填空题专项练-2023届高考数学备考考前冲刺（含解析）

填空题冲刺练
1．已知向量，，，则___________.
2．(x－2)3(2x＋1)2的展开式中x的奇次项的系数之和为________.
3．在平面直角坐标系xOy中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是___________.
4．已知，则______.
5．已知函数的图象在处的切线与在处的切线相互垂直，则的最小值是___________.
6．已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值的范围是___________.
7．设抛物线：的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的焦点到其准线的距离为___________.
8．已知实数满足，则的最大值为__________．
9．的展开式中含项的系数为___________.
10．已知数列为等比数列，，，则数列的第10项为___．
11．设函数，已知，且，若的最小值为，则的值为___________.
12．已知正四面体的棱长为，为棱的中点，过作其外接球的截面，则截面面积的最小值为__________．
13．的内角，，的对边分别为，，，满足.若为锐角三角形，且，则当面积最大时，其内切圆面积为________.
14．已知，则f(8)＝________．
15．已知函数，，设，且函数的零点均在区间内，则的最小值为________．
16．已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，则的最小值是__________．
17．表面积为的球面上有四点S、A、B、C，△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为2，若面SAB⊥面ABC，则棱锥体积的最大值为___.

18．已知分别为双曲线的左右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆半径为的内切圆半径为．若，则__________．
19．若函数存在两个极值点，且，则______．
20．在三棱锥中，△和△都是等边三角形，，平面平面，M是棱AC上一点，且，则过M的平面截三棱锥外接球所得截面面积的最大值与最小值之和为___________.
参考答案：
1．
由，又，
所以，可得.
所以，故
故答案为：
2．9
展开式中奇次项的系数之和．
故答案为：9
3．
由题设，则，
所以在以为圆心，1为半径的圆上，
如图，当与圆相切时，直线OP的斜率出现最值（最大、最小），
当与圆上方相切，则，故，此时OP斜率为，
结合圆的对称性，与圆下方相切，OP斜率为，
由图知：直线OP的斜率的取值范围是.
故答案为：
4．
由题意，即，
所以.
故答案为：.
5．/
因为，
所以，
依题意可得，
所以,
所以且，
或且，
当且时，
，，，，
所以，，，
所以，，，
所以当或时，取得最小值.
当且时，
，，，，
所以，，，
所以，，，
所以当或时，取得最小值.
综上所述：的最小值是.
故答案为：.
6．
设，则，
，即，
在以为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆有公共点，
所以，解得．
故答案为：．
7．2
抛物线方程为，焦点，，准线方程为，
设，由抛物线性质，可得，
因为圆心是的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为，
由已知圆半径也为，据此可知该圆与轴相切于点，
故圆心纵坐标为1，则点纵坐标为2，
即，代入抛物线方程得，所以，
则的焦点到准线距离为2,
故答案为：2
8．/
方程整理得，设点，即点是圆上一点
又点在圆外，所以，
则，所以的最大值为.
故答案为：.
9．
的展开式的通项为，由得，则含的项为，系数为
故答案为：
10．
数列为等比数列，，，
则，解之得
则数列前3项为，
则数列是首项为1公比为2的等比数列，则，
则，则
故答案为：
11．
因为，所以，函数在、上均为增函数，
设，则，
且，，则，，
令，，则，
①当时，即时，，在上单调递减，
，解得，合乎题意；
②当时，即时，若，则，若，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，得（舍去），
综上，.
故答案为：.
12．
将四面体放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体的外接
球，∵正四面体的棱长为，∴正方体的棱长为，可得外接球半径
满足，解得，为棱的中点，过作其外接球的截面，当截
面到球心的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心到截面的距离等
于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为，得到截面圆的
面积最小值为．
故答案为：.
13．/
∵，
则由正弦定理可得，整理得，
则.
∵为锐角三角形，则，故，
由面积为，
可得当面积取到最大值，即为取到最大值.
∵，即，即，
当且仅当，即为等边三角形时等号成立.
故当为等边三角形时，面积取到最大值，
设的内切圆半径为，则，解得，
故内切圆面积为.
故答案为：.
14．7
15．9
，当时，， 当时，，
因此，函数是R上的增函数，而，
于是得函数的唯一零点在内，函数的唯一零点在内，
，则是R上的减函数，而，，
有，，
于是得函数的唯一零点在内，函数的唯一零点在内，
因此函数有两个零点，分别在区间和内，都在区间，
因函数的零点均在区间内，则，即有，且，，
所以的最小值为9.
故答案为：9
16．3
作函数与图象如下：

由图可得，
存在四个不相等的实根，可得，
可得，，即，，
所以，
当且仅当即且等号成立，
则的最小值是.
故答案为：.
17．
依题意，球的半径，令正△的中心为，
则，且平面，
△外接圆半径，
连接并延长交于D，则D为的中点，且，
显然，而平面平面，
平面平面，CD在面ABC内，则平面，
令的外接圆圆心为，则平面，
则，又平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，所以，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，即有，
因此四边形为平行四边形，则，，
的外接圆半径，
的外接圆上点S到直线距离最大值为，
而点S在平面上的射影在直线上，
于是点S到平面距离的最大值，
又正△的面积，
所以棱锥的体积最大值.

故答案为：
18．
图，记的内切圆圆心为，
内切圆在边上的切点分别为，
易知两点横坐标相等，，
由，即，
得，即，
记点的横坐标为，则，
则，得．
记的内切圆圆心为，同理得内心的横坐标也为，则轴，
设直线的倾斜角为，则，
在中，，同理，在中，，
所以，即，所以．
故答案为：
19．
，定义域为，所以，
故，；又，所以．
又，故，所以，所以．
故答案为：
20．
由题设，若为中点，分别是等边△和等边△的中心，
连接，则分别在上，且，
，，，面，故面，
又面，所以，面面，

又面面，过作面的垂线与过作面的垂线交于，
即面，面，则为外接球球心，
面，且，，则面，所以面面，
综上，结合面面，面面，则面、面为同一平面，所以面，
由面面，，面，面面，
所以面，面，即，且知：为正方形，
如上图，，，若外接球半径为，
所以，
由球体的性质，要使过M平面截三棱锥外接球所得截面面积的最大，则平面必过球心，
所以，最大截面圆面积为，
要使过M平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小，则该平面，
因为，而都在面上，故，
而，故，显然共线，故，
此时截面圆的半径为，则，
所以，最小截面圆面积为，
综上，最大值与最小值之和为.
故答案为：