杭七中2022学年第一学期
高二年级数学学科期中卷（美用）
命题人：章煜 校对人：季晶晶
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题纸，满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题纸密封区内填写班级和姓名．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试题卷上无效．
4．考试结束，只需上交答题纸．
第I卷（选择题 共60分）
一、前项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知空间向量两两夹角均为60°，其模均为1，则＝（ ）
A. 5 B. 6 C. D.
3. 近日，2021中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100个地级及以上候选城市名单中，徐州市入选．"幸福感指数"是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取20位徐州市居民，他们的幸福感指数见下表，则这组数据的80百分位数是（ ）
3 3 4 5 5 6 6 6 7 7
7 7 8 8 8 8 9 9 10 10
A. 7.7 B. 8 C. 8.5 D. 9
4. 如图，设，，，若，，则=（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A. 4 B. C. D.
6. 如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为( )
A. 11 B. 11.5
C. 12 D. 12.5
7. 唐代诗人李颀诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A. B. 5 C. D.
8. 正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有这错的得0分）
9. 下列说法正确是（ ）
A. 截距相等的直线都可以用方程表示
B. 方程能表示平行轴的直线
C. 经过点，倾斜角为的直线方程为
D. 经过两点的直线方程
10. 甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件B与事件C是互斥事件 B. 事件A与事件C是独立事件
C. D.
11. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相交
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
12. 已知棱长为的正方体中，是的中点，点在正方体的表面上运动，且总满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. 点的轨迹中包含的中点
B. 点的轨迹与侧面的交线长为
C. 的最大值为
D. 直线与直线所成角的余弦值的最大值为
第II卷（非选择题共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13. 过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程是________．
14. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．
15. 若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是______．
16. 如图所示，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为_________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17 已知圆：与圆：.
（1）若圆与圆外切，求实数m的值;
（2）在(1)条件下，若直线l过点(2，1)，且与圆的相交弦长为，求直线l的方程.
18. 在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，E，F分别是AP，BC的中点．
（1）求证：∥平面PCD；
（2）求二面角的正弦值．
19. 计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
20. 已知圆M经过两点，B（2，2）且圆心M在直线上．
（1）求圆M的方程；
（2）设E，F是圆M上异于原点O的两点，直线OE，OF的斜率分别为k1，k2，且，求证：直线EF经过一定点，并求出该定点的坐标.
21. 如图，内接于，AB为的直径，，，，且平面ABC，E为AD的中点．
（1）求证：平面平面ABD；
（2）求异面直线BE与AC所成的角的余弦值；
（3）求点A到平面BCE的距离．
22. 已知圆：，直线：，点．
（1）判断直线与圆的位置关系；
（2）设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程；
（3）在（2）的条件下，若，求直线的方程．杭七中2022学年第一学期
高二年级数学学科期中卷（美用）
命题人：章煜 校对人：季晶晶
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题纸，满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题纸密封区内填写班级和姓名．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试题卷上无效．
4．考试结束，只需上交答题纸．
第I卷（选择题 共60分）
一、前项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过直线方程求出斜率，进而求出直线的倾斜角.
【详解】由题意，直线的斜率为，设直线的倾斜角为，即.
故选：D.
2. 已知空间向量两两夹角均为60°，其模均为1，则＝（ ）
A. 5 B. 6 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用向量模的公式计算得解.
【详解】解：由题得
.
故选：C
3. 近日，2021中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100个地级及以上候选城市名单中，徐州市入选．"幸福感指数"是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取20位徐州市居民，他们的幸福感指数见下表，则这组数据的80百分位数是（ ）
3 3 4 5 5 6 6 6 7 7
7 7 8 8 8 8 9 9 10 10
A. 7.7 B. 8 C. 8.5 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】把这组数据按由小到大排列，根据百分位数的意义计算即可得解.
【详解】表格中的数据已按由小到大排列，而，从小到大开始，第16个数和第17个数的平均数为，
所以这组数据的80百分位数是8.5.
故选：C
4. 如图，设，，，若，，则=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接、，将向量、利用基向量、、表示，再利用空间向量的减法法则可得出结果.
【详解】连接、，
因为，即，所以，，
因为，即，所以，，
因此，，
故选：A.
5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据两直线平行求出m的值，再由两平行直线间的距离公式即可求解.
【详解】因为直线和互相平行，且两直线的斜率一定存在，
所以即，所以，
因为两直线方程为和，
所以它们之间的距离为.
故选：D.
6. 如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为( )
A. 11 B. 11.5
C. 12 D. 12.5
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数的定义结合直方图的性质求解即可.
【详解】由频率分布直方图得组距为5，
可得样本质量在内的频率分别为
和，
所以，中位数在第二组，
设中位数为，则，
解得，故选C．
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.
7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程.
【详解】设关于的对称点为，
所以，可得，即对称点为，又
所以“将军饮马”的最短总路程为.
