1.3勾股定理的应用
一、教学目标
1.进一步掌握勾股定理及直角三角形判别条件.
2．在经历二、三维图形的转化过程中，引导学生将空间想像、动手操作和思考相结合．
3．能用勾股定理及逆定理解决一些简单的实际问题．
4．激发学生强烈的求知欲，使学生享受运用数学思想解决生活问题的成功体验。
重点：应用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题．
教学难点：从实际问题中合理抽象出数学模型。
二、教法、学法分析
根据课堂学习内容的特点，本节课主要采用“激趣教学、引导启发”教学方法。自由、民主、和谐的气氛可以使人的智慧得到最充分的发挥，因此在教学中教师所起的作用不再是一味“传授”，而是巧妙地创设问题情境，用丰富的充满激情的语言激励、引导学生发现、探索并解决问题，在学生思维受阻时给予适当指导．
在合理选择教法的同时，注重对学生学法的指导．本节课的教学中主要指导学生使用“ 自主探究、合作学习”两种学法。转化平面图形、确定最短路线、设计合理测量方案等都是学生在课堂中自主推理得出的，学生经历了知识的发生、发展、形成的全过程，从而变被动接受为主动探究．教学中鼓励学生积极合作，充分交流，发扬团队精神，促使学生学习方式的改变，帮助学生在学习活动中获得最大成功。
三、教学过程
教学环节 教学内容 师生行为 设计意图
创设情境导入新课 观看图片，引出问题：咱们学校的长方形花圃，由于一些同学不走寻常路，在花园中硬是走出一条“路”，花草被无情的践踏。（1）各位同学，你知道他们为什么不走寻常路吗？（2）假设入口到拐角4米，拐角到健身器材3米，你能计算出小草受伤的代价是你少走几步吗？ 1、观看图片后，教师提出问题，学生独立思考．2、解决问题后教师倡议：爱护花草，从我做起！学生表明决心。 1、兴趣是最好的老师---学生只有对数学感兴趣，才想学、乐学，最后学会、学好。这就要求老师从“入趣点”着手，通过学生身边熟悉的问题引入，本节课的“入趣点”为“咱们学校”---亲切熟悉的环境，“不走寻常路”---学生中流行的广告词，这样做可以引起学生的情感共鸣，拉近与学生的距离，激发学生的学习兴趣。2、题目解决后的倡议适时的对学生进行德育教育，增强学生的爱心与责任心。
探索交流获得新知 探究一 观看画面 提出问题花园圆柱石凳上，小朋友在吃雪糕时不小心滴下了一点奶油在B处，恰好在A处觅食的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B处，大家想一想，蚂蚁怎么走最近？到底同学们提出的各种方案，哪一种可以使蚂蚁最快的吃到奶油呢？计算结果最具说服力，假设圆柱体高为12cm，底面半径为3cm（π取3）。现在请各小组同学快速开始合作吧。解决此题的思路：立体图形→平面图形→直角三角形练一练 观看画面 提出问题在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A爬到B？ 教师：“拥有爱心与责任心的你们一定愿意帮助弱小的蚂蚁完成它的觅食之旅吧。”学生通过独立思考后说出自己的想法。教师指导观点相同的学生自成一组，坐在一起。学生分组后积极的参加小组活动．教师：如果把圆柱换成其余的立体图形你还愿意继续帮忙吗？学生思考、作图、寻找最短路线，通过计算得到 AB2=500，无法得到AB，多数学生不知所措，少数学生开始寻找其余的解决方案。学生独立完成此题。教师巡视，指点学困生。 1、这个问题的设计激发学生的表现欲，变被动接受为主动探究．2、持相同观点的同学坐在一起讨论解决使学生们产生“英雄所见略同”的豪情壮志，每个人都积极参与，大胆表现。3、解决问题的同时学生合作与竞争的意识得到增强。4、题目解决后带领学生进行思路分析，强调“转化”这一重要的数学思想。1、学生的探索具有差异性，不可能通过一个例子探索成功，所以我设计了一个类似的题目以培养学生类比、举一反三的学习能力。2、算数平方根的计算学生还没有学到，因此无法得到AB的长度，可是此题并不是只有这一种方法，完全可以通过比较而得到答案，因为AB长度大于20，所以蚂蚁不可能在20秒内到达。在解决这个问题时学生的发散思维能力得到锻炼，思考问题的角度不再单一化。
