
例2 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,过点P(2,-1)作圆C的切线,切点为A,B.
(1)求直线PA,PB的方程;
(2)求|PA|的值.
备 课 素 材
解:(1)由题意知切线的斜率存在,设切线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.
∵圆心到切线的距离等于,即=,
∴k2-6k-7=0,解得k=7或k=-1,
故所求的切线方程为y+1=7(x-2)或y+1=-(x-2),
即7x-y-15=0或x+y-1=0.
例2 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,过点P(2,-1)作圆C的切线,切点为A,B.
(1)求直线PA,PB的方程;
(2)求|PA|的值.
备 课 素 材
(2)连接AC,PC(图略),在Rt△PAC中,|PA|2=|PC|2-|AC|2=(2-1)2+(-1-2)2-2=8,
∴|PA|=2.
3.已知弦长,求弦所在直线的方程或求圆的方程,往往结合相关直角三角形(直角三角形三边长分别是圆的半径r、弦长l的一半、弦心距d),并利用待定系数法求解.
备 课 素 材
例3 已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点.
(1)求圆A的方程;
(2)当|MN|=2时,求直线l的方程.
备 课 素 材
解:(1)设圆A的半径为r,
由圆A与直线l1相切,得r==2.
所以圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.
例3 已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点.
(1)求圆A的方程;
(2)当|MN|=2时,求直线l的方程.
备 课 素 材
(2)①当直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=-2,符合题意.
②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.连接AQ,AN(图略),则AQ⊥MN.
因为|MN|=2,所以|AQ|==1.
由|AQ|==1,得k=,
所以直线l的方程为3x-4y+6=0.
综上,直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.
1.设A,B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则|AB|= ( )
A.1 B.
C. D.2
课 堂 评 价
[解析] 直线y=x过圆x2+y2=1的圆心O(0,0),所以|AB|=2.
D
2.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是 ( )
A.过圆心
B.相切
C.相离
D.相交但不过圆心
课 堂 评 价
[解析] 由已知得,圆心坐标为(1,-1),圆心到直线3x+4y+12=0的距离d==D
3.[2021·北京昌平一中高二期中] 已知直线y=x+b与圆x2+y2=2相切,则实数b的值是 ( )
A.±2 B.±
C.±1 D.±2
课 堂 评 价
[解析] 直线y=x+b的一般方程为x-y+b=0,圆x2+y2=2的圆心坐标为(0,0),半径为.∵直线与圆相切,∴=,∴b=±2.故选D.
D
4.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为 ( )
A.(x+1)2+(y-1)2=2
B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2
D.(x+1)2+(y+1)2=2
课 堂 评 价
[解析] 由条件知,直线x-y=0与直线x-y-4=0都与圆C相切,且两条直线互相平行,所以圆C的圆心C在直线x-y-2=0上.由得圆心C(1,-1).又因为两平行线间的距离d==2,所以所求圆的半径r=,故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
B
5.如图2-5-3,圆弧形拱桥的跨度AB的长为12米,拱高CD的长为4米,则拱桥的拱圆的直径为 米.
图2-5-3
课 堂 评 价
[解析] 设拱圆的圆心为O,半径为r,连接OD,OB,则由勾股定理得,|OB|2=|OD|2+|BD|2,即r2=(r-4)2+62,解得r=,所以所求直径为13米.
13
6.过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短的弦的长为 .
课 堂 评 价
[解析] 设点A(3,1),易知圆心C(2,2),半径r=2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时最短,|CA|==,∴最短弦的长为2=2×=2.
2
2.5.1 直线与圆的位置关系
课程标准 学习目标
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 1.能用几何方法和代数方法描述直线与圆的三种位置关系;
2.能根据给定直线、圆的方程,通过研究联立方程组解的情况或通过计算圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系;
3.知道直线与圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,会用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题
知识点一 直线与圆的位置关系
课 前 预 习
2
1
0
直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
图形关系
公共点个数 个 个 个
课 前 预 习
d
Δ>0
Δ=0
位置关系 相交 相切 相离
几何法 计算圆心到直线的距离:d= d=r
代数法 由消元得到一元二次方程,计算方程的判别式Δ Δ<0
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交. ( )
(2)若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解. ( )
课 前 预 习
×
√
[解析] (1)直线与圆有公共点,也可能相切,故(1)不正确.
[解析] (2)直线与圆相交,则必有公共点,方程必有解,故(2)正确.
