2023年中考数学高频考点突破--反比例函数与几何综合（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023年中考数学高频考点突破--反比例函数与几何综合（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 438.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-30 17:42:06 | ||
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文档简介
2023年中考数学高频考点突破--反比例函数与几何综合
1．已知一次函数 和反比例函数 ．
（1）如图1，若 ，且函数 、 的图象都经过点 ．
①求 ， 的值；
②直接写出当 时 的范围；
（2）如图2，过点 作 轴的平行线 与函数 的图象相交于点 ，与反比例函数 的图象相交于点 ．
①若 ，直线 与函数 的图象相交点 ．当点 、 、 中的一点到另外两点的距离相等时，求 的值；
②过点 作 轴的平行线与函数 的图象相交于点 ．当 的值取不大于1的任意实数时，点 、 间的距离与点 、 间的距离之和 始终是一个定值．求此时 的值及定值 ．
2．如图，已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点A和点，与轴交于点，与轴交于点，且点A坐标为.
（1）求直线与反比例函数的解析式；
（2）若点是轴上一点，当面积为6时，求点的坐标.
（3）将直线向右平移2个单位得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值.
3．平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数图象交于A、B两点（点A在点B左侧）.
（1）求A、B两点的坐标（用含k的代数式表示）；
（2）当时，过y轴正半轴上一动点作平行于x轴的直线，分别与一次函数、反比例函数的图象相交于D、E两点，若，求n的值；
（3）若一次函数图象与x轴交于点F，，直接写出k的取值范围.
4．如图，反比例函数 过点 ，直线 与 轴交于点 过点 作 轴的垂线 交反比例函数图象于点 .
（1）求 的值与 点的坐标；
（2）连结 ，求 的面积；
（3）在平面内有点 ，使得以 ， ， ， 四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有 点的坐标.
5．如图，直线l1：y＝kx+b与双曲线y＝（x＞0）交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点E，已知点A（1，3），点C（4，0）．
（1）求直线l1和双曲线的解析式；
（2）将△OCE沿直线l1翻折，点O落在第一象限内的点H处，求点H的坐标；
（3）如图，过点E作直线l2：y＝3x+4交x轴的负半轴于点F，在直线l2上是否存在点P，使得S△PBC＝S△OBC？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
6．如图1，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，双曲线为常数，上经过、两点．
（1）求的值；
（2）如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数为常数，图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标；
（3）点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点的坐标．
7．在平面直角坐标系中，P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴，y轴的垂线，如果由点P、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长与面积相等，那么称这个点P是平面直角坐标系中的“靓点”.举例：如下图，过点P（3，6）分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB的周长为18，面积也为18，周长与面积相等，所以点P是“靓点”.请根据以上材料回答下列问题：
（1）已知点C（3，4），D（﹣6，﹣3），E（ ，﹣5），其中是平面直角坐标系中的“靓点”的有 ；（填字母代号）
（2）从函数的角度研究“靓点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“靓点”.
①求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
②在答题卡中的直角坐标系上画出函数图象，观察图象说明该图象可由函数 ▲ 的图象平移得到；
③结合图象探索性质，结论：A.图象与坐标轴没有交点；B.在第一象限内，y随着x的增大而减小；其中正确的有 ▲ （填写所有正确的序号）；
（3）在第一象限内，直线y＝kx+8（k为常数）上“靓点”的个数随着k的值变化而变化，请直接写出“靓点”的个数及对应的k的取值范围.
8．如图，点P为函数y＝ x+1与函数y＝ （x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数y＝ （x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD＝ ，求点M的坐标．
9．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”.例如 ……都是“雁点”.
（1）求函数 图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线 上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）.当 时.
①求c的取值范围；
②求 的度数；
（3）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线 上一点，连接 ，以点P为直角顶点，构造等腰 ，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
10．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y= 的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为（m，0）．其中m＞0．
（1）四边形ABCD的是 ．（填写四边形ABCD的形状）
（2）当点A的坐标为（n，3）时，四边形ABCD是矩形，求m，n的值．
（3）试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）.若反比例函数 （x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F.设直线EF的解析式为y2=k2x+b.
（1）求反比例函数和直线EF的解析式；
（温馨提示：平面上有任意两点M（x1，y1）、N（x2，y2），它们连线的中点P的坐标为（ ））
（2）求△OEF的面积；
（3）请结合图象直接写出不等式k2x -b﹣ ＞0的解集.
12．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，点 ，连接OA、OD、DC、AC，四边形 为菱形.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，且 ，求点P的坐标.
13．如图，已知A（﹣4， ），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数 （m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
14．新定义：如果函数G的图象与直线l相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），那么我们把|x1 x2|叫做函数G在直线l上的“截距”.