探究二 观看画面 提出问题问题一：小明想要检测雕塑底座正面的AD边和 BC边是否分别垂直于底边 AB,但他随身只带了卷尺 .你能替小明想办法完成任务吗 问题二：经过测量得到AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么问题三：我把卷尺换成长度为20cm的刻度尺，你想办法检验BC边是否垂直于AB边吗？ 教师：“帮助蚂蚁觅食的工作我们先告一段落，现在让我们看看小明在做什么？”学生先独立完成。教师：现在开始小组交流，我们来看看刚才志同道合的朋友现在是否心有灵犀。学生展示计算结果、过程及解决这类问题的方法。最后教师结合学生的掌握情况强调注意问题． 通过将一个问题设计成多问，难度循序渐进，锻炼学生勇于克服困难的思维品质、灵活解决问题的能力，使学生有足够的信心去关注后面的问题．同时让学生体验运用所学知识解决实际问题的成功．
应用迁移巩固提高 民族的骄傲 你我的自豪“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？” 教师介绍：《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种……学生结合图形理解题目的意思，独立解决。在此活动中，教师应重点关注：学生能否规范的解答问题． 在名题面前，学生感到一种智力的挑战，自觉的产生了探索的激情，并从研究中获得一种成功的享受，这对于建立良好的情感体验也是十分有益的。
学习小结盘点收获 通过本堂课的学习，你有哪些收获？你有哪些困惑？对同学，你有哪些温馨提示？ 教师：这节课我们在欣赏、惊叹古人聪明才智的同时展开合作与竞争式的学习，相信每位同学都有不少收获，现在请同学们踊跃发言，把自己所思所想拿出来与周围的同学分享。学生分组交流、争先恐后各抒己见；每组选一名代表作总结发言。 这样的总结一可以培养学生及时总结、归纳的良好习惯；二可以使学生的数学语言表达能力得到锻炼。
融会贯通学以致用 心动不如行动---智力操（观看图片，提出问题）第一节：如图，计算带阴影的矩形面积是多少？第二节：这是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段, 现在老师想知道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗 第三节：台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？ 并求出最近距离。 教师：“勾股定理”是我们中华民族的骄傲，作为新时代的建设者，我们要为祖国的明天做出自己的贡献，心动不如行动，让我们做几节智力操。有了前面问题的深入探究，估计解决这些题目学生并不困难，因此，学生独立解答后可以在黑板上板演，以规范学生的做题格式． 第一节的设计是为了检查学生对教学目标1的完成情况； 第二节是一道方案设计题，这类题目对学生要求较高，问题的解决可以提升学生建模、转化、类比及数形结合的能力。第三节是将蚂蚁爬行问题由几何体转移至大家所熟悉的台阶上，一题目趣味性增强了；二前后呼应，使本节课的学习有始有终．
四、教学反思
1.学生对知识的形成需要一个过程，甚至是几次的反复，本节课知识容量大，如果仅仅将解题过程投放在屏幕上，学生根本来不及思考，所以在教学中板书必不可少，它既能给学生的思维增添时间和空间，又可以规范学生解题的格式。
2.本节课是通过选择具有现实性的素材，从学生熟悉的校园活动引入的，在例题、习题的设计上注意趣味性、一致性，增强学生学习的兴趣，体验解题成功体验的喜悦。
PAGE
51.1.1探索勾股定理
1、经历探索直角三角形三边间的数量关系，培养学生的说理和简单推理的意识和能力.
2、通过探索过程，使学生理解并掌握勾股定理，并能利用勾股定理解决一些实际问题.
教法与学法指导：如何发展学生的推理能力是初中阶段数学老师需要重点关注的地方之一，所以我打算采用“引导—探究—发现”法来进行教学.
在如何得到新知识这一问题，是学生能否很好的掌握并理解新知识的关键，我认为，现阶段最适合学生的方法就是“自主探究与合作交流相结合”这一方法.