(3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. ( )
课 前 预 习
√
[解析] (3)圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆相离,方程一定无解,故(3)正确.
知识点二 解决实际问题的一般步骤
课 前 预 习
(1)阅读理解,认真审题,了解问题的实际情境,把握问题的数学本质.
(2)引进数学符号,具体分析问题中的数量关系,正确建立数学模型,将实际问题转化为数学问题.
(3)利用数学方法将得到的数学问题(数学模型)予以解答,求得结果.
(4)将数学问题的结果转化为实际问题的答案.
对直线与圆的位置关系及其判定的理解
(1)代数法是从方程角度考虑,运算量较大;几何法是从几何角度考虑,方法相对简单.这两种方法是判断直线与圆的位置关系的常用方法.
(2)应用几何法还可以求出圆上有4个或3个或2个或1个或0个点到直线的距离为某一定值时某些参数的值或取值范围.
(3)利用代数法判断位置关系时,不必求出方程组的实数解,只需将直线方程代入到圆的方程中,并消去一个未知数,得到一个关于x(或y)的一元二次方程,由Δ与0的大小关系判断方程解的个数,进一步判断两者的位置关系.
备 课 素 材
探究点一 直线与圆的位置关系的判定
课 中 探 究
解:方法一:由方程组消去y,得25x2+8ax+a2-900=0.
Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90 000.
①当直线和圆相交时,Δ>0,即-36a2+90 000>0,解得-50
③当直线和圆相离时,Δ<0,即a<-50或a>50.
例1 若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100有如下位置关系:①相交,②相切,③相离,试分别求实数a的值或取值范围.
课 中 探 究
方法二:圆x2+y2=100的圆心坐标为(0,0),半径r=10,
则圆心到直线的距离d==.
①当直线和圆相交时,d
③当直线和圆相离时,d>r,即>10,得a<-50或a>50.
例1 若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100有如下位置关系:①相交,②相切,③相离,试分别求实数a的值或取值范围.
变式 已知直线mx-y-m-1=0,圆x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值或何取值范围时,圆与直线分别满足下列条件:
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点.
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解:将直线方程y=mx-m-1代入圆的方程,化简整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,
则Δ=4m(3m+4).
(1)当Δ>0,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点.
(2)当Δ=0,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点.
(3)当Δ<0,即-
直线与圆的位置关系的判断方法:
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系,来判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
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探究点二 圆的切线
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[解析] (1)圆C的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5,则圆心为C(1,2),PC所在直线的斜率为=,又点P在圆上,所以切线方程为y-3=-2(x-3),整理得2x+y-9=0.故选B.
例2 (1)过圆C:x2+y2-2x-4y=0上一点P(3,3)的切线方程为 ( )
A.2x-y+9=0 B.2x+y-9=0
C.2x+y+9=0 D.2x-y-9=0
B
(2)由直线y=x+1上任意一点P向圆(x-3)2+y2=1引切线,切点为Q,则|PQ|的最小值为 ( )
A.1 B.2
C. D.3
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[解析] (2)由题意得,圆心(3,0)到直线y=x+1的距离d==2,圆的半径为1,故|PQ|的最小值为==.
C
(3)过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.
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解:因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A在圆外.
①若所求直线的斜率存在,设切线斜率为k,
则切线方程为y+3=k(x-4), 即kx-y-4k-3=0.
因为圆心(3,1)到切线的距离等于半径1,
所以=1,即|k+4|=, 所以k2+8k+16=k2+1,解得k=-,
所以切线的方程为-x-y+-3=0,即15x+8y-36=0.
(3)过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.
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②若所求直线的斜率不存在,则直线方程为x=4,可得圆心(3,1)到直线x=4的距离为1,这时直线x=4与圆相切,所以另一条切线的方程为x=4.
综上,所求切线的方程为15x+8y-36=0或x=4.
[素养小结]
过一点的圆的切线方程的求法:
(1)当点在圆上时,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的斜率,用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
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(2)当点在圆外时,过该点的切线有两条,但在用设斜率的方法来解题时可能求出的切线只有一条,
这时另一条切线的斜率不存在.
设点M(x0,y0)为圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点,则过点M的
圆的切线长为|MP|=,如图2-5-1.
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图2-5-1
探究点三 直线与圆的相交弦问题
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例3 已知圆O:x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.