（1）求双曲线G：与直线l：上的“截距”；
（2）若抛物线与直线相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若“截距”为，且x1＜x2＜0，求b的值；
（3）设m，n为正整数，且，抛物线在x轴上的“截距”为d1，抛物线在x轴上的“截距”为d2.如果对一切实数t恒成立，求m，n的值.
15．已知：在平面直角坐标系xOy中，函数y＝ （n≠0，x＞0）的图象过点A（3，2），与直线l：y＝kx+b交于点C，直线l与y轴交于点B（0，﹣1）．
（1）求n、b的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y＝ （n≠0，x＞0）的图象在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W．
①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数，并写出区域W内的整点的坐标；
②若区域W内的整点不少于5个，结合函数图象，求k的取值范围．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=（n＞0）交于点A（-2，-1），B（1，m）．
（1）求，对应的函数表达式；
（2）直接写出当时，不等式的解集．
（3）求的面积；
（4）若点P是反比例函数图象上一点，且的面积是的面积的2倍，则点P的横坐标为 ．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：①将点 的坐标代入一次函数表达式并解得： ，
将点 的坐标代入反比例函数得： ；
②由图象可以看出 时，
（2）解：①当 时，点 、 、 的坐标分别为 、 、 ，
则 ， ， ，
则 或 或 ，
即： 或 或 ，
即： 或0或2或4，
当 时， 与题意不符，
点 不能在 的下方，即 也不存在， ，故 不成立，
故 或4；
②点 的横坐标为： ，
当点 在点 左侧时，
，
的值取不大于1的任意数时， 始终是一个定值，
当 时，此时 ，从而 ．
当点 在点 右侧时，
同理 ，
当 ， 时，（不合题意舍去）
故 ， ．
2．【答案】（1）解：将代入得，
直线解析式为，
（2）解：联立，
解得，
点坐标为，
，
把代入得，
把代入得，
点坐标为，点坐标为为等腰直角三角形，过点作的平行线交轴于点，作于点，
则，
，，
为等腰直角三角形，
，
点坐标为，
设解析式为，
将代入得：，
解得，
直线解析式为，
令
解得，
把代入得，
把代入得，
点坐标为或.
（3）解：将直线向右平移2个单位后解析式为
，
直线，
反比例函数关于直线对称，
如图，作直线，交双曲线于点，交直线于点，
交直线于点，
令，
解得，
点坐标为，
令，解得，
点坐标为，
令，解得(舍)或，
点坐标为，
由题意可得点关于点对称，即为点的中点，
，
解得(舍)，.
3．【答案】（1）解：联立解之得，，
∵点A在点B左侧，
∴，；
（2）解：∵，
∴反比例函数与一次函数的解析式为和，点，
∵过的直线平行与x轴，
∴点D、E的纵坐标都为n.
将代入和，得：
和，
∵.
∴分两种情况
当时，，
∵，
∴，
整理，得，
，（舍），
当时，，，
∵，
∴，
整理，得，
，（舍）
综上所述：n的值为或；
（3）解：设，
∵反比例函数的图象与一次函数图象交于A、B两点，
∴，
整理得：，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴且，
即k的取值是且.
4．【答案】（1）解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴
∴
∵ 轴，
∴点 的横坐标为6.
又∵点 在 的图象上，
∴
∴ ；
（2）解：∵ 到 的距离为3.
又∵
∴ ；
（3）解：
①如图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD＝BC.
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，yA yD＝yB yC即4 yD＝2 0，故yD＝2.
所以D（3，2）.
②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′＝CB.
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，yD′ yA＝yB yC即yD′ 4＝2 0，故yD′＝6.
所以D′（3，6）.
③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC＝BD″且AC∥BD″.
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴xD″ xB＝xC xA即xD″ 6＝6 3，故xD″＝9.
yD″ yB＝yC yA即yD″ 2＝0 4，故yD″＝ 2.
所以D″（9， 2）.
综上所述，符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9， 2）.