故选：A
8. 正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解
【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则，
所以，
故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范围为．
故选：D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有这错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 截距相等的直线都可以用方程表示
B. 方程能表示平行轴的直线
C. 经过点，倾斜角为的直线方程为
D. 经过两点的直线方程
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；
对于B，平行于轴的直线，斜率不存在，令，可得答案；
对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；
对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案.
【详解】对于A，当直线的截距不为零时，可用方程，当截距都是零时，不可用，故A错误；
对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与轴平行，故B正确；
对于C，当时，不存在，此时直线方程，故C错误；
对于D，当时，由斜率公式，可得，可整理为；
当时，方程可整理为；故D正确.
故选：BD.
10. 甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件B与事件C是互斥事件 B. 事件A与事件C是独立事件
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据互斥的概念及独立事件概率公式可判断A、B；根据古典概型的计算公式及条件概率的计算公式即可判断C、D.
【详解】解：当从甲中取出白球时，乙中取出的可能是红球，也可能是白球，所以选项A错误；
因为甲盒中有3个红球，2个互斥白球，所以，，
若甲中拿出的是红球，则乙中有3个红球，3个白球，
若甲中拿出的是白球，则乙中有2个红球，4个白球，
所以，，，
因为，所以事件A与事件C不是独立事件，
故选项B错误；选项C正确；
因为，故选项D正确.
故选：CD
11. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相交
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】AD
【解析】
【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可.
【详解】对于A，点A在圆C上，，圆心到直线的距离为
，直线l与圆C相切，故选项A正确；
对于B，点A在圆C内，，圆心到直线的距离为
，直线l与圆C相离，故选项B错误；
对于C，点A在圆C外，，圆心到直线的距离为
，直线l与圆C相交，故选项C错误；
对于D，点A在直线l上，，圆心到直线的距离为
，直线l与圆C相切，故选项D正确；
故选：A D.
12. 已知棱长为的正方体中，是的中点，点在正方体的表面上运动，且总满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. 点的轨迹中包含的中点
B. 点的轨迹与侧面的交线长为
C. 的最大值为
D. 直线与直线所成角的余弦值的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先根据动点满足的条件及正方体的结构特征得到动点的轨迹，然后利用轨迹的特征判断选项A，B，C，对于选项D，要先将线线角问题转化为线面角问题，再利用空间向量法求解．
【详解】如图，取的中点，分别取，上靠近，的四等分点，，连接，，，，
易知且，所以，，，四点共面．连接，
因为，，，
因此，所以，易知，所以平面，
即点的轨迹为四边形（不含点），易知点的轨迹与侧面的交线为，
由不过的中点，所以A选项错误
又，B选项正确；
根据点的轨迹可知，当与重合时，最大，易知平面，则，
连接，所以，故C选项正确；
由于点的轨迹为四边形（不含点），所以直线与直线所成的最小角就是直线与平面所成的角，
又向量与平面的法向量的夹角等于，
且，所以直线与平面所成角的余弦值为，
即直线与直线所成角的余弦值的最大值等于，故D选项正确．
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题考查空间动点轨迹的探索问题，解答本题的关键是由条件探索出动点的轨迹，以及由线面角的定义和性质得到直线与直线所成的最小角就是直线与平面所成的角，从而转化为向量与平面的法向量的夹角求解，属于中档题.
第II卷（非选择题共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13. 过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程是________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据直线截距概念分类求解即可.
【详解】解：设直线在轴上的截距是在轴上的截距分别为
则当时，符合题意，则直线过原点，又直线过点所以直线斜率为，则此时直线方程为：；
当时，由题意可得，此时直线方程可设为：，又直线过点，所以，解得，故直线方程为：，即.
综上：该直线方程为：或.
故答案为：或.
14. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为，则
一次取出2只球，基本事件为、、、、、共6种，
其中2只球的颜色不同的是、、、、共5种；
所以所求的概率是．
考点：古典概型概率
15. 若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是______．
【答案】
或
【解析】
【分析】先对曲线进行变形，发现其图象为以为圆心，为半径的圆的一部分，画出曲线及直线的图象，采用数形结合，列出等式即可求得结果.
【详解】解：因为曲线，所以，
解得，，曲线可化为，
两边同时平方有：，即，
所以曲线是以为圆心，为半径的圆的一部分，
而直线，所以是斜率为1的直线，画图象如下：
由于直线与曲线只有一个公共点，当直线过时，即，解得：，
当直线过时，即，解得：，由图象可知，
当直线与圆相切时：，解得或，
而即为在轴上的截距，由图象可知，
综上：或.
故答案为：或
16. 如图所示，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】由题设可得构建为原点的空间直角坐标系，根据已知标注相关点的坐标，设，，，可得的坐标，进而求面与面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示得到关于的表达式，由二次函数的性质即可求其最大值.