(1)当α=时,求弦AB的长;
(2)当弦AB的长最短时,求直线AB的方程.
解:(1)方法一(几何法):当α=时,直线AB的斜率k=tan =-1,所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1,
可得弦心距d=,又半径r=2,所以弦长|AB|=2=2×=.
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例3 已知圆O:x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.
(1)当α=时,求弦AB的长;
(2)当弦AB的长最短时,求直线AB的方程.
方法二(代数法):当α=π时,直线AB的斜率k=-1,所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),
即y=-x+1,代入x2+y2=8,得2x2-2x-7=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
所以x1+x2=1,x1x2=-,所以|AB|=|x1-x2|==.
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例3 已知圆O:x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.
(1)当α=时,求弦AB的长;
(2)当弦AB的长最短时,求直线AB的方程.
(2)当弦AB的长最短时,OP0⊥AB,因为=-2,所以kAB=,所以直线AB的方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0.
变式 (1)已知直线l:2x-y-1=0和圆C:x2+y2-2y-1=0相交于A,B两点,则弦长
|AB|= .
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[解析] (1)已知圆的方程可化为x2+(y-1)2=2,其圆心坐标为(0,1),半径r=,设圆心到直线l的距离为d,则d==,故弦长|AB|=2=2×=.
变式 (2)已知直线l经过点P(5,5),且和圆O:x2+y2=25相交于A,B两点,截得的弦长为4,则直线l的方程是
.
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[解析] (2)若直线l的斜率不存在,则l:x=5与圆O相切,不合题意,所以直线l的斜率存在,设其方程为y-5=k(x-5),即kx-y+5(1-k)=0.设H是弦AB的中点,则|OH|是圆心到直线l的距离,|OA|是圆的半径,|AH|是弦长|AB|的一半,在Rt△AHO中,|OA|=5,|AH|=|AB|=×4=2,所以|OH|==,所以=,解得k=或k=2.所以直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.
x-2y+5=0或2x-y-5=0
[素养小结]
求圆截直线所得的弦长的方法:
(1)几何法:用弦心距、半径及弦长的一半构成直角三角形的三边长,利用勾股定理进行求解.
(2)代数法:设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线斜率为k,用弦长公式|AB|=|x1-x2|=进行求解.
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拓展 已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0.问是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB满足:以AB为直径的圆经过原点
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解:假设存在满足题意的直线l.
设l:y=x+m,圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心C(1,-2).
解方程组得AB的中点N的坐标为 -, ,
因为以AB为直径的圆过原点,所以|AN|=|ON|.
拓展 已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0.问是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB满足:以AB为直径的圆经过原点
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又|AN|==,
|ON|=,
所以9-=+,
解得m=1或m=-4.
所以存在满足题意的直线l,l的方程为x-y+1=0或x-y-4=0,
检验可知,这时l与圆是相交于两点的.
探究点四 利用直线与圆的方程解决实际问题与几何问题
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例4 已知台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,求城市B处于危险区内的时间.
解:如图所示,以A为原点,正北方向为y轴正方向,正东方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系.
依题意,作出以B(40,0)为圆心,半径为30的圆及直线y=x.
当台风中心处于弦CD(包括端点)上时,
城市B处于危险区.
圆心B到直线CD的距离
d==20,
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例4 已知台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,求城市B处于危险区内的时间.
所以弦长|CD|=2×=20.
又台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,所以城市B处于危险区内的时间为1 h.
变式 如图2-5-2所示,一座圆弧形拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2米,水面宽12米,则水面下降1米后,水面的宽度为 ( )
A.14米 B.15米
C. 米 D.2 米
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D
图2-5-2
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[解析] 以圆弧形拱桥的顶点为原点,以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴,以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知可得A(6,-2),设圆的半径为r,则C(0,-r),则圆的方程为x2+(y+r)2=r2.将点A的坐标代入上述方程,可得r=10,所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降1米后,设水面所在弦的
端点为A',B',A'(x0,-3)(x0>0),将点A'坐标代
入x2+(y+10)2=100,得x0=,所以水面
的宽度|A'B'|=2 米.
[素养小结]
解决直线与圆的实际问题的一般方法:
(1)建立适当的直角坐标系(一般以中点作为原点),用坐标和方程表示实际问题中的点、直线与圆.
(2)利用直线与圆的有关知识,结合问题的结论,求解直线与圆的相关问题.
