广东省2023年学业水平选择性考试冲刺（二）数学试卷（含答案）

广东省2023年学业水平选择性考试冲刺（二）数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知集合，则( )
A. B.
C. D.
2、( )
A. B.
C. D.
3、已知函数，则( )
A.12 B.10 C.8 D.6
4、若，则“”是“”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5、保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲，某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P (单位：毫米/升)与过滤时间t (单位：小时)之间的函数关系为，其中k为常数，，为原污染物数量。该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的( )
参考数据：
A. B. C. D.
6、函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
7、祖暅是我国古代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”。意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，此即祖暅原理。这个原理经过研究推广，有着许多的推论，其中有一个推论为夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积比总为，那么这两个几何体的体积之比也为。现已知几何体A与几何体B是两个等高的几何体，且在同高处被平行于底面的平面截得的截面面积之比都为，若几何体B是一个母线长为，上底面半径为1，下底面半径为2的圆台，则几何体A的体积为( )
A. B. C. D.
8、如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上一点，且的延长线交y轴于点A，且，的内切圆半径为4，的面积为9，则( )
A.18 B.32 C.50 D.14
二、多项选择题
9、已知椭圆C的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆C交于A，B两点.下列椭圆的方程中，能使得为正三角形的是( )
A. B.
C. D.
10、已知，，，则( )
A.为第二象限角 B.
C. D.
11、已知数列满足，，为的前n项和.则下列说法正确的是( )
A.取最大值时， B.当取最小值时，
C.当取最大值时， D.的最大值为
12、已知实数x，y满足，则下列说法不正确的是( )
A.的最小值为 B.的最大值为
C.当时，取得最大值 D.当时，取得最小值
三、填空题
13、向量，，且，则实数___________
14、某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排5名同学到甲、乙、丙三个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排一人，则不同的安排方案数为___________，如果再加上一名同学且要求甲社团安排三人，乙、丙至少安排一人，则不同的安排方案数为___________
15、在平行四边形ABCD中，，现将沿BD折起，使异面直线CD与AB所成角为，且为锐角，则折后三棱雉外接球的表面积为___________
16、已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是___________
四、解答题
17、2023上海蒸蒸日上迎新跑于2023年2月19日举办，该赛事设有21.6公里竞速跑、5.4公里欢乐跑两个项目。某马拉松兴趣小组为庆祝该赛事，举行一场小组内有关于马拉松知识的有奖比赛，一共有25人报名(包括20位新成员和5位老成员)，其中20位新成员的得分情况如下表所示(满分30分)：
得分
人数 2 3 4 6 4 1
得分在20分以上(含20分)的成员获得奖品一份
（1）请根据上述表格中的统计数据，将下面的列联表补充完全，并通过计算判断在20位新成员中，是否有的把握认为“获奖”与性别有关
没获奖 获奖 合计
男 4
女 7 8
合计
（2）若5名老成员的性别相同并全部获奖，且进行计算发现在所有参赛人员中，有的把握认为“获奖”与性别有关.请判断这5名老成员的性别？
附：参考公式：，
临界值表：
0.100 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
18、如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E、F分别为棱、BC的中点，G为线段CF的中点.
（1）证明：平面AEF
（2）求二面角的正弦值.
19、已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c
（1）求；
（2）若，求面积的最大值.
20、已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项公式.
（2）已知，是的前n项和，证明：
从（1），（2）中选取一个补充至题中并完成问题.
21、已知F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若O为坐标原点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，AE的中点为G，求的取值范围
22、已知函数在处取得极小值
（1）求实数m，n
（2）当时，证明：
参考答案
1、答案：A
解析：由，知.
2、答案：D
解析：.
3、答案：B
解析：由题意知，解得，则，故.
4、答案：A
解析：当，时，；当时，，即。故“”是“”的必要不充分条件.
5、答案：C
解析：因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以，所以。再继续过滤3小时，度气中污染物的残留量约为.
6、答案：A
解析：由题意可知，函数的定义域为R，，所以为偶函数，排除选项C，D；当时，，所以0，则，所以，排除B.