【详解】底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，则≌，
∴，设，则，
∵为的中点，则，
∴，即，
以为原点，如图建立空间直角坐标系，则、、、，
设，，，则，而，，
∴、、，
∴，
∴、、、，
设面的一个法向量，则，
即，令，则，
设面的一个法向量 ，则，即，
令，则，
面与面所成锐二面角的平面角为，则，
当时 ，即的最大值为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知圆：与圆：.
（1）若圆与圆外切，求实数m的值;
（2）在(1)的条件下，若直线l过点(2，1)，且与圆的相交弦长为，求直线l的方程.
【答案】（1）m=5 （2）或
【解析】
【分析】（1）根据两圆外切，两圆心之间的距离等于两圆半径之和可得；
（2）先根据弦长求出圆心到直线的距离，然后分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式可得.
【小问1详解】
圆：，则，半径r1=1，
由圆：，得，
则 ，半径.∵圆与圆外切，
∴，∴，解得m=5.
【小问2详解】
由(1)得m=5，圆的方程为，
则，r2=2.由题意可得圆心到直线l的距离，
当直线l斜率不存在时，直线方程为x=2，符合题意;
当直线l斜率为k时，则直线方程为，
化为一般形式为，则圆心(3，0)到直线l的距离，
解得k=0，得直线方程为y=1.
综上，直线l的方程为或.
18. 在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，E，F分别是AP，BC的中点．
（1）求证：∥平面PCD；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形，可得线线平行，进而可证明线面平行.
（2）根据空间向量，计算法向量，利用法向量的夹角求二面角的余弦值，再通过同角三角函数的平方关系求正弦值.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，
又E是AP的中点，∥，
所以，且∥，
因为F是BC的中点，所以，，且∥，
所以四边形EFCG是平行四边形，故∥，
因为平面PCD， 平面PCD，
所以∥平面PCD；
小问2详解】
平面ABCD，四边形ABCD是矩形，
以A点为坐标原点，直线AB ，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），
设，所以，，
因为E，F分别是AP，BC的中点，
所以，
所以，，，
设平面CEF的一个法向量为，
由，即，令，则，
所以，
设平面DEF的一个法向量为，
由，即，令，则，
所以，
由图可知二面角为锐角，
所以，
，
所以二面角的正弦值为.
19. 计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
【答案】（1）丙；（2）
【解析】
【分析】
（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解.
【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，.
因为，所以丙获得合格证书的可能性最大.
（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则.
【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题.
20. 已知圆M经过两点，B（2，2）且圆心M在直线上．
（1）求圆M的方程；
（2）设E，F是圆M上异于原点O的两点，直线OE，OF的斜率分别为k1，k2，且，求证：直线EF经过一定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）
（2）证明见解析，定点(-4，0)
【解析】
【分析】(1)设出圆的方程，根据给定条件列出方程组，求解即可得圆的方程.
(2)设直线EF的方程为，再与圆的方程联立消去y，利用韦达定理及求得k与m的关系即可推理作答.
【小问1详解】
设圆M方程为：，
由题意得，，解得，
所以圆M的方程：.
【小问2详解】
依题意，直线EF的斜率存在，否则直线OE，OF关于x轴对称，k1，k2互为相反数，与已知矛盾，设直线EF：，
由得：．
，即，
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则，，
于是得
，
则4k=m，直线EF的方程为：，于是得直线EF过定点(-4，0)，
所以直线EF经过一定点(-4，0).
21. 如图，内接于，AB为的直径，，，，且平面ABC，E为AD的中点．
（1）求证：平面平面ABD；
（2）求异面直线BE与AC所成的角的余弦值；
（3）求点A到平面BCE的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面平面ABD.
（2）利用向量法求得异面直线BE与AC所成的角.
（3）利用向量法求得点A到平面BCE距离.
【小问1详解】
依题意是圆的直径，所以，
由于平面，所以，
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
设是平面的法向量，
则，故可设.
，
设是平面的法向量，
则，故可设，
，所以平面平面.
【小问2详解】
，
设直线与直线所成角，，
则
【小问3详解】
，平面的法向量为，
，所以平面，
所以到平面的距离为.
22. 已知圆：，直线：，点．
（1）判断直线与圆的位置关系；
（2）设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程；
（3）在（2）的条件下，若，求直线的方程．
【答案】（1）相交 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）先求出动直线经过的定点，判断定点和圆的位置关系即可；
（2）连接圆心和弦的中点，利用垂径定理找出几何关系来解决；
（3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理来解决.
【小问1详解】
因为直线：过定点，
又，所以在圆内，
所以直线与圆相交；
【小问2详解】
设，当与不重合，即时，连接，，则，根据勾股定理．则，化简得：（）；当与重合时，，也满足上式，故弦的中点的轨迹方程为；
【小问3详解】
设，，因为，所以，
所以，化简得． ①
又消去并整理得，
所以②，． ③
由①②③联立，解得，
所以直线的方程为或．