勾股定理是本节课的重点，如何引出勾股定理和勾股定理的应用时难点.所以我打算通过学生的的预习，直接引导学生重点研究直角三角形三边的平方之间有什么关系，让学生明确方向，避免走弯路，产生混淆.在勾股定理的应用方面，我准备先引导学生进行自主探究，若仍有疑问可以相互间交流得到需要的结果，这样可以锻炼学生的探究能力、交流能力等.
课前准备：带网格的小黑板、直尺、三角板.学生进行课前预习并准备一些网格纸.
教学过程：
创设情境，引入新课
同学们知道，我们学校的洗手池与篮球场之间被草坪隔开了，体育课后，个别打完篮球的同学为了少走一些路就直接从草坪中间穿到水池洗手.这个行为肯定是不对的，为了弄清楚他们到底会少走多少路，我让同学们进行了测量.不知道结果如何？
学生纷纷回答.
下面是老师根据老师自己的测量结果画成的草图，请同学根据问题进行回答.
(1)、根据测量，
那么他们将要少走多少米？
（2）、分别以这三条边为边作三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？
（3）、根据课前预习，试计算在直角三角形ABC中，三条边之间有什么样的数量关系？
【意图：紧扣课题，自然引入，同时教育学生平时就要养成好的行为习惯.
效果：从课堂上来看还不错，学生能根据题目自然的想到三边平方间的关系.
建议：以后再用的老师最好能把图形画的完整一些，这样更能引起学生积极性.】
那么请同学们猜想，刚才得到的数量关系，在所有的直角三角形都是适用的吗？
今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）
二、探究新课过程：
1、探索发现勾股定理
⑴做一做：
①拿出准备的网格纸，画出一些格点三角形，分别测量它们的三条边，结合引例看看三边长的平方之间有什么样的关系？与同伴交流.
②上面猜想的关系是否适用于全部的直角三角形？
【意图：有个别到一般，通过一个联想到全体，进而得到需要的新知识，可以锻炼学生，由特殊到一般的思想，也可以提高学生的猜想归纳能力.
效果：从课堂上来看大多数学生都能根据自己的理解得到正确的结论.
建议：下次再用时，要求学生画直角三角形时，最好尽可能的沿着网格线画，这样方便测量.
困扰：此处的问题问的好像不太合适，到底该如何问才能发挥出更好的引导作用？与课本上一样？】
⑵探究与发现：
①观察下面两幅图：
②填表：
A的面积（单位面积） B的面积（单位面积） C的面积（单位面积）
左图
右图
③分析填表的数据，你发现了什么？
【本题的困难之处在于学生如何计算两个图形中正方形C的面积.在这里教师简单介绍两种常见的方法，一是小的加小的，二是大的减小的.利用投影或带网格的小黑板画出图形，学生很容易的就能弄明白到底该如何计算，这类题在以后会经常出现，所以最好能讲解清楚.免得以后麻烦】
学生通过分析数据，归纳出：
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
【意图：此题意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.
效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C的面积计算这一难点后得出结论.
建议：在教学中教师最好能把本节课需要用到的辅助工具比如：刚才求正方形C的面积需要的投影或小黑板上事先要画好图形。并用简练的语言，必要的提示引导学生得到我们所需要的答案.】
⑶议一议：
①你能用直角三角形的边长a,b,c来表示上图中正方形的面积吗？
②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.上面发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
【意图：再进一步的用字母来表示数，上升一个层次，上学生体会其中的区别与联系.在独立探究的基础上小组内相互交流用最合理的语言来描述发现的规律.为下面的得到定理打下基础.
效果：学生对发现的规律有更深刻的认识，也能从特殊到一般，由数字到字母来表示相关发现，为以后的解题提供了更多的选择方法.
建议：此环节尽可能的少用一些时间，为下面的过程提供时间上的方便】
⑷要求学生用自己的语言得到刚才所发现的规律：
勾股定理（gou-gu theorem）：
如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么
a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
【意图：意在让学生在上面面积结论的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.并能用自己的语言叙述出来.
效果：让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力.通过作图培养学生的动手实践能力.