7、答案：C
解析：由题意知几何体B的高为2，故几何体B的体积为，故几何体A的体积为
8、答案：C
解析：因为，所以，所以为直角三角形，所以，因为，所以.
因为的面积为9，所以，因为，所以，所以.
易知Rt，所以，所以.
9、答案：
解析：设椭圆，.由题意知，易得，又，，故，显然BD选项正确.
10、答案：BC
解析：因为，所以有，所以得到，，可得且为第一象限角，故，，故A不正确，B正确；又，，故，，故C正确；由，，知，故D不正确.
11、答案：AD
解析：由题意知，则，因为，所以，令，所以，所以，所以，即或，又，故.当取最大值时，，此时，则，，故，故A正确；当取最小值时，，此时，则，，故，故B不正确；由，知，即，当且仅当时取等号，故当取最大值时，，此时，故C不正确，D正确.
12、答案：ACD
解析：令，，则，，所以，其中，故A项不正确，B项正确；又，当时，取得最大值，此时，故C不正确；当时，取得最小值，此时，故D不正确.
13、答案：-7
解析：由向量，，且，得，得，解得.
14、答案：150 120
解析：由题意可得，5名同学的分配方式有两种，第一种为分配，方案数为，第二种为分配，方案数为，故要求每个社团至少安排一人，不同的安排方案数为150.如果再加上一名同学且要求甲社团安排三人，有两种情况，若乙社团1人，丙社团2人，方案数为，若乙社团2人，丙社团1人，方案数为，故不同的安排方案数为120.
15、答案：
解析：
由于，故和均是腰长为2的等腰直角三角形，将其补充如图（1）所示的长方形，折后得到图（2）所示的直三棱柱，又由异面直线CD与AB所成角为，可知或，又为锐角，故可知，则图（2）所示的直三棱柱上下底面均是边长为2的等边三角形，且该三棱柱的外接球即为三棱锥C-ABD的外接球.设外接圆的半径为r，则，所以，又三棱雉的高为2.所以三棱柱外接球的半径，所以所求外接球的表面积为.
16、答案：
解析：，
令，，可得，
由函数在区间上是单调的，可知，即，
又，故或，解得或.
所以的取值范围是.
17、答案：（1）没有（2）5名老成员都为男性
解析：（1）
没获奖 获奖 合计
男 8 4 12
女 7 1 8
合计 15 5 20
由列联表中数据，计算得到.所以没有的把握认为“获奖”与性别有关.
（2）当这5名老成员中都为女成员时.计算得，不合题意；
当5名老成员都为男成员时，计算得，符合题意.故这5名老成员全是男成员.
18、答案：（1）证明见解析（2）
解析：
（1）连接，交AE于点O，连接OF由邀意，知四边形为平行四边形，，E为的中点，，，且相似比为，，
又F，G分别为BC，CF的中点，，，又平面AEF，平面AEF，平面AEF
（2），，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，则，，
设平面AEF和平面BEF的法向量分别为，
则，令得
，令，得
故，
则，故二面角的正弦值为.
19、答案：（1）（2）
解析：（1）由，
知，
则.
（2）由（1）知，
，即，
故的面积，即面积的最大值为，当且仅当时取得最大值.
20、答案：（1）（2）证明见解析
解析：（1）当时，，
，，
当时，，，
，数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
（2）选（1）：由，
知，
故
选（2）：由，
知
21、答案：（1）（2）
解析：（1）设直线AB的倾斜角为.，
由抛物线的定义可得，
则，，
故，即，则拋物线C的方程为.
（2）设，，直线AB的方程为
由，得，则.
又直线，则，即，
则，，即直线
则有，得，则，
故，则，由AE的中点为，
可得，故G，B，D三点共线，
则
又由，知，故，
令，则，故的取值范围为
22、答案：（1），（2）证明见解析
解析：（1），由题意知，则，即，由，知，即
（2）由（1）得，设，
则
设，则在上单调递增，
且，，所以存在唯一，使得，即
当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.
设，，则，
当时，，单调递减，所以，所以，
故当时，