5．【答案】（1）解：将A（1，3），C（4，0）代入y＝kx+b，得，解得：，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+4．
将A（1，3）代入y＝（x＞0），得m＝3，
∴双曲线的解析式为y＝（x＞0）
（2）解：将x＝0代入y＝﹣x+4，得y＝4，
∴E（0，4）．
∴△COE是等腰直角三角形．
∴∠OCE＝∠OEC＝45°，OC＝OE＝4．
由翻折得△CEH≌△CEO，
∴∠COE＝∠CHE＝∠OCH＝90°．
∴四边形OCHE是正方形．
∴H（4，4）；
（3）解：存在，点P的坐标为（﹣1，1）或（1，7）．
6．【答案】（1）解：如图1，过点D作DM⊥y轴于点M，∵A（-1，0），∴ OA=1．∵ED=EA，∠DME=∠AOE=90°，∠DEM=∠AEO，∴ △EDM≌△EAO，∴AO=DM=1，
∵点D在第一象限，且在反比例函数上，∴D（1，k）．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ D（1，k）是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得到，∴ 将点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k），
∴k=2（-2+k），解得k=4．
（2）解：如图2，连接FM、FN．根据（1）可确定点C（2，2），∵点B（0，-2），∴设直线BC的解析式为y=kx-2，∴2=2k-2，解得k=2，
∴直线BC解析式为y=2x-2，∴2x-2=0，解得x=1，∴点F（1，0），过点F作FH⊥MN于点H，∴H的横坐标为1，根据FM=FN，∴MH=HN即，设点G（0，t），则，∴，∴，解得t=，故点G坐标为（0，）．
（3）解：∵点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m，），∵四边形ABPQ是平行四边形，∴平行四边形的对边平行且相等，当A平移得到Q时，∵点A（-1，0），Q（0，n），∴点A向右平移1个单位，当n＞0时，向上平移n个单位得到Q，如图3所示，∴点B向右平移1个单位，向上平移n个单位得到P，∵B（0，-2），∴点P（1，-2+n），∵P在反比例函数上，∴1×（-2+n）=4，解得n=6，此时点Q（0，6）；当n＜0时，向下平移|n|个单位得到Q，如图4所示，∴点B向右平移1个单位，向下平移|n|个单位得到P，∵B（0，-2），∴点P（1，-2+|n|），∵P在反比例函数上，∴1×（-2+|n|）=4，解得n=-6，n=6（舍去），此时点Q（0，-6）；当A平移得到P时，∵点A（-1，0）平移得到P（m，），则B（0，-2）平移得到Q（0，n），∴m=-1，
故点P（-1，-4），即点A向下平移4个单位，
当点B向下平移4个单位，得到（0，-6），
当点B向上平移4个单位，得到（0，2），
如图5所示，此时点Q（0，-6）或（0，2）综上所述，点Q的坐标为（0，6）或（0，-6）或（0，2）．
7．【答案】（1）D，E
（2）解：①根据题意得，2（x＋y）＝xy，
∴y＝ ，
∵x 2≠0，
∴x≠2，
∵第一象限内的点，
∴x＞0，y＞0
∵2x＞0，则x-2＞0
∴x＞2，
故自变量的取值范围为：x＞2；
②作出图象如下，
；y＝ ；
③AB
（3）当k＜ 1时，“靓点”的个数为0.
当k≥0或k＝ 1时，“靓点”的个数为1个，
当 1＜k＜0时，“靓点”的个数为2个.
8．【答案】（1）解：∵点P为函数y＝ x+1图象的点，点P的纵坐标为4，
∴4＝ x+1，解得：x＝6，
∴点P（6，4），
∵点P为函数y＝ x+1与函数y＝ （x＞0）图象的交点，
∴4＝ ，
∴m＝24
（2）解：设点M的坐标（x，y），
∵tan∠PMD＝ ，
∴ ＝ ，
①点M在点P右侧，如图，
∵点P（6，4），
∴PD＝4﹣y，DM＝x﹣6，
∴ ＝ ，
∵xy＝m＝24，
∴y＝ ，
∴2（4﹣ ）＝x﹣6，解得：x＝6或8，
∵点M在点P右侧，
∴x＝8，
∴y＝3，
∴点M的坐标为（8，3）；
②点M在点P左侧，
∵点P（6，4），
∴PD＝y﹣4，DM＝6﹣x，
∴ ＝ ，
∵xy＝m＝24，
∴y＝ ，
∴2（4﹣ ）＝x﹣6，解得：x＝6或8，
∵点M在点P左侧，
∴此种情况不存在；
∴点M的坐标为（8，3）．
9．【答案】（1）解：联立 ，
解得 或
即：函数 上的雁点坐标为 和
（2）解：① 联立
得
∵ 这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，
∴
∵
∵
∴
② 将 代入，得
解得 ，∴
对于 ，令
有
解得
∴
过E点向x轴作垂线，垂足为H点，
EH= ，MH=
∴
∴ 为等腰直角三角形，
（3）解：存在，理由如下：
如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H
设C（m，m），P（x，y）
∵ △CPB为等腰三角形，
∴PC=PB，∠CPB=90°，
∴∠KPB+∠HPC=90°，
∵∠HPC+∠HCP=90°，
∴∠KPB=∠HCP，
∵∠H=∠PKB=90°，
∴△CHP≌△PKB，
∴CH=PK，HP=KB，
即
∴
当 时，
∴
如图2所示，同理可得：△KCP≌△JPB
∴ KP=JB，KC=JP
设P（x，y），C（m，m）
∴KP=x-m，KC=y-m，JB=y，JP=3-x，
即