(3)根据运算结果解释实际含义,进而解决实际问题.
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1.直线与圆的位置关系的判定方法:(1)代数法,将圆的方程和直线的方程组成方程组,并消去一个未知数得到一个一元二次方程,利用该一元二次方程根的判别式判断;(2)几何法,依据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系进行判断.
备 课 素 材
例1 已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=4外,则直线ax+by=4与圆O的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.不确定
备 课 素 材
[解析] 因为点M(a,b)在圆O:x2+y2=4外,所以a2+b2>4,所以圆心到直线ax+by=4的距离d=<2,所以该直线与圆相交.
C
2.求圆的切线方程的常用方法:(1)待定系数法,设出切点坐标或切线的斜率,由题意列出方程(组),解得切点坐标或切线斜率,写出切线的点斜式方程,最后将点斜式化为一般式;(2)定义法,根据切线方程的定义求出切线方程;(3)直接法,应用常见结论,直接写出切线方程.
备 课 素 材
例2 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,过点P(2,-1)作圆C的切线,切点为A,B.
(1)求直线PA,PB的方程;
(2)求|PA|的值.
备 课 素 材
解:(1)由题意知切线的斜率存在,设切线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.
∵圆心到切线的距离等于,即=,
∴k2-6k-7=0,解得k=7或k=-1,
故所求的切线方程为y+1=7(x-2)或y+1=-(x-2),
即7x-y-15=0或x+y-1=0.
例2 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,过点P(2,-1)作圆C的切线,切点为A,B.
(1)求直线PA,PB的方程;
(2)求|PA|的值.
备 课 素 材
(2)连接AC,PC(图略),在Rt△PAC中,|PA|2=|PC|2-|AC|2=(2-1)2+(-1-2)2-2=8,
∴|PA|=2.
3.已知弦长,求弦所在直线的方程或求圆的方程,往往结合相关直角三角形(直角三角形三边长分别是圆的半径r、弦长l的一半、弦心距d),并利用待定系数法求解.
备 课 素 材
例3 已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点.
(1)求圆A的方程;
(2)当|MN|=2时,求直线l的方程.
备 课 素 材
解:(1)设圆A的半径为r,
由圆A与直线l1相切,得r==2.
所以圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.
例3 已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点.
(1)求圆A的方程;
(2)当|MN|=2时,求直线l的方程.
备 课 素 材
(2)①当直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=-2,符合题意.
②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.连接AQ,AN(图略),则AQ⊥MN.
因为|MN|=2,所以|AQ|==1.
由|AQ|==1,得k=,
所以直线l的方程为3x-4y+6=0.
综上,直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.
1.设A,B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则|AB|= ( )
A.1 B.
C. D.2
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[解析] 直线y=x过圆x2+y2=1的圆心O(0,0),所以|AB|=2.
D
2.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是 ( )
A.过圆心
B.相切
C.相离
D.相交但不过圆心
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[解析] 由已知得,圆心坐标为(1,-1),圆心到直线3x+4y+12=0的距离d==
3.[2021·北京昌平一中高二期中] 已知直线y=x+b与圆x2+y2=2相切,则实数b的值是 ( )
A.±2 B.±
C.±1 D.±2
课 堂 评 价
[解析] 直线y=x+b的一般方程为x-y+b=0,圆x2+y2=2的圆心坐标为(0,0),半径为.∵直线与圆相切,∴=,∴b=±2.故选D.
D
4.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为 ( )
A.(x+1)2+(y-1)2=2
B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2
D.(x+1)2+(y+1)2=2
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[解析] 由条件知,直线x-y=0与直线x-y-4=0都与圆C相切,且两条直线互相平行,所以圆C的圆心C在直线x-y-2=0上.由得圆心C(1,-1).又因为两平行线间的距离d==2,所以所求圆的半径r=,故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
B
5.如图2-5-3,圆弧形拱桥的跨度AB的长为12米,拱高CD的长为4米,则拱桥的拱圆的直径为 米.
图2-5-3
课 堂 评 价
[解析] 设拱圆的圆心为O,半径为r,连接OD,OB,则由勾股定理得,|OB|2=|OD|2+|BD|2,即r2=(r-4)2+62,解得r=,所以所求直径为13米.
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6.过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短的弦的长为 .
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[解析] 设点A(3,1),易知圆心C(2,2),半径r=2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时最短,|CA|==,∴最短弦的长为2=2×=2.
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