建议：学生在叙述时最好能找几个平时语言表达能力好的学生来回答，这样可以节约时间给下面的环节】
⑸数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的
直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．
（在西方称为毕达哥拉斯定理）
【此处主要是让学生对数学的一些历史有所了解，并让他们知道，我国在数学的发展史上占有非常重要的作用，培养学生的爱国热情，激励他们更加努力的学习，争取长大后也能为国争光】
基础跟踪：直角△ABC中，∠C=90°
(1)a=6，b=8，c=___
(2)a=3，c=5，b=____
(3)b=12，c=13，a=____
(4)a:b=3:4，c=15，a=___，b=____，面积=_____，斜边上的高=_______．
2、勾股定理的应用：
⑴课本引例：如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9m处折断倒下，
树顶落在离树根12m处. 大树在折断之前高多少？
解：设树倒下部分的面积为x m
∵树倒下后与地面正好构成一个直角三角形
∴122 + 92 = x2
∴x2 =144 + 81= 225
∴x = 15（m）
∴大树在折断前的高度为：15 + 9 = 24 (m)
【意图：通过引例的探究，让学生知道勾股定理在现实生活中的应用非常多，同时也让学生明白如何利用勾股定理来解题，尤其是解题过程如何书写.
效果：通过例题的讲解，学生能大致明白这类问题如何分析，如何入手解决，并且解题过程怎样写是最合理的.
建议：一定给学生明确，只有在知道是直角三角形时才能用勾股定理来解决实际问题，否则不能】
⑵巩固练习：
①为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米．
②如图，小张为测量校园内池塘A，B两点的距离，他在池塘边选定一点
C，使∠ABC＝90°，并测得AC长26m，BC长24m，则A，B两点间的距离
为 m．
③如图，点C是以AB为直径的半圆上一点，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,则图中阴影部分的
面积是 .
⑶生活中的应用：
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
【意图：练习第1，2题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．第3题难度稍微加大一些，目的是提高学生的能力，生活中的应用体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.
效果：通过练习，进一步加深了学生对勾股定理的理解和应用，也让学生知道了如何运用所学知识服务于解题中来.
建议：练习1,2两个题选择其中一个即可。先让学生独立解决，然后展示自己的结果，不要求学生讨论，这样可以锻炼学生的解题能力.】
3、课堂小结：
教师直接抛出问题：通过本节课的探索你得到了哪些知识？你是如何得到这些知识的？
【意图：升入初二，学生应该养成主动、独立探究问题的习惯，而不是仍然在老师或其余同学的引导或直接告诉答案下才能得到新知识.所以本学期类似的问题会经常出现在课堂中，让学生知道得到问题的过程是什么.
效果：通过学生的回答发现很多学生根本就不知道如何回答这些问题，仔细分析一下原因无外就是两个：一是学生对这个过程做的很好，但是不会用语言表达出来，二是部分学生存在的懒惰心理，根本就没按照老师的要求去做。所以针对这一情况，以后会不断地给学生灌输上面的思想，让学生养成好的学习习惯，这样，老师会省心许多，学生的学习效率也会有很大的提高.
建议：教师最好能先找一些程度好的学生回答，其余学生在这些学生的带动下，慢慢的就会知道如何做.】
达标检测：
A类：
⒈一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km．
⒉直角三角形两直角边的比为3：4，面积是24，求这个三角形的周长.
B类：
如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
C类：
如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
【意图：进行分层训练，既满足了不同学生的需求，同时也便于老师及时地了解学生的情况.老师可以根据学生的情况选择上述题目进行练习，也可留作家庭作业.