解得
令
解得
∴ 或
如图3所示，
∵△RCP≌△TPB
∴RC=TP，RP=TB
设P（x，y），C（m，m）
即
解得
令
解得
∴ 此时P与第②种情况重合
综上所述，符合题意P的坐标为 或 或
10．【答案】（1）平行四边形
（2）解：∵点A（n，3）在反比例函数y= 的图象上，
∴3n=3，解得：n=1，
∴点A（1，3），
∴OA= ．
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA= AC，OB= BD，AC=BD，
∴OB=OA= ，
∴m= ．
（3）解：四边形ABCD不可能成为菱形，理由如下：
∵点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，
∴∠AOB＜90°，
∴AC与BD不可能互相垂直，
∴四边形ABCD不可能成为菱形．
11．【答案】（1）解：∵D（0，4），B（6，0），
∴C（6，4），
∵点A是OC的中点，
∴A（3，2），
把A（3，2）代入反比例函数y1= ，可得k1=6，
∴反比例函数解析式为y1= ，
把x=6代入y1= ，可得y=1，则F（6，1），
把y=4代入y1= ，可得x= ，则E（ ，4），
把E（ ，4），F（6，1）代入y2=k2x+b，可得
，解得 ，
∴直线EF的解析式为y=- x+5；
（2）解：如图，过点E作EG⊥OB于G，
∵点E，F都在反比例函数y1= 的图象上，
∴S△EOG=S△OBF，
∴S△EOF=S梯形EFBG= （1+4）× = ；
（3）解：由图象可得，点E，F关于原点对称的点的坐标分别为（-1.5，-4），（-6，-1），
∴由图象可得，不等式k2x-b- ＞0的解集为：x＜-6或-1.5＜x＜0.
12．【答案】（1）解：如图，连接 ，交 轴于点 ，
，
， ，
四边形 是菱形，
， ，
，
将 代入直线 ，
得： ，
解得： ，
将 代入反比例函数 ，
得： ，
解得： ；
一次函数的解析式为 ；反比例函数的解析式为
（2）解： 当 时，反比例函数的值为2，
当反比例函数图象在 点下方时，对应的函数值小于2，
的取值范围为： 或 ；
（3）解： ， ，
，
，
，
设 点坐标为 ， 与 轴相交于点 ，
则 ，
，
，
当 在 的左侧时， ，
，
， ，
，
当 在 的右侧时， ，
，
， ，
，
综上所述，点 的坐标为 或 .
13．【答案】（1）解：当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）把A（﹣4， ），B（﹣1，2）代入y=kx+b得 ，
解得 ，
所以一次函数解析式为y= x+ ，
把B（﹣1，2）代入y= 得m=﹣1×2=﹣2；
（3）解：如下图所示：
设P点坐标为（t， t+ ），
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴ （t+4）= 1 （2﹣ t﹣ ），即得t=﹣ ，
∴P点坐标为（﹣ ， ）．
14．【答案】（1）解：根据题意可得
解得：或
，，
双曲线与直线上的“截距”，
（2）解：直线与轴成角，
△
解得：，，
，
（3）解：令，则，
，，
由，
，，
，
对一切实数恒成立，
，
，
①
当，且△时，①式对于一切实数恒成立，
且，为正整数，
或.
15．【答案】（1）解：∵点A（3，2）在函数 的图象上，
∴n＝6，
∵点B（0，﹣1）在直线l：y＝kx+b上，
∴b＝﹣1
（2）解：①当直线l过点（2，0）时，直线解析式为y＝ x﹣1，
解方程 ＝ x﹣1得x1＝1﹣ （舍去），x2＝1+ ，则C（1+ ， ），
而B（0，﹣1），
如图1所示，区域W内的整点有（3，1）一个；
②（ⅰ）当直线l在BA下方时，
若直线l与x轴交于点（3，0），结合图象，区域W内有4个整点，
此时：3k﹣1＝0，
∴ ．
当直线l与x轴的交点在（3，0）右侧时，区域W内整点个数不少于5个，
∴0＜k＜ ．
（ⅱ）当直线l在BA上方时，若直线l过点（1，4），结合图象，区域W内有4个整点，
此时k﹣1＝4，解得 k＝5．
结合图象，可得 k＞5时，区域W内整点个数不少于5个，
综上，k的取值范围是0＜k＜ 或k＞5
16．【答案】（1）解：把点A（-2，-1）代入y2=，得n=2，
∴y2=，
把点B（1，m）代入y2=中，得m=2，
∴B（1，2），
把点A（-2，-1），B（1，2）代入直线y1=kx+b得，
解得，
∴y1=x+1；
（2）
（3）解：把x=0代入y1=x+1得，y=1，
∴直线AB与y轴的交点C为（0，1），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×2+×1×1=S△AOCB=；
（4）2或或或
1．已知一次函数 和反比例函数 ．
（1）如图1，若 ，且函数 、 的图象都经过点 ．
①求 ， 的值；
②直接写出当 时 的范围；
（2）如图2，过点 作 轴的平行线 与函数 的图象相交于点 ，与反比例函数 的图象相交于点 ．
①若 ，直线 与函数 的图象相交点 ．当点 、 、 中的一点到另外两点的距离相等时，求 的值；
②过点 作 轴的平行线与函数 的图象相交于点 ．当 的值取不大于1的任意实数时，点 、 间的距离与点 、 间的距离之和 始终是一个定值．求此时 的值及定值 ．
2．如图，已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点A和点，与轴交于点，与轴交于点，且点A坐标为.
