2023年初中数学中考备考必刷题： 解直角三角形考点冲刺练（含答案）

解直角三角形
一、单选题
1．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在Rt中，为上一点且于，连结，则（ ）
A． B． C． D．
3．图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
4．一张小凳子的结构如图所示，，，，则等于（ ）．
A． B． C． D．
5．消防云梯如图所示，AB⊥BC于B，当C点刚好在A点的正上方时，DF的长是．（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，cosα＝，则点P的坐标为（　　）
A．（5，13） B．（5，12） C．（13，5） D．（12，5）
7．如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米．则地毯的面积至少需要（ ）平方米．
A． B． C． D．
8．在中，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．在中，，，，则__________．
10．如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶26米，已知，则小车上升的高度是________米．
11．图1是一款摆臂遮阳蓬的实物图，图2是其侧面示意图，点A，O为墙壁上的固定点，摆臂OB绕点O旋转过程中，遮阳蓬AB可自由伸缩，蓬面始终保持平整．如图2，米，光线l与水平地面的夹角为，此时身高为1米的小朋友（米）站在遮阳蓬下距离墙角1.2米（米）处，刚好不被阳光照射到，此时小朋友的头顶M距离遮阳蓬的竖直高度（MP）为_________米；同一时刻下，旋转摆臂OB，点B的对应点恰好位于小朋友头顶M的正上方，当小朋友后退至刚好不被阳光照射到时，其头顶距离遮阳蓬的竖直高度为_________米．
12．如图，在矩形中，点在上，点点在上，若点与点关于对称，点与点关于对称，与相交于点，则___________．
13．如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为，两个车轮的圆心的连线与地面平行，测得支架，、所在直线与地面的夹角分别为、，．
（1）扶手前端到地面的距离为______；
（2）手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点到点的距离为10cm，，，，坐板的宽度为______．
14．图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形ABCD是矩形，AB=20cm，AD=cm，DE=60cm，BF=30cm．点H在BC上，椅子的支撑杆AF、BG、CE分别绕B、H、D转动并带动AI转动，支撑杆LK、JM不动．躺椅在转动时：
（1）若直线EF过点J，当∠ADE=120°时，AFJ的面积是______cm2．
（2）若，EF与地面的夹角为α，则的取值范围是_____．
15．如图，在中，，，，交于点．点为线段上的动点，则的最小值为________．
16．一款闭门器按如图1所示安装，支点，分别固定在门框和门板上，门宽，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变．如图2，当门闭合时，，则的长为_________cm．如图3，门板绕点旋转，当时，点到门框的距离，则的长为__________cm．
三、解答题
17．如图是置物架的侧面示意图，置物板与地面平行，斜支架与地面的夹角，；挡板与置物板的夹角，．求挡板顶端F到地面的距离．（参考数据：，，）
18．小王和小李负责某企业宣传片的制作，期间要使用无人机采集一组航拍的资料．在航拍时，小王在处测得无人机的仰角为，同时小李登上斜坡的处测得无人机的仰角为．若小李所在斜坡的坡比为：，铅垂高度米（点，，，在同一水平线上）．
(1)小王和小李两人之间的距离；
(2)此时无人机的高度．（，，，结果精确到米）
19．为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地，培育绿植销售，空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，米，求空地南北边界和的长（结果保留整数，参考数据：，）．
20．周末，小红和小宇相约一起去郊外劳动基地参加劳动.已知小红家在小宇家的北偏西方向上，.两人到达劳动基地处后，发现小宇家在劳动基地的南偏西方向上，小红家在劳动基地的南偏西方向上.求小宇家到劳动基地的距离.（结果保留1位小数；参考数据：，，，）
21．某商场要建一个地下停车场，下图是地下停车场的入口设计示意图，拟设计斜坡的倾斜角为，一楼到地下停车场地面的距离米，地平线到一楼的垂直距离米．
(1)为保证斜坡倾斜角为，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？（精确到米）
(2)如果一辆高米的小货车要进入地下停车场，能否进入？为什么？（参考数据：，，）
22．2022年6月28日，美国“本福德”号导弹驱逐舰穿航台湾海峡并公开炒作，为了维护国家安全和祖国统一，我中国人民解放军东部战区组织海空兵力对美舰进行全程跟监警戒．一架飞机沿水平直线飞行，在点处测得正前方水平地面上某建筑物的顶端的俯角为，飞机面向方向继续飞行米至点处，测得该建筑物底端的俯角为，已知建筑物的高为米，求飞机飞行的高度．(结果精确到1米，参考数据：，)
参考答案：
1．B
解：在中，，，
设，则，
∴，
∴，
故选：B
2．D
解：设，，则AB=5x，
∵,
∴∠AFE=
∵,
∴，
∴x，
在Rt△BCF中，∠C=90，
∴.