效果：通过分层练习，充分激发学生的学习热情，教师应留给学生充分的时间思考,在独立思考的基础上，鼓励学生相互讨论，得出结果.】
板书设计：
1.1探索勾股定理（1）
三边间的关系：AB2+BC2=AC2 探究发现中正方形C面积的两种算法：⑴小的加小的，⑵大的减小的课本引例的解题过程： 勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2 + b2 = c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 相关习题的必要解题步骤：
教学反思：
根据新课标的评价理念，在本课在探索勾股定理的过程中，对学生的参与热情、情感态度、探究的积极性、探究的效果等学习情况进行评价；在“勾股定理的应用”这一教学环节中，通过例题和练习，可有效地评价学生理解和掌握知识的情况；在“课堂小结”这一环节中，教师可从学生的自由发言和交流中，了解到各个教学目标的达成情况；通过课堂作业的完成情况，进一步了解学生对勾股定理的理解和掌握的程度．再根据这些评价结果做出相应的反馈和调节，调整、设计下节课或下阶段的教学内容，以达到尽可能好的教学效果．
本节内容重在探索与发现，所以要给充分的时间让学生讨论与交流.在这一点上本人在本节课做的不好，总是担心时间，所以有时会打断学生的思考，使部分学生刚形成的思路被我生生打断，以后一定要注意这种情况.
在计算正方形C面积的时候自认为补充的两种方法不错，不光解决了本节课的问题也为学生以后的解题思路提供了新的方向.
在总结勾股定理时，有几个本来程度较差的学生说了出来，给予鼓励以后，显得比较高兴，接下来的课堂表现的也很主动、积极.所以在以后的教学中一定要适时的鼓励学生.提高他们探索问题的积极性.
C
B
A
_
A
_
B
_
C
_
C
_
B
_
A
_
A
_
C
_
B
_
C
_
B
_
A
_
B
_
A
_
C
_
D
_
E
_
8
_
6
_
C
_
B
_
A
PAGE
81.2一定是直角三角形吗
1．理解直角三角形的判别条件及勾股数的概念.
2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形.
3. 经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力.
教学重点与难点
重点：是会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，熟悉几组勾股数，并会辨析哪些问题应用哪个结论.
难点：是理解勾股定理的逆定理是通过数的关系来反映形的特点.
教法与学法指导：
教师引导与学生动手操作法相结合的方法，学生通过实验—猜想—归纳—论证的过程加深对定理的理解.在突破重难点时让学生亲自动手画三角形，并且让他们用量角器量角的度数，通过自己的活动来得到勾股定理的逆定理，加深印象，提高兴趣.
教学过程：
一、创设情境，自然引入
教师：同学们通过上节课的学习，我们知道了只要是直角三角形，就有两直角边的平方和等于斜边的平方．反过来，如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？
例如三边长分别为3、4、5，且满足32+42=52的三角形是否是直角三角形？如何进行验证呢？
学生：在课前预习的基础上用尺规首先画出三角形，然后用量角器测量三角形其中的最大角．
教师：这个角是多少度？
学生：90°．
教师：三边长分别为3、4、5，且满足32+42=52的三角形是直角三角形．那么一个三角形的三边a、b、c.且满足a2 +b2=c2三角形一定是直角三角形吗？今天我们继续学习第一章 第二节【教师板书课题：1.2 一定是直角三角形吗】
设计意图：通过对问题的思考一方面锻炼学生的动手操作的好习惯，另一方面让学生感悟结论的真实性从而引出新课．
活动效果：有的学生对于用尺规已知三边作三角形已经忘了，但一提示就马上就能画出．但有的学生测量时出现误差．
二、分组展示，探究总结
教师：下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c.而且都满足a2 +b2=c2：
（1）5、12、13；（2）8、15、17；（3）7、24、25.
分别以每组数为三边长作出三角形，（用七年级学习的尺规作图法画图）然后用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？我们每一排完成一组数，然后集中汇报.
学生：画三角形，独立完成，再小组讨论
（给学生充分的时间画图）
教师：你所画的三角形是直角三角形吗？
学生：分组汇报，四个组画的三角形都是直角三角形
教师：一个三角形三边满足怎样的关系才能是直角三角形？
学生：两边的平方和等于第三边的平方时这个三角形一定是直角三角形
教师：那个角是直角？
学生：最长边所对的角是直角．
教师：于是我们发现一个判定直角三角形的一种方法：
结论：如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形．
（说明：①c2- b2= a2的形式也可；②这里的a，b，c是任意三边）
教师：我们把满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
如5、12、13；7、24、25；8、15、17；3、4、5．
学生：两分钟的时间理解记忆．小组间相互背诵．
巩固练习1：
⒈下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由．
（1）9，12，15； （2）15，36，39；
（3）12，35，36； （4）12，18，22．
2．如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，那么得到的三角形还是直角三角形吗？
设计意图：让学生掌握判别直角三角形的另一种判别方法：如果三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．其步骤为先计算两条较短边的平方和，再计算最长边的平方，然后比较是否相等，相等时一定是直角三角形，且最长边对的角是直角．否则就不是．另外让学生熟练掌握什么是勾股数．当边长扩大相同倍数时仍然是勾股数．
活动效果：学生的积极性很高，语言表达不是很准确，部分学生的计算能力较差．
三、例题解析，巩固新知
(多媒体出示)
例1 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？
教师：这个零件什么叫符合要求？什么是不符合要求？
学生：符合要求是指∠A和∠DBC都应为直角．否则就不符合要求．
教师：∠A和∠DBC分别在△ABD和△BDC中如何判别它们是否是直角呢？
学生：题目告诉了三边的长度利用刚学的结论即可．
教师：板书解题过程：
解：在△ABD中，
因为AB2+AD2=9+16=25=BD2
所以△ABD为直角三角形，∠A =90°
在△BDC中，
因为BD2+BC2=25+144=169=CD2
所以△BDC是直角三角形∠CDB =90°
因此这个零件符合要求.
（师生共同完成，教师强调解题步骤.）
巩固练习2：
1．如左图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？
2．如右图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？
设计意图：通过例题讲解一方面让学生学会如何运用新知进行做题，另一方面规范解题过程，重点放在落实上．
活动效果：练一练的两个题目有一定的难度，第2题综合性强，△ABE，△BCF，△DEF易知，判定△BEF是直角三角形时先利用勾股定理求三边的平方，然后利用逆定理．第三题大多数学生不知利用方格计算每条边的长度的平方．说理不是太条理，需进一步加强练习．
四、盘点收获，落实目标
教师：通过本节课的学习你有哪些收获？
学生：畅所欲言今天所学知识.
学生1:我知道了已知三角形的三边长能判别它是否是直角三角形,还知道什么是勾股数．
学生2：我知道了只要知道直角三角形的两边就用勾股定理求第三边，只要知道三角形的三边长就用逆定理判定它直角三角形．
教师：同学们回答地很好．今后继续努力！
设计意图：让学生进一步巩固本节课学到的知识点，培养学生善于归纳的习惯．
活动效果：小组之间争先发言，相互背诵．
五、达标检测，能力提升
1.以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形的有（ ）
①3，4，5； ②1，2，4； ③32，42，52；④6，8，10
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2.已知 ABC中，BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为_______三角形，______是最大角.
3.三角形的三边分别是a，b，c，且满足等式(a+b)2-c2=2ab， 则此三角形是( )
A、直角三角形 B、是锐角三角形
C、是钝角三角形 D、是等腰直角三角形
4.四边形ABCD中已知AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠ABC=900，求这个四边形的面积．
设计意图：了解学生掌握情况，发现问题及时矫正．
活动效果：第一题错的较多，原因误认为3，4，5是勾股数，它们的平方也一定是勾股数了．提醒学生要引以为戒，不要只凭想像．其他掌握较好．
六、布置作业，课堂延伸
必做题：《数学助学》第9页 巩固训练 第3题 自主评价 第8题．
思考题：给你一根长绳子，没有其他工具，你能方便地得到一个直角吗？
（一学生展示一根用13个等距的结把它分成等长的12 段的绳子，请三个同学上台，按老师的要求操作．
甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结．
乙：握住第四个结．
丙：握住第八个结．
（拉紧绳子，这样做能得到直角三角形．）
板书设计
1.2 一定是直角三角形吗
直角三角形判定定理： 例1 总结规律：
教学反思．