（1）求直线与反比例函数的解析式；
（2）若点是轴上一点，当面积为6时，求点的坐标.
（3）将直线向右平移2个单位得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值.
3．平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数图象交于A、B两点（点A在点B左侧）.
（1）求A、B两点的坐标（用含k的代数式表示）；
（2）当时，过y轴正半轴上一动点作平行于x轴的直线，分别与一次函数、反比例函数的图象相交于D、E两点，若，求n的值；
（3）若一次函数图象与x轴交于点F，，直接写出k的取值范围.
4．如图，反比例函数 过点 ，直线 与 轴交于点 过点 作 轴的垂线 交反比例函数图象于点 .
（1）求 的值与 点的坐标；
（2）连结 ，求 的面积；
（3）在平面内有点 ，使得以 ， ， ， 四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有 点的坐标.
5．如图，直线l1：y＝kx+b与双曲线y＝（x＞0）交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点E，已知点A（1，3），点C（4，0）．
（1）求直线l1和双曲线的解析式；
（2）将△OCE沿直线l1翻折，点O落在第一象限内的点H处，求点H的坐标；
（3）如图，过点E作直线l2：y＝3x+4交x轴的负半轴于点F，在直线l2上是否存在点P，使得S△PBC＝S△OBC？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
6．如图1，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，双曲线为常数，上经过、两点．
（1）求的值；
（2）如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数为常数，图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标；
（3）点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点的坐标．
7．在平面直角坐标系中，P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴，y轴的垂线，如果由点P、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长与面积相等，那么称这个点P是平面直角坐标系中的“靓点”.举例：如下图，过点P（3，6）分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB的周长为18，面积也为18，周长与面积相等，所以点P是“靓点”.请根据以上材料回答下列问题：
（1）已知点C（3，4），D（﹣6，﹣3），E（ ，﹣5），其中是平面直角坐标系中的“靓点”的有 ；（填字母代号）
（2）从函数的角度研究“靓点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“靓点”.
①求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
②在答题卡中的直角坐标系上画出函数图象，观察图象说明该图象可由函数 ▲ 的图象平移得到；
③结合图象探索性质，结论：A.图象与坐标轴没有交点；B.在第一象限内，y随着x的增大而减小；其中正确的有 ▲ （填写所有正确的序号）；
（3）在第一象限内，直线y＝kx+8（k为常数）上“靓点”的个数随着k的值变化而变化，请直接写出“靓点”的个数及对应的k的取值范围.
8．如图，点P为函数y＝ x+1与函数y＝ （x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数y＝ （x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD＝ ，求点M的坐标．
9．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”.例如 ……都是“雁点”.
（1）求函数 图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线 上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）.当 时.
①求c的取值范围；
②求 的度数；
（3）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线 上一点，连接 ，以点P为直角顶点，构造等腰 ，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
10．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y= 的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为（m，0）．其中m＞0．
（1）四边形ABCD的是 ．（填写四边形ABCD的形状）
（2）当点A的坐标为（n，3）时，四边形ABCD是矩形，求m，n的值．
（3）试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）.若反比例函数 （x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F.设直线EF的解析式为y2=k2x+b.
（1）求反比例函数和直线EF的解析式；
（温馨提示：平面上有任意两点M（x1，y1）、N（x2，y2），它们连线的中点P的坐标为（ ））
（2）求△OEF的面积；
（3）请结合图象直接写出不等式k2x -b﹣ ＞0的解集.
12．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，点 ，连接OA、OD、DC、AC，四边形 为菱形.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，且 ，求点P的坐标.
13．如图，已知A（﹣4， ），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数 （m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
14．新定义：如果函数G的图象与直线l相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），那么我们把|x1 x2|叫做函数G在直线l上的“截距”.
