2022-2023学年湘教新版八年级（上）期末数学试卷（含解析）

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2022-2023学年湘教新版八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中：，，，，，，其中分式的个数有( )
A. B. C. D.
2. 化简的结果是( )
A. B. C. D.
3. 设甲、乙、丙为三个连续的正偶数，已知丙的倒数的倍与甲的倒数之和等于乙的倒数的倍，设乙为，所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图，已知，，垂足分别是、，其中，，，，那么点到的距离是( )
A.
B.
C.
D.
5. 下列四个选项中不是命题的是( )
A. 对顶角相等 B. 过直线外一点作直线的平行线
C. 一个正数的算术平方根一定比这个数小 D. 如果，，那么
6. 如图，点、、、在同一直线上，与为等腰三角形，，，，，则下列结论：；；；正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 若一个正数的两个平方根分别是和，则的立方根是( )
A. B. C. D.
8. 已知，，则的值为( )
A. B. C. D. 或
9. 计算：的结果是( )
A. B. C. D.
10. 的倒数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. ______ ．
12. 若关于的方程无解，则的值为______ ．
13. 如图，在中，垂直平分，交于点，，若，，，则 ______ ．
14. 不等式组的解集是，那么的取值范围是______．
15. 不等式的非负整数解为______ ．
16. 一张试卷共道题，做对一道题得分，做错或不做倒扣分，小红做完试卷得分不少于分，则她至少做对了______ 道题．
17. 不等式组的解集是______ ．
18. 计算：的结果是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
20. 本小题分
解下列分式方程：
；
．
21. 本小题分
如图，，交于点，，．
说明≌的理由；
若，，求的度数．
22. 本小题分
已知的立方根是，的平方根是，是的整数部分．
求、、的值．
求的平方根．
23. 本小题分
城市书房为市民带来阅读便利，某市计划投资万元建设几间城市书房，为了保证质量，实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了一间城市书房，总投资追加了万元，求原计划每间城市书房的建设费用．
24. 本小题分
解不等式组：
；
．
25. 本小题分
计算：；
已知：，，求的值．
26. 本小题分
某学校准备购买体育教学用的器材和，下表是这两种器材的价格信息：
总费用
件 件 元
件 件 元
利用二元一次方程组解应用题求每件器材、器材的销售价格；
若该学校准备用不多于元的金额购买这两种器材共件，求最多采购器材多少件？
在的条件下，购买这两种器材共件且购买器材不少于件，则有哪几种购买方案，并求出最少费用是多少元？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，，是分式；，是整式，
分式有个．
故选：．
一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，由此即可得到答案．
本题考查分式的定义，关键是掌握分式的定义．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据分式加减法法则计算即可．
本题考查了分式的加减法．熟练掌握分式加减法法则，能够正确约分是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：设乙为，则甲丙分别为，，
由题意可得：，
故选：．
设乙为，则甲丙分别为，，根据甲的倒数与丙的倒数的倍之和等于乙的倒数的倍，列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是分别表示出甲乙丙的倒数，根据等量关系列出分式方程．
4.【答案】
【解析】解：，，
点到的距离是：．
故选：．
直接利用点到直线的距离定义得出答案．
本题主要考查了点到直线的定义，正确把握点到直线的距离的定义是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知，、、都对事情做出了判断，是命题，是陈述句，没有对事情做出判断，不是命题．
故选：．
判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
又，，
≌，
，，
故正确，
又，，
≌
，，
故正确，
，
即，
故正确，
，，
，
故错误，
综上所述，正确，
故选：．
先求证≌，再求证≌，即可推出均正确，通过，，可知，而，故可知错误．
本题主要考查等腰三角形的性质与全等三角形的性质，解题的关键在于能够证出二次全等．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
，
，
的立方根是，
故选：．
根据立方根与平方根的定义即可求出答案．
本题考查立方根与平方根，解题的关键是熟练运用平方根与立方根，本题属于基础题型．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
当，时，；
当，时，；
的值为或．
故选：．
根据平方根和立方根的定义求出，的值，再求出的值即可．
本题考查了平方根和立方根的定义，注意一个正数的平方根有个，不要漏解．
9.【答案】
【解析】解：
，
故选：．
根据零指数幂、积的乘方可以解答本题．
本题考查零指数幂、积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义和二次根式分母有理化的计算法则列式计算．
本题考查倒数的定义，二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】或
