21.1 一元二次方程 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
21.1 一元二次方程
人教版九年级上册
知识回顾
1.你能举例说出一元一次方程的概念吗？
只含有一个未知数
未知数的次数是 1
2.下列式子哪些是一元一次方程方程？
①x－1＝2x＋1； ②x－3；
③4x＋3y＝1； ④x2－x(x＋1)＝0.
解：2 019＋18 x＝2 020




教学目标
3．了解一元二次方程的根的概念．
1．理解一元二次方程的概念．
2．掌握一元二次方程的一般形式．
新知导入
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 cm,宽为 cm,根据方盒的底面积为3600cm2,得
化简，得
方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
(100－2x)
(50－2x)
新知探究
问题2：要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛
由上面的方程可以得出参赛队数．
全部比赛的场数为 ．
列方程 ，
整理，得 ，
化简，得 ．
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 场．
解：
4×7=28
(x 1)
x（x 1）
x（x 1）=28
x x=28
x x 56=0
新知探究
问题3：小明用30 cm的铁丝围成一斜边长等于13 cm的直角三角形，求该直角三角形的两直角边长．
x
17-x
解：
由题可知，直角三角形两直角边的和为 ．
30-13=17cm
设应一条直角边为xcm,则另一直角边为 ，
(17-x) cm
由勾股定理可列方程 ，
x2+(17-x)2=132
化简，得 ．
2x2-34x-120=0
新知探究
1． 这些方程的两边都是整式；
2． 方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2．
x2 x 56=0
x2 75x+350=0
观察由上面的问题得到的方程有什么特点？
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
2x2 34x 120=0
新知小结
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a , b , c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式是
ax2 称为二次项, a 称为二次项系数.
bx 称为一次项, b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
知识点1
新知小结
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都可以化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
a x 2 + b x + c = 0
(a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
常数项
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
知识点2
新知典例
判断下列各方程是不是一元二次方程．
例1
①x2－3xy＋4y2＝0；
②y2＝3y＋2；
③



不是整式方程
含两个未知数
总结：1.判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是
2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．
新知练习
2．若方程 (m+2)x|m| 3mx+1＝0 是关于x 的一元二次方程，则 (　　)
A．m≠±2 B．m＝2　
C．m＝ 2 D．m＝±2
1．下列方程，一元二次方程的个数是(　　)
①3x2+7=0；②x3+2x=1 x2+x3；③2x2 3y+1=0；④3x2 +6=0．
A．1 B．2 C．3 D．4
B
B
新知典例
将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
例2
3x2－8x－10＝0
解：化为一般形式为
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，
常数项为-10.
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的
新知练习
3.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1） ；
（2） ；
（3） ．
1 -4 0
1 2 -14
2 -3 -9
新知探究
知识点3
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法：
将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两边是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，就不是方程的根．
新知探究
试一试：下面哪些数是方程 x2 +3x – 4 = 0 的解
-4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解：
-4和1.
和一元一次方程的根有什么区别？
新知练习
4． 下列哪些数是一元二次方程 x2-4x+3＝0 的解？
-1， 0， 1， 3．
5． 方程 x2+x－12＝0 的两个根为(　　)
A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
D
新知典例
已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值.
解：由题意得
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
例3
新知练习
解： ∵ a 为方程 x2－3x+1=0 的一根，
∴ a2－3a+1=0，
∴a3－4a2+4a－1=a(a2－3a+1)－(a2－3a+1)=a×0－0=0．
6. 已知 a 为方程 x2－3x+1=0 的一根，求 a3－4a2+4a－1 的值．
课堂总结
一元二次方程
只含有一个未知数
未知数的最高次数是2
是整式方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的解（根）
课堂练习
1. 一元二次方程3x2－2x－1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A.3, 2, 1　　　　　　　 B.3,2，－1
C.3, －2, 1 D.3, －2, －1
2.下列数：6，－6,8，－8,12，－12,2，－2中，是方程x2－2x－48＝0的根有( )
A.1个　 　 B.2个　 　
C.3个　 　 D.4个
D
B
课堂练习
B
2x2－5x－3＝0
2x2
－5x
－3
课堂练习
5. a是方程2x =x+4的一个根，则代数式4a -2a的值是 .
解：∵a是方程2x =x+4的一个根，
∴2a －a=4，
∴4a －2a=2（2a －a）=2×4=8.
8
课堂练习
6. 若 2n(n≠0) 是关于 x 的方程 x2－2mx+2n=0 的根，则 m－n 的值为 ．
解： 因为 2n(n≠0) 是关于 x 的方程 x2－2mx+2n=0 的根，
所以 (2n)2－2m×2n+2n=0，
即2n(2n－2m+1)=0，
因为n≠0，
所以2n－2m+1=0，
化简得m－n= ．
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin