北京市2023年第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷（含简答）

北京市2023年第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2、不等式的解集是( )
A. B. C. D.
3、函数的零点是( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
4、在平面直角坐标系xOy中，角以O为顶点，以Ox为始边，终边经过点，则角可以是( )
A. B. C. D.
5、已知三棱柱的体积为12，则三棱锥的体积为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
6、已知，则( )
A. B. C. D.
7、( )
A.－100 B.100 C.－2 D.2
8、如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是( )
A. B. C. D.
9、下列函数中，在R上为增函数的是( )
A. B. C. D.
10、已知向量，.若，则实数( )
A.0 B.2 C.4 D.6
11、已知，且.当ab取最大值时，( )
A.， B.， C.， D.，
12、将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
13、四棱锥如图所示，则直线PC( )
A.与直线AD平行 B.与直线AD相交
C.与直线BD平行 D.与直线BD是异面直线
14、在中，，，，则( )
A.60° B.75° C.90° D.120°
15、已知a，，则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
16、向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长为1，则( )
A.2 B. C. D.3
17、已知函数.若的图象经过原点，则的定义域为( )
A. B. C. D.
18、某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）.用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为( )
A. B. C. D.
19、已知函数，则的最小值是( )
A.2 B.1 C.－2 D.－1
20、某校学生的体育与健康学科学年成绩s由三项分数构成，分别是体育与健康知识测试分数a，体质健康测试分数b和课堂表现分数c，计算方式为.学年成绩s不低于85时为优秀，若该校4名学生的三项分数如下：
a b c
甲 85 85 90
乙 90 85 80
丙 85 80 85
丁 85 80 90
则体育与健康学科学年成绩为优秀的学生是( )
A.甲和乙 B.乙和丙 C.丙和丁 D.甲和丁
二、填空题
21、已知复数，，则______.
22、在中，，，则______.
23、某校初一年级共有三个班，为了解课外阅读情况，随机抽取部分学生调查他们一周的课外阅读时长（单位：小时），整理数据得到下表：
1班 8 9 10 11 11 15
2班 7 7 8 9 9 11 12
3班 5 7 9 9 9 10 14
①设样本中1班数据的均值为，2班数据的均值为，则______（填“>”或“<”）；
②设样本中2班数据的方差为，3班数据的方差为，则______（填“>”或“<”）.
24、如图，在正方体中，是正方形ABCD及其内部的点构成的集合.给出下列三个结论：
①，；
②，；
③，与不垂直.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题
25、已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求的最大值，并写出相应的一个x的值.
26、已知是定义在区间上的偶函数，其部分图像如图所示.
（1）求的值；
（2）补全的图像，并写出不等式的解集.
27、阅读下面题目及其解答过程.如图，在直三棱柱中，，D，E分别为BC，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
解：（1）取的中点F，连接EF，FC，如图所示.
在中，E，F分别为，的中点，
所以，.
由题意知，四边形①______..
因为D为BC中点，所以，.
所以，.
所以四边形DCFE为平行四边形，
所以.
又②______.，平面，
所以，平面.
（2）因为为直三棱柱，所以平面ABC.
又平面ABC，所以③. ______.
因为，且，所以④______.
又平面，所以.
因为⑤______.，所以.
以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）.
空格序号 选项
① A.矩形 B.梯形
② A.平面 B.平面
③ A. B.
④ A.平面 B.平面
⑤ A. B.
28、给定正整数，设集合.对于集合M的子集A，若任取A中两个不同元素，，有，且，，…，中有且只有一个为2，则称A具有性质P.
（1）当时，判断是否具有性质P；（结论无需证明）
（2）当时，写出一个具有性质P的集合A；
（3）当时，求证：若A中的元素个数为4，则A不具有性质P.
参考答案
1、答案：D
2、答案：B
3、答案：C
4、答案：C
5、答案：B
6、答案：A
7、答案：D
8、答案：A
9、答案：C
10、答案：C
11、答案：C
12、答案：B
13、答案：D
14、答案：D
15、答案：A
16、答案：B
17、答案：A
18、答案：A
19、答案：D
20、答案：D
21、答案：；
22、答案：4
23、答案：①.>②.<
24、答案：①②③
25、答案：（1）；
（2）最大值为2，相应的一个x的值为.
26、答案：（1）1（2）作图略，
27、答案：（1）①A；②A；（2）③B；④A；⑤B
28、答案：（1）A不具有性质P；
（2）；
（3）略