【解析】解：原方程去分母，得：，
，
当，即时，原分式方程无解，
，
解得：，
当时，原分式方程无解，
，
综上，的值为或，
故答案为：或．
将分式方程转化为整式方程，然后根据整式方程中含的系数为零时方程无解及分式方程的分母为零时方程无解两种情况确定的值．
本题考查分式方程的解，掌握分式方程无解情况下字母的取值是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：垂直平分，，
，，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的面积计算，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
解之得，
而，
并且不等式组解集为，
．
首先解不等式得，而，并且不等式组解集为，由此即可确定的取值范围．
此题主要考查了如何确定不等式组的解集，首先确定已知不等式的解集，然后结合不等式组的解集和另一个不等式的形式就可以确定待定系数的取值范围．
15.【答案】，，
【解析】解：，
，
，
则不等式的非负整数解为，，．
故答案为，，．
不等式移项、合并后，将系数化为求出解集，找出解集中的非负整数解即可．
此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算步骤是解本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设她做对道题，根据题意得：
，
解得．
她至少做对道题．
故答案为：．
设她做对道题，根据“做对一道题得分，做错或不做倒扣分，小红做完试卷得分不少于分”列出不等式即可．
本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是找准不等关系列出不等式．
17.【答案】
【解析】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
先变形，然后根据平方差公式计算，再算乘方即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
19.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：，
，
方程两边同时乘，可得：，
解得，
检验：当时，，
为原分式方程的解，
原分式方程的解为．
，
，
方程两边同时乘，可得：，
整理得：，
解得，
检验：当时，，
为原分式方程的增根，
原分式方程无解．
【解析】首先将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意求出的整式方程的解要进行检验．
此题主要考查了解分式方程，解答此题的关键是要明确解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．
21.【答案】解：在和中，
，
≌；
，，
，
≌，
，
．
【解析】直接利用即可证明≌；
利用三角形外角的性质得到，再根据≌得到，即可求得．
本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的证明方法．
22.【答案】解：由题意，得，，
解得，，
，
．
，
的平方根是．
【解析】根据乘方，可得，的值，根据无理数的估算确定，可得答案．
根据代数式求值，可得的值，根据平方根的定义可得答案．
本题考查了估算无理数的大小，平方根和立方根的定义，利用平方根和立方根的定义确定，，的值是解题关键．
23.【答案】解：设原计划每间城市书房的建设费用为万元，则实际每间建设费用为万元，
根据题意得：．
解得．
经检验：是所列方程的根．
答：原计划每间城市书房的建设费用为万元．
【解析】设原计划每间城市书房的建设费用为万元，则实际每间建设费用为万元，根据建设城市书房的间数不变列出方程并解答．
考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．
24.【答案】解：，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为，得；
，
解不等式得，
解不等式得，
所以不等式组的解集是．
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
25.【答案】解：原式
；
，，
，，，
原式
．
【解析】先根据零指数幂、乘方的意义、平方差公式和绝对值的意义计算，然后进行有理数的加减运算；
先计算出，，则利用完全平方公式把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了实数的运算．
26.【答案】解：设每件器材的销售价格为元，每件器材的销售价格为元，
依题意得：，
解得：．
答：每件器材的销售价格为元，每件器材的销售价格为元．
设采购件器材，则采购件器材，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
的最大值为．
答：最多采购器材件．
，，且为整数，
可以为，，，
共有种购买方案，
方案：购买件器材，件器材；
方案：购买件器材，件器材；
方案：购买件器材，件器材．
方案所需费用为元；
方案所需费用为元；
方案所需费用为元．
，
最少费用是元．
【解析】设每件器材的销售价格为元，每件器材的销售价格为元，根据总价单价数量，结合表格中给定的各数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设采购件器材，则采购件器材，利用总价单价数量，结合总价不多于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论；
由的结论结合且为整数，即可得出各购买方案，利用总价单价数量，可求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；由为整数，找出各购买方案．
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