成功之处：本节课我利用了多媒体辅助教学，在组图画图方面用动画显示，让学生观察，增强视觉效应，效果良好．以勾股定理的逆向思维模式引入“如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2，是否能得到这个三角形是直角三角形”的问题导入新授；充分引用教材中出现的例题和练习加强学生对所学知识的理解和应用；课堂上我非常注重引导学生积极参与实践活动，从中体验任何一个数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由特殊-一般-特殊的发展规律．猜想出一般性的结论，然后与学生共同归纳所发现的结论．这不仅使学生学到获取知识的思想和方法，同时也体会到在解决问题的过程中与他人合作的重要性，而且为学生今后获取知识以及探索、发现和创造打下了良好的基础，更增强了学生敢于实践、勇于实践、不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气．
不足之处：在教学过程中发现学生的自主探究能力不够好，在应用勾股定理的逆定理对三角形的形状进行判断时，没有很好地体会勾股定理逆定理的应用步骤．课堂上对学生总是不敢放手，教师讲解过多，在一定程度上影响学生的自主发挥．
再教建议：对于勾股定理的逆定理的论证可根据学生的实际情况做适当调整，不要过多强求.重点应放在解题过程的分析与规范书写上．课堂上要尽可能多的给学生提供展示自我的机会；在培养学生自主学习能力上要多研究，多探索，最大限度地发挥学生自主学习的功效；注重师生间的交流，为学生创设一个民主、和谐的数学学习的氛围．
PAGE
41.1 探索勾股定理（2）
1.经历运用拼图的方法说明勾股定理的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。
2.掌握勾股定理和他的简单应用
学习重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理
学习难点：用面积法证勾股定理
教法及学法指导：
针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流。并利用教具与多媒体进行教学。
在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动口、动脑的能力，使学生真正成为学习的主体。
课前准备：
制作课件，学生课前进行相关调查及预习工作.
教学过程:
一、创设情境，导入新课
［师］我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2；完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2是非常重要的内容．谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？
［生］利用多项式乘以多项式的法则从公式的左边就可以推出右边．例如（a+b）（a－b）=a2－ab+ab－b2=a2－b2，所以平方差公式是成立的．
［生］还可以用拼图的方法来推出．例如：（a+b）2=a2+2ab+b2．我们可以用一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形，两个长和宽分别为a和b的长方形可拼成如下图所示的边长为（a+b）的正方形，那么这个大的正方形的面积可以表示为（a+b）2；又可以表示为a2+2ab+b2．所以（a+b）2=a2+2ab+b2．
［师］由此我们可以看出用拼图的方法推证数学中的结论非常直观．上一节课我们已经通过数格子通过一些特例大胆地猜想出了勾股定理．同时又利用一些特例验证了勾股定理，但我们注意到我们不可能拿所有的直角三角形一一验证，靠一些特例归纳、猜想出来的结论不一定正确．因此我们需要用另一种方法说明直角三角形三边的关系．
二、性质探究
1．拼一拼
（1）在一张硬纸板上画4个如下图所示全等的直角三角形．并把它们剪下来．
（2）用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？
（对于上面2个问题，教师要引导学生大胆联想，将形与数的问题联系起来．鼓励学生大胆的拼摆，只要符合要求，教师都应予以鼓励，然后在小组内交流，同时提示学生根据自己拼出的图形，联系（a+b）2=a2+2ab+b2的拼图推证方法说明勾股定理）．
［生］我拼出了如下图所示的图形，中间是一个边长为c的正方形．观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是（a+b）．要利用这个图说明勾股定理，我们只要用两种方法表示这个大正方形的面积即可．
大正方形面积可以表示为：（a+b）2，又可以表示为：ab×4+（b－a）．
对比这两种表示方法，可得出c2=ab×4+（b－a）．化简、整理得c2=a2+b2．因此我们得到了勾股定理．
［生］我拼出了和这个同学不一样的图，如下图所示，大正方形的边长是c，小正方形的边长为b－a，利用这个图形也可以说明勾股定理．因为大正方形的面积也有两种表示方法，既可以表示为c2，又可以表示为ab×4+（b－a）2．对比两种表示方法可得c2=ab×4+（b－a）2．化简得c2=a2+b2．同样得到了勾股定理．
［师］真棒！同学们用拼图的方法，大胆地验证了勾股定理．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的伟大贡献．在后面的课题学习中，我们还要继续研究它．
在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的了．有人做过统计，说有五百余种．1940年，国外有人收集了勾股定理的365种证法，编了一本书．其实，勾股定理的证法不止这些，作者之所以选用了365种，也许他是幽默地想让人注意，勾股定理的证明简直到了每天一种的地步．
［生］老师，我在查资料时，还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统有关系，是这样吗？
［师］是的．1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明．据他说，这是一种思想体操，并
且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”．由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话．