（1）求双曲线G：与直线l：上的“截距”；
（2）若抛物线与直线相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若“截距”为，且x1＜x2＜0，求b的值；
（3）设m，n为正整数，且，抛物线在x轴上的“截距”为d1，抛物线在x轴上的“截距”为d2.如果对一切实数t恒成立，求m，n的值.
15．已知：在平面直角坐标系xOy中，函数y＝ （n≠0，x＞0）的图象过点A（3，2），与直线l：y＝kx+b交于点C，直线l与y轴交于点B（0，﹣1）．
（1）求n、b的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y＝ （n≠0，x＞0）的图象在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W．
①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数，并写出区域W内的整点的坐标；
②若区域W内的整点不少于5个，结合函数图象，求k的取值范围．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=（n＞0）交于点A（-2，-1），B（1，m）．
（1）求，对应的函数表达式；
（2）直接写出当时，不等式的解集．
（3）求的面积；
（4）若点P是反比例函数图象上一点，且的面积是的面积的2倍，则点P的横坐标为 ．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：①将点 的坐标代入一次函数表达式并解得： ，
将点 的坐标代入反比例函数得： ；
②由图象可以看出 时，
（2）解：①当 时，点 、 、 的坐标分别为 、 、 ，
则 ， ， ，
则 或 或 ，
即： 或 或 ，
即： 或0或2或4，
当 时， 与题意不符，
点 不能在 的下方，即 也不存在， ，故 不成立，
故 或4；
②点 的横坐标为： ，
当点 在点 左侧时，
，
的值取不大于1的任意数时， 始终是一个定值，
当 时，此时 ，从而 ．
当点 在点 右侧时，
同理 ，
当 ， 时，（不合题意舍去）
故 ， ．
2．【答案】（1）解：将代入得，
直线解析式为，
（2）解：联立，
解得，
点坐标为，
，
把代入得，
把代入得，
点坐标为，点坐标为为等腰直角三角形，过点作的平行线交轴于点，作于点，
则，
，，
为等腰直角三角形，
，
点坐标为，
设解析式为，
将代入得：，
解得，
直线解析式为，
令
解得，
把代入得，
把代入得，
点坐标为或.
（3）解：将直线向右平移2个单位后解析式为
，
直线，
反比例函数关于直线对称，
如图，作直线，交双曲线于点，交直线于点，
交直线于点，
令，
解得，
点坐标为，
令，解得，
点坐标为，
令，解得(舍)或，
点坐标为，
由题意可得点关于点对称，即为点的中点，
，
解得(舍)，.
3．【答案】（1）解：联立解之得，，
∵点A在点B左侧，
∴，；
（2）解：∵，
∴反比例函数与一次函数的解析式为和，点，
∵过的直线平行与x轴，
∴点D、E的纵坐标都为n.
将代入和，得：
和，
∵.
∴分两种情况
当时，，
∵，
∴，
整理，得，
，（舍），
当时，，，
∵，
∴，
整理，得，
，（舍）
综上所述：n的值为或；
（3）解：设，
∵反比例函数的图象与一次函数图象交于A、B两点，
∴，
整理得：，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴且，
即k的取值是且.
4．【答案】（1）解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴
∴
∵ 轴，
∴点 的横坐标为6.
又∵点 在 的图象上，
∴
∴ ；
（2）解：∵ 到 的距离为3.
又∵
∴ ；
（3）解：
①如图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD＝BC.
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，yA yD＝yB yC即4 yD＝2 0，故yD＝2.
所以D（3，2）.
②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′＝CB.
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，yD′ yA＝yB yC即yD′ 4＝2 0，故yD′＝6.
所以D′（3，6）.
③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC＝BD″且AC∥BD″.
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴xD″ xB＝xC xA即xD″ 6＝6 3，故xD″＝9.
yD″ yB＝yC yA即yD″ 2＝0 4，故yD″＝ 2.
所以D″（9， 2）.
综上所述，符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9， 2）.
5．【答案】（1）解：将A（1，3），C（4，0）代入y＝kx+b，得，解得：，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+4．
将A（1，3）代入y＝（x＞0），得m＝3，
∴双曲线的解析式为y＝（x＞0）
（2）解：将x＝0代入y＝﹣x+4，得y＝4，
∴E（0，4）．
∴△COE是等腰直角三角形．
∴∠OCE＝∠OEC＝45°，OC＝OE＝4．
由翻折得△CEH≌△CEO，
∴∠COE＝∠CHE＝∠OCH＝90°．
∴四边形OCHE是正方形．
∴H（4，4）；
（3）解：存在，点P的坐标为（﹣1，1）或（1，7）．
6．【答案】（1）解：如图1，过点D作DM⊥y轴于点M，∵A（-1，0），∴ OA=1．∵ED=EA，∠DME=∠AOE=90°，∠DEM=∠AEO，∴ △EDM≌△EAO，∴AO=DM=1，
∵点D在第一象限，且在反比例函数上，∴D（1，k）．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ D（1，k）是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得到，∴ 将点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k），
∴k=2（-2+k），解得k=4．
（2）解：如图2，连接FM、FN．根据（1）可确定点C（2，2），∵点B（0，-2），∴设直线BC的解析式为y=kx-2，∴2=2k-2，解得k=2，
∴直线BC解析式为y=2x-2，∴2x-2=0，解得x=1，∴点F（1，0），过点F作FH⊥MN于点H，∴H的横坐标为1，根据FM=FN，∴MH=HN即，设点G（0，t），则，∴，∴，解得t=，故点G坐标为（0，）．
（3）解：∵点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m，），∵四边形ABPQ是平行四边形，∴平行四边形的对边平行且相等，当A平移得到Q时，∵点A（-1，0），Q（0，n），∴点A向右平移1个单位，当n＞0时，向上平移n个单位得到Q，如图3所示，∴点B向右平移1个单位，向上平移n个单位得到P，∵B（0，-2），∴点P（1，-2+n），∵P在反比例函数上，∴1×（-2+n）=4，解得n=6，此时点Q（0，6）；当n＜0时，向下平移|n|个单位得到Q，如图4所示，∴点B向右平移1个单位，向下平移|n|个单位得到P，∵B（0，-2），∴点P（1，-2+|n|），∵P在反比例函数上，∴1×（-2+|n|）=4，解得n=-6，n=6（舍去），此时点Q（0，-6）；当A平移得到P时，∵点A（-1，0）平移得到P（m，），则B（0，-2）平移得到Q（0，n），∴m=-1，
故点P（-1，-4），即点A向下平移4个单位，
当点B向下平移4个单位，得到（0，-6），
当点B向上平移4个单位，得到（0，2），
如图5所示，此时点Q（0，-6）或（0，2）综上所述，点Q的坐标为（0，6）或（0，-6）或（0，2）．
7．【答案】（1）D，E
（2）解：①根据题意得，2（x＋y）＝xy，
∴y＝ ，
∵x 2≠0，
∴x≠2，
∵第一象限内的点，
∴x＞0，y＞0
∵2x＞0，则x-2＞0
∴x＞2，
故自变量的取值范围为：x＞2；
②作出图象如下，
；y＝ ；
③AB
（3）当k＜ 1时，“靓点”的个数为0.
当k≥0或k＝ 1时，“靓点”的个数为1个，
当 1＜k＜0时，“靓点”的个数为2个.
8．【答案】（1）解：∵点P为函数y＝ x+1图象的点，点P的纵坐标为4，
∴4＝ x+1，解得：x＝6，
∴点P（6，4），
∵点P为函数y＝ x+1与函数y＝ （x＞0）图象的交点，
∴4＝ ，
∴m＝24
（2）解：设点M的坐标（x，y），
∵tan∠PMD＝ ，
∴ ＝ ，
①点M在点P右侧，如图，
∵点P（6，4），
∴PD＝4﹣y，DM＝x﹣6，
∴ ＝ ，
∵xy＝m＝24，
∴y＝ ，
∴2（4﹣ ）＝x﹣6，解得：x＝6或8，
∵点M在点P右侧，
∴x＝8，
∴y＝3，
∴点M的坐标为（8，3）；
②点M在点P左侧，
∵点P（6，4），
∴PD＝y﹣4，DM＝6﹣x，
∴ ＝ ，
∵xy＝m＝24，
∴y＝ ，
∴2（4﹣ ）＝x﹣6，解得：x＝6或8，
∵点M在点P左侧，
∴此种情况不存在；
∴点M的坐标为（8，3）．
9．【答案】（1）解：联立 ，
解得 或
即：函数 上的雁点坐标为 和
（2）解：① 联立
得
∵ 这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，
∴
∵
∵
∴
② 将 代入，得
解得 ，∴
对于 ，令
有
解得
∴
过E点向x轴作垂线，垂足为H点，
EH= ，MH=
∴
∴ 为等腰直角三角形，
（3）解：存在，理由如下：
如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H
设C（m，m），P（x，y）
∵ △CPB为等腰三角形，
∴PC=PB，∠CPB=90°，
∴∠KPB+∠HPC=90°，
∵∠HPC+∠HCP=90°，
∴∠KPB=∠HCP，