3．D
解：如图，作直线，交双翼闸机于点E、F，则，
由题意可得，，
在直角三角形中，∵，
∴，
∴；
4．B
如图，过点C作于点D．
∵，
∴．
∵，，
∴，．
在中，，即，
∴，
∴．
5．C
解：连接CA，如图，
由题可知四边形CAF 是矩形，
∴CA⊥AF，EF=CA，
∴，
∵AB⊥BC，
∴，
∴，
在Rt△ABC中，，
∴，
在Rt△CDE中，，
∴，
∴．
6．B
解：如图，过点P作PE⊥x轴于点E．
设点P的坐标为（x，y），
则OE＝x，PE＝y．
在Rt△OPE中，
∵cosα＝ ，OP＝13，
∴OE＝5．
∴PE＝＝12．
∴P点的坐标为（5，12）．
7．A
解：由题意，在中，（米），
所以地毯的长度为（米），
所以地毯的面积至少需要（平方米），
8．B
解：
9．
∵在中，，，
，
∴．
故答案为：．
10．10
解：∵，
∴该直角三角形的三边之比为5∶12∶13，
∴，
∵小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶26米，
∴小车上升的高度是米；
故答案为10．
11． 0.2 1.1
解：设MN交OB于点C，
根据题意得：OC=QN=1.2米，PC⊥OB，∠CBN=，
∴tan∠CBN=3，
∴BC=OB-OC=0.3米，
∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠PBC=45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴PC=BC=0.3米，
∵tan∠CBN=3，
∴CN=3BC=0.9米，
∵MN=1米，
∴CM=0.1米，
∴PM=0.2米；
如图，过点B′作B′F⊥AQ于点F，设小朋友后退至点D，刚好不被阳光照射到，过点D作DE⊥OB交A B′于点E，交B′F于点G，则B′D∥l，
根据题意得：B′F=QN=1.2米，FQ=DG，O B′=1.5米，OQ=CN=0.9米，，
∴米，
∴AF=OA-OF=0.6米，DG=FQ=1.8米，
∴，
∵，
∴B′G=0.6米，
∴EG=0.3米，
∴DE=2.1米，
∴头顶距离遮阳蓬的竖直高度为2.1-1=1.1米．
故答案为：0.2，1.1
12．/
解：∵点与点关于对称，
∴
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点点关于对称，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
（1） 解：过D作交于G，过C作交于K，
∵、所在直线与地面的夹角分别为，
∴，，
∵，，
∴，，
∵前后车轮半径均为，
∴扶手前端到地面的距离为： ，
故答空1为 ；
（2）解：过E作交于Q，
∵，
∴，
∵，，设为x，
∴，，
由三角函数得，
，
解得：，
∴，
故答案为 ；
14．
解：若直线EF过点J，当∠ADE=120°时，如图1所示，
由题意可知，ABCD，
∴ ∠F＝∠E，∠FAJ＝∠ADE＝120°，
∴△FAJ∽△EDJ，
∴，
∵AF＝AB＋BF＝50cm，DE＝60cm，
∴
∴AJ＝AD＝cm，
过点F作FN⊥DA交DA的延长线于点N，则∠ANF＝90°，
在Rt△AFN中，∠FAN＝180°－∠FAJ＝60°，AF＝50cm，
∴FN＝AFsin∠FAN＝50×sin60°＝25，
∴AFJ的面积＝×AJ×FN＝cm2；
当tan∠EDI＝时，如图2所示，作EP⊥DI于点P，则∠EPD＝90°，设EF交AD于点Q，
由题意可知，ABCD，
∴ ∠F＝∠QED，∠FAQ＝∠QDE，
∴△FAQ∽△EDQ，
∴，
∵AF＝AB＋BF＝50cm，DE＝60cm，
∴
∴DQ＝AD＝cm，
设EP＝x，则DP＝2x，由勾股定理得
，
∴，
解得x＝12 cm，
∴EP＝12cm，DP＝24cm，PQ＝DP＋DQ＝cm，
∴＝tan∠EQP＝；
当tan∠EDI＝2时，如图3所示，
同理可求得DQ＝cm，DP＝12 cm，EP＝24cm，
∴PQ＝DP＋DQ＝cm，
∴＝tan∠EQP＝；
∵EF与地面的夹角α随着∠EDI的增大而增大，
∴当时，的取值范围是．
故答案为：cm2；．
15．
解：过点P作PH⊥AB于点H，如图所示：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
若使的值为最小，也就相当于为最小，
∴当点C、P、H三点共线时，的值为最小，如图所示：
∵，
∴，
∴的最小值为；
故答案为．
16．
解：过作，为垂足，
，
，
，
，
，
，

．
故答案：．
解：如图，连接，作，为垂足，为的对应点，
，
，
，
，
设，则，
，
由题空1得：，，
，
又
，
，
即：，
整理得：，
解得：，（舍去），
．
故答案：．
17．112
解：如图，过点E作于点G，过点F作，交延长线于点M，
在中，，，
由，得，
∵，
∴，
在中，由，得，
∴．
答：挡板顶端F到地面的距离为112．
18．(1)米
(2)米
（1）解：∵小李所在斜坡的坡比为：，铅垂高度米
∴(米)，
∴；
（2）解：设，如图所示，过点作于点，
∴，，则，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴米．
答：无人机的高度约为21米．
19．的长和的长分别约为米和米．
解：过作于于，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴在中，，
∵米，，
∴（米），
∵，
∴在中，，
∵四边形为矩形，
∴米，
∵，
∴（米），
∴（米），
答：的长和的长分别约为米和米．
20．小宇家到劳动基地的距离约为7.1km
解：如图，过点作，垂足为.
由题意，得，
.
在中，，
∴，
.
在中，，
∴.
答：小宇家到劳动基地的距离约为7.1km.
21．(1)5.6米
(2)能，理由见解析
（1）解：斜坡的倾斜角为，
，
（米），
在中，（米），
答：在地面上距点约5.6米的处开始斜坡的施工．
（2）过作，垂足为，
，
，
，
在中，（米），
，
货车能进入地下停车场．
22．飞机飞行的高度约为米
解：过作，交的延长线于，如图所示：
设米，
由题意得：米，，，
在中，，
，
在中，，
米，
米，
，
解得：，
．
答：飞机飞行的高度约为米．