［生］能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗？
［师］可以．如下图所示．这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有联系．
［生］总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半．
［师］同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理．
［生］上面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既可以表示为（a+b）·（a+b），又可以表示为ab×2+c2．对比两种表示方法可得（a+b）·（a+b）= ab×2+c2．化简，可得a2+b2=c2．
［师］很好．同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法．
2．议一议
［师］前面我们讨论了直角三角形三边满足的关系．那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢？
观察上图，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否满足a2+b2=c2．
［师］上图中的△ABC和△A′B′C是什么三角形？
［生］△ABC，△A′B′C′在小方格纸上，不难看出△ABC中，∠BCA＞90°；△A′B′C′中，∠A′B′C′，∠B′C′A′，∠B′A′C′都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A′B′C′是锐角三角形．
［师］△ABC的三边上“长”出三个正方形．谁来帮我数一下每个正方形含有几个小格子．
［生］以b为边长的正方形含有9个小格子，所以这个正方形的面积b2=9个单位面积；以a为边长的正方形中含有8个小格子，所以这个正方形的面积a2=8个单位面积；以c为边长的正方形中含有29个小格子，所以这个正方形的面积c2=29个单位面积．
a2+b2=9+7=16个单位面积，c2=29个单位面积，所以在钝角三角形ABC中a2+b2≠c2．
［师］锐角三角形A′B′C′中，如何呢？
［生］以a为边长的正方形含5个小格子，所以a2=5个单位面积；以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b2=8个单位面积；以c为边长的正方形含9个小格子，所以c2=9个单位面积．由此我们可以算出a2+b2=5+8=13个单位面积．在锐角三角形A′B′C′中，a2+b2≠c2．
［师］通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角三角形中，a，b，c三边才有a2+b2=c2（其中a、b是直角边，c为斜边）这样的关系．
［生］老师，我发现在钝角三角形ABC中，虽然a2+b2≠c2，但它们之间也有一种关系a2+b2＜c2；在锐角三角形A′B′C′中，a2+b2＞c2．它们恒成立吗？
［师］这位同学很善于思考，的确如此．同学们课后不妨验证一下，你一定会收获不小．
三、性质的应用
1.例题精讲
我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外线测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
（学生自己画图完成，全班交流）
2.巩固提高
（1）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
（2）在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来；水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？
［师生共析］
1．分析：根据题意，可以画出下图，A点表示男孩头顶的位置，C、B点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．
解：根据题意，得Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5000米，AC=4800米．由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．即50002=BC2+48002，所以BC=1400米．
2分析：在此问题中，要注意水草的长度与水深的关系，还要注意水草站立时和吹到一边，它的长度是不变的．
解：根据题意，得到下图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BC⊥AD．
所以在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，即（AC+3）2=AC2+62，AC2+6AC+9=AC2+36．6AC=27，AC=4．5．所以这里的水深为4．5分米．
评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要．
四、收获园地
师：这节课，我们用拼图的方法验证了勾股定理，并运用勾股定理解决了生活中的实际问题
生：畅谈自己的收获！
五、达标检测
如下图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，已知物体A到平面镜的距离为6米，问B点到物体A的像A′的距离是多少？
六、作业
1．课本P11，习题1．2． 1 、2
2．收集关于勾股定理的证明方法．
七、板书设计
探索勾股定理（二）一、用拼图法验证勾股定理1．由上图得（a+b）2=ab×4+c2即a2+b2=c2；
由上图可得c2=ab×4+（b－a）2即a2+b2=c2二、议一议三、例题讲解四、课时小结
八、教学反思
学生基本理解，对实际问题理解不透，很多学生不能通过读题把图形画出来，今后应多加强此方面的训练。
PAGE
1