∵∠H=∠PKB=90°，
∴△CHP≌△PKB，
∴CH=PK，HP=KB，
即
∴
当 时，
∴
如图2所示，同理可得：△KCP≌△JPB
∴ KP=JB，KC=JP
设P（x，y），C（m，m）
∴KP=x-m，KC=y-m，JB=y，JP=3-x，
即
解得
令
解得
∴ 或
如图3所示，
∵△RCP≌△TPB
∴RC=TP，RP=TB
设P（x，y），C（m，m）
即
解得
令
解得
∴ 此时P与第②种情况重合
综上所述，符合题意P的坐标为 或 或
10．【答案】（1）平行四边形
（2）解：∵点A（n，3）在反比例函数y= 的图象上，
∴3n=3，解得：n=1，
∴点A（1，3），
∴OA= ．
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA= AC，OB= BD，AC=BD，
∴OB=OA= ，
∴m= ．
（3）解：四边形ABCD不可能成为菱形，理由如下：
∵点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，
∴∠AOB＜90°，
∴AC与BD不可能互相垂直，
∴四边形ABCD不可能成为菱形．
11．【答案】（1）解：∵D（0，4），B（6，0），
∴C（6，4），
∵点A是OC的中点，
∴A（3，2），
把A（3，2）代入反比例函数y1= ，可得k1=6，
∴反比例函数解析式为y1= ，
把x=6代入y1= ，可得y=1，则F（6，1），
把y=4代入y1= ，可得x= ，则E（ ，4），
把E（ ，4），F（6，1）代入y2=k2x+b，可得
，解得 ，
∴直线EF的解析式为y=- x+5；
（2）解：如图，过点E作EG⊥OB于G，
∵点E，F都在反比例函数y1= 的图象上，
∴S△EOG=S△OBF，
∴S△EOF=S梯形EFBG= （1+4）× = ；
（3）解：由图象可得，点E，F关于原点对称的点的坐标分别为（-1.5，-4），（-6，-1），
∴由图象可得，不等式k2x-b- ＞0的解集为：x＜-6或-1.5＜x＜0.
12．【答案】（1）解：如图，连接 ，交 轴于点 ，
，
， ，
四边形 是菱形，
， ，
，
将 代入直线 ，
得： ，
解得： ，
将 代入反比例函数 ，
得： ，
解得： ；
一次函数的解析式为 ；反比例函数的解析式为
（2）解： 当 时，反比例函数的值为2，
当反比例函数图象在 点下方时，对应的函数值小于2，
的取值范围为： 或 ；
（3）解： ， ，
，
，
，
设 点坐标为 ， 与 轴相交于点 ，
则 ，
，
，
当 在 的左侧时， ，
，
， ，
，
当 在 的右侧时， ，
，
， ，
，
综上所述，点 的坐标为 或 .
13．【答案】（1）解：当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）把A（﹣4， ），B（﹣1，2）代入y=kx+b得 ，
解得 ，
所以一次函数解析式为y= x+ ，
把B（﹣1，2）代入y= 得m=﹣1×2=﹣2；
（3）解：如下图所示：
设P点坐标为（t， t+ ），
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴ （t+4）= 1 （2﹣ t﹣ ），即得t=﹣ ，
∴P点坐标为（﹣ ， ）．
14．【答案】（1）解：根据题意可得
解得：或
，，
双曲线与直线上的“截距”，
（2）解：直线与轴成角，
△
解得：，，
，
（3）解：令，则，
，，
由，
，，
，
对一切实数恒成立，
，
，
①
当，且△时，①式对于一切实数恒成立，
且，为正整数，
或.
15．【答案】（1）解：∵点A（3，2）在函数 的图象上，
∴n＝6，
∵点B（0，﹣1）在直线l：y＝kx+b上，
∴b＝﹣1
（2）解：①当直线l过点（2，0）时，直线解析式为y＝ x﹣1，
解方程 ＝ x﹣1得x1＝1﹣ （舍去），x2＝1+ ，则C（1+ ， ），
而B（0，﹣1），
如图1所示，区域W内的整点有（3，1）一个；
②（ⅰ）当直线l在BA下方时，
若直线l与x轴交于点（3，0），结合图象，区域W内有4个整点，
此时：3k﹣1＝0，
∴ ．
当直线l与x轴的交点在（3，0）右侧时，区域W内整点个数不少于5个，
∴0＜k＜ ．
（ⅱ）当直线l在BA上方时，若直线l过点（1，4），结合图象，区域W内有4个整点，
此时k﹣1＝4，解得 k＝5．
结合图象，可得 k＞5时，区域W内整点个数不少于5个，
综上，k的取值范围是0＜k＜ 或k＞5
16．【答案】（1）解：把点A（-2，-1）代入y2=，得n=2，
∴y2=，
把点B（1，m）代入y2=中，得m=2，
∴B（1，2），
把点A（-2，-1），B（1，2）代入直线y1=kx+b得，
解得，
∴y1=x+1；
（2）
（3）解：把x=0代入y1=x+1得，y=1，
∴直线AB与y轴的交点C为（0，1），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×2+×1×1=S△AOCB=；
（4）2或或或
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